BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT 1 LUAN VAN CHAT LUONG download add luanvanchat@agmail com LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình Vật lý THPT dành cho lĩnh vực học sinh giỏi thì phần cơ học Vật rắn là[.]
Trang 1-
-BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình Vật lý THPT dành cho lĩnh vực học sinh giỏi thì phần cơ học Vậtrắn là một trong những phần hay và khó Đa số học sinh cũng như giáo viên đều dành nhiềuthời gian và công sức để nghiên cứu phần này Sở dĩ như vậy vì phần cơ học là phần có phạm
vi kiến thức rộng hơn, thời lượng dành cho phần này trong phân phối chương trình cũng nhiều hơn.
Ngoài ra phần cơ học cũng gần gũi với thực tiễn hơn vì người học hoàn toàn có thể hình dung ra mô hình Mặc dùkiến thức có cảm giác gần gũi nhưng thực ra phần cơ là phần khó nhất vì kiến thức trong đó rất rộng, đặc biệt là cácdạng bài tập rất phong phú Có những bài Vật lý cảm giác rất giống nhau nhưng chỉ cần thay đổi một dữ kiện thì nóđã khác nhau hoàn tồn.
Các bài tốn liên quan đến chuyển động của hệ các vật rắn là những bài thật sự khó vàphức tạp Để làm được các bài này đòi hỏi các em học sinh phải có kỹ năng xử lý thật tốt,phải nắm thật chắc nội dung kiến thức cơ bản Quan trọng hơn cả là phải dự đoán đượcchuyển động của các vật và tìm được mối quan hệ giữa chuyển động của các vật Phần“chuyển động liên kết” chính là phần khó như vậy.
Để nghiên cứu chuyển động của các vật và tìm mối liên hệ giữa các chuyển động đòihỏi có các phương pháp phù hợp Chẳng hạn:
1 Phương pháp tọa độ:
Đó là một phương pháp tổng quát khi ta sử dụng tọa độ của các điểm trên vật rắn.Bằng việc lấy đạo hàm các tọa độ để được các thành phần của vận tốc và đạo hàm các vận tốcđể ra thành phần của các gia tốc Ta hoàn toàn có thể tìm được mối quan hệ giữa vận tốc, giatốc của các vật.
2 Phương pháp cộng vận tốc, cộng gia tốc.
Nếu ta biết vận tốc của một điểm A trên vật ta hoàn toàn có thể tính được vận tốc của
một điểm B trên vật dựa vào công thức v v r
AB
.
BA
Phương pháp này dẫn đến một hệ quả rất hay sử dụng là nếu vật rắn không biến dạngthì thành phần vận tốc của v và v lên phương AB phải bằng nhau.
AB
3 Phương pháp đổi hệ quy chiếu.
Hệ quy chiếu là một trong những đặc sắc của Vật lý Lựa chọn hệ quy chiếu đúng đắnsẽ giúp việc giải bài toán được nhanh hơn và chính xác hơn.
4 Phương pháp giải tích:
Đây là phương pháp được truyền tải từ các kiến thức của đại học xuống mà nổi trội làphương pháp Lagrange Thay vì phải viết các phương trình động lực học và định luật bảo
2
Trang 3toàn, cũng như tìm mối quan hệ giữa các chuyển động ta chỉ cần viết các phương trìnhLagrange cho các tọa độ suy rộng Đây bản chất chỉ là một công cụ hữu ích giúp việc xử lýbài toàn “chuyển động liên kết” có độ chính xác cao hơn Tuy nhiên vì nó là kiến thức đạihọc nên nó ít được dùng.
Trong chuyên đề của mình tôi chia thành 2 phần:
- Phần 1: giới thiệu các phương pháp tìm mối quan hệ giữa chuyển động của các vật trong chuyển
động liên kết của vật rắn.
Trang 4PHẦN 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM MỐI QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT.
1.Phương pháp tọa độ.
- Để tìm mối quan hệ giữa vận tốc của hai điểm A và B trên cùng một vật rắn ta sẽ tìm mối quan
hệ giữa tọa độ của chúng.
- Thông qua việc lấy đạo hàm ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa vận tốc và gia tốc.
VD1: (HSGQG năm 2003)
Một thanh cứng AB có chiều dài L tựa trênP1
hai mặt phẳng P1 và P2 (Hình vẽ) Người ta kéo đầu v 0
A của thanh lên trên dọc theo mặt phẳng P1 với vận A
tốc v0 không đổi Biết thanh AB và véctơ v0 luôn
nằm trong mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của B
P1 và P2; trong quá trình chuyển động các điểm A, Bluôn tiếp xúc với hai mặt phẳng; góc nhị diện tạo bởihai mặt phẳng là =1200 Hãy tính vận tốc, gia tốc
của điểm B và vận tốc góc của thanh theo v0, L, ( là góc hợp bởi thanh và mặt phẳng P2).Lời giải:Các thành phần vận tốc của A và B dọc theo thanh bằng nhau nên:vB = vAcos(600- )/cos= vChọn trục Oy như hình vẽ, A cóy= Lsin y’= Lcos ’ =Vận tốc góc của thanh:tg)toạ độ:v0cos300.= ’= v 0 cos 300= v0 3 L cos 2L cos dv 3' Gia tốc của B: a =B=v02dt 2 cos VD2: (HSGQG năm 2010)
Một thanh cứng AB đồng chất, tiết diện đều, khối lượngM, chiều dài AB = L có gắn thêm một vật nhỏ khối lượng m =M/4 ở đầu mút B Thanh được treo nằm ngang bởi hai sợi dây
Trang 6nhẹ, không dãn O1A và O2B (hình vẽ) Góc hợp bởi dây O1A và phương thẳng đứng là 0.
a Tính lực căng T0 của dây O1A.
b Cắt dây O2B, tính lực căng T của dây O1A và gia tốc góc của thanh ngay sau khi cắt.
- Hệ thanh và vật nặng có khối tâm G với vị trí được xác định cách A khoảng AG:
Có AG.(M m) M.AC m.AB (M m).AG M L m.L AG M 2m L2 2(M m)Thay m 1 tính được AG 3LM 4 5- Momen quán tính của hệ với trục quay qua G: với BG 2L ; CG L5 1022IMLM.CG 2 m.BG 2mLG12 38mL215 Vậy IG8mL215 (**)a Khi thanh cân bằng, xét với trục quay qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ Từ(M m)g.phương trình momen, có: P.BG T Lcos0 T000Lcos0(1)
b Tại thời điểm t = 0 khi dây O2B vừa bị cắt, vì thanh chưadi chuyển, điểm A có vận tốc bằng 0 Điểm A chỉ có gia tốc
a A theo phương vuông góc với dây O1A.
Xét điểm G, có gia tốc: aG aA aG/A (vì AG=constnên dAG 0 )dt0TA aAO1C0aG / AO2G aAB
- Trong hệ quy chiếu đất, với trục quay qua khối tâm G, trong quá trình
Trang 8Chiếu lên phương dây O1A, với aG / AA AG hướng như hình vẽ, ta được:(M m)g.cos0T (M m)aG / A.cos0(M m).0(3)Thay (2) vào (3) tính được: T (M m)g.cos(M1Thay (*)và (**) vào (4) tính được(4)0T(M m)g.cos3L(M m)(5)1 28mL15- Tính : Thay (4') vào (2)5mg.cos040mgcos0(4')27cos 2 8 27cos 21 0 0840mgcos03Lcos0T.AG.cos 8 27cos 2 5 45gcos 2000I 2 (8 27cos 2 )LG8mL01545gcos 20(8 27cos 2 )L0Bài toán áp dụng phương pháp tọa độ.Bài 1:
Trang 10Xét hệ ở thời điểm t bất kỳ, khi đó m có tọa độ (x2, y2), còn M có tọa độ x1 Động lượng của hệ theo phương ngang bảo toàn: M.x1 + m.x2 = 0
Mối liên hệ giữa các tọa độ của m và M:y2 = (x2 – x1).tg α y2 = x2.tg α 1m M a2y = a2x.tg α 1 m M Xét vật m: chịu 3 lực tác dụng Phương trình định luật II Niutơn cho m:m.a N mg F2Chiếu lên hai trục tọa độ:ma2 x N sin Fcosma2 y mg Nco s Fsin l l 0 x2 x l 0 x2trong đó: 1 1cos cos Từ các phương trình trên ta có:a k M m x2 x m M m.sin2
Vậy chu kỳ dao động là:
* Hai trường hợp riêng:2T2 m M msink M mKhi α = 0 thì T2 k mMM m ; Khi α = 900 thì T 2 mk
Nhận xét: Nhìn chung phương pháp tọa độ là một phương pháp tổng quát, có thể áp dụng để
làm bất kỳ bài chuyển động liên kết nào Tuy nhiên đây là phương pháp phải đạo hàm nhiềunên nó cũng không phải là phương pháp được ưu tiên khi làm.
2 Phương pháp cộng vận tốc.
VD1: Hình vẽ là một kết cấu nằm trên mặt phẳng
Trang 117
Trang 12mặt hình vẽ ; 2 điểm A, D cùng ở trên 1 đường nằm ngang Hai đầu của thanh BC nối với AB và CD có thể quay quanh chỗ tiếp xúc (tương tự bản lề) Cho AB quay quanh trục A với tốc độ góc
tới vị trí như trên hình vẽ, AB ở vị trí thẳng đứng, BC và CD đều tạo với phương
nằm ngang góc 45 0 Biết rằng độ dài của AB là l, độ dài của BC và CD được xác định như
trong hình vẽ Khi đó hãy tìm giá trị và hướng gia tốc ac của điểm C (biểu diễn qua góc vớithanh CD)Lời giải:Vì điểm B quay tròn quanh trục A, tốc độ của nó làvB lgia tốc hướng tâm của điểm B làa B 2l(1)(2)
Vì chuyển động với tốc độ góc không đổi nên thành phần gia tốc tiếp tuyến của điểm B bằng0 và aB cũng là gia tốc toàn phần của B, nó có hướng dọc theo BA Điểm C quay tròn quanh
trục D với tốc độ vC, tại thời điểm khảo sát có hướng vuông góc với thanh CD Từ hình 1có
Trang 14aCnHình vẽ cho thấy CD22l , từ (3), (4) ta đượca CnGia tốc này có hướng dọc theo hướng CD.(4)(5)
Bây giờ ta sẽ phân tích gia tốc của điểm C theo hướng vuông góc với thanh CD, tức là gia tốctiếp tuyến aCt Vì BC là thanh cứng nên chuyển động của C đối với B chỉ có thể là quayquanh B, phương của vận tốc ắt phải vuông góc với thanh BC Gọinày, theo (1) và (3) ta cóv v2 v2 2lCBBC2là độ lớn của vận tốc(6)Điểm C quay tròn quanh điểm B, vậy gia tốc hướng tâm của nó đối với B làa v2CBCBCBVì CB 2l nêna 22lCB
Gia tốc này có hướng vuông góc với CD
Trang 16Gia tốc toàn phần của điểm C bao gồm gia tốc pháp tuyếnD và gia tốc tiếp tuyến aCt , nghĩa là
aCn khi C chuyển động tròn quanha a2 aCCnGóc giữa phương của aC với thanh CD là arctan aCt arctan 6 80, 540aCn(11)
Nhận xét: phương pháp cộng vận tốc, cộng gia tốc là một phương pháp rất hay, rất quen
thuộc của Vật lý Đây là phương pháp mang tính “thần” Lý hơn so với các phương pháp thiênvề Toán khác Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng và kiến thức thậttốt nếu không rất dễ bị nhầm.
Bài tập áp dụng:Bài 2:
Hai thanh cứng, nhẹ, chiều dài mỗi thanh là l nối với nhau bằngmột bản lề khối lượng m Đầu kia mỗi thanh có gắn các quả cầu khốilượng mA = m, mB = 2m Hệ thống đặt thẳng đứng trên bàn Bằng tácđộng nhỏ, hai quả cầu bắt đầu trượt ra xa nhau sao cho hai thanh vẫnnằm trong mặt phẳng thẳng đứng Bỏ qua mọi ma sát.
1 Tìm vận tốc của bản lề tại thời điểm sắp chạm sàn.
2 Tìm vận tốc của quả cầu 2m tại thời điểm góc giữa hai thanh bằngA2CB.Lời giải:
1 Giả sử khi sắp chạm đất, quả cầu B có vận tốc vB 0 thì do tính chất của thanh
cứng, quả A và bản lề cũng phải có vận tốc vB Điều này vô lý vì thanh choãi ra Vậy
Tương tự vA 0 Vậy ngay khi sắp chạm đất, hai quả cầu dừng lại, VC có phương thẳng đứng.
Trang 18 V V V 1CyBtan CxV sin Vcos V sin ACyCx V V V 2CyAtan CxV VB VA ; V VB VA tan Cx2 Cy 2- Định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang: mVA 2 mVB mVCx 0 V 2V V V0V BAAB2 A- Định luật bảo toàn cơ năng:mgl mglcos 1mV 2 1 2mV2A2 B V2 2V2 V2 V2 2 gl 1 cosABCXCYGiải hệ (3), (4), (5) tìm được:VCx2VCVAyxVBV 9 gl 1 cosB2 11 4 tanBài 3:
Trang 19dây treo Áp lực của thanh lên mặt bàn thay đổi bao nhiêu lần ngay sau khi sợi dây đứt?
b Tìm vận tốc trọng tâm của thanh ngay trước khi nó tiếp xúc với mặt đất
Lời giải:
0
Khi chưa đứt dây Thanh thăng bằng dưới tác dụng của trọng lực, phản lực vuông góc từ mặt bàn và lực căng của dây treo.
11
Trang 20- Chọn trục quay tức thời qua đầu trên của thanh thìMN0 = MP N
0 = P/2 là phản lực ban đầu của mặt bàn
Khi dây đứt thì thanh chỉ còn tác dụng của trọng lực và phản lực vuông góc từ mặtbàn Do không có lực nào theo phương ngang nên khối tâm sẽ chuyển động theo phươngthẳng đứng Vậy xu hướng chuyển động của khối tâm và đầu thanh được biểu diễn như hình
Ta xác định được tâm quay tức thời của thanh là tại O Phương trình động lực học cho chuyển động quay quanh 0 là: 2mLM I P.L sin P 003khi đứt dây=> N = P – mAG =Vậy tỉ lệ là: N 8N0 13 6 3g 13L
là gia tốc khối tâm ngay sau
b Ngay trước khi chạm đất thì thanh nằm ngang nên tâm quay tức thời của thanh là tạiđầu trái của thanh Quá trình chuyển động thì không có ma sát và phản lực không sinh côngnên cơ năng của hệ được bảo toàn:mgLI 2 2 3 g mgL mL 2 2 v mL2 2 3 4 LG
3 Phương pháp đổi hệ quy chiếu.VD1: Một chất điểm m đặt tại đỉnh của
một bán trụ khối lượng M Bỏ qua ma sát giữa hai vật Chạm nhẹ để m trượt xuống Xác định góc α tại thời điểm haivật rời nhau biết M có thể trượt không ma sát trên sàn và cho m = 10M.
Lời giải:
Gọi v2 là vận tốc của M, v12 làvận tốc của m so với M ngay trước khihai vật rời nhau.
Trang 22Chọn hệ quy chiếu chuyển động đều với vận tốc v2 Áp dụng định luật bảo toàn độnglượng theo phương ngang và định luật bảo toàn cơ năng cho điểm A và B trong hệ quy chiếu này:+ m M v2 + mgR 1 cos Thay (4) vào (5) ta được:1 mv22 12 (5).2v 2 2mgR 1 cos m .cos122m M v2 2gR 1 cos m M 122M m.sin(6).Định luật II Newton cho m: mg N ma1Mặt khác:+ a a a trong đó a1 là gia tốc của m, a12 là gia tốc của m so với M, a2 là gia tốc1122của M.+ Tại thời điểm hai vật rời nhau thì không còn lực nào tác dụng lên M theo phươngngang a2= 0 a a112 mg N ma12Cho N = 0 rồi chiếu phương trình này lên phương hướng tâm:mg cos m(7).Từ (6) và (7) ta được phương trình:m cos3 3 m 1 cos 2 m 1 0 (*)MMMThay m = 10M 10cosBấm máy tính ta được: cosα =33cos 22 00,8582.
Trang 23Ở đây ta cần phân biệt hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc v2 và hệ quy chiếu gắn với M Đâylà hai hệ quy chiếu hoàn toàn khác nhau Hệ quy chiếu chuyển động đều với vận tốc v2 là một hệ quy chiếu quán tínhnên cơ năng mới được bảo toàn Chúng ta có thể phát triển bài toán này theo hướng tính phản lực N tại thời điểm α <α0 tức là vật chưa rời khỏi bán cầu để hiểu hơn về hai hệ quy chiếu này.
13
Trang 24Bài tập áp dụng:Bài 4:
Đặt một hình trụ đặc khối lượng , bán kính cótrục song song với mặt phẳng nằm ngang lên mặt phẳngnghiêng của một chiếc nêm có khối lượng
yên trên mặt phẳng nằm ngang tại nơi có gia tốc rợi tựdo như hình vẽ bên Biết mặt phẳng nghiêng của nêm
hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc , ma sát giữa
nêm và mặt phẳng nằm ngang không đáng kể Hệ số ma sát giữa trụ và nêm là
1. Tính gia tốc của , gia tốc của so với và gia tốc góc của trong các trường hợp
a. Nêm bị giữ chặt.
b. Nêm được thả tự do.
Trang 25Khi nêm bị giữ chặt ta có thể coi là nên
Trường hợp 2: lăn không trượt trên , ta có
Sự lăn không trượt sẽ xảy ra nếu
Khi nêm bị giữ chặt , trường hợp này xảy ra khi và
Chú ý: Bài này ta hoàn toàn có thể giải bằng cách chọn hệ quy chiếu gắn với M.4 Phương pháp giải tích.
Hàm Lagrange
L = T – V trong đó T là động năng, V là thế năng của vật.
Các phương trình Euler - Lagrange
dL
dt q
i
trong đó qi là các tọa độ suy rộng.
Trang 26d T dtqq i Trong đó Qi là lực suy rộng.
VD1: Một lò xo không khối lượng có chiều dài tự nhiên l0 treomột vật khối lượng m ở đầu Đầu kia của lò xo gắn cố định.Chuyển động của hệ chỉ xảy ra trong mặt phẳng thẳng đứng Đặt xr r, s k; g= 0 p với r0 là chiều dài của lò xo khi ởrmr00vị trí cân bằng.Lời giải:Orθkm
Hệ có hai bậc tự do ứng với hai tọa độ suy rộng là θ và φ.
Trang 28 s x 2 2 x 2 2x 2 sin 1 xp(1.1)
Đây chính là hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của chất điểm Hệ phươngtrình này khó giải được nghiệm chính xác, vì vậy người ta thường đơn giản hóa bài toán,chẳng hạn như chỉ khảo sát chuyển động nhỏ.
Khi x và θ là nhỏ, bỏ qua các số hạng nhỏ bậc 2 trong phương trình (1.1) ta thu đượcỞ đây ta đã bỏ qua Khi đó nghiệm của các phươngx 2 x 0 s 20 pso với 1.trình trên có dạng làx xcos 00cos Sử dụng điều kiện ban đầu ta tìm đượcx A 0 010 B 2Vậy phương trình dao động của vật làx A cos B sin
Như vậy nếu coi x là θ là nhỏ thì vật sẽ thực hiện đồng thời hai dao động Hai thànhphần dao động có tần số ωs và ωp và vuông pha với nhau.
Nhận xét: Phương pháp sử dụng các hàm Lagrange là một phương pháp rất mạnh nó gần như
giải quyết được tất cả các bài về chuyển động liên kết Tuy nhiên nó cũng phải tính toánnhiều, đặc biệt là tính đạo hàm.