WWW.VNMATH.COM
THI TH I HC, CAO NG 2012
Mụn thi : TON ( 175)
I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im)
Câu I (2 điểm). Cho hàm số
2
12
+
+
=
x
x
y
có đồ thị là (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt A, B. Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 8
2 .Tớnh tớch phõn:
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+
=
+
.
Câu III (2 điểm).
1.Gii bt phng trỡnh:
2 10 5 10 2x x x+ +
2.Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có
mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.
Câu IV (1 điểm). Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo
bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30
0
. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng
(A
1
B
1
C
1
) thuộc đờng thẳng B
1
C
1
. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA
1
và B
1
C
1
theo
a.
II. PHN RIấNG (3.0 im)
Câu Va
1.(2 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)
2
+ (y+2)
2
= 9
và đờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà
từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam
giác ABC vuông.
2.(1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số
luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
Câu Vb
1 (2 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đờng thẳng
d có phơng trình
3
1
12
1
==
zyx
. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ
d tới (P) là lớn nhất.
2.(1 điểm) Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a
2009
+ b
2009
+ c
2009
= 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a
4
+ b
4
+ c
4
Ht
1
WWW.VNMATH.COM
ỏp ỏn THI TH I HC, CAO NG
Mụn thi : TON ( 75)
I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im)
CõuI:)(2 điểm)
1.(hc sinh t kho sỏt hm s)
2)Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đờng thẳng d là nghiệm của phơng trình
=++
+=
+
+
)1(021)4(
2
2
12
2
mxmx
x
mx
x
x
Do (1) có
mmmvam =++>+= 0321)2).(4()2(01
22
nên đờng thẳng d luôn luôn cắt
đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B
Ta có y
A
= m x
A
; y
B
= m x
B
nên AB
2
= (x
A
x
B
)
2
+ (y
A
y
B
)
2
= 2(m
2
+ 12) suy ra AB ngắn nhất
AB
2
nhỏ nhất m = 0. Khi đó
24=AB
Cõu II:)(2 điểm)
1)(1 điểm).Phơng trình đã cho tơng đơng với
9sinx + 6cosx 6sinx.cosx + 1 2sin
2
x = 8 6cosx(1 sinx) (2sin
2
x 9sinx + 7) = 0
6cosx(1 sinx) (sinx 1)(2sinx 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx 7) = 0
=+
=
)(07sin2cos6
0sin1
VNxx
x
2
2
kx +=
2) (1 điểm).Tớnh:
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
+
=
+
t
2
1 1x t x t+ = =
=> dx=2tdt; khi
x=0=>t=1,x=3=>t=2
( ) ( )
( )
2
2 2
2 2
5
4 2 3 2
1
1 1
2 1 1 1
4 128 4 124 54
2 =2 2 3 2 = 16 2 14
5 5 5 5 5
t t
t
I tdt t t dt t
t
+
= = + = =
ữ
Câu III (2 điểm).
1(1 điểm) BG: Gii bt phng trỡnh:
2 10 5 10 2x x x+ +
(1)
*iu kin:
2x
( )
2
1 2 10 2 5 10 2 6 20 1(2)x x x x x x + + + + +
Khi
2x
=> x+1>0 bỡnh phng 2 v phng trỡnh (2)
(
] [
)
2 2 2
(2) 2 6 20 2 1 4 11 0 x ; 7 3;x x x x x x + + + + +
Kt hp iu kin vy nghim ca bt phng trỡnh l:
3x
2. (1 điểm).Từ giả thiết bài toán ta thấy có
10
2
5
=C
cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0
đứng đầu) và
3
5
C
=10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có
2
5
C
.
3
5
C
= 100 bộ 5 số đợc chọn.
Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả
2
4
C
.
3
5
C
.5! = 12000 số.
Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là
960!4
3
5
1
4
=CC
.
Vậy có tất cả 12000 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán
II.Phần riêng.( 3im )
Câu Va :
1)(2 điểm)Từ pt của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn
và
ACAB
=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3
23= IA
=
=
==
7
5
6123
2
1
m
m
m
m
2. (1 điểm)Từ giả thiết bài toán ta thấy có
6
2
4
=C
cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và
10
2
5
=C
cách chọn 2 chữ số lẽ => có
2
4
C
.
2
5
C
= 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán
Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập. Vậy có tất cả
2
4
C
.
2
5
C
.4! = 1440 số
2
WWW.VNMATH.COM
Câu Vb
1)(2 điểm)Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa
d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có
HIAH
=> HI lớn nhất khi
IA
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận
AH
làm véc tơ pháp tuyến
)31;;21( tttHdH ++
vì H là hình chiếu của A trên d nên
)3;1;2((0. == uuAHdAH
là
vtcp của ( d)
)5;1;7()4;1;3( AHH
Vậy (P): 7(x -10) + (y- 2) -5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0
2). (1 điểm)áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a
2009
ta có
)1(.2009 20091 11
4
2009
20092009200920092009200920092009
2005
aaaaaaaaa =+++++++
Tơng tự ta có
)2(.2009 20091 11
4
2009
20092009200920092009200920092009
2005
bbbbbbbbb =+++++++
)3(.2009 20091 11
4
2009
20092009200920092009200920092009
2005
ccccccccc =+++++++
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc
)(20096027
)(2009)(46015
444
444200920092009
cba
cbacba
++
+++++
Từ đó suy ra
3
444
++= cbaP
Tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.
Ht
3
. 5 số đợc chọn.
Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả
2
4
C
.
3
5
C
.5! = 12000 số.
Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số. 2.(1 điểm). Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số
luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
Câu Vb
1 (2 điểm)Trong