Đề thi thử ĐH môn toán số 167

WWW.VNMATH.COM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 167) I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 1 x y x − = + . 2. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm ( ) 1;1I − và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Câu II: (2,0 điểm) 1. Giải phương trình ( ) cos3 sin 2 3 sin 3 cos2x x x x+ = + . 2. Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 3 4 9 x y xy x y  − =    =  . Câu III: (2,0 điểm) 1. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ( ) ( ) 2 2 2 1 1m x x m− + + = − có nghiệm. 2. Chứng minh ( ) 2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + với mọi số dương ; ;a b c . Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng 2 a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm): Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B. A. Theo chương trình Chuẩn Câu Va: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua ( ) 2;1M và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . Câu VI.a: (2,0 điểm) 1. Giải bất phương trình ( ) ( ) 2 2 2 1 log log 2 log 6x x x+ + + > − . 2. Tìm 2 ln x dx ∫ . B. Theo chương trình Nâng cao Câu Vb: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 1 3; 2 M    ÷   . Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M và nhận ( ) 1 3;0F − làm tiêu điểm. Câu VI.b: (2,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2 2 1 2 3 x y y x x y +  + = +   =   . 2. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos2 1 cos2 1 x f x x − = + . Hết WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 67 ) CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Câu I (2,0đ) Ý 1 (1,0đ) Tập xác định: { } \ 1D R= − . 0,25 đ Sự biến thiên: • Giới hạn và tiệm cận: lim 1; lim 1 1 x x y y y →−∞ →+∞ = = ⇒ = là TCN. ( ) ( ) 1 1 lim ; lim 1 x x y y x − + → − → − = +∞ = −∞ ⇒ = − là TCĐ 0,25 đ ( ) 2 4 ' 0, 1 y x D x = > ∀ ∈ + . • BBT: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ; 1 , 1;−∞ − − +∞ Và không có cực trị. 0,25 đ Đồ thị: ĐT cắt Ox tại (3;0), cắt Oy tại (0;-3) và đối xứng qua ( ) 1;1− . 0,25 đ Ý 2 (1,0đ) Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k ( ) : 1 1d y k x= + + . Ta có: d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N 3 : 1 1 x PT kx k x − ⇔ = + + + có 2 nghiệm PB khác 1− . 0,25 đ Hay: ( ) 2 2 4 0f x kx kx k= + + + = có 2 nghiệm PB khác 1− ( ) 0 4 0 0 1 4 0 k k k f  ≠  ⇔ ∆ = − > ⇔ <   − = ≠  . 0,25 đ Mặt khác: 2 2 M N I x x x+ = − = ⇔ I là trung điểm MN với 0k ∀ < . 0,25 đ KL: PT đường thẳng cần tìm là 1y kx k= + + với 0k < . 0,25 đ Chú ý: Có thể chứng minh đồ thị ( C) có I là tâm đối xứng, dựa vào đồ thị ( C) để kết luận kết quả trên. Câu II (2,0đ) Ý 1 (1,0đ) Ta có: PT cos3 3sin 3 3 cos 2 sin 2x x x x⇔ − = + 1 3 3 1 cos3 sin 3 cos 2 sin 2 2 2 2 2 x x x x⇔ − = + cos 3 cos 2 3 6 x x π π     ⇔ + = −  ÷  ÷     . 0,50 đ Do đó: 3 2 2 2 3 6 6 x x k x k π π π π π + = + + ⇔ = − + . 0,25 đ Và: 2 3 2 2 3 6 10 5 k x x k x π π π π π + = − − + ⇔ = − + 0,25 đ Ý 2 (1,0đ) Ta có : 2 2 9 3x y xy= ⇔ = ± . 0,25 đ . Khi: 3xy = , ta có: 3 3 4x y− = và ( ) 3 3 . 27x y− = − 0,25 đ WWW.VNMATH.COM Suy ra: ( ) 3 3 ;x y− là nghiệm PT 2 4 27 0 2 31X X X− − = ⇔ = ± Vậy ngiệm của PT là 3 3 2 31, 2 31x y= + = − − Hay 3 3 2 31, 2 31x y= − = − + . 0,25 đ Khi: 3xy = − , ta có: 3 3 4x y− = − và ( ) 3 3 . 27x y− = Suy ra: ( ) 3 3 ;x y− là nghiệm PT 2 4 27 0( )X X PTVN+ + = 0,25 đ Câu III (2,0đ) Ý 1 (1,0đ) Đặt 2 1t x= + . ĐK: 1t ≥ , ta có: ( ) ( ) 2 2 1 1m t t m− + = − − 0,25 đ Hay: ( ) 1 1 2 m t t t = + ≥ + . Xét ( ) ( ) ( ) 2 1 1 ' 1 2 2 f t t f t t t = + ⇒ = − + + 0,25 đ ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 ' , ' 0 1( ), 3( ) 2 t t f t f t t l t l t + + = = ⇔ = − = − + . 0,25 đ Dựa vào BBT, ta kết luận 4 3 m ≥ . 0,25 đ Ý 2 (1,0đ) Ta có: 2 1 2 2 a ab ab a a a ab a b a b ab = − ≥ − = − + + (1) 0,50 đ Tương tự: 2 1 2 b b bc b c ≥ − + (2), 2 1 2 c c ca c a ≥ − + (3). 0,25 đ Cộng (1), (2), (3), ta có: ( ) 2 2 2 1 2 a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + 0,25 đ Câu IV (1,0đ) Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với A’M Ta có: ( ' ) ' BC AM BC AA M BC AH BC AA ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  . 0,25 đ Mà ' ( ' ) 2 a AH A M AH A BC AH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 0,25 đ Mặt khác: 2 2 2 1 1 1 6 ' 4 ' a AA AH A A AM = + ⇒ = . 0,25 đ KL: 3 . ' ' ' 3 2 16 ABC A B C a V = . 0,25 đ Câu Va (1,0đ) Gọi d là ĐT cần tìm và ( ) ( ) ;0 , 0;A a B b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : 1 x y d a b + = . Theo giả thiết, ta có: 2 1 1, 8ab a b + = = . 0,25 đ Khi 8ab = thì 2 8b a + = . Nên: 1 2; 4 : 2 4 0b a d x y= = ⇒ + − = . 0,25 đ Khi 8ab = − thì 2 8b a+ = − . Ta có: 2 4 4 0 2 2 2b b b+ − = ⇔ = − ± . Với ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − + ⇒ − + + − = 0,25 đ Với ( ) ( ) 3 2 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − − ⇒ + + − + = . KL 0,25 đ WWW.VNMATH.COM Câu VIa (2,0đ) Ý 1 (1,0đ) ĐK: 0 6x< < . BPT ( ) ( ) 2 2 2 2 log 2 4 log 6x x x⇔ + > − . 0,25 đ Hay: BPT ( ) 2 2 2 2 4 6 16 36 0x x x x x⇔ + > − ⇔ + − > 0,25 đ Vậy: 18x < − hay 2 x < 0,25 đ So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6x < < . 0,25 đ Ý 2 (1,0đ) Đặt 2 2 lnu x du dx x = ⇒ = và dv dx= chọn v x= 0,25 đ Suy ra : 2 2 2 ln ln 2 ln 2I x dx x x dx x x x C= = − = − + ∫ ∫ 0,50 đ KL: 2 2 ln ln 2I x dx x x x C= = − + ∫ 0,25 đ Câu Vb (1,0đ) PTCT elip có dạng: 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 0,25 đ Ta có: 2 2 2 2 3 1 4 3 1 a b a b − = + =      0,25 đ Ta có: 4 2 2 2 3 4 3 0 1( ), ( ) 4 b b b th b kth− − = ⇔ = = − 0,25 đ Do đó: 2 4a = . KL: 2 2 1 4 1 x y + = 0,25 đ Câu VIb (2,0đ) Ý 1 (1,0đ) ( ) ( ) 2 2 1 0 , 1y x x y y x y x y x y x+ = + ⇔ − + − = ⇔ = = − . 0,50 đ Khi: 1y x= − thì 2 6 2 3 6 9 log 9 x x x x − = ⇔ = ⇔ = 0,25 đ Khi: y x= thì 1 2 3 2 2 3 3 log 3 3 x x x x +   = ⇔ = ⇔ =  ÷   . 0,25 đ Ý 2 (1,0đ) Ta có: ( ) 2 tanf x x= − . 0,25 đ ( ) 2 1 1 cos f x x = − . 0,25 đ KL: ( ) tanF x x x C= − + . 0,50 đ …HẾT… . WWW.VNMATH.COM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 167) I. PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I: (2,0 điểm) 1. Khảo sát sự biến thi n. 2. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos2 1 cos2 1 x f x x − = + . Hết WWW.VNMATH.COM ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 67 ) CÂU