LỜI NÓI ĐẦU

LỜI NÓI ĐẦU LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM TÓM TẮT GIÁO KHOA 1) Cho hàm số  y f x xác định trên khoảng  a; b và  0 x a; b Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số    0 0 f x f x x x   khi 0 x x được gọi là[.]

LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM TÓM TẮT GIÁO KHOA 1) Cho hàm số y f  x  xác định khoảng  a; b  x0   a; b  Giới hạn hữu hạn có tỉ số f  x   f  x0  x  x0 x  x0 gọi đạo hàm hàm số cho x0 , kí hiệu f '  x0  hay y '  x  Như ta có f '  x0   lim f  x   f  x0  x  x0 x  x0 Nhận xét: y Trong x  x x gọi số gia biến số x0 y gọi số gia hàm số ứng với số Nếu đặt x  x x y f  x  x   f  x0  ta có f '  x0   lim gia x x0 Nếu hàm số f(x) có đạo hàm điểm x0 f(x) liên tục x0 Tuy nhiên điều ngược lại chưa 2) Cho đường cong (C), điểm M cố định thuộc (C) M   C  Gọi k M hệ số k M Khi góc cát tuyến M M Giả sử tồn giới hạn hữu hạn k xlim M  x0 đường thẳng M T qua M có hệ số góc k0 gọi tiếp tuyến (C) M Điểm M gọi tiếp điểm 3) Đạo hàm hàm số y f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm M  x0 ; f(x0 )  Hệ quả: Nếu hàm số y f  x  có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số y f  x  điểm M  x0 ; f(x0 )  có phương trình: y f '  x0   x  x0   f  x  4) Khí hiệu D khoảng hợp khoảng Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0  D ta nói hàm số có đạo hàm D Khi đạo hàm hàm số f(x) điểm x tùy ý D kí hiệu y ' hay f '  x  Ta nói y ' hay f '  x  đạo hàm hàm số y f  x  tập D B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN DẠNG 1: Tìm số gia hàm số PHƯƠNG PHÁP Để tính số gia hàm số y f  x  điểm x tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng công thức: y f  x  x   f  x  Ví dụ 1: Tìm số gia hàm số y f  x  x  3x  , biết rằng: a) x0 1; x 1 b) x0 1; x  0,1 LỜI GIẢI 3 a) Ta có y f  xo  x   f  x0  f    f  1 2  3.2   (1  3.1  2)  b) Ta có y f  xo  x   f  x0  f  0,9   f  1 0,9  3.0,9   (13  3.12  2) 0, 229 y Ví dụ 2: Tính y hàm số sau theo x x x a) y 2x  b) y 2x  3x  c) y  2x  d) y 2x  3x LỜI GIẢI a) Ta có y f  xo  x   f  x0  2  xo  x     2x   2 Suy y 2 x  b) Ta có y f  xo  x   f  x0  2  xo  x    x o  x    2x0  3x0   4x0 x   x   3x x  4x0  2x   Suy y x  4x0  x    4x0  x  x x 2x02  c) Ta có y f  xo  x   f  x0    x o  x    x(2x0  x)  2  x o  x    2x 02  y  Suy x x(2x  x)   x   x o  x    2x02      2x0  x 2  x o  x    2x02    2  x  3x x  3x ( x)  ( x)    x  2x x  ( x)    2x x  6x  6x x  3( x)  6x  3x  x 6x  6x x  3( x)  6x  3x  Suy y   d) Ta có y f  xo  x   f  x0  2  xo  x    x o  x   2x  3x 2 2 x 2  3x 02 0 0 x 6x02  6x0 x  3( x)2  6x  3x DẠNG 2: Tìm đạo hàm định nghĩa PHƯƠNG PHÁP Để tìm đạo hàm hàm số y f  x  điểm x định nghĩa ta sử dụng hai cách sau đây: Cách 1:   Cho x số gia x f  x0  x   f  x  Lập tỉ số  Tìm giới hạn lim x  y x y x  Kết luận: y y tồn hữu hạn x hàm số có đaọ hàm là: f '  x0   lim  x  x x y + Nếu lim khơng tồn hữu hạn x hàm số khơng có đạo hàm x  x Cách 2: f  x   f  x0   Tính giá trị lim x  x0 x  x0 + Nếu lim x   Kết luận: + Nếu lim x  x0 + Nếu lim x  x0 f  x   f  x0  x  x0 f  x   f  x0  x  x0 tồn hữu hạn L x , ta có f '  x0  L khơng tồn hữu hạn x hàm số khơng có đạo hàm Ví dụ : Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) hàm số sau điểm ra: a) y 2x  x  x0 2 b) y x  x  x0  2x  x0 3 x  LỜI GIẢI a) Cách 1: Cho x0 2 số gia x Khi hàm số nhận số gia tương ứng: c) y  2x  x0 1 d) y    y f  x0  x   f  x0  2   x     x    2.2   x   2x  x   x  y  lim  lim   2x  9 x  x x  x  x f  x  f  2 2x  x   11 2x  x  10 Cách 2: lim lim lim x x x x x x x    2x    lim lim  2x   9 x x x Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm x0 2 f '   9 Ta có f '    lim b) y x  x  x0  Cách 1: Cho x0  số gia x Khi hàm số nhận số gia tương ứng: y f    x   f       x      x    12 13x  6(x)  (x)  x 13  x  ( x)2    x 13  x  ( x)2 Ta có f '     lim y  lim  lim 13  x  ( x)2 13 x  x x  x  x f  x  f   2 x  x   12 x3  x  10 Cách 2: lim  lim  lim x  x  x  x  x  x   x    x2  2x    lim x  x       lim x  2x  13 x  Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm x0  f '    13 c) y  2x  x0 1 Cách 1: Cho x0 1 số gia x Khi hàm số nhận số gia tương ứng: y f  x0  x   f  x0  f   x   f  1  2(1  x)   y  lim Ta có f '  1 lim x  x x  Cách 2: lim x f  x   f  1 x lim x lim x x x   2x  2x   x  lim x  2x   2x 3  x    x  3  lim x   x  1  x  1  2x    Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm x0 1 f '  1  2x  x0 3 x  Cách 1: Cho x0 3 số gia x Khi hàm số nhận số gia tương ứng: d) y  y f  x0  x   f  x0  f   x   f    Ta có f '    lim x  Cách 2: lim x 2(3  x)  5  2x 3x      x  4  x 4(4  x) y x 3  lim  lim  x x x.4(4  x) x 4(4  x) 16 f  x  f  3 x 2x   3(x  3) 3 lim x  lim lim  x x  (x  3)(x  1)4 x  (x  1)4 x 16 Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm x0 3 f '    16 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM TĨM TẮT GIÁO KHOA 1) Định lý 1: Cho hàm số u u  x  , v v  x  có đạo hàm (a;b) tổng hiệu chúng có đạo hàm khoảng (a;b)  u  v  ' u' v';  u  v  ' u' v' Chú ý: Định lý mở rộng cho tổng hay hiệu hữu hạn hàm số 2) Định lý 2: Cho hàm số u u  x  , v v  x  có đạo hàm (a;b) tích chúng có đạo hàm khoảng (a;b)  u.v  ' u ' v  uv ' Đặc biệt :  a.u  ' a.u ' ( a số), Chú ý: Định lý mở rộng cho tích hữu hạn hàm số Chẳng hạn:  u.v.w  ' u'vw uv'w uvw' 3) Định lý 3: Cho hàm số u u  x  , v v  x  có đạo hàm (a;b) v  x  0 (a;b) thương u có đạo hàm khoảng (a;b) v  u  u' v  uv '  '  v2 v  1 v' Hệ quả:   '   v 0  v v   4) Cho hai hàm số y f  u  u g  x  Ta gọi hàm số y F  x  f  g  x   hàm số hợp hai hàm số u g  x  y f  u  Tập xác định hàm số f  g  x   tập hợp tất giá trị x làm cho biểu thức f  g  x   có nghĩa 5) Định lý 4: Nếu hàm số u u  x  có đạo hàm điểm x hàm số y f  u  có đạo hàm điểm u u  x  hàm số hợp y F  x  f  u  x   có đạo hàm điểm x F'  x0  f '  u  u  x  hay y 'x y 'u u'x   n n Hệ quả: u ' n.u u'(n  N n 2);  u  '  1u u ' QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Giả sử u u(x),v v(x), w w(x) hàm số có đạo hàm, đó: 1) (u + u - w)' = u' + v' - w'; / u u' v  v ' u 4)    v2 v 2) (uv)' = u'v + v'u; 3) (k.u)' = k.u' ( k  R ) /  1 v' 5)    v v BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN Đạo hàm hàm số sơ cấp (C)' = Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) x   / u  x ,     , x   ( x )'   u u',     , u   ( u )'  (x > 0) x / 1 ( )'  (x  0) x x u' (u > 0) u u' ( )'  (u  0) u u / /   n  n   n 1 ,  x 0  x x    n  n   n 1 u',  u 0  u u  (sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u' (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u'  tan x  '  (x  cos x 1  tan x  tan u  '    k , k  Z)  cot x  '  sin x (u     cot x  u' cos u     tan u u'   k , k  Z)  cot u  '  (x  k, k  Z) u' sin u     cot u u' (u  k, k  Z) MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM NHANH / /  ax  bx  c  adx  2aex  be  dc     dx  e  (dx  e)2    ax  b  ad  bc    cx  d (cx  d)2   /  ax  bx  c  (ae  bd)x  2(af  dc)x  bf  ec     dx  ex  f  (dx  ex  f)2   BÀI TẬP TỔNG HỢP ĐẠO HÀM 1 3 1: y  x  x  x  x  4x    5  1  y '  x  x  x  x  4x     / /  / / / / 1  2  3  y '  x5    x   x   x    4x   / 2  3  2  y '  x  x  3x  3x  1 2: y   x  x  0, 5x   1  y   x  x  0, 5x    / / / /  y /     x   x  4    y '   2x  2x 3 3: y 2x  x  x  /     0, 5x  / / / /   1  y '  2x  x  x    y '  2x   x   x   3  y ' 8x  x  x x4 x3  x  x  a (a số) 4: y     x4 x  y '    x  x  a     x2 x  x x  y '   x  x  x x   5: y  3  y ' 3    x    /  y ' x  x  x  /  5/  / 2   x / x  x 3   y '  3.x  /  x  x   y'  6 2 x 6    x   x      x x x 3 x 6: y 2x  x  x   y'   /    x /  x x   /  6 2    x  x  x x 3 x  /   y '  2x  x  x    y '  2x   y ' 8x  x  x   / / 1    x   x 3    /  5/  7: y x  4x  2x  x  y '  x  4x  2x  x y ' 5x  12x   x  /    y '  x5 /    x3 /  2.x /   x /  Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau:      a) y  x  3x   x  b) y  2x   x  2x d) y x  2x  1  3x   2 e) y  x  2x  2x     f) y x x 2x  2x  10 h) y  k) y  4x  4x  2x  1  x  x x  3x  m) y  n) y   x  x x 2x  1  3x 2x  4x  o) y  x g) y  l) y  LỜI GIẢI   a) y  x  3x   x    y '  x  3x   x  /   x  /    3x   x   x  3x   x   /   2x     x   x  3x   1  3x  2x   b) y  2x   x  2x  / / / y '   2x   x  2x   2x   x  2x  x  2x          2x   2  x  2x    5x    2x   12x  15x  8x  c) y  x  1   3x  y '   x  1   3x    x  1   3x     3x   x  1   2x   3x   6x  x  1 10x  6x  6x  6x  12x  4x d) y x  2x  1  3x    2x  x   3x   y '   2x  x   3x     2x  x   3x     3x    2x  x     4x  1  3x     2x  x  18x  2x  e) y  x  2x    2x   5 2 2 / / 2 / 3 2 / 2 2 / /  2 c) y  x   3x    /   y '  x  2x  2x    x  2x       /   2x     2x  /  x  2x     4x   2x    4x  x  2x  12x  4x  24x  f) y x x  y '  x2 x g) y  / /   x  x  /  x  x 2x x  1 5x x x 2x x  x x  2 x / 2x   2x    y'   4x   4x   /  /  2x  1  4x     4x    2x  1   4x     2x  1    4x    4x    4x   2 2x  10  2x  10   y'  h) y   4x   4x   / / /  2x  10   4x     4x    2x  10    4x     2x  10    46   4x    4x    4x    2x  1      y' 3  k) y    2x   2x    2x  1  2x  1 2 / / 2x   2x    y'  l) y    3x   3x  / / /  2x  1   3x     3x   2x  1    3x    2x  1  y'    3x    3x    3x  2   x  x   x  x  y'  m) y     x  x   x  x  / / /   x  x    x  x     x  x    x  x     x  x    2x    x  x      2x    x  x     x  x   x  3x    x  1   x  1  x x  3x   y'  n) y  2 2 2 2 2 2 x / /  x  1   2x    x  1   x  x  1 2  3x   3x   x  2x  x  1   2x  4x  2x  4x   y'  o) y  x  / /   x     x    2x  x  3  4x    x     2x  x  3 2  4x    4x    2x  12x  11  x  3 Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau:   d) y  x  x  a) y  x7  x  e) y  x b) y  2x  3x  6x  32  2x   g) y    x  h) y    x     2  x  l) y   2x   3x  4x x   f) y  x  x  1  x  x  1 2 x 3 x  k) y  c) y   2x   x  x  LỜI GIẢI   /   .u u ' (với u x  x ) y ' 2  x  x   x  x  2  x  x   7x  1 b) y  2x  3x  6x  1 Sử dụng công thức  u  với u 2x  3x  6x  y ' 2  2x  3x  6x  1  2x  3x  6x  1 2  2x  3x  6x    6x  6x   c) y   2x  Sử dụng công thức  u  với u 1  2x y ' 3   2x    2x  3   2x    4x   12x   2x  d) y  x  x  Sử dụng công thức  u  với u x  x y ' 32  x  x   x  x  32  x  x    2x  e) y  x  x  1 Sử dụng công thức  u  với u x  x  y ' 4  x  x  1  x  x  1 4  x  x  1  2x  1 f) y  x  x  1  x  x  1 a) y  x  x Sử dụng công thức u  / 2 2  /  2 / / / 2 2 / / 2 31  3  / 2 32 31 2  / 2 Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân y '  x  x      /   2 x  x    x  x        x 2 / 2   x  /   y ' 3  x  x  1  x  x  1  x  x  1   x Sau sử dụng công thức u /   x  x  x  /  x  x   ...LỜI GIẢI 3 a) Ta có y f  xo  x   f  x0  f    f  1 2  3.2   (1  3.1  2)... dụ 2: Tính y hàm số sau theo x x x a) y 2x  b) y 2x  3x  c) y  2x  d) y 2x  3x LỜI GIẢI a) Ta có y f  xo  x   f  x0  2  xo  x     2x   2 Suy y 2... định nghĩa) hàm số sau điểm ra: a) y 2x  x  x0 2 b) y x  x  x0  2x  x0 3 x  LỜI GIẢI a) Cách 1: Cho x0 2 số gia x Khi hàm số nhận số gia tương ứng: c) y  2x  x0 1 d)