ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 11 docx

Nguoithay.vn BÀI T P HÌNH KHƠNG GIAN BT1.Trong m t ph ng ( ) cho t giác ABCD có c p c m S ( ) S nh giao n c a (SAC ) (SBD) nh giao n c a (SAB) (SCD) nh giao n c a (SAD) (SBC) Gi i nh giao n c a (SAC) (SBD) Ta có : S m chung c a (SAC) (SBD) BD Trong ( ), g i O = AC A O AC mà AC (SAC) O (SAC) J O BD mà BD (SBD) O (SBD) k O m chung c a (SAC) (SBD) O V y : SO giao n c a (SAC) (SBD) B nh giao n c a (SAB) (SCD) Ta có: S m chung c a (SAC) (SBD) Trong ( ) , AB không song song v i CD G i I = AB CD I AB mà AB (SAB) I (SAB) I CD mà CD (SCD) I (SCD) I m chung c a (SAB) (SCD) V y : SI giao n c a (SAB) (SCD) A câu a, b Cho b m A,B,C,D không thu c m t m t ph ng M n th ng AB, AC, BD l tl m M, N, P cho MN không song P song v i BC Tìm giao n c a ( BCD) ( MNP) B Gi i P BD mà BD ( BCD) P ( BCD) N ( MNP) P P m chung c a ( BCD) ( MNP) C Trong mp (ABC) , g i E = MN BC E E BC mà BC ( BCD) E ( BCD) MN ( MNP) E ( MNP) E MN mà E m chung c a ( BCD) ( MNP) V y : PE giao n c a ( BCD) ( MNP) Cho tam giác ABC m m S không thu c mp (ABC ) , m m I thu n SA M ng th ng a không song song v i AC c t c nh AB, BC theo th t t i J , K Tìm giao n c a c p mp sau : S a mp ( I,a) mp (SAC ) b mp ( I,a) mp (SAB ) I c mp ( I,a) mp (SBC ) L C D I D O Gi i a Tìm giao n c a mp ( I,a) v i mp (SAC ) : Ta có: I SA mà SA (SAC ) I (SAC ) I ( I,a) I m chung c a hai mp ( I,a) (SAC ) Trong (ABC ), a không song song v i AC Nguoithay.vn Trang B K J A C Nguoithay.vn G i O = a AC O AC mà AC (SAC ) O (SAC ) O ( I,a) O m chung c a hai mp ( I,a) (SAC ) V y : IO giao n c a hai mp ( I,a) (SAC ) b Tìm giao n c a mp ( I,a) v i mp (SAB) : JI c Tìm giao n c a mp ( I,a) v i mp (SBC ) Ta có : K m chung c a hai mp ( I,a) mp (SBC ) Trong mp (SAC) , g i L = IO SC L SC mà SC (SBC ) L (SBC ) L IO mà IO ( I,a) L ( I,a ) L m chung c a hai mp ( I,a) (SBC ) V y: KL giao n c a hai mp ( I,a) (SBC ) Cho b m A ,B ,C , D không n m m t mp a Ch ng minh AB CD chéo b n th ng AB CD l t l y m M, N ng th ng MN c t ng th ng BD t i I H m I thu c nh ng mp M n c a hai mp (CMN) ( BCD) Gi i a Ch ng minh AB CD chéo : Gi s AB CD không chéo B D ( ) ch a AB CD A ,B ,C , D n m mp ( ) mâu thu n gi thuy t V y : AB CD chéo b m I thu c nh ng mp : I MN mà MN (ABD ) I (ABD ) I MN mà MN (CMN ) I (CMN ) I BD mà BD (BCD ) I (BCD ) n c a hai mp (CMN) ( BCD) CI Cho tam giác ABC n m mp ( P) a m ng th song song v i AB AC S m m m t ph ng ( P) n c a c p mp sau a mp (SAB) b mp (SAC) A' c mp (SBC) Gi i nc a SA mà SA ( SAB) A ( SAB) A m chung c a (SAB ) Trong ( P) , ta có a không song song v i AB G i E = a AB E AB mà AB (SAB ) E (SAB ) E ( ,a) E m chung c a ( ,a) (SAB ) V y: giao n c a (SAB ) nc a SA mà SA ( SAC) ( SAC) Nguoithay.vn Trang A N D I C ng n m mp ( P) không m m thu c SA S N M C F B E a P Nguoithay.vn m chung c a (SAC ) Trong ( P) , ta có a khơng song song v i AC G i F = a AC F AC mà AC (SAC ) F (SAC ) E F m chung c a (SAC ) V y: giao n c a (SAC ) nc a Trong (SAB ) , g i M = SB M SB mà SB ( SBC) M ( SBC) M mà M M m chung c a mp (SBC ) Trong (SAC ) , g i N = SC N SC mà SC ( SBC) N ( SBC) N mà N N m chung c a mp (SBC ) V y: MN giao n c a (SBC ) Cho t di n ABCD , M m m bên tam giác ABD , N m giác ACD Tìm giao n c a c p mp sau a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC ) A Gi i a Tìm giao n c a (AMN) (BCD) Trong (ABD ) , g i E = AM BD E AM mà AM ( AMN) E ( AMN) P M E BD mà BD ( BCD) E ( BCD) E m chung c a mp ( AMN) (BCD ) Trong (ACD ) , g i F = AN CD F AN mà AN ( AMN) F ( AMN) Q B F CD mà CD ( BCD) F ( BCD) E F m chung c a mp ( AMN) (BCD ) V y: EF giao n c a mp ( AMN) (BCD ) b Tìm giao n c a (DMN) (ABC) Trong (ABD ) , g i P = DM AB P DM mà DM ( DMN) P (DMN ) C P AB mà AB ( ABC) P (ABC) P m chung c a mp ( DMN) (ABC ) Trong (ACD) , g i Q = DN AC Q DN mà DN ( DMN) Q ( DMN) Q AC mà AC ( ABC) Q ( ABCA) Q m chung c a mp ( DMN) (ABC ) V y: PQ giao n c a mp ( DMN) (ABC ) m bên tam N D F a D ng Nguoithay.vn mc ng th ng a m t ph ng ( ) Trang A b Nguoithay.vn : ng th ng b n m m t ph ng ( ) m c a a b giao a m t ph ng ( ) Chú ý : ng th ng giao n c a mp ( ) mp ( ) a C n ch n mp ( ) ch ng th ng a cho giao n c a mp ( ) mp ( ) d nh giao n không song song v ng th ng a Bài t p : Trong mp ( ) cho tam giác ABC M t m S không thu c ( ) Trên c nh AB l y m mP n th ng SA, SB ta l y l m M, N cho MN không song song v i AB a Tìm mc ng th ng MN v i m t ph ng (SPC ) b Tìm mc ng th ng MN v i m t ph ng ( ) Gi i a Tìm mc ng th ng MN v i m t ph ng (SPC ) Cách : Trong (SAB) , g i E = SP MN E SP mà SP (SPC) E (SPC) S E MN V y : E = MN (SPC ) Cách : Ch n mp ph (SAB) MN M ( SAB) (SPC ) = SP E Trong (SAB), g i E = MN SP E MN E SP mà SP (SPC) N V y : E = MN (SPC ) C A b mc ng th ng MN v i mp ( ) Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song v i AB G i D = AB MN P D AB mà AB ( ) D ( ) B D MN D V y: D = MN ( ) Cách : Ch n mp ph (SAB) MN ( SAB) ( ) = AB Trong (SAB) , MN không song song v i AB G i D = MN AB D AB mà AB ( ) D ( ) S D MN V y : D = MN ( ) N Cho t giác ABCD m m S không thu c mp (ABCD ) n SC l y m m M không trùng v i S C mc ng th ng SD v i m t ph ng (ABM ) M K Gi i D Ch n mp ph (SBD) SD Tìm giao n c a hai mp ( SBD) (ABM ) A m chung c a ( SBD) (ABM ) m chung th hai c a ( SBD) (ABM ) O C Trong (ABCD ) , g i O = AC BD Trong (SAC ) , g i K = AM SO B K SO mà SO (SBD) K ( SBD) K AM mà AM (ABM ) K ( ABM ) m chung c a ( SBD) (ABM ) Nguoithay.vn Trang Nguoithay.vn ( SBD) (ABM ) = BK Trong (SBD) , g i N = SD BK N BK mà BK (AMB) N (ABM) N SD V y : N = SD (ABM) Cho t giác ABCD m m S không thu n AB l y m mM, n SC l y m m N ( M , N không trùng v u mút ) mc ng th ng AN v i m t ph ng (SBD) S mc ng th ng MN v i m t ph ng (SBD) Gi i mc ng th ng AN v i m t ph ng (SBD) Ch n mp ph (SAC) AN Tìm giao n c a ( SAC) (SBD) I N Trong (ABCD) , g i P = AC BD ( SAC) (SBD) = SP Trong (SAC), g i I = AN SP A D I AN I SP mà SP (SBD) I (SBD) P V y : I = AN (SBD) mc ng th ng MN v i m t ph ng (SBD) M Ch n mp ph (SMC) MN Q C Tìm giao n c a ( SMC ) (SBD) B Trong (ABCD) , g i Q = MC BD ( SAC) (SBD) = SQ Trong (SMC), g i J = MN SQ J MN J SQ mà SQ (SBD) J (SBD) V y: J = MN (SBD) Cho m t m t ph ng ( ) m ng th ng m c t m t ph ng ( ) t i C Trên m ta l m A, B m m S không gian Bi m c ng th ng SA v i m t ph ng ( ) mc ng th ng SB m t ph ng ( ) S m Gi i A Ch n mp ph (S C) SB B Tìm giao n c a ( S C ) ( ) ( ) Trong (S ), g i = SB C B' SB mà SB A' mà ( ) ( ) V y : = SB ( ) Cho b m A, B , C, S không m t m t ph ng G i I, H l c a SA, AB Trên SC l m K cho : CK = 3KS mc ng th ng BC v i m t ph ng ( IHK ) Gi i Ch n mp ph (ABC) BC Tìm giao n c a ( ABC ) (IHK) Trong (SAC) ,có IK khơng song song v i AC G AC IK m S K ( ABC ) Nguoithay.vn ( IHK) I Trang A Nguoithay.vn Trong (ABC ), g i E = BC E BC mà BC ( ABC) E ( ABC) E ( IHK) E ( IHK) V y: E = BC ( IHK) Cho t di n SABC G m SA , m AC ( DE AB không song song ) K n c a hai mp (DEF) ( ABC ) b m c a BC v i m t ph ng ( DEF ) c m c a SC v i m t ph ng ( DEF ) S Gi i n c a hai mp (DEF) ( ABC ) Ta có : m chung c a hai m t ph ng (ABC) (DEF) D Trong (SAB) , AB không song song v i DE A G i M = AB DE E F M AB mà AB (ABC) M (ABC) M DE mà DE (DEF) M (DEF) m chung c a hai m t ph ng (ABC) (DEF) B N V y: FM giao n c a hai m t ph ng (ABC) (DEF) m c a BC v i m t ph ng ( DEF ) Ch n mp ph (ABC) BC Tìm giao n c a ( ABC ) (DEF) Ta có (ABC) (DEF) = FM hình Trong (ABC), g i N = FM BC N BC S N FM mà FM (DEF) N (DEF) V y: N = BC (DEF) m c a SC v i m t ph ng ( DEF ) Ch n mp ph (SBC) SC D Tìm giao n c a ( SBC ) (DEF) Ta có: E m chung c a ( SBC ) (DEF) A N BC mà BC (SBC) N (SBC) E N FM mà FM (DEF) N (DEF) N m chung c a ( SBC ) (DEF) B Ta có (SBC) (DEF) = EN Trong (SBC), g i K = EN SC K SC K EN mà EN (DEF) K (DEF) hình V y: K = SC (DEF) Cho hình chóp S.ABCD G m c a AC BD M, N, P l SA, SB ,SD m I c a SO v i m t ph ng ( MNP ) m Q c a SC v i m t ph ng ( MNP ) Gi i m I c a SO v i m t ph ng ( MNP ) Ch n mp ph (SBD) SO Tìm giao n c a ( SBD ) (MNP) Ta có N MN mà MN (MNP) N (MNP) N SB mà SB (SBD) N (SBD) m chung c a ( SBD ) (MNP) Nguoithay.vn Trang C M C F K N M m Nguoithay.vn P P MP mà MN (MNP) P (MNP) SD mà SD (SBD) P (SBD) m chung c a ( SBD ) (MNP) (MNP) (SBD) = NP Trong (SBD), g i I = SO NP I SO I NP mà NP (MNP) I (MNP) V y: I = SO (MNP) m Q c a SC v i m t ph ng ( MNP ) Ch n mp ph (SAC) SC Tìm giao n c a ( SAC ) (MNP) Ta có M MN mà MN (MNP) M (MNP) M SA mà SA (SAC) M (SAC) M m chung c a ( SAC ) (MNP) I MI mà MI (MNP) I (MNP) I SO mà SO (SAC) I (SAC) I m chung c a ( SAC ) (MNP) ( SAC) (SBD) = MI Trong (SAC), g i Q = SC MI Q SC Q MI mà MI (MNP) Q (MNP) V y: Q = SC (MNP) Cho t di n ABCD G i M,N l t m BD không trùng v i m BD K a m c a CD (MNK ) B b m c a AD (MNK ) Gi i m c a CD (MNK ) : Ch n mp ph (BCD) SC Tìm giao n c a ( BCD ) (MNK) Ta có N (MNK) N BC mà BC (BCD) N (BCD) N m chung c a (BCD ) (MNK) K (MNK) K BD mà BD (BCD) K (BCD) K m chung c a (BCD ) (MNK) (BCD) (MNK) = NK Trong (BCD), g i I = CD NK I CD I NK mà NK (MNK) I (MNK) V y: I = CD (MNK) b m c a AD (MNK ) Ch n mp ph (ACD) AD Tìm giao n c a (ACD ) (MNK) Ta có: M (MNK) M AC mà AC (ACD) M (ACD) M m chung c a (ACD ) (MNK) I NK mà NK (MNK) I (MNK) I CD mà CD (ACD) I (ACD) Nguoithay.vn Trang A J M D N C I Nguoithay.vn I m chung c a (ACD ) (MNK) (ACD) (MNK) = MI Trong (BCD), g i J = AD MI J AD J MI mà MI (MNK) J (MNK) V y: J = AD (MNK) Cho t di n ABCD G i M,N hai mc a: a MN (ABO ) b AO (BMN ) Gi i a m c a MN (ABO ): Ch n mp ph (ACD) MN Tìm giao n c a (ACD ) (ABO) Ta có : A m chung c a (ACD ) (ABO) Trong (BCD), g i P = BO DC P BO mà BO (ABO) P (ABO) P CD mà CD (ACD) P (ACD) B P m chung c a (ACD ) (ABO) (ACD) (ABO) = AP Trong (ACD), g i Q = AP MN Q MN Q AP mà AP (ABO) Q (ABO) V y: Q = MN (ABO) b m c a AO (BMN ) : Ch n mp (ABP) AO Tìm giao n c a (ABP ) (BMN) Ta có : B m chung c a (ABP ) (BMN) Q MN mà MN (BMN) Q (BMN) Q AP mà AP (ABP) Q (ABP) Q m chung c a (ABP ) (BMN) (ABP) (BMN) = BQ Trong (ABP), g i I = BQ AO I AO I BQ mà BQ (BMN) I (BMN) V y: I = AO (BMN) n AB G i I ,J, K l 10 Trong mp ( ) BC m BC) mc a: a IK (SBD) b SD (IJK ) c SC (IJK ) Gi i a m c a IK (SBD) Ch n mp ph (SAK) IK Tìm giao n c a (SAK ) (SBD) m chung c a (SAK ) (SBD) Trong (ABCD), g i P = AK BD P AK mà AK (SAK) P (SAK) P BD mà BD (SBD) P (SBD) S P m chung c a (SAK ) (SBD) (SAK) (SBD) = SP Nguoithay.vn Trang I N m bên tamgiác BCD A M Q I N C O P D m SA, AB, Nguoithay.vn Trong (SAK), g i Q = IK SP Q Q IK SP mà SP (SBD) Q (SBD) V y: Q = IK (SBD) b mc a SD (IJK ) : Ch n mp ph (SBD) SD Tìm giao n c a (SBD ) (IJK) m chung c a (IJK ) (SBD) Trong (ABCD), g i M = JK BD M JK mà JK ( IJK) M (IJK) M BD mà BD (SBD) M (SBD) m chung c a (IJK ) (SBD) (IJK) (SBD) = QM Trong (SBD), g i N = QM SD N SD N QM mà QM (IJK) N (IJK) V y: N = SD (IJK) c m c a SC (IJK ) : Ch n mp ph (SAC) SC Tìm giao n c a (SAC ) (IJK) m chung c a (IJK ) (SAC) Trong (ABCD), g i E = AC JK E JK mà JK ( IJK) E ( IJK) E AC mà AC (SAC) E (SAC) E m chung c a (IJK ) (SAC) ( IJK) (SAC) = IE Trong (SAC), g i F = IE SC F SC F IE mà IE ( IJK) F ( IJK) V y : F = SC ( IJK ) 11.Cho t di n ABCD Trên AC AD l m M,N cho MN không song song v i CD G i m bên tam giác BCD a Tìm giao n c a (OMN ) (BCD ) A m c a BC v i (OMN) c m c a BD v i (OMN) Gi i N a Tìm giao n c a (OMN ) (BCD ): m chung c a (OMN ) (BCD ) Trong (ACD) , MN không song song CD Q B D G i I = MN CD m chung c a (OMN ) (BCD ) O M V y : OI = (OMN ) (BCD ) P m c a BC v i (OMN): Trong (BCD), g i P = BC OI V y : P = BC ( OMN ) C c m c a BD v i (OMN): Trong (BCD), g i Q = BD OI I V y : Q = BD ( OMN ) Nguoithay.vn Trang Nguoithay.vn 12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC l m M tam giác SCD l mN mc ng th ng MN v i m t ph ng (SAC) m c a c nh SC v i m t ph ng (AMN) Gi i mc ng th ng MN v i m t ph ng (SAC) : Ch n mp ph (SMN) MN Tìm giao n c a (SAC ) (SMN) m chung c a (SAC ) (SMN) S Trong (SBC), g i BC Trong (SCD), g i CD Trong (ABCD), g i AC N I mà (SMN) I ( SMN) I AC mà AC (SAC) I (SAC) E I m chung c a (SMN ) (SAC) D O ( SMN) (SAC) = SI Trong (SMN), g i O = MN SI O MN A O SI mà SI ( SAC) O ( SAC) M N' V y : O = MN ( SAC ) m c a c nh SC v i m t ph ng (AMN) : I Ch n mp ph (SAC) SC B C M' Tìm giao n c a (SAC ) (AMN) Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), g i E = AO SC E SC E AO mà AO ( AMN) E ( AMN) V y : E = SC ( AMN ) Nguoithay.vn Trang 10 Nguoithay.vn G 1G ( SAB) G 1G // SA SA G 1G //( SAB) ( SAB) Cho hình chóp S.ABCD m AB, CD M t ph ng ( ) qua MN // SA a Tìm giao n c a ( ) v i (SAB) (SAC) b Xác nh thi t di n c a hình chóp v i ( ) S c u ki n c thi t di n hình thang Gi i a Tìm giao n c a ( ) v i (SAB): P M ( ) ( SAB) Q // SA Ta có : D A SA ( SAB) ( ) (SAB) = MP v i MP // SA Tìm giao n c a ( ) v i (SAC): G i R = MN AC R ( ) ( SAC ) Ta có : M C B S // SA SA ( SAC ) ( ) (SAC) = RQ v i RQ // SA b nh thi t di n c a hình chóp v i ( ): Thi t di n t giác MPQN c u ki n c thi t di n hình thang: MP // QN (1) Ta có : MPQN hình thang MN // PQ (2) Xét (1) ,ta có N R SA // MP MP//QN SA// QN QN ( SCD) Q P D A N M R C B SA// QN SA//( SCD) ( vơ lí ) BC (ABCD) (SBC) Xét (2) ,ta có MN (ABCD) PQ (SBC) MN // BC PQ ( SBC ) MN // PQ c l i, n u MN // BC MB ( ) BC ( SBC ) V thi t di n hình thang MN // BC Cho t di n ABCD Trên c nh AD l m M , c nh BC l G i ( ) m t ph ng ch ng th ng MN song song v i CD nh thi t di n c a m t ph ng ( ) v i t di n ABCD nh v trí c a N CD cho thi t di n hình bình hành Gi i nh thi t di n c a m t ph ng ( ) v i t di n ABCD ( ) // CD Ta có : CD M Nguoithay.vn ( ACD ) ( ) MP // CD mNb tk A (1) ( ACD ) M Trang 21 P Nguoithay.vn ( ) // CD CD ( BCD ) : NQ // CD (2) N ( ) ( BCD ) T c : MP // NQ V y: thi t di n hình thang MPNQ A nh v trí c a N BC cho thi t di n hình bình hành Ta có : MP // NQ MP = CD M P MP // NQ MP // NQ B MPNQ hình bình hành Q MP NQ MP NQ CD N C m BC V y: m BC MPNQ hình bình hành n AB S m t m m t ph ng c a hình thang G i M m m c a CD ; ( ) m t ph ng qua M song song v i SA BC a Hãy tìm thi t di n c a m t ph ng ( ) v i hình chóp S.ABCD Thi t di n hình ? b Tìm giao n c a ( ) v i m t ph ng (SAD) Gi i a Hãy tìm thi t di n c a m t ph ng ( ) v i hình chóp S.ABCD: ( ) // BC S BC ( ABCD ) MN // BC (1) Ta có : M : ( ) ( ABCD ) ( ) // SA SA ( SAB) N ( ) t NP // SA ( SAB) ( ) // BC BC ( SBC ) PQ // BC P B A N Q (2) P ( ) ( SBC ) T (1) c : MN // PQ V y : thi t di n hình thang MNPQ b Tìm giao n c a ( ) v i m t ph ng (SAD) Trong (ABCD) , g i I = AD BC m chung c a ( ) (SAD) ( ) // SA SA ( SAD ) Ta có : I ( ) V y : giao D D M C I ( SAD ) ng th ng qua I song song v i SA ABCD hình bình hành G i M m m c nh SC ( ) m t ph ng ch a AM song song v i BD a Hãy nêu cách d m E, F c a m t ph ng ( ) l t v i c nh SB, SD Nguoithay.vn Trang 22 Nguoithay.vn b G mc m c a MF CD Hãy ch I,J, A th ng hàng Gi i a Hãy nêu cách d m E, F c a m t ph ng ( ) l t v i c nh SB, SD Gi s d c E, F th a toán S ( ) // BD BD ( SBD ) EF Ta có : ( ) m BD // EF ( SBD ) m E ,F ,A ,M thu c m t ph ng ( ) Trong ( ) , g i K = EF AM K EF mà EF (SBD) K (SBD) J K AM mà AM (SAC) K (SAC) K (SAC) (SBD) Do (SAC) (SBD) = SO K SO Cách d ng E, F : D ng gia m K c a AM SO , qua K d ng EF // BD b.Ch m I , J , A th ng hàng : I ME mà ME ( ) I ( ) Ta có : I BC mà BC ( ABCD ) I ( ABCD ) I ( ) (ABCD) A ( ) ( ABCD ) , J ( ) ( ABCD ) m chung c a ( ) (ABCD) V y : I , J , A th ng hàng M F D K C E O A B I mc a Trong m t ph ng ( ) cho tam giác ABC vuông t i A , B = 60 , AB = a G BC L m S m t ph ng ( ) cho SB = a SB OA G i M m m tt iN,P,Q c nh AB , m t ph ng ( ) qua M song song v i SB OA , c t BC ,SC , SA l t x = BM ( < x < a ) S a Ch ng minh MNPQ hình thang vng b Tính di n tích c a hình thang theo a x di n tích l n nh t P Gi i a Ch ng minh MNPQ hình thang vng : ( ) // OA Ta có : OA ( ABC ) MN ( ) ( ABC ) ( ) // SB SB ( SAB) MQ ( ) ( ) // SB SB ( SBC ) MN // OA N B Q MQ // SB (2) M ( SAB) A NP // SB NP ( ) ( SBC ) T (2) (3) ,suy MQ // NP // SB MNPQ hình thang Nguoithay.vn (1) (3) (4) Trang 23 O C Nguoithay.vn T OA SB (1) (4) , ta có : MN // OA MN MN MQ // NP // SB MQ NP V ng cao MN b Tính di n tích c a hình thang theo a x Ta có : SMNPQ ( MQ NP ).MN Tính MN : Xét tam giác ABC AB AB Ta có : cos B BC BC cos B BO = a BC 2a Do Có B 60 BA BO MN // AO ABO MN BM AO AB MB BN x u BN BO MN Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB MQ AM a SB a x MQ AM (a x) SB AB a AB Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB a NP CN 2a x SB (2a x) NP CN SB CB 2a CB x(4a 3x) 3x.(4a 3x) SMNPQ 12 Áp d ng b ng th c Côsi cho s 3x x 4a x 3x.( 4a 3x) ( ) 4a² a² SMNPQ 4a ² 12 2a ng th c x y 3x = 4a 3x x= 2a SMNPQ V y:x= t giá tr l n nh t Cho hình vng c nh a , tâm O G i S m m m t ph ng (ABCD) cho SB = SD G m tùy ý AO v i AM = x m t ph ng ( ) qua M song song v i SA BD c t SO , SB , AB t i N, P , Q a T giác MNPQ hình ? b Cho SA = a Tính di n tích MNPQ theo a x di n tích l n nh t Gi i a T giác MNPQ hình ?: Ta có : SB = SD SBC = SDC (c-c-c) G m SC Xét IBC IDC S Ta có : IC c nh chung Nguoithay.vn Trang 24 Nguoithay.vn BC = CD DCI = BCI IBC = IDC IB = ID IBD cân t i I IO BD Mà OI // SA SA ( ) // BD Ta có : BD ( ABO ) ( ) ( ABO ) BD : (*) MQ // BD MQ ( ) // BD BD ( SBO ) ( ) (1) NP // BD ( SBO ) (2) NP T (1) (2) , suy MQ // NP // BD ( ) // SA : SA ( SAO ) ( ) M t khác : ( SAO ) (3) MN // SA MN ( ) // SA SA ( SAB) ( ) ( SAB) (4) PQ // SA (5) PQ T (4) (5) , suy MN // PQ // SA T (3) , (6) (*), suy MNPQ hình ch nh t V y : MNPQ hình ch nh t b Tính di n tích MNPQ theo a x: Ta có : SMNPQ MQ.MN Tính MQ : Xét tam giác AQM : (6) 45 Ta có : Q 45 M 90 AQM cân t i M MQ = AM = x Tính MQ : Xét tam giác SAO : Ta có : MN // SA MN AS OM OA SMNPQ x.(a x ) MQ.MN MN x (a AS x ) ng th c Côsi cho s x a x a x ) ) ( x (a x ) Áp d ng b Nguoithay.vn Trang 25 OM OA x a x a a 2 a x Nguoithay.vn a² a² SMNPQ a² SMNPQmã ng th c x y x a a² x x a 2 a m AO a SMNPQ t giá tr l n nh t Cho t di n ABCD có AB = a , CD = b G i I , J l n l m AB CD Gi s AB CD , m t ph ng ( ) qua M n n IJ song song v i AB CD a Tìm giao n c a ( ) v i ( ICD ) (JAB) b nh thi t di n c a (ABCD) v i m t ph ng ( ) Ch ng minh thi t di n hình ch nh t c Tính di n tích thi t di n c a huình ch nh t bi t IM = IJ Gi i A a Tìm giao n c a ( ) v i m t ph ng ( ICD ): ( ) // CD G CD ( ICD) Ta có : V y: x M ( ) ( ICD) F giao n qua M song song v i CD c t IC t i L ID t i N ( ) // AB T : AB M b N M L ( JAB) ( ) P I B Q E giao v i AB c t JA t i P JB t i Q nh thi t di n c a (ABCD) v i m t ph ng ( ): ( ) // AB Ta có : AB ( ABC ) EF // AB ( ) // AB T : AB N T (1) ( ABD ) ( ) ( ABD ) HG // AB (1) (2) , suy ( ) // CD Ta có : CD P EF // HG // AB (2) (3) ( ACD ) ( ) ( ACD ) FG // CD Nguoithay.vn J C ( ABC ) L ( ) D H ( JAB) (4) Trang 26 Nguoithay.vn ( ) // CD T : CD Q ( BCD ) ( ) ( BCD ) EH // CD (4) (5) , suy (3) (6) , suy AB CD (3) , (6) (*), suy T T Mà T FG // EH // CD EFGH hình bình hành (*) EFGH hình ch nh t c Tính di n tích thi t di n c a huình ch nh t bi t IM = Ta có : SEFGH EF FG Tính LN : Xét tam giác ICD : (5) (6) IJ : PQ.LN Ta có : LN // CD LN CD IN ID (7) Xét tam giác IJD : Ta có : MN // JD T IN ID (7) (8), suy : V y : SEFGH PQ AB 2ab JM JI IM IJ LN IM CD IJ (8) 3 LN PQ AB CD b a HAI M T TH NG SONG SONG a D ng : Ch ng minh ( ) // ( ) : S d ng cách sau : a a ( ), b b M M b ( ) ( ) //( ) a //( ), b //( ) hình a M Nguoithay.vn Trang 27 b N c d Nguoithay.vn a a ( ), b b M ( ) c ( ), d c d N a // c, b // d ( ) ( ) //( ) hình ( ) //( ) ( ) //( ) ( ) //( ) hình Bài t p : ành tâm O G i M, N l a Ch ng minh r ng : (OMN) // (SBC) b G i P, Q , R l m c a AB ,ON, SB Ch ng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) Gi i S a Ch ng minh r ng : (OMN) // (SBC): Xét tam giác SAC SDB : OM // SC Ta có : (OMN) //( SBC ) M ON // SB b Ch ng minh : PQ // (SBC) N OP // AD A OP // MN Ta có : AD // MN Q ng ph ng PQ (MNO) PQ ( MNO) D Mà PQ //( SBC ) ( MNO) // (SBC) V y : PQ // (SBC) Ch ng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) : MR // AB MR // DC Ta có : (1) AB // DC (2) Xét tam giác SDB : ta có OR// SD m c a SA ,SD R P B O C MR // DC OR // SD T c MR DC ( MOR) OR ( SCD) SD ( MOR) ( SCD) Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung c nh AB t m c nh AB , CD, EF Ch ng minh : a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE) Gi i a (ADF)//(BCE): F Nguoithay.vn ( MOR) //( SCD) Trang 28 ng ph ng I , J , K l n K E Nguoithay.vn AD // BC Ta có : AD ( BCE ) BC T (1) AD //( BCE ) ( BCE ) AF // BE : AF ( BCE ) BE ( BCE ) c: AD //( BCE ) AF //( BCE ) AD ( ADF ) AF AF //( BCE ) (2) ( ADF ) //( BCE ) ( ADF ) V y : ( ADF ) //( BCE ) b (DIK)//(JBE) : DI // JB Ta có : ( DIK) //( JBE ) IK // BE V y : (DIK)//(JBE) Cho hình bình hành ABCD , ABEF n m hai m t ph ng khác T chéo AC, BF theo th t l m M,N cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N l k ng th ng song song v i c nh AB, c t c nh AD, AF theo th t t i M , N Ch ng minh r ng : a MN // DE b M1 N1 //( DEF ) c (MNM1 N1 ) //( DEF ) Gi i a MN // DE : Gi s EN c t AB t i I Xét NIB NEF E F IB NB Ta có : EF NF IN (1) m AB N1 N NE : Xét MAI MA MI Ta có : MC MD I M1 IM (2) MD IM IN MD NE M C D m AB T (1) (2) , suy MN // DE MN // DE V y: b M1 N1 //( DEF ) : NN1 // AI Ta có : : Nguoithay.vn MM1 // AI B A MCD AN1 N1 F AM M1 D IN NE IM MD Trang 29 (3) (4) ng t Nguoithay.vn AN1 N1 F T (3) (4) , suy T M1 N1 // DF c: DF ( DEF ) V y: M1 N1 //( DEF ) c (MNM1 N1 ) //( DEF ) : MN // DE Ta có : M1 N1 // DF AM M1 D M1 N1 // DF M1 N1 //( DEF ) ( MNN1 M1 ) //( DEF ) V y: (MNM1 N1 ) //( DEF ) nh a Trên AB l y m m M v i AM = x G i ( ) m t ph ng qua M song song v i m t ph ng (SAD) c t SB , SC , CD l t t i N, P, Q a Tìm thi t di n c a ( ) v i m t ph ng hình chóp Thi t di n hình ? b mIc n AB 3a c Cho SAD = 1v SA = a Tính di n tích c a thi t di n theo a di n tích = Gi i a Tìm thi t di n c a ( ) v i m t ph ng hình chóp: ( ) // SD Ta có : ( ) //( SAD ) S ( ) // SA S I x ( ) // AD N V i ( ) // SD ( ) // SD SD ( SAD ) ( ) Có ( SAD ) SA ( SAB) ( ) ( SAB) MN // SA Vì Có ( ABCD ) MQ // AD ( ) // BC ( ) // BC BC ( SBC ) ( SBC ) PN // BC (2) PN T (1) (2) , suy : MQ // PN V y : MNPQ hình thang b mIc Nguoithay.vn (1) MQ BC // MQ BC ( ) ( ) Q D MN V i ( ) // AD ( ) // AD AD ( ABCD ) Có ( ) A M PQ V i ( ) // SA ( ) // SA Có P PQ // SD MNPQ hình thang n AB.: Trang 30 C B Nguoithay.vn AB // DC AB ( SAB), DC Ta có : S ( SAB) ( SCD) ( SCD) mà PQ ( SCD) mà MN ( SAB) Gi i h Khi M A M B c Tính di n tích c a thi tdi n theo a x : Ta có : SMNPQ SIMQ SINP SSAD SINP Mà I I Tính : SSAD Ta có: Sx // AB // CD PQ MN I I I ( SAB) ( SDC) I Sx S S0 SAD vuông cân t i A a SSAD Tính : S INP Xét tam giác SBC , tam giác SBS tam giác SAB NI SN (1) Ta có : NI // S0 B S0 B SB PN SN (2) PN // BC BC SB AM SN (3) MN // SA AB SB NI PN AM T (1) , c S0 B BC AB INP vuông cân t i N : S INP x 2 2 a x SMNPQ (a x2 ) 2 2 3.a 3.a 2 SMNPQ x ) (a 8 3.a x2 a a x2 a x NI PN AM x Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung c nh AB n m hai m t ph ng phân bi t G i M , N th t m c a AB , BC I , J , K theo th t tr ng tâm tam giác ADF , ADC , BCE Ch ng minh (IJK) // (CDFE) C D Gi i Xét tam giác MFC : MI MJ Ta có : J M N MF MC Nguoithay.vn Trang 31 Nguoithay.vn (1) IJ // FC Xét hình bình hành MNEF : MI NK Ta có : MF NE IK // FE T (2) IJ // FC c IK // FE ( IJK ) //( CEF ) V a b y : ( IJK ) //( CEF ) t tr ng tâm c a tam giác ABC , ACD , ADB Cho t di n ABCD G i G1 , G2 , G3 l Ch ng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD) Tìm thi t di n c a t di n ABCD v i m t ph ng (G1G2 G3 ) Tính di n tích thi t di n theo di n tích c a tam giác BCD S Gi i a Ch ng minh : (G1G2 G3 ) //( BCD) A G i M,N,Ll m c a c nh BC , CD BD AG1 AG AG3 Ta có : AM AN AL G1G2 // MN ; G2 G3 // NL ; G3G1 // LM G1G2 // MN E G2 G3 // NL MN (G1G2 G3 ) //( BCD ) ( BCD ) , NL ( BCD ) V y : (G1G2 G3 ) //( BCD) B b Tìm thi t di n c a t di n ABCD v i m t ph ng (G1G2 G3 ) : G3 G G1 F BC (G1G2 G3 ) gt qua G1 // BC c t AB AC t i E F ( ABC ) (G1G2 G3 ) c t (ACD) theo giao n FG // CD (G1G2 G3 ) c t (ABD) theo giao n GE // BD Xét tam giác AMC tam giác ABC AG1 AF (1) Ta có : G1 F // MC AM AC EF AF (2) EF // BC BC AC AG1 EF T c AM BC EF BC CD : FG GE BD 2 2 ( BC CD GE) GE CD BC EF FG GE 3 3 : Nguoithay.vn N M C ( BCD ) G1 D L BC //( G1G2 G3 ) Ta có : G2 Trang 32 Nguoithay.vn Di n tích thi t di n : SEFG ( EF FG GE).( EF FG GE).( EF GE FG ).( FG GE EF ) 4 = ( BC CD DB).( BC CD DB).( BC DB CD).(CD DB BC ) = S BCD SBCD Cho hai n ng th ng chéo Ax, By H m M, N l t ng Ax, By cho AM = BN Ch ng minh r ng th ng MN luôn song song v i m t m t ph ng c nh Gi i A K M x AM // BM ' T a có : hình bình hành AM BM ' B //AB (1) M' x' iB K By Bt (2) By) , k Bz Bt (3) z N t T c (4) MM ' // AB y T (1) (4) , (MNM ' ) //( ABz) M ' N // Bz MN // (ABz) V y : MN // (ABz) c nh V y: SEFG Cho t di n ABCD G i I, J l t m c a AB CD M t m t ph ng qua IJ c t c nh AD BC l t t i N M a m M, trình bày cách d m N ng h c bi t M trung i m c a BC A b G i K giao c a MN IJ Ch ng minh r ng : KM = KN Gi i a Hãy trình bày cách d mN: I m N ph i n m giao n c a (MIJ) (ACD) , giao n qua J N Ta có : J (MIJ ) ( ACD) D B G i E MI AC E MI mà MI ( MIJ ) K E ( MIJ ) ( ACD ) J E AC mà AC ( ACD ) M EJ (MIJ ) ( ACD) C G i N EJ AD ng h i m BC: IM // AC N m BC E (IMJ ) // AC (IMJ ) c t (ACD) theo giao n JN // AC b Ch ng minh r ng : KM = KN Do I , J l m AB ,CD có th d ng ba m t ph ng ch Áp d nh lí Talet không gian Nguoithay.vn ng th ng l Trang 33 t song song Nguoithay.vn c: V y: MK BI KN IA MK KN MK KN HÌNH H P Bài t p : 1.Cho hình h mM,Nl trùng v a c a M t ph ng (MNB) & Các thi t di n hình g ì ? b M t ph ng (MNC) & Các thi t di n hình g ì ? c M t ph Gi i t thu c c nh thi t di n c a hình h p b c t b i : A M a X nh thi t di n b c t b i m t ph ng (MNB) : Ta có : (MNB) MB=BA (MNB) (MNB) x // DC , x i qua N ) (trong L=x (MNB) thi t di n t giác ABLN m t kh ác NL //= DC DC //= AB NL //= AB nên thi t di n ABLN l h ình b ình h ành b X T nh thi t di n b c t b i m t ph ng (MNC) : ng T Ta có : (MNC) = CN (MNC) (MNC) A A) = NI (trong I = y AA I y // AD , y i qua N ) (MNC) A A) = IB thi t di n t giác BCNI m t kh ác NI //= AD AD //= BC NI //= BC nên thi t di n BCNI l h ình b ình h ành c X nh thi t di n b c t b i m t ph ng (MN ) : G i N i KM KM K Ta có : DC = K AD = P BC = R iQ ( ABCD) Nguoithay.vn = PM Trang 34 D N B C L A' D' B' C' Nguoithay.vn thi t di n t giá Nguoithay.vn Trang 35 ... i N, P, Q a Tìm thi t di n c a ( ) v i m t ph ng hình chóp Thi t di n hình ? b mIc n AB 3a c Cho SAD = 1v SA = a Tính di n tích c a thi t di n theo a di n tích = Gi i a Tìm thi t di n c a (... a M t ph ng (MNB) & Các thi t di n hình g ì ? b M t ph ng (MNC) & Các thi t di n hình g ì ? c M t ph Gi i t thu c c nh thi t di n c a hình h p b c t b i : A M a X nh thi t di n b c t b i m t... Tìm thi t di n c a m t ph ng (AMN) v i hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), g i P = EM SB Trong (SCD), g i Q = EN SD V y : thi t di n t giác APEQ Cho hình chóp S.ABCD G m A l y c nh SA, SB, SC Tìm thi