Công thức động lực học và điều khiển

Công thức Động lực học điều khiển Hồng Đức Linh, Phạm Manh Huy, Ngô Huỳnh Anh, Lê Quý Phương ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP MỤC LỤC CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM VỀ ĐỘNG LỰC HỌC 1.2 PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 1.3 TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA MỘT SỐ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHƯƠNG 2: HÀM TRUYỀN ĐẠT 14 2.1 ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI 15 2.2 SƠ ĐỒ DỊNG TÍN HIỆU 19 2.3 HÀM TRUYỀN ĐẠT 21 2.4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA MẠCH ĐIỆN 22 2.5 HÀM TRUYỂN ĐẠT CỦA HỆ MASS – SPRING - DAMPER 26 CHƯƠNG 3: MƠ HÌNH HÓA TRONG MIỀN THỜI GIAN 28 3.1 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ CƠ 30 3.2 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CHO HỆ ĐIỆN 31 3.3 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN CĨ TỬ LÀ HẰNG SỐ 32 3.4 TÌM PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI TỪ HÀM TRUYỀN CÓ TỬ LÀ HÀM 33 CHƯƠNG 4: THỜI GIAN ĐÁP ỨNG 34 4.1 ĐỒ THỊ ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ CỦA HỆ THỐNG 35 4.2 THỜI HẰNG 35 4.3 THỜI GIAN LÊN 35 4.4 THỜI GIAN XÁC LẬP 35 4.5 HỆ THỐNG BẬC 36 4.6 CÁC THÔNG SỐ CƠ BẢN 37 4.7 CÔNG THỨC ĐỐI VỚI CƠ HỆ 39 4.8 ĐÁNH GIÁ VIỆC LOẠI BỎ POLE – ZERO BẰNG CÁCH SỬ DỤNG DƯ LƯỢNG 39 4.9 BIẾN ĐỔI LAPLACE TỪ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 40 CHƯƠNG 6: KHẢO SÁT ĐỘ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 41 6.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 42 Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 6.2 PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG PHỨC 42 6.3 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ ROUTH - HURWITZ 44 6.4 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ 47 CHƯƠNG 7: SAI SỐ XÁC LẬP 53 7.1 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA VỊNG KÍN 54 7.2 CÁC HỆ SỐ 54 7.3 CÁC LOẠI SAI SỐ XÁC LẬP 55 7.4 SAI SỐ XÁC LẬP KHI CÓ TÁC ĐỘNG NGOẠI 56 7.5 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA HỆ THỐNG Ở MIỀN KHÔNG GIAN 56 CHƯƠNG 12: THIẾT KẾ THÔNG QUA MIỀN KHÔNG GIAN 58 12.1 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 59 12.2 KHẢ NĂNG ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC 62 12.3 THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT 62 12.4 KHẢ NĂNG QUAN SÁT ĐƯỢC 64 12.5 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 64 Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Chương PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE Nội dung: 1.1 Các kiến thức cần nắm động lực học 1.2 Phương pháp Lagrange 1.3 Tìm phương trình động lực học số hệ thống phương pháp Lagrange Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM VỀ ĐỘNG LỰC HỌC 1.1.1 Động tịnh tiến: Tồn vật có khối lượng chuyển động K mv 2 1.1.2 Động quay: Tồn vật có moment quán tính (có khối lượng kích thước hình học rõ ràng) K rot  I với I ( kg.m ) moment quán tính hệ Hình 1: Moment qn tính số vật thể Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 1.1.3 Thế trọng trường: P  mgh Thế trọng trường mang tính tương đối Trong trường hợp hai vật có khối lượng khác vật liệu mang lượng khác 1.1.4 Thế đàn hồi: Pe  kx 1.1.4 Phân tích động lực học trường hợp cụ thể: Trường hợp 1: Lấy sợi mỏng buộc vào hịn đá sau cầm đầu cịn lại sợi quay vòng tròn Do hệ có chuyển động quay quanh tâm nên tồn động tịnh tiến (với tiếp tuyến điểm quỹ đạo trịn) Cịn sợi mỏng (khơng xét đến kích thước hình học) nên khơng tồn moment quán tính động quay Trường hợp 2: Lấy kim loại dày đầu kẹp đá sau cầm đầu cịn lại kim loại quay vịng trịn Do hệ có chuyển động quay quanh tâm nên tồn động tịnh tiến Cịn kim loại dày có kích thước hình học đáng kể nên tồn moment quán tính động quay Trường hợp 3: Xe máy chạy thẳng quốc lộ Do xe chuyển động thẳng nên tồn động tịnh tiến khơng có động quay (động quay xuất trường hợp xe vào cua) 1.2 PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 1.2.1 Định nghĩa: Ở môn học trước, ta biết có nhiều phương pháp để viết phương trình chuyển động hệ Định luật III Newton, Nguyên lý D’Alembert, Nguyên lý công ảo,… Mặc dù phương pháp giúp ta giải toán từ đến phức tạp lại nhiều thời gian để giải hay dẫn đến sai lầm trình giải Trong môn học này, ta đến với phương pháp để giải tốn hệ nhanh chóng Phương pháp D’Alembert Bản chất phương pháp D’Alembert chuyển hệ thống (cơ hệ) ban đầu thành phương trình đặc trưng (hay phương trình tốn học/chuyển động/năng lượng) 1.2.2 Cơng thức: Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Hàm Lagrange: Là hàm thể chênh lệch tổng động tổng hệ L  K  P Trong đó:  K : tổng động hệ (gồm động tịnh tiến động quay)  P : tổng hệ (gồm trọng trường đàn hồi) Phương trình Lagrange: d  L  L 0   dt  q  q Trong đó: L : đạo hàm hàm Lagrange theo đạo hàm bậc biến xét q q L : đạo hàm hàm Lagrange theo biến xét q q 1.3 TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA MỘT SỐ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE 1.3.1 Hệ vật có khối lượng lị xo: Hình 2: Hệ vật có khối lượng lị xo Động năng: Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM K ME3011 – TỔNG HỢP mx 2 Thế năng: P kx Hàm Lagrange: L  KP  mx  kx   Phương trình Lagrange: L d  L  d2x  mx     m q dt  q  dt L  kx q d  L  L d2x   m  kx    dt  q  q dt 1.3.2 Hệ nhiều bậc tự do: Hình 3: Cơ hệ gồm vật lò xo Động năng: K   mi x i2 i 1 Thế năng: P 1 k1x12  k  x  x1   k x 22 2 Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Hàm Lagrange: 1 1  1  L  K  P   m1x12  m x 22    k1x12  k  x  x1   k 3x 22  2 2  2  Phương trình Lagrange:  d  L  L 0     dt  x1  x1   d  L   L   dt  x  x   2  d x1  m1 dt   k1x1  k  x  x1   m d x  k  x  x   k x 2  dt Lưu ý: Một hệ có biến có nhiêu phương trình lượng 1.3.3 Hệ lắc đơn: Hình 4: Hệ lắc đơn Động năng: K 1 mx  my 2 Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Thế năng: P  mgy Hàm Lagrange: L  KP  1 mx  my  mgy 2 Ta có: x  sin   y   cos   x   cos   y   sin     m 2 cos    2 sin    mg cos    m 2  mg cos   L Phương trình Lagrange: L   mg sin    d  L  d 2 d   m   m   dt    dt dt 2 d  L  L d    m  mg sin     dt     dt    d 2 g  sin    dt 1.3.4 Hệ lắc đôi: Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP   Ta có (1): K  s(s  2)(s  3)   s3  5s2  6s Do đó:  dK s  2,549 (loại )    3s2  10s     ds s2  0,785   - Giao điểm QĐNS với trục ảo xác định hai cách sau đây: Cách 1: Áp dụng tiêu chuẩn Routh: (1)  s3  5s2  6s  K  (2) Bảng Routh: 𝛼3 = 𝑠3 𝑠2 𝑠1 𝑠0 6− 𝐾 =0 K K Điều kiện để hệ thống ổn định:  6  K    K  30  K   Vậy hệ số khuếch đại giới hạn K gh  30 Thay giá trị K gh  30 vào phương trình (2), giải phương trình ta giao điểm QĐNS với trục ảo s3  5s2  6s  30  s1  5   s2  j  s3   j Cách 2: Giao điểm (nếu có) QĐNS trục ảo phải có dạng 𝑠 = 𝑗𝜔 Thay 𝑠 = 𝑗𝜔 vào phương trình (1) ta được:  j   5 j     j    K    j   5  6j   K  Trang 51 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP   j   6j     5  K       K         K  30  MATLAB: Vẽ QĐNS Ví dụ 6.3 Phương trình đặc trưng có dạng  Ta có: K 0 s(s  2)(s  3) N(s)  D(s)  s(s  2)(s  3) Ta đưa vào Matlab sau: Ns = Ds = conv(conv([1 0], [1 2]), [1 3]) G0 = tf(Ns, Ds) rlocus(Ns, Ds) Trang 52 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Chương SAI SỐ XÁC LẬP (STEADY-STATE ERROR) Nội dung: 7.1 Sai số xác lập vịng kín 7.2 Các hệ số 7.3 Các loại sai số xác lập 7.4 Sai số xác lập có tác động ngoại 7.5 Sai số xác lập miền không gian Trang 53 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 7.1 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA VỊNG KÍN Xét hệ kín hình dưới: 𝐸 (𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) 𝐶 (𝑠) = 𝐸(𝑠)𝐺(𝑠) ⟹ 𝐸 (𝑠 ) = 𝑅(𝑠) + 𝐺(𝑠) Áp dụng final value theorem: 𝑠𝑅(𝑠) s→0 + 𝐺 (𝑠) 𝑒 (∞) = lim 7.2 CÁC HỆ SỐ 7.2.1 Tín hiệu vào hàm nấc (step): 𝑟 (𝑡 ) = 𝑢 (𝑡 ) ⇒ 𝑅 (𝑠 ) = → 𝑒step (∞) = 𝑠 1 + lim 𝐺(𝑠) s→0 Đặt 𝐾𝑝 = lim 𝐺(𝑠) hệ số vị trí s→0 ⇒ 𝑒step (∞) = 1 + 𝐾𝑝 7.2.2 Tín hiệu vào hàm dốc (ramp): 𝑟(𝑡 ) = 𝑡𝑢(𝑡 ) ⇒ 𝑅(𝑠) = 𝑠2 Trang 54 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM → 𝑒ramp (∞) = ME3011 – TỔNG HỢP 1 + 𝑠𝐺 (𝑠) Đặt 𝐾𝑣 = lim 𝐺(𝑠) hệ số vận tốc s→0 ⇒ 𝑒ramp (∞) = 1 + 𝐾𝑣 7.2.3 Tín hiệu vào hàm parabol (parabola): 𝑟 (𝑡 ) = 𝑡 𝑢 ( 𝑡 ) ⇒ 𝑅 (𝑠 ) = → 𝑒ramp (∞) = 𝑠3 1 + 𝑠𝐺 (𝑠) Đặt 𝐾𝑎 = lim 𝐺(𝑠) hệ số gia tốc s→0 ⇒ 𝑒parabola (∞) = 1 + 𝐾𝑣 7.2.4 Mối quan hệ số loại hệ thống: Số khâu tích Loại hệ thống Hệ số vị trí 𝑲𝒑 Hệ số vận tốc phân 𝑲𝒗 Loại 𝐾𝑝 < ∞ Loại ∞ 𝐾𝑣 < ∞ Loại ∞ ∞ 7.3 CÁC LOẠI SAI SỐ XÁC LẬP Trong loại sai số xác lập cho hệ thống vịng kín Hệ số gia tốc 𝑲𝒂 0 𝐾𝑎 < ∞ - Hệ số giảm chấn (Damping ratio): 𝜁 - Thời gian xác lập (Settling time): 𝑇𝑠 - Thời gian lên đỉnh (Peak time): 𝑇𝑝 - Độ vọt lố (Overshoot): %𝑂𝑆 Trang 55 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 7.4 SAI SỐ XÁC LẬP KHI CÓ TÁC ĐỘNG NGOẠI Khi hệ thống điều khiển bị tác động hàm 𝐷 (𝑠) điều khiển plant, ta có: 𝐶 (𝑠) = 𝐸 (𝑠)𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) + 𝐷 (𝑠)𝐺2 (𝑠) 𝐶 (𝑠 ) = 𝑅 (𝑠 ) − 𝐸 (𝑠 ) 𝐸 (𝑠 ) = 𝐺2 (𝑠) 𝑅 (𝑠 ) − 𝐷(𝑠) + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) Từ phương trình trên, ta tìm sai số xác lập sau 𝑒 (∞) = lim 𝑠𝐸 (𝑠) 𝑠→0 𝑠 𝐺2 (𝑠) 𝑅(𝑠) − lim 𝐷 (𝑠) = 𝒆𝑹 (∞) + 𝒆𝑫 (∞) 𝑠→0 + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) 𝑠→0 + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) = lim Trong đó: 𝒆𝑹 (∞): sai số xác lập R(s) 𝑠 𝑅 (𝑠 ) 𝑠→0 + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) 𝑒𝑅 (∞) = lim 𝒆𝑫 (∞): sai số xác lập D(s) 𝐺2 (𝑠) 𝐷 (𝑠 ) 𝑠→0 + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) 𝑒𝐷 (∞) = − lim 7.5 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA HỆ THỐNG Ở MIỀN KHÔNG GIAN Xét hệ kín ta biểu diễn miền khơng gian dạng 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑟 𝑦 = 𝐶𝑥 Biến đổi Laplace sai số xác lập 𝐸 (𝑠 ) = 𝑅 (𝑠 ) − 𝑌 (𝑠 ) Trang 56 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 𝑌 (𝑠 ) = 𝑅 (𝑠 )𝑇 (𝑠 ) Trong đó: 𝑌(𝑠) hàm truyền vịng kín Từ ta có 𝑬(𝒔) = 𝑹(𝒔)[𝟏 − 𝑻(𝒔)] Mặc khác 𝑇 (𝑠 ) = 𝑌 (𝑠 ) = 𝐶 (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵 + 𝐷 𝑅(𝑠) Nên 𝑒 (∞) = lim 𝑠𝐸 (𝑠) = lim{𝑠𝑅(𝑠)}[1 − (𝑠𝐼 − 𝐴)−1 𝐵] 𝑠→0 𝑠→0 Trang 57 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Chương 12 THIẾT KẾ THÔNG QUA MIỀN KHÔNG GIAN (DESIGN VIA STATE SPACE) Nội dung: 12.1 Thiết kế điều khiển 12.2 Khả điều khiển 12.3 Thiết kế quan sát 12.4 Khả quan sát 12.5 Sai số xác lập thiết kế điều khiển Trang 58 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 12.1 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 12.1.1 Hệ kín biểu diễn sơ đồ khối sau: Phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống khơng có feedback: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 Phương trình trạng thái biểu diễn hệ thống có feedback: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 = 𝐴𝑥 + 𝐵(−𝐾𝑥 + 𝑟) = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 + 𝐵𝑟 𝑦 = 𝐶𝑥 12.1.2 Biểu diễn dạng pha: Hình 12 1: Các biến pa chưa có feedback Trang 59 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Hình 12 2: Các biến pha có feedback 12.1.3 Thiết kế điều khiển hồi tiếp trạng thái: B1: Biểu diễn hệ thống dạng pha B2: Tìm phương trình đặc tính hệ kín dạng tham số K B3: Xác định vị trí cực phương trình đặc tính B4: Tìm tham số K từ phương trình đặc tính từ kết luận hàm truyền Ví dụ 12.1: Thiết kế điều khiển hồi tiếp trạng thái với %OS = 9.5% Ts = 0.74s 𝐺 (𝑠 ) = 20(𝑠 + 5) 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 4) Giải: B1: Biểu diễn hệ thống dạng pha 𝐺 (𝑠 ) = 𝑥̇ = [0 20(𝑠 + 5) = × (20𝑠 + 100) 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 4) 𝑠 + 5𝑠 + 4𝑠 −4 0 ] 𝑥 + [0] 𝑟, 𝑦 = [100 −5 20 0]𝑥 → 𝑠 + 5𝑠 + 4𝑠 = B2: Tìm phương trình đặc tính hệ kín dạng tham số K Trang 60 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Phương trình đặc tính có dạng 𝑠 + (5 + 𝑘3 )𝑠 + (4 + 𝑘2 )𝑠 + 𝑘1 = (1) B3: Xác định vị trí cực phương trình đặc tính Từ %OS = 9.5% Ts = 0.74s ta tính 𝑂𝑆 ) 100 𝜁=− = 0.5996 𝑂𝑆 2 √𝜋 + ln (% ) 100 ln (% 𝜔𝑛 = = 0.0147 𝜁𝑇𝑠 Từ suy phương trình bậc đáp ứng theo yêu cầu 𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 + 𝜔𝑛2 = Hệ bậc -> Cần tìm cực thứ hệ thống -> Chọn 𝑝3 = −5.1(tùy ý) (𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛 + 𝜔𝑛2 )(𝑠 + 5.1) = ⟺ 𝑠 + 15.9𝑠 + 136.08𝑠 + 413.1 = (2) B4: Tìm tham số K từ phương trình đặc tính từ kết luận hàm truyền Đối chiếu phương trình (2) với phương trình (1) ta tìm 𝑘1 = 413.1, 𝑘2 = 132.08, 𝑘3 = 10.9 Suy hệ kín biểu diễn phương trình trạng thái sau 𝑥̇ = [ −413.1 −132.08 0 ] 𝑥 + [0] 𝑟, 𝑦 = [100 −10.9 20 0]𝑥 Trang 61 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 12.2 KHẢ NĂNG ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC Phương trình trạng thái có dạng gồm n bậc 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 Tính ma trận điều khiển có dạng 𝐶𝑀 = [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2 𝐵 … 𝐴𝑛−1 𝐵 ] Nếu rank ma trận 𝐶𝑀 = 𝑛 → Có thể điều khiển Lưu ý: Tính det(𝐶𝑀 ), det(𝐶𝑀 )≠ → Rank(𝐶𝑀 ) = 𝑛 → Có thể điều khiển Ví dụ 12.2: −1 0 𝑥̇ = [ −1 ] 𝑥 + [1] 𝑢 0 −2 Giải: 𝐶𝑀 = [𝐵 −1 ] = [ [1] [ 𝐴𝐵 𝐴 𝐵 0 −2 = [1 −1 ] −2 −1 0 0 ] [1] −2 −1 [0 −1 0 0 ] [1]] −2 Det(𝐶𝑀 ) = -1 ) ≠ → rank(𝐶𝑀 ) = → Hệ điều khiển 12.3 THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT Các bước thiết kế tương tự thiết kế điều khiển Ví dụ 12.3: Thiết kế quan sát cho hệ thống với quan sát phản hồi nhanh gấp 10 lần vòng điều khiển: 𝐺 (𝑠 ) = 𝑠+4 𝑠+4 = (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 5) 𝑠 + 8𝑠 + 17𝑠 + 10 Với %OS=20.8%, Ts=4s Giải: B1: Biểu diễn quan sát dạng canonical Trang 62 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP B2: Thêm feedback B3: Tìm phương trình đặc trưng −8 ̂ 𝑥̇ = 𝐴𝑥̂ + 𝐵𝑢 = [−17 −10 𝑦̂ = 𝐶𝑥̂ = [1 0 0 1] 𝑥̂ + [1] 𝑢 0]𝑥̂ Sai số quan sát −(8 + 𝑙1 ) 𝑒̇𝑥 = (𝐴 − 𝐿𝐶 )𝑒𝑥 = [−(17 + 𝑙2 ) −(10 + 𝑙3 ) 0 1] 𝑒𝑥 Biểu thức đặc tính 𝑠 + (8 + 𝑙1 )𝑠 + (17 + 𝑙2 )𝑠 + (10 + 𝑙3 ) = 0(1) Với %OS = 20.8%, Ts = 4s 𝑂𝑆 ) 100 𝜁=− = 0.447 𝑂𝑆 √𝜋 + ln2 (% ) 100 ln (% 𝜔𝑛 = = 2.236 𝜁𝑇𝑠 Từ tìm phương trình đặc tính bậc có dạng 𝑠 + 2𝑠 + = Tìm cực thứ 3: chọn 𝑝3 = −4 để triệt tiêu zero Suy biểu thức đặc tính tổng hợp (𝑠 + 2𝑠 + 5)(𝑠 + 4) = 𝑠 + 6𝑠 + 13𝑠 + 20 = 0(2) Đối chiếu pt(2) pt(1) ta tìm 𝑙1 = 112, 𝑙2 = 2483, 𝑙3 = 50 Trang 63 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 12.4 KHẢ NĂNG QUAN SÁT ĐƯỢC Phương trình trạng thái có dạng gồm n bậc 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 Tính ma trận quan sát có dạng 𝑂𝑀 = [𝐶 𝐶 2𝐴 𝐶𝐴 … 𝐶 𝑛−1 𝐴] Nếu rank ma trận 𝑂𝑀 = 𝑛 → Có thể quan sát Ví dụ 12.4: 𝐺(𝑠) = 𝑠+5 𝑠 + 4𝑠 + 3𝑠 + Giải: Phương trình trạng thái 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 = [ −4 𝑦 = 𝐶𝑥 = [0 −3 0 ] 𝑥 + [0] 𝑢 −2 1] Ma trận quan sát 𝐶 𝑂𝑀 = [ 𝐶𝐴 ] = [ −4 𝐶𝐴2 −12 −3 −13 3] −9 Det(𝑂𝑀 ) = -344 nên Rank(𝑂𝑀 ) = → Hệ quan sát 12.5 SAI SỐ XÁC LẬP CỦA THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN 𝑒 (∞) = − 𝑦𝑠𝑠 = + 𝐶𝐴−1 𝐵 Ví dụ 12.5: 𝑥̇ = [ −3 ] 𝑥 + [ ] 𝑢, 𝑦 = [1 −5 ]𝑥 Với %OS = 10% Ts = 0.5s Giải: 𝑂𝑆 ) 100 𝜁=− = 0.5912 𝑂𝑆 2 √𝜋 + ln (% ) 100 ln (% Trang 64 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM 𝜔𝑛 = ME3011 – TỔNG HỢP = 13.53 𝜁𝑇𝑠 Phương trình đặc tính 𝑠 + 16𝑠 + 183.1 = Từ phương trình trạng thái ta ta tìm pt đặc tính dạng 𝑠 + (5 + 𝑘2 )𝑠 + (3 + 𝑘1 ) = Tìm hệ số K 𝐾 = [𝑘1 𝑘2 ] = [180.1 11] Khi có feedback, phương trình trạng thái 𝑥̇ = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥 + 𝐵𝑟 = [ 𝑦 = 𝐶𝑥 = [1 −183.1 ]𝑥 + [ ]𝑢 −16 0]𝑥 Sai số xác lập: −1 𝑒 (∞) = + 𝐶𝐴 𝐵 = + [1 0] [ −183.1 −1 ] [ ] = 0.995 −16 Trang 65 ... động lực học số hệ thống phương pháp Lagrange Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP 1.1 CÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM VỀ ĐỘNG LỰC HỌC 1.1.1 Động tịnh tiến: Tồn vật có khối lượng chuyển động. .. BỘ ĐIỀU KHIỂN 64 Trang ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM ME3011 – TỔNG HỢP Chương PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE Nội dung: 1.1 Các kiến thức cần nắm động lực học 1.2 Phương pháp Lagrange 1.3 Tìm phương trình động. .. hình học đáng kể nên tồn moment quán tính động quay Trường hợp 3: Xe máy chạy thẳng quốc lộ Do xe chuyển động thẳng nên tồn động tịnh tiến khơng có động quay (động quay xuất trường hợp xe vào