Unit VI Math and the Mind's Eye Activities Looking at Geometry Geoboard Figures The geoboard is used as a means of representing geometric figures and as a medium for geometric explorations ath and the Mind's Eye materials are intended for use in grades 4-9 They are written so teachers can adapt Geoboard Areas Regions arc formed on a geoboard and their areas are determined using fllrmula-free methods grade levels A single activity can be ex- Areas of Silhouettes The area of a region is found by determining rhe number of unit squares needed to cover ir A catalog of Math and the Mind's Eye Geoboard Triangles The size, shape and area of cerrain geoboard triangles are investigated them to fit student backgrounds and tended over several days or used in part materials and reaching supplies is available from The Math Learning Center, PO Box 3226, Salem, OR 97302, I 800 575-8130 or (503) 370-8130 Fax: (503) Geoboard Squares The lengths of geoboard segments are determined by viewing them as the sides of squares Pythagorean Theorem The Pythagorean relationship is developed visually with rhc usc of dot paper drawings 370-7961 Learn more about The i'vlarh Learning Center at: www.mlc.pclx.edu Geoboard Perimeters The perimeters of gcoboard polygons are determined and the relationship between area and perimeter is explored An Introduction to Surface Area and Volume Solids of a given volume arc formed with cubes and thc.:ir surface areas dcn.:rmined by constructing grid paper coverings Shape and Surface Area The effect of shape on surface area is investigated Areas of Irregular Shapes Basic area concepts arc used to estimate the areas of irregularly shaped regions Math and the Mind's Eye Copyright {(;I 1'187 The J\tnh L.e:1rning Center The !VIath Lcaming Center grants penniv;ion to cb in appropriate qu;mririe; fl1r their cLt1.1tuom usc The-;e lll.Hcrial; were prepared with dw suppun of NJtionJI Science f-ouml:uiun (_;rant MDH.-tl:iOJ/1 ISBN l-8Wil31-17-1 Unit V • Activity Geoboard Figures Prerequisite Activity None Materials A geoboard, rubber bands and geoboard recording paper for each student; a transparent geoboard or a transparency of geoboard recording paper for the overhead projector Actions Comments Put rubber bands on a geoboard as shown below Show the geoboard to the students and ask them to form these six segments on their geoboards • a Some students may have difficulty reproducing the segments on their geoboards It may be helpful to make statements like "segment e is formed by coming down spaces and over space." • • Unit V • Activity 1 A transparent geoboard on an overhead works well for demonstration purposes Alternatively, the segments may be drawn on a transparency of geoboard paper and displayed on the overhead A master for geoboard paper is attached • • • • ©Copyright 1986, Math Learning Center Actions Comments Ask the students which segment is longer: (a) a ore? (b) c orb? (c) b ord? (d) d ore? (e) d orf? Ask the students how they arrived at their conclusions Encourage students to fmd their own methods of comparison For some, the length relationships may be obvious Others may need to compare lengths of segments by measuring with rulers or by making marks on paper Some may recognize that "3 down and over is longer than down and over." For those students who think segment b is the same length as segments a and c because they connect two adjacent points, the following figure may help There are two paths P to Q Half the length of the shorter path must be less than half the length of the longer path So segment a is shorter than segment b from • • • • • Point out that these four segments have different lengths Ask the students to find as many geoboard segments, all of different lengths, as they can, and to record the segments on geoboard paper • a • • • • • • • • • PMQ • • b b • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • r • Unit V • Activity Y • • • • • Students can be asked to plot segments on the overhead one at a time As a segment is plotted, the class can decide if it is a segment of new length - ｾ • • There are 14 different lengths that are possible for geoboard segments One collection of 14 geoboard segments, all with different lengths, is shown below Y • a • • • • • • • • • • • • Math and the Mind's Eye Actions Comments Ask the students to construct the polygon shown below Point out that this polygon has six sides Ask them to make and record polygons with more than six sides by altering side AB while leaving the remaining sides fixed Discuss the results A In this activity, a figure will be called a polygon if its sides are segments and they enclose one interior r - - - - - - - , • region Figures of • this type are also called simple poly• gons while figures whose sides are segments, but enclose • more than one interior _ region, such as the one shown, are sometimes called non-simple polygons Side"AB can be altered to form (simple) polygons of 7, 8, 9, 10, 11, 12 and 13 sides One example of each is shown 10 Sides Sides 8Sides Sides 11 Sides 12 Sides 13 Sides The students may enjoy other geoboard explorations Here are two that can be done as individual or small group activities: (a) Here are examples of polygons of 22, 23 and 24 sides (a) Find and record geoboard polygons with differing numbers of sides What is the greatest number of sides possible? 22 Sides Unit V • Activity 23 Sides 24 Sides Math and the Mind's Eye Actions Comments (b) Put bands around the edge of a geoboard to form a square as shown on geoboard I On geoboard IT this square has been divided into two congruent parts Find and record other ways to divide the square into two congruent parts • • • • • • (b) Two figures are congruent if they have the same size and shape If there is any doubt that the two parts of the square are congruent, record them on geoboard paper, cut them out, and see if one can be made to fit exactly on top of the other There are many different ways to divide the square into two congruent parts The students may want to make a bulletin board display of different solutions Here are a few: • • • • • • • • • • • II • • r Unit V • Activity ｾ • • Math and the Mind's Eye Geoboard Recording Paper (Separated Boards) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Unit V • Activity v Geoboard Areas v R E E w ］ Prerequisite Activity ｾ None, but it may be helpful to Ceoboard Figures (Unit VIActivity 1) first Materials A geoboard and rubber bands for each student; a transparent geoboard or a transparency of geoboard recording paper Actions I Form the two geoboard regions shown below Show the geoboard to the students and ask them to make the same regions on their geoboards A transparent overhead geoboard works well for demonstrating the formation of regions The large regions require several rubber bands - D • Comments • • • • Ask the students to use additional rubber bands to subdivide the large region into squares the size of the small square Remind them that the number of squares covering a region is called its area Discuss The area is 12 square units The small square will be the unit of area throughout this activity Unit V ã Activity âCopyright 1986, Math Learning Center D Actions Comments Ask the students to form each figure from Activity Sheet A on their geoboards and determine its area Discuss The last four regions on sheet A involve both squares and half-squares • • • • • areaS (4 squares and half-squares) : _m_: :"[[]7 • • • • • / ""' area 14 (12 squares and half-squares) "- / area2 (4 half-squares) • • • • • : ｾｾ Ｚ Ｎ • • • • • area 12 (10 squares and half-squares) Have the students form this region on their geoboard and ask them to determine its area Discuss • • • • • • • • • The region can be subdivided into halfsquares . , • • • • • ｾ ｾ Ｚ • • • • • • Unit V • Activity • • • Some students are able to obtain the area by mentally manipulating parts of the region into a convenient shape (One possible sequence of manipulations is given below.) This ability should be acknowledged and encouraged Math and the Mind's Eye Actions Comments Ask the students to form each figure from Activity Sheet B on their geoboards and determine its area Discuss Each of these regions can be partitioned into squares and half-squares As you monitor this activity, acknowledge different approaches Tell the students to form this triangle on their geoboards and find its area Discuss This triangle doesn't divide nicely into squares and half-squares, so it is interesting to see how students find its area A common method is to cut off the right side of the triangle and fit it under the left side to make a rectangle of area • • • • • • • • • • Another method is to enclose the whole triangle in a rectangle of area 12 and notice that the triangle is half of this rectangle • • • • • - i Discuss these approaches and others that students have devised Unit V • Activity Math and the Mind's Eye 29tf9UOrili2lo 2S91A a-e-\1 \eer\'G '{\\\1\\oA 1etneO gnimseJ ntsM eriT ,eae t trigil'(qoO Q> \-f> anoit-lA • '(tivibA • V tinU 9'l3 2'bniM sr1t bns r1tsM ｾ 2stfsuorma to 2ss1A A 0-t.-\1 1atnaO gnimsaJ rltsM arfT ,eae t ｴ ｲ ｬ ｧ ｲ ｐ ｾ ｱ ｯ ｏ G> e-a enoibA • '{tivitoA • v tinU ｾ ･ ･ ｲ ｜ ｃ Ｎ Ｇｻ｜｜｜Ｑ｜ｾｾｴＺＮＮ 9'{3 a'bniM srtt bns rtfsM 29tf9UOrllie to 2S91A v G-t.-\1 1etneO gnimseJ rttsM erfT ,eaet ｦ ｲ ｩ ｧ ｨ ｾ ｱ ｯ ｏ ｀ o t noi1::lA • e ｾ ｩ ｶ ｩ ｢ ａ • V tinU 9'l3 ｾ ･ ･ ｮ ｡ '{\\\1\\of\ a'bniM ertf bns rUsM T33H2 ClAD R3T3MITlt130 - 1etneO gnimseJ ritsM eriT ,ese t trigil-xqoO @ o t noibA • E -xtivibA • V tinU 9'i3 2'bn1M ertt bns rUsM • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ｴ ｲ ｬ ｧ ｩ Ｑ ｾ ｱ ｯ ｏ ｾ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ｾ Ｍ ｾ Ｍ ｜ Ｑ 1etnaO gnimseJ rltsM eriT ,ese t • • • • s , t anoibA • r> ｾ ｦ ｩ ｶ ｩ ｢ ａ \eer\C, Ｇ ｻ Ｉ ｜ Ｇ Ｑ ｜ ｜ ｯ ｾ • V tinU 9'l3 a•bniM srtf bns rtJsM • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ｾ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ﾷ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ｾ ｾ • • • • • • • • • • • • • • • ｾ ｾ • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 1etneO gnimseJ rltsM erfT ,ese t trlgi1yqoO Q> e noibA • ｾ ytivibA • V tinU 9'l3 a'bniM grtf bns rttsM 1sqsq ｧ ｮ ｩ ｢ Ｑ ｯ ｾ ｳ ａ b1sodosD {2b1so8 gninio[bA) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Ｑ ｳ ｴ ｮ ｳ ｾ gnimseJ rltsM erfT • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ,ese t trlgh'iqoO G> • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ' • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ·• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a '(tivit::>A • v tinU 9'{3 2'bniM srtf bns rttsM 1sqsq toa 1stsmitnsO S\t • • • • • • • • • • • • • • • • • - 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