Nắm trọn chuyên đề môn Toán năm 2021: Mũ - Logarit và Tích phân - Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách Nắm trọn chuyên đề Mũ - Logarit và Tích phân sẽ trình bày nội dung về chủ đề 5: Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit và tìm hiểu về nguyên hàm, tích phân. Cùng tham khảo nội dung chi tiết của cuốn sách để không bỏ lỡ những điều thú vị và bổ ích nhé.

CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT CHỦ ĐỀ 5: BPT MŨ, BPT LOGARIT LÝ THUYẾT Định nghĩa: • Bất phương trình mũ có dạng ax  b (hoặc a x  b , a x  b , a x  b ) với a  0, a  Định lí, quy tắc: Ta xét bất phương trình dạng ax  b • Nếu b  bất phương trình vơ nghiệm • Nếu b  bất phương trình tương đương với ax  aloga b ▪ Với a  nghiệm bất phương trình x  log a b (Hình 1) ▪ Với  a  nghiệm bất phương trình x  log a b (hình 2) Hình • Hình Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình ax  b cho bảng sau: Tập nghiệm ax  b 0a1 a 1 b0 ( log b0 a ( −; log b ) b; +  ) a Phương pháp đưa số • f x g x Nếu gặp bất phương trình a ( )  a ( ) xét hai trường hợp: ▪ f x g x Trường hợp 1: Nếu a  bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) ▪ f x g x Trường hợp 2: Nếu  a  bất phương trình a ( )  a ( )  f ( x )  g ( x ) Phương pháp đặt ẩn phụ • 2f x f x Ta thường gặp dạng: m.a ( ) + n.a ( ) + p  0,(1) ▪ f x Đặt t = a ( ) , t  đưa pt ( 1) dạng phương trình bậc 2: mt + nt + p  ▪ Giải bất phương trình tìm nghiệm t kiểm tra điều kiện t  sau tìm nghiệm x ▪ f x f x f x f x m.a ( ) + n.b ( ) + p  , a.b = Đặt t = a ( ) , t  , suy b ( ) = t ▪ ▪ 172 m.a f ( x) + n ( a.b ) f ( x) + p.b f ( x)  Chia hai vế cho b f ( x) a đặt   b f ( x) =t 0 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Phương pháp hàm số, đánh giá • Định nghĩa ▪ Hàm số f gọi đồng biến K u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) ▪ Hàm số f gọi nghịch biến ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; u  v  f ( u )  f ( v ) • Định lí, quy tắc: ▪ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến khoảng ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; f ( u )  f ( v )  u  v ▪ Nếu hàm số f nghịch biến khoảng ( a; b ) u, v  ( a; b ) ; f ( u )  f ( v )  u  v ▪ Tính chất Nếu hàm số f đồng biến đoạn  a; b  f ( x ) = f ( a ) max f ( x ) = f ( b )  a ; b   a ; b  ▪ Nếu hàm số f nghịch biến đoạn  a; b  f ( x ) = f ( b ) max f ( x ) = f ( a )  a ; b   a ; b  • Nhận xét ▪ Khi tốn u tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm với x  D m  max f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) D D ▪ Khi tốn u tìm tham số m để bất phương trình m  f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) có nghiệm với x  D m  max f ( x ) (hoặc m  f ( x ) ) D D Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 173 CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: x x 1 a)    32 2 2x 1 x +1 b)    9 d) 2x + 2x+1  3x + 3x−1 e) 5 c)   7 3x  3x − f) 11 x2 − x +1 x+6 5   7 2x −1  11x Lời giải x −5 x 1 1 1 a) Ta có:    32        x  −5 2 2 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; −5 ) b) Điều kiện: x  −1 x 2x 2x 1 2x 2x   −2 x x +1 x +1     −2 x   + 2x   2x  + 1    x+1 x+1 9  x+1   2x ( x + ) x+1  x  −2 0  −1  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; −2 )  ( −1; ) 5 c) Ta có:   7 x2 − x +1 5   7 2x −1  x − x +  2x −  x − 3x +    x  Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 1; ) x d) Ta có: + x x +1 3 +3 x x −1 3  3.2  3x      x  2 x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( 1; ) e)  3x  x  3x 3x − 3 x 0 x  x −2 −2    x  log Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;log )  (1; + ) f) Ta có: 11 x+6  11x 11 x+6 x  −6  x    x +  x  11  x +  x    x   −6  x   x    −2  x      x +  x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = −  6;  174 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: a) 16x − 4x −  b) 4x − 3.2x +  d) 2x + 4.5x −  10x e) x − 21− x c) 1  x +1 + −1 x 1 f) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình: x + ( m − 1) x + m  nghiệm x  Lời giải a) Đặt t = 4x ( t  ), bất phương trình cho tương đương với t − t −   −2  t    t   x  log Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;log 3 2x  x  b) Ta có: − 3.2 +    x    x  x x Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −;0 )  ( 1; + ) c) Đặt t = 3x ( t  ), bất phương trình cho tương đương với 3t −  1     t   −1  x  t + 3t − 3t −  t + Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −1;1 ( ) ( ) d) Ta có: x + 4.5x −  10 x  x − 10 x + 4.5x −   x − x − − x  (  − 5x )(  1 − 5x   5x  x  x  2 −   2 x −4 0     x x  1 −   5  x  2 −   2 x   ) 1 4 x   1 x  4 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −; )  ( 2; + ) e) Điều kiện: x  Ta có: x − 21− x 1 x − 2 x 1 ( ) Đặt t = t  t  ( )  t −   t − t −    t       t  x Do x   t  x    x Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  0;1) f) Đặt log x − log x   log x  0  x  −1 0  bất phương trình log x ( log x − 1) x  log x  cho thành: t + ( m − 1) t + m  nghiệm t   t2 − t  − m nghiệm t  t +1 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 175 CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Xét hàm số g ( t ) = t − + 2 , t  3, g ' ( t ) = −  0, t  t +1 t + ( ) 3 Hàm số đồng biến  3; + ) g ( ) = Yêu cầu toán tương đương −m   m  − 2 VÍ DỤ a) Giải bất phương trình 3.2x + 7.5x  49.10x − b) Tìm tất giá trị m để bất phương trình m.4x + (m − 1).2x+ + m −  nghiệm với x  c) Cho bất phương trình 4x − 2018m.2x−1 + − 1009m  Tìm giá trị nguyên dương nhỏ tham số m để bất phương trình cho có nghiệm là? Lời giải x a) Ta có 3.2 x + 7.5x  49.10 x −  x x x 3.2 x + 7.5x + 1 1    49    +   +    49 x 10 5 2  10  x x 1 1   Xét hàm số f ( x ) =   +   +   , x  5 2  10  x x x 1 1 1 1  1  1 Mặt khác: f  ( x ) =   ln   +   ln   + 2.  ln    0, x  5 5 2 2  10   10   Hàm số f ( t ) nghịch biến Mặt khác f ( −1) = 49  f ( x )  f ( −1)  x  −1 Vậy nghiệm bất phương trình x  −1 b) Ta có: m.4 x + ( m − 1).2 x + + m −   m  4.2 x + ( 1) x + 4.2 x + Đặt 2x = t , t   Bất phương trình ( 1)  m  Xét hàm số f (t ) = 4t + t + 4t + 4t + −4t − 2t ,  t  0; + f '( t ) = có ( ) t + 4t + t + 4t + ( )  0,  t  (0; +)  Hàm số f ( t ) nghịch biến khoảng (0; + ) Ta có bảng biến thiên Từ ta có  f ( t )  1, t  ( 0; + ) Để (1) nghiệm với x thuộc tập m  c) Đặt t = 2x ( t  ) 176 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Khi bất phương trình trở thành t − 1009mt + − 1009m   1009 m  t2 + t +1 t2 + t + 2t − , t  ( 0; + ) có f  ( t ) = Xét hàm số f ( t ) = , t +1 ( t + 1) t = Giải phương trình: f  ( t ) =  t + 2t − =   t = −3  ( L ) Ta có bảng biến thiên: Bất phương trình có nghiệm 1009m  f ( t ) =  m  ( 0; + ) 1009 Vậy m = số nguyên dương nhỏ thỏa yêu cầu tốn Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 177 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT LÝ THUYẾT Định nghĩa: • Bất phương trình lơgarit đơn giản có dạng log a x  b (hoặc loga x  b, log a x  b, log a x  b ) với a  0, a  Định lí, quy tắc: • Ta xét bất phương trình dạng loga x  b ▪ Nếu a  log a x  b  x  ab (Hình 1) ▪ Nếu  a  log a x  b   x  a b (Hình 2) Hình • Hình Kết luận: Tập nghiệm bất phương trình log a x  b cho bảng sau: Tập nghiệm log a x  b a 1 0a1 x  ab  x  ab Phương pháp đưa số • Nếu gặp bất phương trình log a f ( x )  log a g ( x ) xét hai trường hợp: ▪  g ( x )  Trường hợp Nếu a  bất phương trình    f ( x )  g ( x ) ▪  f ( x )  Trường hợp Nếu  a  bất phương trình   f x  g x ( ) ( )  Phương pháp đặt ẩn phụ • Nếu gặp bất phương trình m.log 2a f ( x ) + n log a f ( x ) + p  0, (1) ▪ Đặt t = log a f ( x ) , đưa ( 1) dạng mt + nt + p  ; giải tìm t từ tìm nghiệm x Ngồi ra, cịn sử dụng linh hoạt quy tắc hàm số, phương pháp đánh giá nêu phương trình mũ, phương trình logarit bất phương trình mũ Việc sử dụng đa dạng phương pháp giúp em tối ưu hóa toán trở nên đơn giản dễ dàng 178 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: ( ) a) log ,4 (5 x + 2)  log ,4 ( x + ) b) + log ( x − )  log x − x + c) 2log x +  − log ( x − ) d) log x − x −  log 0,5 ( x − 1) + ( ) e) log ( log ( x − 1) )  Lời giải a) Điều kiện: x  − Ta có: log ,4 (5 x + 2)  log ,4 ( x + )  5x +  3x +  2x   x    Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình là: S =  − ;    ( ) log x2 − 3x + − log ( x − )  b) Ta có: + log ( x − )  log x − x +    x  ( ) log ( x − 1)     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ( 2; )  x  c) Ta có: 2log x +   x +  − log ( x − )   x −  log x + + log x −  ) ) 2(  2(  x  x   x     2x3  x − x −  ( x + 1)( x − )  −2  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ( 2;  d) Điều kiện : x  ( ) ( ) log x − x −  log 0,5 ( x − 1) +  log  x − x − ( x − 1)      1−  x   x − x − ( x − 1) −   x − x − x     x  + ( ) ) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = 1 − 2;   1 + 2; +    2 x −   x  e) Điều kiện:  log (2 x − 1)  Ta có: log ( log ( x − 1) )   log ( log ( x − 1) )  log 1 2 log (2 x − 1)  0  x −    1 x  2 x −  log (2 x − 1)  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 179 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT  3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  1;   2 VÍ DỤ Giải bất phương trình sau: b) log x − log x  a) log 02 ,2 x − 5log ,2 x  −6 2 c) 2log x − 10 x log x +3  Lời giải a) Điều kiện: x  log 0,2 − 5log 0,2 x  −6   log 0,2 x   1 x 125 25 b) Điều kiện : x  0; x  1; x  log x  0  x  −1 0  log x ( log x − 1) x  log x  log x − log x   c) Điều kiện: x  (*) Đặt u = log x  x = 2u ( ) Bất phương trình cho trở thành 2u − 10 2u −u +   2u − 10 2u +  (1) t  −5 (l) u  2  u   u2    Đặt t = 2u , t  (1)  t + 3t − 10    t  u  Với u   log x   x  Với u  −1  log x  −1  x  Kết hợp điều kiện (*), ta nghiệm bất phương trình cho x   x  VÍ DỤ a) Tìm số nghiệm phương trình log ( )   x − +  log  + 8  x −1  b) Có tất cặp số thực ( x; y ) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện 3 x2 − x − −log3 = 5−( y + )   4 y − y − + ( y + )  c) Có số nguyên dương m đoạn −  2018 ; 2018  cho bất phương trình (10 x ) m+ log x 10 11  10 10 log x với x  ( 1;100 ) Lời giải x −  x2 a) Điều kiện xác định:  x −  VT = log 180 ( ) x − +  log ( ) = Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Ta có x   x −   x −1 1 x −1 +89   VP = log  +   log =  x −1   x−2 =0 VT =  Suy VT   VP Do phương trình có nghiệm   x=2 = VP =   x −1 Vậy x = nghiệm 3 x2 −2 x−3 −log3 = 5−( y + 4) (1)  b)  4 y − y − + ( y + )  ( ) Biến đổi phương trình ( 1) ta Do x − x −  0, x  3 x2 − x − x2 − x − = 5− y −  1, x   5− y −   − y −   y  −3 Với y  −3 , ta có bất phương trình ( )  −4 y + y − + ( y + )   y + y   y  −3  x = −1  y = −3  x − x − =   x = Vậy có hai cặp ( x; y ) thỏa mãn ( 3; −3 ) , ( −1; −3 ) c) (10x ) m+ log x 10 11  10 10 log x  log x  11  m+  ( log x + 1)  log x 10  10   ( log x + 10 m )( log x + 1) − 11log x   10 m ( log x + 1) + log x − 10log x  Do x  ( 1;100 )  log x  ( ; ) 10m ( log x + 1) + log x − 10log x   10 m  Đặt t = log x , t  ( ; ) Xét hàm số f ( t ) = Đạo hàm: f  ( t ) = 10 − 2t − t ( t + 1) 10t − t , t  ( 0; ) t +1  t  ( 0; )  Hàm số f ( t ) đồng biến Do f ( )  f ( t )  f ( )   f ( t )  Để 10m  10log x − log x log x + 16 10log x − log x 16 với x  ( 1;100 ) 10m   m  15 log x + 8  Do m   ; 2018  hay có 2018 số thỏa mãn  15  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 181 CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A B C Câu 36: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − D f  ( x ) = x  f ( x )  với x  Giá trị f (1) A − 35 B − 71 20 C − 79 20 Biết f ( ) = Câu 37: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục D −  xf ( 5x ) dx = ,  x f  ( x ) dx A 15 B 23 C Câu 38: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục 123 , biết f (6) = D −25  xf (6 x)dx = Khi x f '( x)dx = ? A 107 B 34 Câu 39: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn C 24 D −36  ( x + 1) f  ( x ) dx = 10 f (1) − f ( ) = Tính B I = A I = −12 C I = 1  f ( x ) dx D I = −8 thoả mãn f ( x ) + f ( − x ) = + 2cos x , x  Câu 40: Cho hàm số f ( x ) liên tục Tính 3 I= −  f ( x ) dx A I = −6 B I = Câu 41: Biết I =  ( x + 1) P = a+b+c A P = 24 dx x + x x+1 C I = −2 D I = = a − b − c với a , b , c số nguyên dương Tính B P = 12 Câu 42: Cho hàm số f ( x ) xác định C P = 18 D P = 46 1  \   thỏa mãn f  ( x ) = , f ( ) = f (1) = Giá trị 2x −1 2 biểu thức f ( −1) + f ( 3) A + ln15 B + ln15 Câu 43: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − C + ln15 D ln15 f  ( x ) = x  f ( x )  với x  Giá trị f ( 1) 436 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A − Câu 44: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = − f (1) A − 41 400 B − D − C − B − 11 f  ( x ) = x  f ( x )  với x  25 10 C − 391 400 D − Giá trị 40  Câu 45: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f  ( x ) = cos x + , x   f ( x ) dx , A  +4 16  + 14 B 16  + 16 +  + 16 + 16 2 C 16 D Biết f ( ) = Câu 46: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 16  xf ( x ) dx = ,  x f  ( x ) dx A 31 B −16 D 14 C  Câu 47: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f '( x) = 2cos2 x + 3, x  ,  f ( x)dx A  +2  + 8 + B  + 8 + 2 2 C D  + 6 + 8  Câu 48: Cho hàm số f ( x ) Biết f ( ) = f  ( x ) = 2sin x + , x  ,  f ( x ) dx  + 15 A 16  + 16 − 16 2 B 16  + 16 − C 16 D 2 −4 16  Câu 49: Cho hàm số y = f ( x ) Biết f ( ) = f  ( x ) = 2sin x + , x  Khi  f ( x ) dx  −2 A B  + 8 − 8  + 8 − C Câu 50: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục 3 + 2 − 2 , biết f (3) = D  xf (3x)dx = Khi x f '( x)dx = ? A B C −9 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” D 25 437 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.B 2.D 12.D 3.B 13.A 4.B 14.C 5.A 15.A 6.B 16.B 7.A 17.A 8.D 18.B 9.D 19.A 10.D 20.C 21.B 31.C 41.D 22.B 32.A 42.C 23.C 33.C 43.B 24.B 34.C 44.B 25.C 35.A 45.C 26.C 36.D 46.B 27.B 37.D 47.C 28.A 38.D 48.C 29.A 39.D 49.C 30.A 40.D 50.B HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B F( x) =  f ( x)dx =  dx = ln x − + C F(2) =  ln1 + C =  C = x −1 Vậy F( x) = ln x − + Suy F(3) = ln2 + Câu 2: Chọn D Có F ( x ) =  f ( x ) dx =  ( sin x + cos x ) dx = − cos x + sin x + C     Do F   = − cos + sin + C =  + C =  C =  F ( x ) = − cos x + sin x + 2 2 Câu 3: Chọn B Áp dụng công thức Câu 4: dx dx 1 Chọn B Ta có Câu 5:  ax + b = a ln ax + b + C ( a  ) ta  5x − = ln 5x − + C  2x − ( x + 1) dx =  2 ( x + 1) − ( x + 1) dx =  −3 dx +  dx = 2ln ( x + 1) + +C x+1 ( x + 1) ( x + 1) Chọn A Ta có f ( x ) =  ( − 5sinx ) dx = 3x + 5cos x + C Theo giả thiết f ( ) = 10 nên + C = 10  C = Vậy f ( x ) = 3x + 5cos x + Câu 6: Chọn B f ( x)0 Ta có f  ( x ) = x  f ( x )  Từ f ( ) = − Câu 7: 438   = x  = −x2 + C   = −2 x  f ( x)  f ( x )   f ( x )  f ( x) suy C = − Do f (1) = 2 =−  1 −12 +  −   2 Chọn A Đặt t = x − 3(t + 1) − 3t + 2  f ( x)dx = t dt =  t dt =  t dt +  t dt = 3ln( x − 1) − x − + C Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Câu 8: Chọn D  Ta có: = 2 Câu 9: 2x + ( x + 2) d( x + 2) − x+2 dx =  ( x + 2) ( x + 2) − 3 dx −  dx dx =  2 ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) 3  ( x + ) d ( x + ) = 2ln x + + x + + C = 2ln ( x + ) + x + + C −2 Chọn D Ta có  3x − ( x − 2) dx =  3( x − 2) + ( x − 2)    dx =  + dx = 3ln ( x − ) − +C x−2  x − ( x − 2)    Câu 10: Chọn D Cách Ta có  f ( x ) dx =  4x (1 + ln x ) dx =  xdx +  x ln xdx Tính  4xdx = 2x + C1  u = ln x du = dx Tính  x ln xdx Đặt   x dv = xdx v = x  Suy  x ln xdx = x ln x −  xdx = x ln x − x + C Do I = 2x2 ln x + x2 + C Cách ( ) ( ) ( )    Ta có x ln x + x = x ln x + x ( ln x ) + x = x.ln x + x + x = x ( + ln x ) x Do 2x2 ln x + x2 nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Hay 2x2 ln x + x2 + C họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( + ln x ) Câu 11: Chọn B ( ) Ta có f ( x ) e x = F ' ( x ) = x  f ( x ) e x ' = hay f '( x)e x + f ( x)e x =  f '( x)e x + x = Suy f '( x)e x = − x nên  f ' ( x ) e 2x dx = −2 x + x + C Câu 12: Chọn D Ta có F ( x ) =  ( e x + x ) dx = e x + x + C Theo ta có: I =  x x − 1dx Câu 13: Chọn A f ( x) Chọn I =32 x 2x2 Khi đó: I =8 Đặt I =16 Ta có:  dx = Khi đó: I =4 Câu 14: Chọn C Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 439 CHUN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG   f ( x ) e dx = ( x − 1) e + C , suy f ( x ) e = ( x − 1) e  = e + ( x − 1) e  f ( x ) = e + ( x − 1) e  f  ( x ) = ( − x ) e Suy  f  ( x ) e dx =  ( − x ) e dx =  (1 − x ) d ( e ) = e (1 − x ) +  e dx = e ( − x ) + C Theo đề ta có 2x −x x 2x −x x x x −x 2x x x x x x Câu 15: Chọn A Ta có I =  f  ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f (1) = − = 1 Câu 16: Chọn B 1 1 = = − x + x x( x + 1) x x + Ta có: 4 dx 1  = − dx = ( ln x − ln( x + 1) ) = (ln − ln 5) − (ln − ln 4)    Khi đó: x x +1 x +x 3 = 4ln − ln − ln I= Suy ra: a = 4, b = −1, c = −1 Vậy S = Câu 17: Chọn A   2 0  Ta có I =   f ( x ) + 2sin x  dx=  f ( x ) dx +2  sin xdx   I =  f ( x ) dx − 2cosx = − ( − 1) = 0 Câu 18: Chọn B x2 Ta có: I =   x + f ( x ) − g ( x )  dx = −1 −1 2 −1 −1 +  f ( x ) dx −  g ( x ) dx = 17 + 2.2 − ( −1) = 2 Câu 19: Chọn A 1 e4 − e Ta có:  e x +1dx = e x +1 = 3 Câu 20: Chọn C Ta có dx 1 3x − = ln 3x − 2 = 1 ln − ln1) = ln ( 3 Câu 21: Chọn B 2 1 Ta có: I =  f (3x)dx =  f (3x)d3x =  f (t )dt = 12 = 30 30 Câu 22: Chọn B Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây 440 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) =  adt = at + C , lại có vB ( ) = nên vB ( t ) = at Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do  11  0  180 t + 18 t  dt = 0 atdt  75 = 50a  a = 15 10 Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB (10 ) = 10 = 15 ( m s ) Câu 23: Chọn C Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A chất điểm B 15 giây, chất điểm A 18 giây Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB ( t ) =  adt = at + C mà vB ( ) = nên vB ( t ) = at Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động chất điểm B đuổi kịp quãng đường hai chất điểm Do 18  15 58  225 0  120 t + 45  dt = 0 atdt  225 = a  a = Vậy, vận tốc chất điểm B thời điểm đuổi kịp A vB ( t ) = 2.15 = 30 ( m / s ) Câu 24: Chọn B  xdx ( x + 2) = ( x + ) − dx = dx − 2dx  x+2  x+2 ( x + 2) ( ) 0 = ln ( x + ) − 1 ( x + 2) −1 = ln − ln + −1 2 − = − − ln + ln 3 Vậy a = − ; b = −1; c =  3a + b + c = −1 Câu 25: Chọn C  Ta có: I =  cos x.sin xdx Đặt t = cos x  dt = − sin xdx  −dt = sin xdx Đổi cận: Với x =  t = ; với x =   t = −1 −1 t4 Vậy I = −  t dt =  t dt = −1 3 −1 14 ( −1) = − = 4 Câu 26: Chọn C Ta có: I =  x x − 1dx đặt u = x2 −  du = 2xdx Đổi cận x =  u = ; x =  u = nên I =  udu Câu 27: Chọn B Đặt t = 2x  dt =dx Đổi cận x =  t = ; x =  t = Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 441 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Khi ta có I =  f (2 x)dx = 4 f (t )dt =  f ( x)dx =8  2 Câu 28: Chọn A Cách e e e e ln x ln x ln x dx =  ln xd ( ln x ) = = Vì f ( x ) = nên I = F ( e ) − F (1) =  f ( x ) dx =  x x 2 1 Câu 29: Chọn A 2 1 Ta có:  e x −1dx = e x −1 = e − e 3 ( ) Câu 30: Chọn A Đặt t = x +  t = x +  2tdt = dx Đổi cận: x t 21 x 5 dx = x+4 (t 2tdt 21 5 2dt 1  = 2  −  dt  ( t + )  ( t − )( t + )  (t − ) ) −4 t = 1  1 =  ln t − − ln t +  53 = ln + ln − ln7 2 2 2  Câu 31: Chọn C Cách Đặt t = e x  dt = e xdx Đổi cận: x =  t = 1; x =  t = e dx e xdx dt 1  = 0 e x + 0 e x e x + = 1 t ( t + 1) = 1  t − t +  dt = ln t − ln t + 1 e ( = + ln e ( ) ) = (1 − ln (1 + e )) − (− ln 2) e a = 1+ e = − ln   S = a3 + b3 = b = − 1+ e  ( ) ( ) ex + − ex 1 d ex + 1 dx 1+ e = dx =  dx −  x = x − ln e x + = − ln Cách  x x e + e + e + 0 0 Suy a = b = −1 Vậy S = a3 + b3 = Câu 32: Chọn A Đặt t = x +  t = x +  2tdt = dx Đổi cận: x t 442 16 55 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 55 x dx x+9 16 = ( 8 dt  dt dt  = = −  5 t −  5 t − 5 t +  t2 − t   2tdt ( ) = ln x − − ln x + 3 Vậy a = ) 1 = ln + ln − ln11 3 1 , b = , c = − Mệnh đề a − b = −c 3 Câu 33: Chọn C Ta có e e e e 1 1  (1 + x ln x ) dx =  1.dx +  x ln x dx = e − +  x ln x dx  u = ln x  du = x dx Đặt  dv = x.dx  v = x  e Khi  x ln x dx = e  (1 + x ln x ) dx = e − + Suy e e x2 e2 ln x −  x dx = − x 2 21 1 e = e2 e2 e2 − + = + 4 4 e2 e2 3 + = + e − nên a = , b = , c = − 4 4 4 Vậy a − b = c Câu 34: Chọn C e Ta có e e e e + x ln x d x = 2d x + x ln x d x = x + I = e − + I I = với )  1 ( 1 1 x ln xdx 1  du = x dx u = ln x  Đặt  dv = xdx v = x  e ex e x2 e e 2 x2 x2 e2 +  I = ln x −  dx = ln x − = − e −1 = 12 4 2 ( )  a = e  e2 + 1   ( + x ln x )dx = e − + = e + e −  b =  a − b = c 4  c = −  Câu 35: Chọn A du = f  ( x ) dx u = f ( x )  Cách 1: Tính:  x f ( x ) dx Đặt   x3 d v = x d x v =    Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 443 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ta có:  x f ( x ) dx = x3 f ( x ) = f (1) − f ( ) − 1 x f  ( x ) dx 0 1 1 −  x f  ( x ) dx = −  x f  ( x ) dx 30 30 Mà  x f ( x ) dx = 1 1 1  −  x f  ( x ) dx =   x f  ( x ) dx = −1 30 Ta có   f  ( x )  dx = x7 x d x = 0 = 1   49 x6dx = 49 = 7 1 0 3  x f  ( x ) dx = −1   14x f  ( x ) dx = −14 1 Cộng hai vế suy   f  ( x )  dx +  49 x6dx +  14 x f  ( x ) dx = + − 14 =  0     f  ( x )  + 14 x f  ( x ) + 49 x6 dx =    f  ( x ) + x  dx = 2 1 Do  f  ( x ) + x      f  ( x ) + x  dx  Mà   f  ( x ) + x  dx =  f  ( x ) = −7 x 2 0 f ( x) = − 7x x4 7 + C Mà f ( 1) =  − + C =  C = Do f ( x ) = − + 4 4 4  x4   x5  Vậy  f ( x ) dx =   − +  dx =  − + x = 4  20  0 1 Cách 2: Tương tự ta có:  x3 f  ( x ) dx = −1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2 2 =   x3 f  ( x ) dx     x dx      f  ( x )  dx  =     f  ( x ) dx =   f  ( x ) dx       0 0  0  0  ( ) Dấu xảy f  ( x ) = ax , với a  1 Ta có  x f  ( x ) dx = −1   x ax 3dx = −1  0 Suy f  ( x ) = −7 x  f ( x ) = − Do f ( x ) = ( ax7 = −1  a = −7 x4 + C , mà f ( 1) = nên C = 4 ) − x x  1  x4   x5  +  dx =  − + x = Vậy  f ( x ) dx =   − 4  20  0 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn  a; b  444 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b  b  b  Khi đó, ta có   f ( x ) g ( x ) dx     f ( x ) dx     g ( x ) dx  a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h ( x ) liên tục không âm đoạn  a; b   h ( x ) dx  a Xét tam thức bậc hai  f ( x ) + g ( x )  =  f ( x ) + 2 f ( x ) g ( x ) + g ( x )  , với   Lấy tích phân hai vế đoạn  a; b  ta  b b b  f ( x ) dx + 2  f ( x ) g ( x ) dx +  g ( x ) dx  , với   ( * ) 2 a a a Coi ( * ) tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   b  b  b     f ( x ) dx  −   f ( x ) dx   g ( x ) dx        a  a  a  b  b  b     f ( x ) dx     f ( x ) dx   g ( x ) dx       a  a  a  Câu 36: Chọn D Ta có: f  ( x ) = x  f ( x )   f ( x) f ( x) = x3   f ( x) f ( x) dx =  x 3dx   15 1 15  − − + =  f ( 1) = −  =  f ( x)  f ( ) f (1)  1 Câu 37: Chọn D Cách 1: 5 0 2  x f  ( x ) dx = x f ( x ) −  2xf ( x ) dx = 25.1 − 2 5tf ( 5t ) d ( 5t ) = 25 − 50.1 = −25 0 Cách 2: 1 Ta có: =  xf ( 5x ) dx Đặt t = 5x  dt = 5dx  dt = dx 51 5 1  =  t f ( t ) dt  = t f ( t ) dt   t f ( t ) dt = 25   x f ( x ) dx = 25  0 25 u = x du = xdx  Đặt I =  x f  ( x ) dx Đặt:  dv = f  ( x ) dx v = f ( x ) 5  I = x f ( x ) −  xf ( x ) dx = 25 f ( ) − 2.25 = −25 0 Câu 38: Chọn D Ta có: I =  xf (6 x)dx = Đặt t = x  dt = 6dx  dx = dt Đổi cận: Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 445 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Từ t = x  x = t 6 6 t dt f (t ) =  tf (t )dt =   tf (t )dt = 36   xf ( x)dx = 36  6 36 0 0 Từ ta có: I =   du = xdx u = x J =  x f '( x)dx Đặt    dv = f '( x)dx v = f ( x) 6 Suy ra: J =  x2 f '( x)dx = x f ( x) −  xf ( x)dx) = 36 f (6) − 2.36 = −36 0 Câu 39: Chọn D u = x + du = dx  Đặt  Khi I = ( x + 1) f ( x ) −  f ( x ) dx dv = f  ( x ) dx v = f ( x ) 1 0 Suy 10 = f (1) − f ( ) −  f ( x ) dx   f ( x ) dx = −10 + = −8 Vậy  f ( x ) dx = −8 Câu 40: Chọn D Đặt x = −t Khi − 0 3  f ( x ) dx =  f ( −t ) d ( −t ) = −  f ( −t ) dt =  f ( −x ) dx 3 Ta có: I = − Hay I = 3 I=  3 0 3 3 3 0  f ( x ) d ( x ) =  f ( x ) d ( x ) +  f ( x ) d ( x ) =  f ( −x ) d ( x ) +  f ( x ) d ( x ) − 3 3 0  ( f ( −x ) + f ( x )) d ( x ) =  + 2cos xd ( x ) = 3  0 3  2(1 + cos x)d ( x )  4cos xd ( x ) =  cos x d ( x ) =  cos xd ( x ) −  cos xd ( x )   3 Vậy I = 2sin x |02 −2sin x | = Câu 41: Chọn D Ta có: x + − x  , x  1;  nên: I= 446 ( x + 1) dx x + x x+1 = x ( x + 1) dx ( x+1 + x ) Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ( x + − x ) dx ( x + − x ) dx = x ( x + 1) ( x + + x )( x + − x ) x ( x + 1)  1  =  −  dx = ( x − x + ) = − − = 32 − x+1   x 2 1 = 2 12 − 1 a = 32  Mà I = a − b − c nên b = 12 Suy ra: P = a + b + c = 32 + 12 + = 46 c =  Câu 42: Chọn C Ta có: f ( x ) =  f  ( x ) dx =  1 dx = ln x − + C , với x  \   2x − 2  1 Xét  −;  Ta có f ( ) = , suy C = 2   1 Do đó, f ( x ) = ln x − + , với x   −;  Suy f ( −1) = + ln 2  1  Xét  ; +  Ta có f ( 1) = , suy C = 2  1  Do đó, f ( x ) = ln x − + , với  ; +  Suy f ( ) = + ln 2  Vậy f ( −1) + f ( ) = + ln + ln = + ln15 Câu 43: Chọn B Ta có f  ( x ) = x  f ( x )   f '( x) = x f ( x)   f '( x) 1 dx =  xdx  −  d  = x + C  f ( x) = −  =  xdx  − 2 f ( x) ( x)  f ( x)  x +C 1 Theo giả thiết f (2) = −  C =  f ( x) = − x +1 2 Từ suy f (1) = − Do f Câu 44: Chọn B   3 = − x = −x4 + C    = −4x  f ( x)  f ( x )   f ( x )  1  f ( 1) = − Do f ( ) = − , nên ta có C = −9 Do f ( x ) = − 25 10 x +9 Ta có f  ( x ) = x  f ( x )   − f ( x) Câu 45: Chọn C ( ) Ta có f ( x ) =  f  ( x ) dx =  2cos2 x + dx =  ( cos x + ) dx = sin x + x + C Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 447 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG f (0) =  C =  Vậy    1     + 16 + f ( x ) dx =   sin x + x +  dx =  − cos x + x + x  = 16   0 0 Câu 46: Chọn B 4 0 Cách 1:  x2 f  ( x ) dx = x f ( x ) −  xf ( x ) dx = 16.1 −  4tf ( 4t ) d ( 4t ) = 16 − 2.16.1 = −16 0 Cách 2: Đặt t = 4x  dt = 4dx Đổi cận: Khi đó:  xf ( x )dx = 4 1 tf ( t ) dt =  xf ( x ) dx  16 16 u = x du = xdx Xét: I =  x f ' ( x )dx : Đặt   dv = f ' ( x ) dx v =  f ' ( x ) dx = f ( x ) 4  I = x f ( x ) −  xf ( x ) dx = f ( ) − 2.16 = −16 0 Câu 47: Chọn C Ta có f '( x) = 2cos x + = + cos2x  f ( x) = x + sin x + C Ta lại có: f ( ) =  C =          + 8 + f ( x)dx =   x + sin x + dx =  x − cos2x+4x  =   0 0 Câu 48: Chọn C ( ) Ta có f ( x ) =  2sin x + dx =  ( − cos x ) dx = x − sin x +C Vì f ( ) =  C = hay f ( x ) = x − sin x +  Khi        2  + 16 − f ( x ) dx =   x − sin x +  dx =  x + cos x + x  = − + = 16 16     0 Câu 49: Chọn C f  ( x ) = 2sin x + = − cos x Có 1  ( − cos 2x ) dx = 4x − sin 2x + C suy f ( x ) = 4x − sin 2x + C Do f ( ) = nên C =  f ( x ) = x − sin x +          + 8 − f ( x ) dx =   x − sin x +  dx =  x2 + cos x + x  =  0  0 Câu 50: Chọn B 448 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Ta có: I =  xf (3x)dx = Đặt t = 3x  dt = 3dx  dx = Từ t = 3x  x = dt Đổi cận: 3 3 3 t dt f (t ) =   tf (t )dt =   tf (t )dt =   xf ( x)dx = 3 90 0 Từ ta có: I =   du = xdx u = x J =  x f '( x)dx Đặt    dv = f '( x)dx v = f ( x) 3 Suy ra: J =  x2 f '( x)dx = x f ( x) −  xf ( x)dx) = f (3) − 2.9 = −9 0 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” 449 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 450 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” ... = x + mx − 2m2 = + mx − 2m )  x2 − x − 4m2 + 2m = x2 + mx − 2m2  x − ( m + 1) x − 2m + 2m = Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt  ( m + 1) − ( −2m + 2m )  2  9m2 − 6m +  ... = 22 Xét hàm số g ( x ) = ? ?22 cos ( x ) Ta có ? ?22  g ( x )  22 Suy ra, max g ( x ) = 22 Vì f ( x ) = 22 max g ( x ) = 22 nên phương trình f ( x ) = g ( x ) có nghiệm f ( x ) = g ( x ) = 22 ... “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” D 22 183 CHUYÊN ĐỀ: MŨ VÀ LOGARIT Câu 10: Có số nguyên m  20 18 để phương trình log ( 20 18 x + m ) = log (1009 x ) có nghiệm thực? A 20 19 C 20 17 B 20 18 D 20 20 ( ) Câu