(NB) Tài liệu giảng dạy “Toán ứng dụng A” được biên soạn dựa trên các giáo trình Toán cao cấp của Nguyễn Đình Trí dùng cho sinh viên các Trường đại học, cao đẳng (2007), Nhà xuất bản Giáo dục; Giải tích toán học của Ngô Thành Phong (2016), Nhà xuất bản Giáo dục. Tài liệu giảng dạy gồm có 4 chương, giúp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Cực trị hàm hai biến; tích phân kép; tích phân đường; giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai và khảo sát sự hội tụ của chuỗi số.
TẬP ĐỒN DỆT MAY VIỆT NAM TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠNG NGHỆ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH GIÁO TRÌNH MƠN HỌC/MƠ ĐUN: TỐN ỨNG DỤNG A NGÀNH/NGHỀ: CƠNG NGHỆ THƠNG TIN TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số: /QĐ- ngày ………tháng năm…… ……… ……………………… TP HCM, năm 2021 TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin phép dùng ngun trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm LỜI GIỚI THIỆU Tài liệu giảng dạy “Toán Ứng dụng A” biên soạn dựa giáo trình Tốn cao cấp Nguyễn Đình Trí dùng cho sinh viên Trường đại học, cao đẳng (2007), Nhà xuất Giáo dục; Giải tích tốn học Ngô Thành Phong (2016), Nhà xuất Giáo dục Tài liệu giảng dạy dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành Công nghệ thông tin, Quản trị mạng máy tính, trình bày theo chương trình mơn học xây dựng Tài liệu giảng dạy giúp cho sinh viên kiến thức Cực trị hàm hai biến; tích phân kép; tích phân đường; giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai khảo sát hội tụ chuỗi số Tài liệu giảng dạy gồm chương: Chương I: H M M T I N - GI I H N V T NH I N T C - Đ O H M V VI PH N - T CH PH N C H M M T I N Chương II: H M H I I N, T CH PH N P, T CH PH N Đ NG Chương III: PH NG TR NH VI PH N Chương IV: CHU I Trong trình biên soạn, có nhiều cố gắng ko tránh khỏi hạn chế số thiếu sót định, nhóm tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý đọc giả để tài liệu giảng dạy ngày hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Tp HCM, ngày … tháng … năm 20… Tham gia biên soạn Nguyễn Minh Tuấn ê Nguyễn ăng Châu MỤC LỤC CHƯ NG I: HÀM MỘT BI N - GIỚI H N VÀ T NH LIÊN TỤC - Đ O HÀM VÀ VI PH N - T CH PH N CỦA HÀM MỘT BI N I.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ I Các khái niệm I .2 Một số tính chất hàm số I .3 Hàm số hợp, hàm số ngược I .4 Các số hàm sơ cấp I.2 GIỚI H N HÀM SỐ I.2 Giới hạn dãy số I.2.2 Giới hạn hàm số I.2.3 Giới hạn phía hàm số I.2.4 Giới hạn vô tận I.2.5 Giới hạn vô tận I.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC I.3 hái niệm I.3.2 Các tính chất hàm số liên tục I.3.3 Hàm gián đoạn I.4 Đ O HÀM, VI PHÂN CỦA HÀM SỐ I.4 Đạo hàm cấp I.4.2 Vi phân cấp I.4.3 Đạo hàm vi phân cấp cao I.5 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 10 I.5.1 Tích phân bất định 10 I.5.2 Tích phân xác định 17 I.5.3 Ứng dụng tích phân xác định 21 I.6 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 23 I.6.1 Tích phân có cận vơ tận 23 I.6.2 Tích phân hàm khơng bị chặn 24 CHƯ NG II : HÀM HAI BI N, T CH PH N P, T CH PH N ĐƯỜNG 28 II.1 HÀM HAI BI N 28 II.1.1 Khái niệm hàm hai biến 28 II.1.2 Giới hạn, tính liên tục hàm hai biến 28 II .3 Đạo hàm riêng vi phân hàm hai biến 29 II.1.4 Cực trị hàm hai biến 30 II.2 TÍCH PHÂN KÉP 31 II.2.1 Bài tốn thể tích hình trụ cong 31 II.2.2 Định nghĩa tích phân kép 32 II.2.3 Các tính chất tích phân kép 32 II.2.4 Cách tính tích phân kép hệ trục tọa độ Đề - 33 II.2.5 Cách tính tích phân kép hệ tọa độ cực 34 II.2.6 Ứng dụng tích phân kép 34 II.3 T CH PH N ĐƯỜNG 36 II.3 Tích phân đường loại 36 II.3.2 Tích phân đường loại hai 37 CHƯ NG III: PHƯ NG TRÌNH VI PH N 42 III.1 PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP MỘT 42 III.1.1 Khái niệm 42 III .2 Các phương trình khuyết 42 III .3 Phương trình vi phân có biến phân li (phương trình tách biến) 44 III .4 Phương trình đẳng cấp 45 III .5 Phương trình tuyến tính cấp 46 III .6 Phương trình ernoulli 46 III .7 Phương trình vi phân tồn ph n 47 III.2 PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP HAI 47 III.2.1 Khái niệm 47 III.2.2 Các phương trình khuyết 48 III.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 50 III.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số 51 CHƯ NG IV: CHU I 56 IV.1 Đ I CƯ NG VỀ CHU I SỐ 56 IV.2 CHU I SỐ DƯ NG 57 IV.2 Các định lí so sánh 58 IV.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 58 IV.3 CHU I SỐ CĨ DẤU BẤT KÌ 60 IV.3.1 Chuỗi đan dấu 60 IV.3.2 Chuỗi có dấu bất kì, hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 60 IV.4 CHU I LŨY THỪA 61 IV.4.1 Khái niệm 61 IV.4.2 Khai triển hàm sơ cấp theo chuỗi lũy thừa 63 IV.4.3 Ứng dụng chuỗi để tính g n 64 T I IỆU TH M HẢO GIÁO TRÌNH MƠN HỌC/MƠ ĐUN Tên mơn học/mơ đun: Tốn Ứng dụng A Mã môn học/mô đun: MH 07 Thời gian thực môn học: 60 giờ; ( ý thuyết: 30 giờ; ài tập: 27 giờ; giờ) iểm tra: I VỊ TR T NH CHẤT CỦA MƠN HỌC/MƠ ĐUN: - Vị trí: Mơn học tốn ứng dụng bố trí học vào năm - Tính chất: mơn học bắt buộc cho sinh viên thuộc chuyên ngành Quản trị mạng máy tính, Thiết kế đồ họa, Cơng nghệ thơng tin II MỤC TIÊU MƠN HỌC/MƠ ĐUN: Về kiến thức: - Nắm phương pháp tìm giới hạn hàm số biến số, phương pháp tính tích phân xác định, suy rộng ứng dụng thực tiễn - Phát biểu khái niệm, định lý, tính chất hàm nhiều biến, phương trình vi phân chuỗi số - iết cách tìm cực trị hàm nhiều biến, tính tích phân bội, tích phân đường, tìm nghiệm phương trình vi phân xét hội tụ chuỗi số Về kĩ năng: - Vận dụng phương pháp tính tích phân bội hệ tọa độ cực, phương pháp tính tích phân đường, phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân phương pháp xét hội tụ chuỗi số - iết ứng dụng cực trị toán tối ưu, tích phân bội việc tính thể tích diện tích, tích phân đường việc xác định độ dài đường cong bất kỳ, phương trình vi phân ngành điện, chuỗi số ngành kĩ thuật công nghệ Về tự chủ trách nhiệm: R n luyện tính cẩn thận, xác, tự học, tự nghiên cứu, ham học hỏi III NỘI DUNG MÔN HỌC/MÔ ĐUN: Nội dung tổng quát phân phối thời gian: Số TT Thời gian (giờ) Tổng Lý Bài tập iểm tra* Tên chương, mục số thuyết (LT TH) Chương Hàm số biến số 17 8 Chương Hàm hai biến, tích phân 17 8 kép, tích phân đường Chương Phương trình vi phân 17 8 Chương Chuỗi Cộng: 60 30 27 Nội dung chi tiết: Chương 1: Hàm số biến số Thời gian: 17 Mục tiêu: - Nắm cách tính giới hạn hàm biến số - Vận dụng công thức đạo hàm để tính cực trị hàm số ứng dụng - iết cách tính nguyên hàm, tích phân ứng dụng việc tìm diện tích thể tích hình mặt phẳng Nội dung chương: Giới hạn tính liên tục hàm số Thời gian: Ánh xạ, giới hạn dãy số Giới hạn hàm số 1.3 Hàm số liên tục Đạo hàm vi phân Thời gian: Đạo hàm hàm số biến số 2.2 Vi phân hàm số biến số Tích phân hàm biến số Thời gian: Nguyên hàm hàm biến số 3.2 Tích phân bất định hàm số biến số 3.3 Tích phân suy rộng hàm biến số Chương 2: Hàm hai biến,tích phân kép,tích phân đường Thời gian: 17 Mục tiêu: - Nắm phương pháp tìm cực trị ứng dụng liên quan kinh tế, khoa học kĩ thuật công nghệ - Nắm cách tính tích phân kép hệ tọa độ Oxy cách tính hệ tọa độ cực ứng dụng thực tế: tính khối lượng, diện tích thể tích vật thể - iết cách tính tích phân đường ứng dụng việc tính độ dài đường cong, trọng tâm dây cung Nội dung chương: Hàm hai biến Thời gian: hái niệm hàm hai biến Giới hạn, tính liên tục hàm biến Đạo hàm riêng ,vi phân hàm biến Cực trị hàm biến Tích phân kép Thời gian: 2.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép 2.2 Định nghĩa tích phân kép 2.3 Cách tính chất tích phân kép 2.4 Cách tính tích phân kép hệ tọa độ Đề 2.5 Cách tính tích phân kép hệ tọa độ cực 2.6 Ứng dụng tích phân kép Tích phân đường Thời gian: Tích phân đường loại 3.2 Tích phân đường loại Chương 3: Phương trình vi phân Thời gian: 17 Mục tiêu: - iết cách tìm nghiệm phương trình có biến phân ly, phương trình vi phân tuyến tính cấp - Nắm giải cách tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Nội dung chương: Phương trình vi phân cấp Thời gian: 10 1.1 hái niệm Phương trình khuyết Phương trình tách biến Phương trình đẳng cấp Phương trình tuyến tính cấp Phương trình ernoulli Phương trình vi phân tồn ph n Phương trình vi phân cấp 2 hái niệm Thời gian: 2.2 Phương trình khuyết 2.3 Phương trình tuyến tính cấp Chương 4: Chuỗi Mục tiêu: - Nắm cách xét hội tụ chuỗi số - Nắm ứng dụng chuỗi số khoa học kĩ thuật Nội dung chương: Đại cương chuỗi Chuỗi số dương Chuỗi có số hạng với dấu Chuỗi lũy thừa Thời gian: Thời gian: Thời gian: Thời gian: Thời gian: Chương III Phương trình vi phân BÀI TẬP Giải phương trình vi phân có biến phân li sau: 1) y' cos x xdy y ln y 2) 1 y ydx 1 x 0 1 x 2x 3) x 1e tgydx e dy ; y x 1 4) y ln y y' x ; y x 15 e 2 16 Giải phương trình vi phân đẳng cấp sau : 1) y' 2xy x y2 3) x sin 2) xy ' ln y y y' x y sin x x 4) y' y y x y ln x x 2x y x y 1 Giải phương trình vi phân tuyến tính sau: 1) y' 2xy 0 1 x2 x 3) y'2xy xe 2) y' y 4x 4) y' y x y4 x Giải phương trình vi phân cấp hai sau: 1) y = 2sinx.cos2x – sin3x 2) y" y' x x 3) y = x.e– x với điều kiện đ u: y x 0 , y' x 0 4) y.y – ( y )2 = với điều kiện đ u: y x 0 , y' x 0 Giải phương trình: (1 – x2)y – 2xy + 2y = Biết nghiệm riêng y1 = x Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số hằng: 1) y – 5y + 6y = 0, 2) y + 2y + 3y =0 3) y – 4y = – 12x2 – 6x – 4) y – 4y + 3y = e5x với điều kiện đ u: y x 0 , y' x 0 5) y – y = 2sinx – 4cosx 54 Chương IV Chuỗi CHƯ NG IV:CHU I IV.1 Đ I CƯ NG VỀ CHU I SỐ Định nghĩa IV.1.1: Cho dãy vô hạn số u1, u2, , un, Biểu thức: u n 1 n u1 u u n (IV.1.1) gọi chuỗi số, u1, u2, , un, số hạng, un gọi số hạng tổng quát n - Ta gọi: Sn u k tổng riêng thứ n chuỗi số (IV.1.2) k 1 u Sn S , ta nói chuỗi - Xét dãy tổng riêng {Sn}, nếu: nlim n 1 n hội tụ, S tổng ta viết: S u k n 1 - Nếu n , {Sn} không dẫn tới giới hạn xác định, ta nói u n 1 n phân kì - Nếu u n 1 n hội tụ có tổng S, ta gọi rn = S – Sn số dư thứ n dãy số Ví dụ: Xét chuỗi số a.q n 1 a aq aq aq n 1 n 1 a (1 q n ) - Nếu q < : chuỗi cấp số nhân lùi vơ hạn, có Sn u k 1 q k 1 n Sn vậy: nlim , 1 q a.q n 1 hội tụ, n 1 a.q n 1 n 1 1 q a (1 q n ) q n lim Sn , chuỗi phân kì - Nếu q > 1: Sn , nlim n 1 q n Sn , chuỗi phân kì - Nếu q = 1: Sn a a a n.a nlim k 1 n k 1 - Nếu q = – 1: Sn (1) a a a , Sn có giới hạn khơng xác định, chuỗi k 1 phân kì 56 Chương IV Chuỗi Vậy: a.q n 1 n 1 hội tụ q < , phân kì q Định IV.1.1: Nếu chuỗi số u n 1 un hội tụ nlim n n 1 Ví dụ: Xét tính hội tụ chuỗi số u n lim Giải: Do: nlim n n2 n 1 n 1 Vậy chuỗi số phân kì n2 u n khơng có kết luận tính hội tụ chuỗi Chú ý : Nếu nlim Ví dụ: Xét tính hội tụ chuỗi số n Giải: Ta có: Sn k 1 n 1 u n 1 n n 1 1 1 1 n k n n n n Sn , chuỗi phân kì ( Dù lim u n lim hay: nlim n n ) n Một số tính chất chuỗi số Tính chất 1: Nếu chuỗi số u n 1 n hội tụ có tổng S, chuỗi số au n 1 n hội tụ có tổng aS Tính chất 2: Nếu u n 1 n S1 v n 1 n S2 : u n 1 n v n S1 S2 Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì chuỗi số khơng thay đổi ta bớt số hữu hạn số hạng đ u tiên IV.2 CHU I SỐ DƯ NG Định nghĩa IV.2.1: Chuỗi số u n 1 gọi chuỗi số dương số hạng n số dương - Trong trường hợp số hạng chuỗi số số âm, ta có chuỗi số âm Việc nghiên cứu tính chất chuỗi số âm tương tự chuỗi số dương Nhận xét : Cho chuỗi số dương u n 1 n , Sn tổng riêng thứ n Sn+1 tổng riêng thứ n + Sn+1 > Sn, {Sn} dãy tăng, {Sn} bị chặn chuỗi hội tụ 57 Chương IV Chuỗi IV.2.1 Các định lí so sánh Định Nếu u I 2.1: Cho hai chuỗi số dương v n 1 n u hội tụ n 1 n 1 n n 1 n u hội tụ, phân kì n n 1 n , un ( n no) v n 1 n phân kì n! Ví dụ: Xét tính hội tụ chuỗi số n 1 n 1 1 mà n hội tụ ( do: q ), vậy: n 1 2 Giải: So sánh chuỗi số với chuỗi số n 1 n n! n , ta có: n! hội tụ n 1 Định v u I 2.2: Cho hai chuỗi số dương n 1 n v n 1 n , giả sử nlim un k - Nếu < k < + chuỗi số cho đồng thời hội tụ hay phân kì v - Nếu k = n 1 hội tụ n u n 1 - Nếu k = + v n 1 hội tụ n n u phân kì n 1 n phân kì n 1 n n 1 Ví dụ: Xét tính hội tụ chuỗi số Giải: So sánh với chuỗi số Mà chuỗi số n 1 n 1 un lim (n 1) , ta có: nlim v n n n phân kì, n n 1 phân kì n n 1 IV.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Định I 2.3: ( Tiêu chuẩn D’A e Cho chuỗi số dương u n 1 n nlim ert ) u n 1 k: un Khi k < u n 1 n hội tụ, k > u n 1 n phân kì 58 Chương IV Chuỗi Ví dụ: Xét tính hội tụ chuỗi số Giải: Ta có: nlim Vậy: n 2 n 1 Định n n 2 n 1 u n 1 n 1 n lim n 1 : n n un n n 1 nlim 2n hội tụ I 2.4: ( Tiêu chuẩn Cauchy ) Cho chuỗi số dương u n 1 n n u k nlim : n Khi k < u n hội tụ, k > n 1 u n 1 n phân kì 3n Ví dụ: Xét tính hội tụ chuỗi số n 1 2n n u lim Giải: Ta có : nlim n n n 3n 2n n 3n phân kì Vậy: n 1 2n Định I 2.5: ( Tiêu chuẩn tích phân ) Cho chuỗi số dương u n 1 n có số hạng tương ứng giá trị hàm liên tục f(x) trị số nguyên dương đối số, f(x) đơn điệu giảm khoảng [1 ; + ) hi nếu: u n hội tụ, f ( x )dx phân kì u n phân kì f (x)dx hội tụ n 1 n 1 1 Ví dụ: Xét tính hội tụ chuỗi số n n 1 ( ) dx Giải: Xét hàm số f(x) = đơn điệu giảm khoảng [1 ; +), đặt: I x x - Với = 1: I1 dx A lim ln x 1 x A 59 Chương IV Chuỗi A A x1α dx - Với < 1: I α α Alim α x 1 x1α dx I lim - Với > 1: α α A x 1 α 1 α dx Vậy: với > I hội tụ, I x Do chuỗi số Khi = 1: n n 1 dx x phân kì hội tụ > 1, phân kì 1 n n phân kì n 1 Chuỗi có tên gọi chuỗi điều hịa IV.3 CHU I SỐ CĨ DẤU BẤT KÌ IV.3.1 Chuỗi đan dấu Định nghĩa IV.3.1: Chuỗi số: 1 n 1 n 1 u n u1 u 1 u n n 1 (IV.3.1) gọi chuỗi đan dấu Định IV.3.1: ( Tiêu chuẩn Leibnitz ) - Cho chuỗi đan dấu (IV.1.3) Nếu dãy {un} đơn điệu giảm un n chuỗi cho hội tụ tổng chúng không vượt số hạng đ u tiên Ta có: n 1 1n 1 1n1 n n Thỏa mãn điều kiện tiêu chuẩn Leibnitz nên hội tụ Chuỗi có tên gọi chuỗi đan dấu điều hịa IV.3.2 Chuỗi có dấu bất kì, hội tụ tuyệt đối bán hội tụ - Với chuỗi số có dấu ta có định lí so sánh sau: Định u I 3.2: Nếu chuỗi số n 1 n hội tụ u n 1 n hội tụ Chú ý điều kiện n 1 1n 1 n u n 1 n hội tụ chuỗi hội tụ điều kiện đủ Chẳng hạn chuỗi số 1n 1 n 1 n phân kì n 1 n 60 Chương IV Chuỗi Định nghĩa IV.3.2: Chuỗi số hội tụ, u n hội tụ mà n 1 u n 1 n gọi hội tụ tuyệt đối u n 1 u n 1 n n khơng hội tụ, ta nói u n 1 n bán hội tụ Tính chất: - Nếu u n 1 n v n 1 n hội tụ tuyệt đối có tổng S1,S2 tích chúng hội tụ tuyệt đối có tổng S = S1.S2 - Nếu u n 1 hội tụ tuyệt đối có tổng S ta thay dổi cách tùy ý số n hạng chuỗi hội tụ tuyệt đối có tổng S Nếu u n 1 n bán hội tụ ta thay dổi cách tùy ý số hạng chuỗi chuỗi hội tụ tổng khác phân kì IV.4 CHU I LŨY THỪA IV.4.1 Khái niệm Định nghĩa IV.4.1: Ta gọi chuỗi hàm chuỗi mà số hạng hàm theo biến số x: u n 1 n ( x ) u1 ( x ) u ( x ) u n ( x ) (IV.4.1) - Nếu cho x = xo , ta chuỗi số: u n 1 n (x o ) (IV.4.2) - Nếu chuỗi số (IV.4.2) hội tụ điểm xo gọi điểm hội tụ chuỗi (IV.4.1), tập hợp điểm hội tụ gọi miền hội tụ (IV.4.1) Nếu chuỗi số (IV.4.2) phân kì điểm xo gọi điểm phân kì chuỗi (IV.4.1) n - Tổng: Sn ( x ) u k ( x ) gọi tổng riêng thứ n chuỗi (IV.4.1) Nếu k 1 lim Sn ( x) S(x ) ta gọi S(x) tổng (IV.4 ), trường hợp hợp ta nói n chuỗi (IV.4.1) hội tụ hàm S(x) Ví dụ: x n 0 n x x x n hội tụ hàm S( x ) x < 1, 1 x phân kì x Vậy miền hội tụ chuỗi (– ; ) Định I 4.1: (Tiêu chuẩn Weierst’rass ) 61 Chương IV Chuỗi - Cho chuỗi hàm u n 1 n ( x ) Nếu có chuỗi số dương a n 1 n hội tụ vàun( x) an n N, x X u n 1 n ( x ) hội tụ tuyệt đối xn Ví dụ: Xét hội tụ chuỗi hàm: với x [ – ; 1] n 1 n n xn Giải: Ta có: , x [ – ; 1], n n n n n xn mà hội tụ, vậy: hội tụ tuyệt đối n 1 n n n 1 n n Định nghĩa IV.4.2: Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm, có dạng: a n 0 n ( x x o ) n a o a ( x x o ) a n ( x x o ) n (IV.4.3) - Với xo = 0, ta có chuỗi lũy thừa: a n 0 n x n a o a 1x a x a n x n (IV.4.4) Chú ý: Chuỗi (IV.4.3) đưa chuỗi (IV.4.4) phép đổi biến x – xo = x ta c n nghiên cứu chuỗi (IV.4.4) Định IV.4.2: (Định l Abel ) - Nếu chuỗi (IV.4.4) hội tụ x = xo hội tụ tuyệt đối x: x < xo Hệ quả: Nếu chuỗi (IV.4.4) phân kì x = xo phân kì x: x > xo - Khi x = chuỗi (IV.4.4) hội tụ ao Vậy chuỗi (IV.4.4) ln có điểm hội tụ Từ định lí Abel, ta thấy xo điểm hội tụ điểm thuộc (–xo ; xo) điểm hội tụ, xo điểm phân kì điểm thuộc khoảng (– ; –xo ) (xo ; + ) điểm phân kì Vậy tồn số r < + để chuỗi (IV.4.4) hội tụ tuyệt đối khoảng (– r ; r) phân kì khoảng (– ; –r ), (r ; + ) Số r gọi bán kính hội tụ khoảng(– r ; r) chuỗi (IV.4.4) Quy tắc tìm bán kính hội tụ Định I 4.3: Nếu nlim a n 1 ρ (hoặc lim n an ρ )thì: n an 62 Chương IV Chuỗi 1 ρ ρ r 0 ρ ρ Ví dụ: Tìm bán kính miền hội tụ chuỗi lũy thừa: xn x2 xn x n n 1 n Giải: Ta có: nlim - Tại x = 1: a n 1 n lim 1 n n an 1 r=1 n n chuỗi điều hịa nên phân kì n 1 - Tại x = – 1: 1n n 1 n 1 1 chuỗi đan dấu nên hội tụ n n Vậy miền hội tụ chuỗi [– ; 1) IV.4.2 Khai triển hàm sơ cấp theo chuỗi lũy thừa - Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp lân cận điểm xo biểu diễn dạng tổng chuỗi lũy thừa lân cận điểm xo hi ta viết: f(x) = ao + a1(x – xo) + a2(x – xo)2 + + an(x – xo)n + ( = const ) f (n ) (x o ) đó: ao = f(xo), a1 = f(xo), , a n , n! f ' (x o ) f (n ) (x o ) ( x x o ) ( x x o ) n hay: f ( x ) f ( x o ) 1! n! Với x = 0: f ' (0) f ' ' (0) f ( n ) (0) n f ( x ) f (0) x x x 1! 2! n! (IV.4.5) (IV.4.6) Chuỗi vế phải (IV.4.5) gọi chuỗi Taylor, chuỗi vế phải (IV.4.6) gọi chuỗi Maclaurin Định I 4.4: Nếu lân cận điểm xo hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp trị tuyệt đối đạo hàm bị chặn mơt số khai triển f(x) thành chuỗi Taylor lân cận 63 Chương IV Chuỗi Khai triển số hà sơ cấp thành chuỗi Maclaurin - Trong ph n ta khai triển số hàm sơ cấp thành chuỗi Maclaurin: 1) f(x) = ex : Với x, ta có f(n)(x) = ex, f(n)(0) = eo = Do chuỗi x2 xn x x Maclaurin hàm số e là: e x 2! n! π (n) (n) 2) f(x) = sinx : Do f ( x ) sin x n f (x ) , x Ta lại có: 2 f(0) = f(2k)(0) = 0, f(4k+1)(0) = 1, f(4k+3)(0) = – Do chuỗi Maclaurin hàm số sinx là: n 1 x3 x5 n 1 x sin x x (1) 2n 1! 3! 5! 3) f(x) = (1 + x) : Ta có: f(0) = 1, f(0) = , f(0) = ( – 1), , f(n)(0) = ( – 1) ( – n + ) Do chuỗi Maclaurin hàm số (1 + x) là: 1 x α αx α(α 1) x α(α 1) (α n 1) 2! n! Tìm khoảng hội tụ chuỗi đó, ta có: a n 1 α(α 1) (α n) n! αn lim lim 1 n a n n n n ! α(α 1) (α n 1) n lim Vậy chuỗi hội tụ x < Chuỗi (III.2.11) gọi chuỗi nhị thức Đặc biệt n = – 1: x x (1) n x n 1 x IV.4.3 Ứng dụng chuỗi để tính g n - Giả sử f(x) khai triển thành chuỗi Taylor lân cận điểm xo f (x) f (x o ) f ' (x o ) f (n ) (x o ) ( x x o ) ( x x o ) n 1! n! Vì x – xo nhỏ, nên ta cho : f ' (x o ) f (n ) (x o ) f (x) f (x o ) ( x x o ) (x x o ) n 1! n! (IV.4.7) Tùy theo độ xác cho trước, ta xác định số số hạng c n lấy vế phải (IV.4.7) Ví dụ: Tính số e với độ xác đến 0,00001 Giải: Ta có cơng thức g n tính số e: 64 Chương IV Chuỗi x2 xn e 1 x , số e trị hàm ex x = 2! n! x ( n 1) ( x) e x e Do đó: Với x [0 ; 1], ta có: f n 1 x e e n 1 R n (x) x n 1 x 3 R n (1) (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! Để tính e với xác 0,0000 ; ta c n xác định n cho: 0.00001 (n 1)! n = Do đó: e 11 1 1 1 2.718278 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 65 Chương IV Chuỗi BÀI TẬP Tính tổng riêng tổng (nếu có) chuỗi số sau: 1) 1 1 1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2) 2n 36 144 n (n 1) 2 Xét tính hội tụ ( phân kì ) chuỗi số sau: 4) n 1! n 1 5) 2n 3) 1n1 (n 1) n 1 Chứng minh chuỗi số a n 1 n(n 1) n 1 6) sin n 1 n n2 n 1 n 1 2) n 1 n 1 ( 2n 1) 2 1) b n 1 n n hội tụ a n 1 n b n hội tụ tuyệt đối Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: 1) e (1) n 1 n x 2) n n 1 nx n 1 1 x 5) n 1 2n x 4) (nx) n n 1 3) n 5x n n 1 n! 6) n 1 x 1n n Khai triển Maclaurin cho hàm sơ cấp sau: 1) f ( x ) x e e x 4) f ( x ) 1 x 2) f ( x ) 1 x 3) f (x) ln(1 x) 5) f (x) arctgx Tính g n ln2 với độ xác đến 0,00001 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp dùng cho sinh viên Trường đại học, cao đẳng (2007), Nhà xuất Giáo dục [2] Ngô Thành Phong, Giải tích tốn học (20 6), Nhà xuất Giáo dục 56 ... - ( R) (u) = u - u ( R) (ax) = ax.lna (a R, a > 0, a ) (au) = au.lna u (a R, a > 0, a ) (ex) = ex (eu) = eu u log x a (a R, a > 0, a ) x ln a log u a. .. cung Ao =A AB Ta có : F P(x, y)i Q(x, y) j - Nếu F không đổi AB thẳng cơng lực Ai F(M ) i Ai-1 O x F : A F AB cos F, AB F.AB Để tính cơng lực F F(M) sinh cung ta làm sau : - Chia cung... AB thành n cung nhỏ liền kề điểm Ao =A, A1 ,A2 , ,An=B Gọi độ dài cung Ai – Ai Si chiếu vectơ A i 1A i lên hai trục Ox, Oy theo thứ tự xi , yi Với điểm Mi(xi,yi) di chuyển cung Ai – Ai từ Ai –