ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số 23
23
xxy
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
x
m
xx theo tham số m.
Câu II (2.0 điểm )
1. Giải phương trình:
2
3 4 2 2 2 1 2
sin x cos x sin x
2. Giải phương trình:
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .
Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân
3
2
3
xsin x
I dx.
cos x
Câu IV(1.0điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
3
2
1
2
1
zyx
và mặt phẳng
012:)(
zyxP .Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương
trình của đường thẳng
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong )(P .
Câu V:(1.0điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm quỹ tích các
điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy .
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a(2.0 điểm)
1. Cho hàm số 3
2
sin)(
2
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)(
xf
có đúng hai nghiệm.
2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
Câu VII.a(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC
có
0 5
A ; .
Các đường phân giác và trung tuyến
xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0
d : x y ,d : x y .
Viết phương trình ba cạnh
của tam giác ABC.
B.Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2.0 điểm)
1. Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
xxxx
.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x =
2
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là
tam giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng )(P vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt
phẳng )(P và hình chóp.
Hết đề …
Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……… …………… ; Số báo danh:. . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
Câu I
2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2
y x x .
Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.
Sự biến thiên:
2
3 6
y' x x.
Ta có
0
0
2
x
y'
x
0,25
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .
0,25
Bảng biến thiên:
x
0 2
y'
0
0
y
2
2
0,25
a)
Đồ thị:
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2
x
m
xx theo tham số m.
b)
Ta có
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của
2
2 2 1
y x x x , C'
và đường
thẳng
1
y m,x .
0,25
Vì
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
nên
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1
x .
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1
x
qua Ox.
0,25
Đồ thị:
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
0,25
Dựa vào đồ thị ta có:
+
2
m :
Phương trình vô nghiệm;
+
2
m :
Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
2 0
m :
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0
m :
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
Câu II 2 điểm
Giải phương trình
2
3 4 2 2 2 1 2
sin x cos x sin x
Biến đổi phương trình về dạng
2 3 2 1 2 1 0
sin x sin x sin x
0,75
a)
Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5 2
2 2
6 6 18 3 18 3
k k
x k ;x k ;x ;x
0,25
Giải phương trình
2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .
Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ;x ;x ;x .
Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
Với
1
x
. Đặt
2
x
t log
và biến đổi phương trình về dạng
2 42 20
0
1 4 1 2 1
t t t
0,5
b)
Giải ra ta được
1 1
2 4
2
2
t ;t x ;x .
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
0,25
1
4
2
x ;x .
Câu III 1.0 điểm
Tính tích phân
3
2
3
xsin x
I dx.
cos x
Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 3
3
3
3 3
1 4
3
x dx
I xd J,
cosx cosx cosx
với
3
3
dx
J
cosx
0,25
Để tính J ta đặt
t sin x.
Khi đó
3
3
3 2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
1 2 1
2 3
dx dt t
J ln ln .
cosx t t
0,5
a)
Vậy
4 2 3
3
2 3
I ln .
0,25
Câu IV 1.0 điểm
Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương
trình của đường thẳng
đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong )(P .
Tìm giao điểm của d và (P) ta được
1 7
2
2 2
A ; ;
0,25
Ta có
2 1 3 2 1 1 1 2 0
d P d p
u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;
uur uur uur uur uur
0,5
Vậy phương trình đường thẳng
là
1 7
2 2
2 2
: x t; y t; z .
0,25
Câu V 1.0 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm
quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy .
, ; ; ; ;
2 2 2 2 1 1 1
OA OB
uuur uuur
:
0
OAB x y z
.
:
0
Oxy z
.
; ;
N x y z
cách đều
OAB
và
Oxy
, ,
d N OAB d N Oxy
1
3
x y z z
.
3 1 0
3
3 1 0
x y z
x y z z
x y z
Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình
3 1 0
x y z
và
3 1 0
x y z
.
Câu VIa 2.0 điểm
1.
Cho hàm số 3
2
sin)(
2
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng
minh rằng 0)(
xf có đúng hai nghiệm.
Ta có
x
f ( x ) e x cos x.
Do đó
0
x
f ' x e x cos x.
0,25
Hàm số
x
y e
là hàm đồng biến; hàm số
y x cosx
là hàm nghịch biến
vì 1 0
y' sin x , x
. Mặt khác
0
x
là nghiệm của phương trình
x
e x cos x
nên nó là nghiệm duy nhất.
0,25
Lập bảng biến thiên của hàm số
y f x
(học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình 0)(
xf có đúng hai nghiệm.
Từ bảng biến thiên ta có
2 0
min f x x .
0,5
Cho hàm số 3
2
sin)(
2
x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng
minh rằng 0)(
xf có đúng hai nghiệm.
Ta có
x
f ( x ) e x cos x.
Do đó
0
x
f ' x e x cos x.
0,25
2.
. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Câu
VII.a
1.0 điểm
Trong mặt phẳng Oxy cho
ABC
có
0 5
A ; .
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0
d : x y ,d : x y .
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
Ta có
1 2
2 1 3 5 0
B dd B ; AB : x y .
0,25
Gọi
A'
đối xứng với A qua
1
2 3 4 1
d H ; ,A' ; .
0,25
Ta có
3 1 0
A' BC BC : x y .
0,25
Tìm được
28 9 7 35 0
C ; AC : x y .
0,25
Câu VI.b 2.0 điểm
Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3
xxxx
Biến đổi phương trình đã cho về dạng
2 2 2 2
9
3 2 27 3 6 2 3
4
x x x x
. . . .
0,5
1.
Từ đó ta thu được
3
2
3 2 2
2
39 39
x
x log
0,5
2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
y = x.sin2x, y = 2x, x =
2
Ta có:
x.sin2x = 2x
x.sin2x – 2x = 0
x(sin2x – 2) =0
x = 0
Diện tích hình phẳng là:
2
0
2
0
)22(sin)22sin.(
dxxxdxxxxS
Đặt
x
x
v
dxdu
dxxdv
xu
2
2
2cos
)22(sin
44424
222
S
(đvdt)
0.5
0.5
Câu
VII.b
1.0 điểm
Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam
giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng )(P vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp.
Học sinh tự vẽ hình
0,25
Để dựng thiết diện, ta kẻ
AC' SC.
Gọi
I AC' SO.
0,25
Kẻ
B' D'
//
BD.
Ta có
2
1 1 2 3 3
2 2 3 2 6
AD' C' B'
a a
S B' D' .AC' . BD. .
0,5
. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số 23
23
xxy
1 …………… ; Số báo danh:. . . . . . . . .
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
Câu I
2 điểm
Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị