Contributions To The Ekeland Variational Principle Oriented To Some Different Applications

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ PHƯỚC HẢI MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND HƯỚNG VÀO CÁC ÁP DỤNG KHÁC NHAU Ngành: Toán ứng dụng Mã số ngành: 62460112 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh năm 2022 Cơng trình hồn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Phan Quốc Khánh Phản biện 1: PGS.TS Lê Thanh Tùng Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Đình Huy Phản biện 3: TS Phạm Duy Khánh Phản biện độc lập 1: GS.TS Lâm Quốc Anh Phản biện độc lập 2: PGS.TS Bùi Trọng Kiên Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, vào hồi , ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM Danh mục cơng trình [1] L.P Hai, L Huerga, P.Q Khanh, V Novo (2019) Variants of the Ekeland variational principle for approximate proper solutions of vector equilibrium problems, J Glob Optim., 74, 361-382 [2] L.P Hai, P.Q Khanh (2020) An induction theorem and Ekeland’s variational principle in partial metric spaces with applications, Optimization, 69, 1481-1511 [3] L.P Hai (2021) Ekeland variational principles involving set perturbations in vector equilibrium problems, J Glob Optim., 79, 733-756 [4] L.P Hai, P.Q Khanh, A Soubeyran (2021) General versions of the Ekeland variational principle, Ekeland points and stop and go dynamics, submitted Lời Mở Đầu Trong phần này, tổng quan vấn đề nghiên cứu động dẫn đến hình thành kết nghiên cứu luận án Đồng thời, mô tả bình luận vắn tắt cho chương luận án Chương Kiến Thức Chuẩn Bị Trong chương này, nhắc lại số chất liệu cơ giải tích tối ưu liên quan trực tiếp đến kết luận án Đồng thời, nhiều khái niệm đề xuất không gian metric riêng phần, mở rộng tự nhiên từ quan điểm không gian metric thông thường giả thiết gắn song hàm so sánh với giả thiết thường lệ sử dụng tài liệu trước Ngồi ra, chúng tơi cịn đưa số ví dụ minh họa 1.1 Vài khái niệm quy ước Mục nhắc lại vài khái niệm kí hiệu chuẩn mực liên quan giải tích như: phần trong, bao đóng, biên tập không gian topo; miền hữu hiệu ánh xạ vô hướng, đồ thị ánh xạ đa trị, hàm ngược đa trị; quan hệ thứ tự tập đó, thứ tự sinh nón, khái niệm kí hiệu liên quan đến nón bao nón, cực nón Ngồi ra, cịn có khái niệm quy ước kí hiệu khác nhằm thống trình bày luận án 1.2 1.2.1 Cơ không gian metric riêng phần Khái niệm không gian metric riêng phần Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau Matthews giới thiệu vào năm 1992 Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng Hàm p : X × X → R+ gọi metric riêng phần X, với bất x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: (p1 ) p(x, x) = p(y, y) = p(x, y) ⇔ x = y; (p2 ) p(x, x) ≤ p(x, y); (p3 ) p(x, y) = p(y, x); (p4 ) p(x, y) ≤ p(x, z) + p(z, y) − p(z, z) Khi đó, X trang bị p gọi không gian metric riêng phần kí hiệu (X, p) 1.2.2 Mô tả hội tụ thông qua dãy Trong mục này, số định nghĩa bổ đề liên quan đến hội tụ nhắc lại Định nghĩa 1.2 (sự hội tụ, dãy Cauchy, tính đầy đủ) Bổ đề 1.1 (mối quan hệ tính đầy đủ không gian metric riêng phần không gian metric) Bổ đề 1.2 (một tính chất liên quan đến hội tụ theo metric riêng phần tương tự với hội tụ theo metric) Định nghĩa 1.3 (ngoài khái niệm khoảng cách metric riêng phần đến tập đề xuất thêm khái niệm phủ tập tập khác) Bổ đề 1.3 (liên quan đến bao đóng tập) 1.2.3 Tính nửa liên tục dưới, giới hạn tập con, tính nửa liên tục ngồi ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4 (tính nửa liên tục nhắc lại) Định nghĩa 1.5 (một nới lỏng tính nửa liên tục dưới) ϕ : X → R gọi nửa liên tục giảm chặt (nlt-gc) x, ϕ(x) ≤ liminf n ϕ(xn ) bất p kể xn → x ϕ(xn+1 ) < ϕ(xn ) Ví dụ 1.1 (tính nửa liên tục giảm chặt yếu thực tính nửa liên tục dưới) Định nghĩa 1.6 (một đề xuất tính nửa liên tục ngồi tập tính nửa liên tục ngồi ánh xạ đa trị không gian metric riêng phần) 1.3 Họ xấp xỉ nón, tốn cân vector hàm tách khơng lồi Trong suốt luận án, khơng có ghi đặc biệt (X, d) ln khơng gian metric đầy đủ Y không gian topo tuyến tính Hausdorff, lồi địa phương có khơng gian topo liên hợp Y ∗ Nhưng viết đơn giản X tồn mục 1.3, khơng có nhầm lẫn Ngoài từ trở sau, Y thứ tự riêng phần nón có đỉnh, lồi, đóng, thực D ⊂ Y ({0} = D = Y ), tức y1 , y2 ∈ Y, y1 ≤D y2 ⇐⇒ y2 − y1 ∈ D 1.3.1 Giới thiệu họ xấp xỉ nón Mục này, nhắc lại khái niệm họ xấp xỉ nón xây dựng cụ thể họ xấp xỉ số trường hợp đặc biệt Định nghĩa 1.7 (họ xấp xỉ nón) Mệnh đề 1.1 (xây dựng cụ thể tập xấp xỉ đề cập định nghĩa trên) 1.3.2 Một cách nhìn nghiệm xấp xỉ cho toán cân vector Cho song hàm vector F : X × X → Y Chúng ta xét toán cân vector sau Tìm x0 ∈ Xsao cho F (x0 , X) ∩ (−D\{0}) = ∅ (VEP) Khi đó, chúng tơi nhắc lại nhiều khái niệm kí hiệu liên quan đến (VEP) như: tập nghiệm hữu hiệu, tập nghiệm hữu hiệu yếu, tập nghiệm hữu hiệu thường Henig; đặc biệt nữa, nhắc lại khái niệm tính hữu hiệu xấp xỉ (chính thường) đề xuất cho toán cân vào năm 2018, luận án J.L Ródenas-Pedregosa thực Tây Ban Nha Định nghĩa 1.8 (nghiệm hữu hiệu Henig) Cho tập khác rỗng C ⊂ Y \{0} gọi C : R+ ⇒ Y ánh xạ đa trị định nghĩa C(ε) := εC (cone C)\{0} ε > 0, ε = 0, H := {∅ = C ⊂ Y \{0} : C ∩ (−D) = {0}}, H := {∅ = C ⊂ Y \{0} : cl cone C ∩ (−D) = {0}}, G(C) := D ⊂ Y : D nón lồi đặc, D\{0} ⊂ int D , C ∩ (− int D ) = ∅ Định nghĩa 1.9 (nghiệm hữu hiệu-(C, ε)) Định nghĩa 1.10 (nghiệm hữu hiệu thường-(C, ε) theo nghĩa Benson) Định nghĩa 1.11 Cho ε ≥ C ∈ H Điểm x0 ∈ X gọi nghiệm hữu hiệu thường-(C, ε) Henig (VEP)(và kí hiệu x0 ∈ He(F, X, C, ε)) tồn D ∈ G(C) cho F (x0 , X) ∩ (−C(ε) − int D ) = ∅ Chúng tơi đưa ví dụ sau chứng tỏ tính áp dụng nghiệm hữu hiệu thường-(C, ε) Henig tập thích hợp C Ví dụ 1.2 Cho X = R2 , Y = R2 , D = R2+ , f : R2 → R2 định nghĩa f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) (x1 , x2 ) ∈ R2+ , f (x1 , x2 ) = (1, 1), ra; đặt F ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = f (y1 , y2 ) − f (x1 , x2 ) Khi đó, E(F, X, D) = {(0, 0)} WE(F, X, D) = bd R2+ không bị chặn Tuy nhiên, với C = co{(1, 0), (0, 1)} + D < ε < 2, He(F, X, C, ε) = {(x1 , x2 ) ∈ R2+ : x2 ≤ ε − x1 } bị chặn biễu diễn tập xấp xỉ đủ tốt cho tập nghiệm hữu hiệu ε đủ nhỏ Bổ đề 1.4 (I Kaliszewski (1994)) Đối với (VEP), sau áp đặt hai giả thiết sau song hàm F , nhằm nới lỏng tính chất bất đẳng thức tam giác thường sử dụng nghiên cứu toán liên quan đến song hàm Với x, y, z ∈ X, (AD ) Nếu F (x, z) ∈ −D F (z, y) ∈ −D, (F (x, z), F (y, z)) = (0, 0) F (x, y) ≤D F (x, z) + F (z, y); (BD ) Nếu F (x, z) ∈ −D F (z, y) ∈ −D, (F (x, z), F (y, z)) = (0, 0) F (x, y) ∈ −D Khi đó, “tính chất bất đẳng thức tam giác” ⇒ (AD ) ⇒ (BD ) Ví dụ 1.3 (minh họa (AD ) “tính chất bất đẳng thức tam giác”) Ví dụ 1.4 (minh họa (BD ) (AD )) 1.3.3 Một suy rộng hàm vơ hướng hóa phi tuyến Gerstewitz Phần nhắc lại định nghĩa vài tính chất kiểu hàm Gerstewitz/Tammer suy rộng đưa Qiu (cùng cộng sự) năm 2019, 2020 Định nghĩa 1.12 Bổ đề 1.5 (các tính chất gần giống với hàm Gerstewitz thơng thường) Chương Định Lý Quy Nạp, Nguyên Lý Biến Phân Ekeland Và Những Ứng Dụng Chương quan tâm nghiên cứu số chủ đề quan trọng giải tích biến phân không gian metric riêng phần như: định lý quy nạp, nguyên lý biến phân Ekeland (gọi tắt EVP cho tiện) điểm bất động 2.1 Định lý quy nạp Định lý 2.1 Cho X không gian metric riêng phần 0-đầy đủ, Φ : R+ ⇒ X, t > x ∈ Φ(t) Giả sử Φ nửa liên tục theo p tồn dãy số dương (αn ) (βn ) cho ∞ βn < ∞, r := (2.1) n=0 α0 := t αn ↓ n → ∞, (2.2) p(u, Φ(αn+1 )) < βn , ∀u ∈ Φ(αn ) ∩ Un , (2.3) U0 := {x} Un := Bp (x, cho p(z, z) = p(x, z) < r n−1 k=0 βk ) Khi đó, tồn z ∈ Φ(0) Định lý 2.2 sau ví dụ minh họa cho ứng dụng định lý quy nạp để đưa ước lượng metric riêng phần tương tự cơng trình Khánh cộng vào năm 2015 Định lý 2.2 2.2 Các dạng nguyên lý biến phân Ekeland Áp dụng định lý quy nạp (Định lý 2.1), chứng minh kết sau Định lý 2.3 (EVP mạnh thứ nhất) Cho X 0-đầy đủ, ϕ : X → R thường, nlt-gc, bị chặn ε > Giả sử x ∈ X thỏa ϕ(x) ≤ inf ϕ + ε X Khi đó, với λ > 0, tồn z ∈ X cho (i) p(z, x) ≤ λ + p(x, x); (ii) ϕ(z) ≤ ϕ(x); (iii) ϕ(u) + ε p(z, u) ≥ ϕ(z) với u ∈ X λ Định nghĩa 2.1 (điểm Ekeland loại 1) Cho ϕ : X → R, x ∈ X ε, λ số dương Đặt ε Ex1 := z ∈ X : ϕ(z) ≤ ϕ(x) − [p(x, z) − min{p(x, x), p(z, z)}] , λ ε G := z ∈ X : ∃u = z thỏa ϕ(u) + p(z, u) ≤ ϕ(z) λ Khi đó, z ∈ Ex1 gọi điểm Ekeland ϕ (liên quan đến x, ε λ) Ez1 ∩ G = ∅ Định lý 2.4 (sự tồn điểm Ekeland loại 1) Cho X 0-đầy đủ, ϕ : X → R thường, nlt-gc, bị chặn ε, λ số dương Khi đó, với x ∈ X, tồn điểm Ekeland loại ϕ (liên quan đến x, ε λ) Định lý 2.5 (EVP mạnh thứ 2) Cho X 0-đầy đủ, ϕ : X → R thường, nlt-gc, bị chặn ε > Giả sử x ∈ X thỏa ϕ(x) ≤ inf ϕ + ε X Khi đó, với λ > 0, tồn z ∈ X cho (i) p(z, x) ≤ λ + min{p(z, z), p(x, x)}; ε (ii) ϕ(z) ≤ ϕ(x) − [p(z, x) − min{p(z, z), p(x, x)}]; λ ε (iii) ϕ(u) + p(z, u) > ϕ(z) với u ∈ X\{z} λ Hệ 2.1 (EVP yếu thứ nhất) Định nghĩa 2.2 (điểm Ekeland loại 2) Cho ϕ : X → R, x ∈ X ε, λ số dương Cho Ex1 Định nghĩa 2.1 ε G := z ∈ X : ∃u = z, ϕ(u) + [p(z, u) − min{p(z, z), p(u, u)}] ≤ ϕ(z) λ Khi đó, z ∈ Ex1 gọi điểm Ekeland loại ϕ (liên quan đến x, ε λ) Ez1 ⊂ G Định lý 2.6 (sự tồn điểm Ekeland loại 2) Cho X 0-đầy đủ, ϕ : X → R thường, nlt-gc, bị chặn ε, λ số dương Khi đó, với x ∈ X, tồn điểm Ekeland loại Định lý 2.7 (EVP mạnh thứ 3) Cho X 0-đầy đủ, ϕ : X → R thường, nlt-gc, bị chặn ε > Giả sử x ∈ X thỏa ϕ(x) ≤ inf ϕ + ε X Khi đó, với λ > 0, tồn z ∈ X cho (i) p(z, x) ≤ λ + min{p(z, z), p(x, x)}; ε (ii) ϕ(z) ≤ ϕ(x) − [p(x, z) − min{p(x, x), p(z, z)}]; λ ε (iii) ϕ(u) + [p(z, u) − min{p(z, z), p(u, u)}] > ϕ(z) với u = z λ Chương Nghiệm Xấp Xỉ Chính Thường Trong Những Bài Tốn Cân Bằng: Tính Chất Giới Hạn, Nguyên Lý Biến Phân Ekeland Các kết chương liên quan đến nón thứ tự đa diện Pn định nghĩa Mệnh đề 1.1 3.1 Tính chất giới hạn nghiệm hữu hiệu thường(C, ε) Định lý 3.1 Cho n ∈ N ∪ {∞}, qn ∈ Pn \{0}, x0 ∈ X dãy (xk ) ⊂ X, (εk ) ⊂ R+ \{0} cho xk ∈ He(F, X, qn + Pn , εk ), với k ∈ N, εk → xk → x0 (i) Nếu n = ∞ x0 ∈ He(F, X, P ) (ii) Nếu P đặc x0 ∈ WE(F, X, P ) Bổ đề 3.1 (bổ đề kỹ thuật) Định lý 3.2 Cho n, n ¯ ∈ N ∪ {∞}, x0 ∈ X dãy (xk ) ⊂ X, (εk ) ⊂ R+ \{0} cho xk ∈ He(F, X, Bn +Pn¯ , εk ) với k ∈ N, εk → xk → x0 (i) Nếu n ¯ = ∞ x0 ∈ He(F, X, P ) (ii) Nếu F thỏa giả thiết (BP ) F (xk , x0 ) ≤P với k ∈ N x0 ∈ E(F, X, P ) (iii) Nếu P đặc x0 ∈ WE(F, X, P ) 10 3.2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho toán cân không ràng buộc Bổ đề 3.2 (C Gutiérrez et.al (2017) - đưa cơng thức tính tốn giá trị điểm hàm Gerstewitz dựa vào ma trận định nghĩa cho nón thứ tự) Cho y0 ∈ P \{0} Cho trước n ∈ N r > 0, định nghĩa An,r := {C ∈ H : C ∩ (ry0 − int Pn ) = ∅}, A := An,r n∈N,r>0 Để thu biến thể nguyên lý biến phân Ekeland cho toán (VEP), giả thiết nửa liên tục cần thiết Bây giờ, đề xuất khái niệm nửa liên tục sau Định nghĩa 3.1 Cho ∅ = H ⊂ Rm nón lỗi đóng, b ∈ Rm \{0} f : X → Rm f gọi (b, H)-tựa nửa liên tục (kí hiệu (b, H)-qlsca) x ∈ X với r ∈ R xk → x, từ f (xk ) + rb ≤H f (xk ) H f (xk+1 ) (tức f (xk ) − f (xk+1 ) ∈ −H) với k ∈ N, ta có f (x) + rb ≤H Định nghĩa 3.2 (nhắc lại nhiều khái niệm tính nửa liên tục dùng báo trước đó, mà gần với Định nghĩa 3.1) Mệnh đề 3.1 Cho X, H, b f Định nghĩa 3.1 (i) Nếu f H-lsc f vừa H-slm H-qlsca (ii) Nếu f H-slm f (b, H)-lsca với b ∈ H \ {0} Khi m = 1, hai khái niệm tương đương (iii) Với m = 1, f R+ -qlsca f nửa liên tục giảm chặt (iv) Với m = b > 0, (b, R+ )-lsca mạnh thực (b, R+ )-qlsca Ví dụ 3.1 ((b, H)-qlsca không mạnh (b, H)-lsca trường hợp khơng gian mục tiêu có số chiều lớn một) Định lý 3.3 Cho C ∈ A, ε > 0, x0 ∈ X y0 ∈ P \{0} Giả sử F thỏa tính chất triệt tiêu chéo (tức F (x, x) = 0, ∀x ∈ X) F (x0 , ·) (y0 , Pn )-qlsca với n ∈ N Nếu x0 ∈ He(F, X, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa 11 (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) αi · F (x0 , xλ ) α i · y0 max (iii) i∈{1,2, ,p} αi · F (x0 , xλ ) α i · y0 max i∈{1,2, ,p} < max i∈{1,2, ,p} ≤ −kλ d(xλ , x0 ); αi · F (x0 , x) α i · y0 + kλ d(x, xλ ), ∀x = xλ Nếu thêm vào giả thiết (APn¯ ) thỏa αi · F (xλ , x) + kλ d(xλ , x) với x ∈ X , α i · y0 αi · F (xλ , x) + kλ d(xλ , x) với x ∈ X 0< max i∈{1,2, ,p} α i · y0 kλ d(xλ , x)y0 = 0, (iv) ≤ max i∈{1,2, ,p} kλ := 3.3 ε inf ϕPn¯ ,y0 (c) λ c∈C cho F (xλ , x) + αi := ( n1¯ u + ei )A với i ∈ {1, 2, , p} Nguyên lý biến phân Ekeland cho toán cân ràng buộc nón Trong mục này, tập trung vào tốn sau Tìm x0 ∈ S cho F (x0 , S) ∩ (−P \{0}) = ∅, (CVEP) l S := {x ∈ X : g(x) ∈ −Kpo }, g : X → R Kpo nón đa diện {z ∈ Rl : Bz t ∈ Rs+ } với B ∈ Ms×l Chúng ta giả sử Kpo đặc Bổ đề 3.3 (bổ đề kỹ thuật) Bổ đề 3.4 (C Gutiérrez et.al (2017 ) - tương tự Bồ đề 3.2, hàm Gerstewitz xét khơng gian tích) Định lý 3.4 Cho C ∈ A, ε > 0, x0 ∈ S (y0 , z0 ) ∈ P \{0} × int Kpo Giả sử F thỏa tính chất triệt tiêu chéo S, F (x0 , ·) (y0 , Dn )-qlsca với n ∈ N g (z0 , Kpo )-qlsca Nếu x0 ∈ He(F, S, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ S thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) max max i∈{1,2, ,p} αi · F (x0 , xλ ) α i · y0 , max j∈{1,2, ,s} βj · g(xλ ) βj · z0 βj · g(xλ ) αi · F (x0 , xλ ) , max j∈{1,2, ,s} αi · y0 βj · z0 βj · g(x) αi · F (x0 , x) < max max , max i∈{1,2, ,p} j∈{1,2, ,s} α i · y0 βj · z0 ∀x = xλ (iii) max ≤ −kλ d(xλ , x0 ); max i∈{1,2, ,p} Nếu thêm vào giả thiết (APn¯ ) thỏa với x ∈ X 12 + kλ d(x, xλ ), (iv) ≤ max max i∈{1,2, ,p} αi · F (xλ , x) α i · y0 , βj · (g(x) − g(xλ )) βj · z0 max j∈{1,2, ,s} +kλ d(xλ , x), bất đẳng thức trở nên chặt (F, G)(xλ , x) + kλ d(xλ , x)(y0 , z0 ) = (0, 0), ε inf ϕPn¯ ,y0 (c), αi := ( n u + ei )A, ¯ λ c∈C j B với j ∈ {1, 2, , s} kλ := dịng thứ 3.4 với i ∈ {1, 2, , p} βj Ứng dụng đến tối ưu đa mục tiêu bất đẳng thức biên phân Xét f : X → Rm toán quy hoạch đa mục tiêu Minimize f (x) với x ∈ M, (MMP) ∅ = M ⊂ X tập chấp nhận Định nghĩa 3.3 Cho ε ≥ C ∈ H x0 ∈ M nghiệm hữu hiệu-(C, ε) Henig (MMP) kí hiệu x0 ∈ HeMMP (f, M, C, ε), tồn D ∈ G(C) cho (f (M ) − f (x0 )) ∩ (−C(ε) − int D ) = ∅ Nếu C = D\{0} ta khái niệm nghiệm hữu hiệu xác xác Henig Hệ 3.1 Cho C ∈ A, ε > 0, x0 ∈ X y0 ∈ P \{0} Giả sử f − f (x0 ) (y0 , Pn )-qlsca với n ∈ N Nếu x0 ∈ HeMMP (f, X, C, ε) tồn n ¯∈N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) (iii) max i∈{1,2, ,p} ∀x = xλ ; (iv) ≤ max i∈{1,2, ,p} αi · (f (xλ ) − f (x0 )) α i · y0 αi · (f (xλ ) − f (x0 )) α i · y0 max i∈{1,2, ,p} < αi · (f (x) − f (xλ )) α i · y0 αi · (f (x) − f (xλ )) αi · y0 f (xλ ) + kλ d(xλ , x)y0 = 0, 0< max i∈{1,2, ,p} kλ := max i∈{1,2, ,p} + kλ d(xλ , x) ≤ −kλ d(xλ , x0 ); αi · (f (x) − f (x0 )) α i · y0 với x ∈ X , +kλ d(xλ , x) ε inf ϕPn¯ ,y0 (c), αi := ( n u + ei )A ¯ λ c∈C 13 +kλ d(x, xλ ), với x ∈ X cho f (x)− với i ∈ {1, 2, , p} Hệ 3.2 Cho C ∈ A, ε > 0, x0 ∈ S, (y0 , z0 ) ∈ P \{0} × int Kpo Giả sử f − f (x0 ) (y0 , Pn )-qlsca với n ∈ N g (z0 , Kpo )-qlsca Nếu x0 ∈ HeMMP (f, S, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ S thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) max max i∈{1,2, ,p} αi · (f (xλ ) − f (x0 ) α i · y0 , max j∈{1,2, ,s} βj · g(xλ ) βj · z0 βj · g(xλ ) αi · (f (xλ ) − f (x0 )) , max j∈{1,2, ,s} αi · y0 βj · z0 βj · g(x) αi · (f (x) − f (x0 )) < max max , max i∈{1,2, ,p} j∈{1,2, ,s} αi · y0 βj · z0 ∀x = xλ ; (iii) max ≤ −kλ d(xλ , x0 ); max i∈{1,2, ,p} (iv) ≤ max max i∈{1,2, ,p} kλ d(xλ , x), αi · (f (x) − f (xλ )) α i · y0 , max j∈{1,2, ,s} + kλ d(x, xλ ), βj · (g(x) − g(xλ )) βj · z0 + bất đẳng thức trở nên chặt (f, g)(x) − (f, g)(xλ ) + kλ d(xλ , x)(y0 , z0 ) = (0, 0), ε inf ϕPn¯ ,y0 (c), αi := ( n u + ei )A ¯ λ c∈C j B với j ∈ {1, 2, , s} kλ := dịng thứ với i ∈ {1, 2, , p} βj Trong phần lại chương này, xét (X, d) không gian metric tuyến tính đầy đủ khơng tầm thường Ở đây, nghiên cứu bất đẳng thức biến phân vector xấp xỉ liên hệ với nghiệm hữu hiệu thường-(C, ε) Henig (MMP) Định nghĩa 3.4 (Gutiérrez et al in 2014) Cho ε ≥ C ⊂ P \{0} tập khác rỗng Dưới vi phân mạnh-(C, ε) f x0 định nghĩa s ∂C,ε f (x0 ) := {L ∈ L(X, Rm ) : f (x) ≥P f (x0 ) − q + L(x − x0 ), ∀q ∈ C(ε), ∀x ∈ X}, L(X, Rm ) tượng trưng cho tập tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ X đến Rm kí hiệu ∂ s f (x0 ) := ∂Ps \{0},0 f (x0 ) = {L ∈ L(X, Rm ) : f (x) ≥P f (x0 ) + L(x − x0 ), ∀x ∈ X} s Bổ đề 3.5 Cho ε ≥ 0, ∅ = C ⊂ P \{0} x0 ∈ X Khi đó, L ∈ ∂C,ε f (x0 ) ◦ L ∈ ∂ετC (ai ) (ai ◦ f )(x0 ), ∀i ∈ {1, 2, , p}, kí hiệu dòng thứ i A, i ∈ {1, 2, , p}, τC (µ) := inf c∈C µ, c 14 Cho ∅ = C ⊂ P \{0}, n ∈ N ε1 , ε2 ≥ Chúng ta định nghĩa bất đẳng thức biến phân vector xấp xỉ sau s f (x0 ) thỏa mãn Tìm x0 ∈ X cho tồn L ∈ ∂C,ε x0 ∈ He(FL , X, C + Pn , ε2 ), ∀x ∈ X, (AVVIPC,ε1 ,ε2 ,n ) FL : X × X → Rm định nghĩa FL (x, y) := L(y − x) Tiếp theo, C = P \{0} ε1 = ε2 = (AVVIPC,ε1 ,ε2 ,n ) trở thành bất đẳng thức biến phân xác Tìm x0 ∈ X cho tồn L ∈ ∂ s f (x0 ) thỏa mãn x0 ∈ He(FL , X, Pn ), ∀x ∈ X (VVIPn ) Định lý 3.5 Cho ∅ = C ⊂ P \{0}, n ∈ N ε, ε1 , ε2 ≥ cho ε1 + ε2 = ε Nếu x0 nghiệm (AVVIPC,ε1 ,ε2 ,n ) x0 ∈ HeMMP (f, X, C + Pn , ε) Định lý 3.6 Cho ∅ = C ⊂ P \{0} cho C ∈ A, n ∈ N ∪ {∞}, ε1 ≥ 0, ε2 > 0, y0 ∈ P \{0} x0 ∈ X Nếu x0 nghiệm (AVVIPC,ε1 ,ε2 ,n ) tồn L ∈ L(X, Rm ) cho ◦ L ∈ ∂ε1 τC (ai ) (ai ◦ f )(x0 ), ∀i ∈ {1, 2, , p} ρ¯ > cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) (iii) max i∈{1,2, ,p} ∀x = xλ ; (iv) ≤ max i∈{1,2, ,p} (αi · L)(xλ − x0 ) α i · y0 max i∈{1,2, ,p} (αi · L)(xλ − x0 ) α i · y0 < (αi · L)(x − xλ ) α i · y0 (αi · L)(x − xλ ) α i · y0 L(x − xλ ) + kλ d(xλ , x)y0 = 0, 0< max i∈{1,2, ,p} kλ := ε2 inf ϕ−Pn¯ ,y0 (c) λ c∈C max i∈{1,2, ,p} ≤ −kλ d(xλ , x0 ); (αi · L)(x − x0 ) αi · y0 + kλ d(xλ , x), + kλ d(x, xλ ), với x ∈ X , + kλ d(xλ , x), với x ∈ X cho αi := ( n1¯ u + ei )A, với i ∈ {1, 2, , p} 15 Chương Nguyên Lý Biến Phân Ekeland Liên Quan Đến Nhiễu Tập Cho Bài Toán Cân Bằng Vector Các kết chương liên quan đến khái niệm họ xấp xỉ nón hàm vơ hướng Gerstewitz suy rộng đề cập mục 1.3.1 1.3.3 4.1 Một kiểu EVP liên quan đến nhiễu tập cho toán cân vector không ràng buộc Định nghĩa 4.1 Cho ∅ = H ⊂ Y nón lồi đóng f : X → Y (i) (tương tự Định nghĩa 3.1 chương 3, phát biểu thiết lập tổng quát hơn) (ii) Cho ∅ = Q ⊂ Y \ {0} Hàm f gọi (Q, H)-tựa nửa liên tục (kí hiệu (Q, H)-qlsca) x ∈ X f (q, H)-qlsca x ∈ X với q ∈ Q Ví dụ 4.1 (minh họa cho (Q, H)-qlsca) Mệnh đề 4.1 Cho ∅ = H ⊂ Y ∅ = Q ⊂ Y \ {0} (i) ϕH,Q (y) = inf ϕH,q (y) q∈Q (ii) Giả thiết sâu rằng, H nón lồi đóng thực ∅ = Q ⊂ int H H-lồi Khi đó, ϕH,Q (f (.)) nửa liên tục giảm chặt x ˆ f : X → Y (Q, H)-qlsca x ˆ thuộc X 16 Từ trở sau, S(C(ε), x) kí hiệu cho tập tất họ nón xấp xỉ D tách D từ − cl cone(F (x, X) + C(ε)) (Lưu ý ghi ngoại lệ Y thứ tự riêng phần nón có đỉnh, lồi, đóng thực D ⊂ Y ) Cho ∅ = Q ⊂ D\{0} Cho trước n, r > 0, định nghĩa Q Q AQ n,r := {C ∈ H : C ∩ (rQ − int Dn ) = ∅}, A := n,r>0 An,r Định lý 4.1 Cho C ∈ AQ , ε > 0, x0 ∈ X, ∅ = Q ⊂ D \ {0} {Dn } ∈ S(C(ε), x0 ) Giả sử điều kiện sau thỏa: (1) Q Dn -lồi với n ∈ N; (2) F thỏa tính chất triệt tiêu chéo F (x0 , ·) (Q, Dn )-qlsca với n ∈ N Nếu x0 ∈ He(F, X, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) F (x0 , xλ ) ∈ −kλ d(xλ , x0 )Q − Dn¯ ; (iii) tồn q0 ∈ Q cho F (x0 , xλ ) ∈ / F (x0 , x) + kλ d(x, xλ )q0 + Dn¯ \ {0}, ∀x ∈ X Nếu thêm vào giả thiết (ADn¯ ) thỏa (iv) F (xλ , x) ∈ / −kλ d(x, xλ )Q − Dn¯ \{0}, ∀x ∈ X, kλ := ε/λ sup inf ϕDn¯ ,q (c) q∈Q c∈C Tiếp theo, Y không gian định chuẩn C sở compact yếu D cl cone(F (x0 , X) + C(ε)) đóng yếu, dựa vào Mệnh đề 1.1 Định lý 4.1, ta thu hệ sau Hệ 4.1 Cho C ∈ AQ , ε > 0, x0 ∈ X ∅ = Q ⊂ D \ {0} Giả sử điều kiện sau thỏa: (1) Q DnC -lồi với n ∈ N; (2) F thỏa tính chất triệt tiêu chéo F (x0 , ·) (Q, DnC )-qlsca với n ∈ N Nếu x0 ∈ He(F, X, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) F (x0 , xλ ) ∈ −kλ d(xλ , x0 )Q − DnC¯ ; 17 (iii) tồn q0 ∈ Q cho F (x0 , xλ ) ∈ / F (x0 , x) + kλ d(x, xλ )q0 + DnC¯ \ {0}, ∀x ∈ X Nếu thêm vào giả thiết (ADnC¯ ) thỏa (iv) F (xλ , x) ∈ / −kλ d(x, xλ )Q − DnC¯ \{0}, ∀x ∈ X, kλ := ε/λ sup inf ϕDnC¯ ,q (c) q∈Q c∈C 4.2 Một kiểu EVP liên quan đến nhiễu tập cho toán cân vector có ràng buộc Trong mục này, tập trung vào tốn cân có ràng buộc sau Tìm x0 ∈ S cho F (x0 , S) ∩ (−D\{0}) = ∅, (CVEP) S := {x ∈ X : g(x) ∈ −K}, g : X → Z, với Z không gian topo tuyến tính lồi địa phương thực K ⊂ Z nón đặc Gọi G : X × X → Z định nghĩa G(x, y) = g(y) − g(x) Hn := Dn × K ⊂ Y × Z với n ∈ N Mệnh đề 4.2 (mô tả rõ nghiệm xấp xỉ thường Henig) Bổ đề 4.1 (mô tả tường minh hàm Gerstewitz suy rộng khơng gian tích) Định lý 4.2 Cho C ∈ AQ , ε > 0, x0 ∈ X, ∅ = Q × R ⊂ D\{0} × int K {Dn } ∈ S(C(ε), x0 ) Giả sử điều kiện sau thỏa: (1) Q × R Hn -lồi với n ∈ N; (2) F thỏa tính chất triệt tiêu chéo, F (x0 , ·) (Q, Dn )-qlsca với n ∈ N G(x0 , ·) (R, K)-qlsca Nếu x0 ∈ He(F, S, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ S thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) (F (x0 , xλ ), g(xλ )) ∈ −kλ d(xλ , x0 )(Q × R) − Hn¯ ; (iii) tồn (q0 , r0 ) ∈ Q × R cho (F (x0 , xλ ), g(xλ )) ∈ / (F (x0 , x), g(x))+kλ d(x, xλ )(q0 , r0 )+Hn¯ \{(0, 0)}, ∀x ∈ X Nếu thêm vào giả thiết (ADn¯ ) thỏa 18 (iv) (F, G)(xλ , x) ∈ / −kλ d(x, xλ )(Q × R) − Hn¯ \{(0, 0)}, ∀x ∈ X, kλ := ε/λ sup inf ϕDn¯ ,q (c) q∈Q c∈C Hệ 4.2 (được tìm thấy tương tự Hệ 4.1 cho toán cân có ràng buộc khơng gian mục tiêu định chuẩn ý không gian mục tiêu hàm ràng buộc không thiết định chuẩn) 4.3 Một trường hợp riêng EVP ứng dụng Mục này, xét D = P F : X × X → Rm , g : X → Rl , K = Kpo với int Kpo = ∅ 4.3.1 EVP nhiễu tập cho tốn cân vector khơng gian mục tiêu hữu hạn chiều Bổ đề 4.2 (cơng thức tính tốn giá trị điểm hàm Gerstewitz suy rộng dựa vào ma trận định nghĩa cho nón thứ tự) Định lý 4.3 Cho C ∈ AQ , ε > 0, x0 ∈ X, ∅ = Q ⊂ P \{0} Giả sử điều kiện sau thỏa: (1) Q Pn -lồi với n ∈ N; (2) F thỏa tính chất triệt tiêu chéo F (x0 , ·) (Q, Pn )-qlsca với n ∈ N Nếu x0 ∈ He(F, S, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; tồn q ∈ Q cho (ii) (iii) max i∈{1,2, ,p} αi · F (x0 , xλ ) αi · q ≤ −kλ d(xλ , x0 ); tồn q0 ∈ Q cho max i∈{1,2, ,p} αi · F (x0 , xλ ) αi · q0 ≤ αi · F (x0 , x) αi · q0 max i∈{1,2, ,p} + kλ d(x, xλ ), ∀x ∈ X Hơn nữa, inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} αi · F (x0 , xλ ) αi · q < inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} αi · F (x0 , x) αi · q + kλ d(x, xλ ), ∀x = xλ Nếu thêm vào giả thiết (APn¯ ) thỏa αi · F (xλ , x) αi · q (iv) ≤ inf max 0< αi · F (xλ , x) αi · q q∈Q i∈{1,2, ,p} max i∈{1,2, ,p} + kλ d(xλ , x) + kλ d(xλ , x) với x ∈ X , với x ∈ X với q ∈ Q cho 19 0∈ / F (xλ , x) + kλ d(xλ , x)Q, kλ = ε/λ sup inf ϕPn¯ ,q (c) αi := ( n¯1 u + ei )A với i ∈ {1, 2, , p} q∈Q c∈C Định lý 4.4 Cho C ∈ AQ , ε > 0, x0 ∈ X, ∅ = Q × R ⊂ P \{0} × int Kpo Giả sử điều kiện sau thỏa: (1) Q × R Hnpo -lồi với n ∈ N; (2) F thỏa tính chất triệt tiêu chéo, F (x0 , ·) (Q, Pn )-qlsca với n ∈ N G(x0 , ·) (R, Kpo )-qlsca Nếu x0 ∈ He(F, S, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ S thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; tồn (q , r ) ∈ Q × R cho (ii) max max i∈{1,2, ,p} βj · g(xλ ) αi · F (x0 , xλ ) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r tồn (q0 , r0 ) ∈ Q × R cho (iii) max max i∈{1,2, ,p} ≤ max βj · g(xλ ) αi · F (x0 , xλ ) , max j∈{1,2, ,s} αi · q0 βj · r0 max i∈{1,2, ,p} Hơn nữa, < ≤ −kλ d(xλ , x0 ); αi · F (x0 , x) , max j∈{1,2, ,s} αi · q0 inf max (q,r)∈Q×R inf max (q,r)∈Q×R βj · g(x) βj · r0 + kλ d(x, xλ ), ∀x ∈ X αi · F (x0 , xλ ) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · g(x) αi · F (x0 , x) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r max i∈{1,2, ,p} max i∈{1,2, ,p} βj · g(xλ ) βj · r + kλ d(x, xλ ), ∀x = xλ Nếu thêm vào giả thiết (APn¯ ) thỏa (iv) ≤ inf max (q,r)∈Q×R max i∈{1,2, ,p} + kλ d(xλ , x) với x ∈ X < max max i∈{1,2, ,p} βj · (g(x) − g(xλ )) αi · F (xλ , x) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r βj · (g(x) − g(xλ )) αi · F (xλ , x) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r + kλ d(xλ , x) với x ∈ X với (q, r) ∈ Q × R cho (0, 0) ∈ / (F, G)(xλ , x) + kλ d(xλ , x)(Q × R), ε kλ := sup inf ϕPn¯ ,q (c), αi := ( n u + ei )A ¯ λ q∈Q c∈C dòng thứ j of B với j ∈ {1, 2, , s} 20 với i ∈ {1, 2, , p} βj 4.3.2 Tối ưu đa mục tiêu bất đẳng thức biến phân vector Hệ 4.3 Cho C ∈ AQ , ε > 0, x0 ∈ X, ∅ = Q ⊂ P \{0} Giả sử Q Pn -lồi với n ∈ N f − f (x0 ) (Q, Pn )-qlsca với n ∈ N Nếu x0 ∈ HeMMP (f, X, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; tồn q ∈ Q cho (ii) (iii) max i∈{1,2, ,p} αi · (f (xλ ) − f (x0 )) αi · q ≤ −kλ d(xλ , x0 ); tồn q0 ∈ Q cho αi · (f (xλ ) − f (x0 )) αi · q0 max i∈{1,2, ,p} ≤ max i∈{1,2, ,p} αi · (f (x) − f (x0 )) αi · q0 + kλ d(x, xλ ) với x ∈ X Hơn nữa, inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} αi · (f (xλ ) − f (x0 )) αi · q < inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} αi · (f (x) − f (x0 )) +kλ d(x, xλ ), αi · q ∀x = xλ ; (iv) ≤ inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} αi · (f (x) − f (xλ )) αi · q + kλ d(xλ , x) với x ∈ X , αi · (f (x) − f (xλ )) + kλ d(xλ , x) với x ∈ X với q ∈ Q αi · q cho ∈/ f (x) − f (xλ ) + kλ d(xλ , x)Q, ε kλ := sup inf ϕPn¯ ,q (c) αi := ( n¯1 u + ei )A với i ∈ {1, 2, , p} λ q∈Q c∈C < max i∈{1,2, ,p} Hệ 4.4 Cho C ∈ AQ , ε > 0, x0 ∈ S, ∅ = Q × R ⊂ P \{0} × int Kpo Giả sử điều kiện sau thỏa: (1) Q × R Hnpo -lồi với n ∈ N; (2) f − f (x0 ) (Q, Pn )-qlsca với n ∈ N g (R, Kpo )-qlsca Nếu x0 ∈ HeMMP (f, S, C, ε) tồn n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ S thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; (ii) tồn (q , r ) ∈ Q × R cho max max i∈{1,2, ,p} (iii) βj · g(xλ ) αi · (f (xλ ) − f (x0 )) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r ≤ −kλ d(xλ , x0 ); tồn (q0 , r0 ) ∈ Q × R cho max max i∈{1,2, ,p} ≤ max βj · g(xλ ) αi · (f (xλ ) − f (x0 )) , max j∈{1,2, ,s} αi · q0 βj · r0 max i∈{1,2, ,p} βj · g(x) αi · (f (x) − f (x0 )) , max j∈{1,2, ,s} αi · q0 βj · r0 21 + kλ d(x, xλ ) với x ∈ X Hơn nữa, βj · g(xλ ) αi · (f (xλ ) − f (x0 )) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r βj · g(x) αi · (f (x) − f (x0 )) < inf max max , max + kλ d(x, xλ ), (q,r)∈Q×R i∈{1,2, ,p} j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r ∀x = xλ ; inf max (q,r)∈Q×R max i∈{1,2, ,p} (iv) ≤ inf max (q,r)∈Q×R +kλ d(xλ , x) < max với x ∈ X max i∈{1,2, ,p} + kλ d(xλ , x) βj · (g(x) − g(xλ )) αi · (f (x) − f (xλ )) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r max i∈{1,2, ,p} βj · (g(x) − g(xλ )) αi · (f (x) − f (xλ )) , max j∈{1,2, ,s} αi · q βj · r với x ∈ X với (q, r) ∈ Q × R cho (0, 0) ∈ / (f, g)(x) − (f, g)(xλ ) + kλ d(xλ , x)(Q × R), ε kλ := sup inf ϕPn¯ ,q (c) λ q∈Q c∈C αi := ( n¯1 u + ei )A với i ∈ {1, 2, , p} βj dòng thứ j B với j ∈ {1, 2, , s} Để kết thúc phần này, thảo luận ứng dụng khác liên quan đến bất đẳng thức biến phân mà có động với Định lý 3.6, cho khuôn khổ nhiễu tập Định lý 4.5 Cho ∅ = C ⊂ P \{0} cho C ∈ AQ , n ∈ N ∪ {∞}, ε1 ≥ 0, ε2 > 0, ∅ = Q ⊂ P \{0} x0 ∈ X Giả sử Q Pn -lồi với n ∈ N Nếu x0 nghiệm (AVVIPC,ε1 ,ε2 ,n ) tồn L ∈ L(X, Rm ) cho ◦ L ∈ ∂ε1 τC (ai ) (ai ◦ f )(x0 ), ∀i ∈ {1, 2, , p} n ¯ ∈ N cho với λ > 0, tồn xλ ∈ X thỏa (i) d(xλ , x0 ) ≤ λ; tồn q ∈ Q cho (ii) (iii) max i∈{1,2, ,p} (αi · L)(xλ − x0 ) αi · q ≤ −kλ d(xλ , x0 ); tồn q0 ∈ Q cho max i∈{1,2, ,p} (αi · L)(xλ − x0 ) αi · q0 ≤ (αi · L)(x − x0 ) αi · q0 max i∈{1,2, ,p} + kλ d(x, xλ ), ∀x ∈ X Hơn nữa, inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} (αi · L)(xλ − x0 ) αi · q ∀x = xλ ; (iv) ≤ inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} < inf max q∈Q i∈{1,2, ,p} (αi · L)(x − xλ ) αi · q (αi · L)(x − x0 ) αi · q + kλ d(xλ , x) 22 + kλ d(x, xλ ), với x ∈ X , (αi · L)(x − xλ ) + kλ d(xλ , x), với x ∈ X với q ∈ Q αi · q cho ∈/ T (x − xλ ) + kλ d(xλ , x)Q, ε kλ := sup inf ϕPn¯ ,q (c), αi := ( n¯1 u + ei )A với i ∈ {1, 2, , p} λ q∈Q c∈C 0< max i∈{1,2, ,p} Kết Luận Tổng Quát Và Kiến Nghị Kết luận án bao gồm: (a) Định lý quy nạp, định lý tồn gọi điểm Ekeland phiên khác EVP khơng gian metric riêng phần trình bày; thêm vào đó, nghiên cứu điểm bất động lựa chọn ứng dụng (b) Tính chất giới hạn tốt kiểu nghiệm xấp xỉ thường theo nghĩa Henig chứng tỏ cho toán cân vector (trong không gian mục tiêu hữu hạn chiều) Ngoài ra, biến thể EVP (liên quan đến nhiễu tập nhiễu theo hướng) kiểu nghiệm cho toán cân vector cung cấp theo thiết lập khác (trên không gian mục tiêu) từ thiết lập tổng quát đến thiết lập đặc biệt Cụ thể hơn, từ quan điểm tính tốn, khơng gian hữu hạn chiều biến thể EVP thu cho toán cân vector khơng ràng buộc có ràng buộc nón biểu diễn theo ma trận định nghĩa cho nón thứ tự nữa, kết thu được áp dụng cho trường hợp cụ thể toán tối ưu đa mục tiêu cho nghiên cứu bất đẳng thức biến phân vector kiểu đề xuất khn khổ Tiếp theo, để hồn thành phần này, đề xuất số nghiên cứu sâu sau Trước tiên, tương tự với kết thu Sullivan (1981), liệu giá trị phát biểu EVP không gian metric riêng phần luận án tương đương với tính 0-đầy đủ Thứ hai, để nhận thấy mô tả tốt tượng thực tế không gian (tựa) metric riêng phần, bắt đầu với ví dụ sau Ví dụ Một vấn đề thực tế đặt để mơ hình chi phí chuỗi di chuyển vị trí khác mặt hàng đường hướng đến địa điểm cần đến Giả sử chi phí dịch chuyển mặt hàng từ vị trí x đến vị trí trung gian y biểu diễn p(x, y), 23 trước di chuyển đến vị trí mục tiêu Trên thực tế, di chuyển lúc liên tục; tức sau mặt hàng di chuyển đến vị trí y, có trì trệ thời gian vị trí nhiều ngun nhân Do đó, thật hợp lý để biễu diễn p(y, y) chi phí tốn cho gián đoạn vị trí y Khi đó, bất đẳng thức tam giác metric riêng phần giải thích sau Bây giờ, quan sát tính chất lại lần p(x, y) ≤ p(x, z) + p(z, y) − p(z, z) Điều có nghĩa đường vòng tốn kém, loại bỏ chi phí gián đoạn đề cập Vì vậy, so với kiểu tựa metric khác biết, với metric riêng phần cho, chúng tơi cho thực sử đủ tốt để mô tả cho nhiều vấn đề thực tế, chẳng hạn trường hợp Tuy nhiên, thật phù hợp hầu hết tượng để chấp nhận vắng mặt tiên đề đối xứng giống ví dụ Do đó, cần thiết để phát triển kết tốn học sâu hơn, đặc biệt liên quan đến tối ưu không gian tựa metric riêng phần Thực ra, báo khác nộp (xem báo [D] danh sách báo xuất tác giả liên quan đến luận án này), thiết lập phiên EVP không gian tựa metric riêng phần, sử dụng hai nhiễu thay nhiễu nghiên cứu phổ biến khác Mở rộng cho phép vừa đạt nghiệm xấp xỉ tốt cho toán tối ưu số trường hợp định vừa ứng dụng khoa học hành vi Một chủ đề thú vị cho nghiên cứu tương lai để phát triển phiên mạnh thực EVP thiết lập khác nhau, mà sử dụng hai nhiễu giống cho hàm nhận giá trị vector, nhận giá trị đa trị, Cuối cùng, liên quan đến điều kiện tối ưu, chủ đề thú vị khác để xem xét nghiên cứu sâu cho kết thu Chương khuôn khổ với báo Bảo Mordukhovich, Hà (sử dụng công cụ giải tích biến phân đại) 24 ... Variants of the Ekeland variational principle for approximate proper solutions of vector equilibrium problems, J Glob Optim., 74, 361-382 [2] L.P Hai, P.Q Khanh (2020) An induction theorem and Ekeland? ??s... Ekeland? ??s variational principle in partial metric spaces with applications, Optimization, 69, 1481-1511 [3] L.P Hai (2021) Ekeland variational principles involving set perturbations in vector equilibrium... 733-756 [4] L.P Hai, P.Q Khanh, A Soubeyran (2021) General versions of the Ekeland variational principle, Ekeland points and stop and go dynamics, submitted Lời Mở Đầu Trong phần này, tổng quan