Trang 1
ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 12
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số
32
32y x m x m
(C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .
2) Tìm m để (C
m
) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt.
Câu II: (2 điểm)
1) Giải phương trình:
(sin2 sin 4)cos 2
0
2sin 3
x x x
x
2) Giải phương trình:
3
1
8 1 2 2 1
xx
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân:
2
3
0
sin
(sin cos )
xdx
I
xx
Câu IV: (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA (ABC), ABC vuông cân đỉnh C
và SC =
a
. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối
chóp lớn nhất.
Câu V: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
2 2 (2 )(2 )x x x x m
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm):
A. Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương trình
đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA+3OB) nhỏ
nhất.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1).
Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P):
10x y z
để MAB là tam giác
đều.
Câu VII.a: (1 điểm) Tìm hệ số của
20
x
trong khai triển Newton của biểu thức
5
3
2
n
x
x
, biết rằng:
0 1 2
1 1 1 1
( 1)
2 3 1 13
nn
n n n n
C C C C
n
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b: (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4),
D(3;5). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng
( ):3 5 0xy
sao cho hai tam
giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
1
()
có phương
trình
2 ; ; 4x t y t z
;
2
()
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ): 3 0xy
và
( ):4 4 3 12 0x y z
. Chứng tỏ hai đường thẳng
12
,
chéo nhau và viết
Trang 2
phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của
12
,
làm đường kính.
Câu VII.b: (1 điểm) Cho hàm số
22
(2 1) 4
2( )
x m x m m
y
xm
. Chứng minh rằng với
mọi m, hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị không
phụ thuộc m.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu I: 2) (C
m
) và Ox có đúng 2 điểm chung phân biệt
CÑ CT
y coù CÑ, CT
y hoaëc y00
1m
Câu II: 1) PT
(2cos 1)(sin cos 2) 0
2sin 3 0
x x x
x
2
3
xk
2) Đặt
3
1
2 0; 2 1
xx
uv
.
PT
33
3
3 2 2
0
1 2 1 2
2 1 0
1 2 ( )( 2) 0
uv
u v u v
uu
v u u v u uv v
2
0
15
log
2
x
x
Câu III: Đặt
2
x t dx dt
22
33
00
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
tdt xdx
I
t t x x
22
4
2
2
0
00
11
cot( ) 1
2 2 4
(sin cos )
sin ( )
4
dx dx
2I x
xx
x
1
2
I
Câu IV:
0;
2
SCA
3
3
(sin sin )
6
SABC
a
V
. Xét hàm số
3
sin siny x x
trên khoảng
0;
2
. Từ BBT
33
max max
3
()
69
SABC
aa
Vy
khi
1
sin
3
,
0;
2
Câu V: Đặt
22t x x
11
'0
2 2 2 2
t
xx
()t t x
nghịch biến trên
[ 2;2]
[ 2;2]t
. Khi đó: PT
2
2 2 4m t t
Xét hàm
2
( ) 2 4f t t t
với
[ 2;2]t
.
Từ BBT Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
5
5 2 4 2
2
mm
Câu VI.a: 1) PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
1
xy
ab
(a,b>0)
M(3; 1) d
3 1 3 1
1 2 . 12
Cô si
ab
a b a b
.
Mà
3 3 2 3 12OA OB a b ab
min
3
6
( 3 ) 12
3 1 1
2
2
ab
a
OA OB
b
ab
Phương trình đường thẳng d là:
1 3 6 0
62
xy
xy
2) Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB (Q):
30x y z
Trang 3
d là giao tuyến của (P) và (Q) d:
2; 1;x y t z t
M d
(2; 1; )M t t
2
2 8 11AM t t
.
Vì AB =
12
nên MAB đều khi MA = MB = AB
2
4 18
2 8 1 0
2
t t t
6 18 4 18
2; ;
22
M
Câu VII.a: Ta có
0 1 2 2
(1 ) ( 1)
n n n n
n n n n
x C C x C x C x B
Vì
1
0
1
(1 )
1
n
x dx
n
,
1
0 1 2
0
1 1 1
( 1)
2 3 1
nn
n n n n
Bdx C C C C
n
1 13 12nn
12
55
12
33
0
22
( ) .( ) ( )
nk
n k k
k
x C x
xx
,
12 8 36
1 12
.2 .
k k k
k
T C x
8 36 20 7kk
Hệ số của
20
x
là:
75
12
.2 25344C
Câu VI.b: 1) Phương trình tham số của :
35
xt
yt
. M M(t; 3t – 5)
( , ). ( , ).
MAB MCD
S S d M AB AB d M CD CD
7
9
3
tt
7
( 9; 32), ( ;2)
3
MM
2) Gọi AB là đường vuông góc chung của
1
,
2
:
1
(2 ; ;4)A t t
,
2
(3 ; ;0)B s s
AB
1
, AB
2
(2;1;4), (2;1;0)AB
Phương trình mặt cầu là:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 4x y z
Câu VII.b: Hàm số luôn có hai điểm cực trị
12
2, 2x m x m
. Khoảng cách giữa
hai điểm cực trị là
22
2 1 2 1 1 2
( ) ( ) 2AB y y x x x x
=
42
(không đổi)
. tại B( 0 ;b) :
1
xy
ab
(a ,b& gt;0)
M(3; 1) d
3 1 3 1
1 2 . 12
Cô si
ab
a b a b
.
Mà
3 3 2 3 12OA OB a b ab
min
3
6
( 3 ) 12
3 1 1
2
2
ab
a
OA OB
b
ab
.
Trang 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2013
Môn thi: TOÁN
ĐỀ 12
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)