SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 11/ 6/ 2020 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2,0 điểm) x − + Cho biểu thức P = ÷: ÷ với ( x > 0, x ≠ ) x +1 x +1 x −1 x −1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị P x = − x + y = Giải hệ phương trình: 2 x + y = Bài (2,0 điểm) 2 Cho phương trình: x − ( m + 3) x − 2m + 3m = (m tham số) Hãy tìm giá trị m để x = nghiệm phương trình xác định nghiệm cịn lại phương trình (nếu có) 2 Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( 2m + 1) x − 2m (m tham số) Tìm m để ( P ) cắt ( d ) hai điểm phân biệt A ( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) cho y1 + y2 − x1 x2 = Bài (1,5 điểm) Một xe máy khởi hành địa điểm A đến địa điểm B cách A 160 km , sau giờ, tô từ B đến A Hai xe gặp địa điểm C cách B 72 km Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 20 km/giê Tính vận tốc xe Bài (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có ·ACB > 90° nội tiếp đường trịn tâm O Gọi M trung » D, cắt cung lớn BC » E Gọi F chân điểm BC , đường thẳng OM cắt cung nhỏ BC đường vng góc hạ từ E xuống AB , H chân đường vng góc hạ từ B xuống AE a) Chứng minh tứ giác BEHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh MF ⊥ AE c) Đường thẳng MF cắt AC Q Đường thẳng EC cắt AD, AB I K EC EK · = Chứng minh: EQA = 90° IC IK Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa 1 1 + + = Chứng minh rằng: abc ≤ 1+ a 1+ b 1+ c …………………… HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO 10 BÌNH ĐỊNH – NĂM HỌC 2021 - 2022 Bài Bài Nội dung x P= − : + Cho biểu thức ÷ ÷ với ( x > 0, x ≠ ) 2,0 đ x − x − x + x + a) Rút gọn biểu thức P x P= − + ÷: ÷ x +1 x +1 x −1 = x −1 x+ x− = x−1 x +1 x+1 = x +1 b) Tìm giá trị P x = − Ta có: x = − = Khi đó: P= ( ) ( ) ( x +1 − ): x −1 x−1 x − 1+ x−1 3−1 ⇒ x = 3−1 4− + ( x 5− − = 3−1 +1 3 ) = x + y = Giải hệ phương trình: 2 x + y = x + y = 2 x + y = 12 ⇔ 2 x + y = 2 x + y = x + y = ⇔ y = x = −4 y = 2 Bài Cho phương trình: x − ( m + 3) x − 2m + 3m = (m tham số) Hãy 2,0 đ tìm giá trị m để x = nghiệm phương trình xác định nghiệm ⇔ Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 cịn lại phương trình (nếu có) Vì x = nghiệm phương trình nên: 32 − 3( m+ 3) − 2m2 + 3m= ⇔ − 3m− − 2m2 + 3m= ⇔ −2m2 = ⇔ m= 0,25 ⇒ x = x = 0,25 Vậy nghiệm lại x = 2 Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( 2m + 1) x − 2m (m 0,25 Khi m= phương trình trở thành 3x2 − 3x = ⇔ 3x( x− 3) = tham số) Tìm m để ( P ) cắt ( d ) hai điểm phân biệt A ( x1 , y1 ) ; B ( x2 , y2 ) cho y1 + y2 − x1 x2 = Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d) là: x = ( 2m+ 1) x − 2m ⇔ x2 − ( 2m+ 1) x + 2m= 2 Ta có: ∆ = − ( 2m+ 1) − 4.2m = 4m2 − 4m+ = ( 2m− 1) Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > ⇒ 2m− 1≠ ⇒ m≠ x1 + x2 = 2m+ Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 = 2m Khi đó: y1 + y2 − x1x2 = 0,25 0,25 0,25 ⇔ x12 + x22 − x1x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) ⇒ ( 2m+ 1) 2 − 3x1x2 = − 3.2m− 1= ⇔ 4m2 + 4m+ 1− 6m− 1= ⇔ 4m2 − 2m= ⇔ 2m( 2m− 1) = ⇔ 2m= 2m− 1= (không thỏa điều kiện) Vậy với m= ( P ) cắt ( d) hai điểm phân biệt thỏa điều kiện cho Bài Một xe máy khởi hành địa điểm A đến địa điểm B cách A 160 km , 1,5 đ sau giờ, tơ từ B đến A Hai xe gặp địa điểm C cách B 72 km Biết vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 20 km/giê Tính ⇔ m= (thỏa điều kiện) m= vận tốc xe Gọi x ( km/h) vận tốc xe máy Điều kiện: x > 0,25 0,25 0,25 Quãng đường xe máy đến lúc gặp là: 88 ( km) Thời gian xe máy đến lúc gặp là: Vận tốc ô tô là: x+ 20 ( km/h) 88 ( h) x 0,25 Quãng đường ô tô đến lúc gặp là: 72 ( km) Thời gian ô tô đến lúc gặp là: 72 ( h) x+ 20 88 72 − =1 x x + 20 ⇒ 88x + 1760 − 72x = x2 + 20x Theo đề ta có phương trình: 0,25 0,25 ⇔ x2 + 4x − 1760 = Giải phương trình ta được: x1 = 40 (nhận), x2 = −44 (loại) 0,25 Vậy, vận tốc xe máy 40 km/h, vận tốc xe ô tô 60 km/h Bài Cho tam giác ABC có ·ACB > 90° nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M 3,5 đ trung điểm BC , đường thẳng OM cắt cung nhỏ » D , cắt cung lớn BC » E Gọi F chân đường vng góc hạ từ E xuống AB , H chân BC 0,25 đường vng góc hạ từ B xuống AE a) Chứng minh tứ giác BEHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh MF ⊥ AE c) Đường thẳng MF cắt AC Q Đường thẳng EC cắt AD , AB lần EC EK · = lượt I K Chứng minh: EQA = 90° IC IK 0,25 0,5 0,25 a) Chứng minh tứ giác BEHF tứ giác nội tiếp · · Ta có: BFE = 90° (gt) = BHE 0,25 ⇒ Hai điểm F , H nằm đường trịn đường kính BE hay tứ giác 1,25 BEHF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh MF ⊥ AE · Vì M trung điểm BC nên OM ⊥ BC ⇒ EMB = 90° ⇒ M thuộc đường trịn đường kính EB · · » ) ⇒ FME = FBE = ·ABE (cùng chắn cung EF 0,25 Mà ·ABE = ·ADE (góc nội tiếp chắn cung »AE đường tròn tâm O ) · ⇒ DA// FM Suy ra: ·ADE = FME (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 · Lại có: DAE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O ) ⇒ DA ⊥ AE (2) Từ (1) (2) suy ra: MF ⊥ AE (đpcm) 0,25 Cách khác · Vì M trung điểm BC nên OM ⊥ BC ⇒ EMB = 90° ⇒ M thuộc đường tròn đường kính EB µ =E µ (cùng chắn cung MB ¼ ) ⇒ F ( 1) 1 ¶ (cùng chắn cung EB » đường tròn tâm O ) Lại có: µ A1 = D µ = 90° (vì DBE · Mà µ A +B = 90° , góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 1 ¶ +E µ = 90° (vì BH ⊥ AE ) D 1 µ =E µ Suy B 1 ( 2) µ =F µ ⇒ MF // BH Từ ( 1) ( 2) suy B 1 Mặt khác BH ⊥ AE Suy MF ⊥ AE (đpcm) c) Đường thẳng MF cắt AC Q Đường thẳng EC cắt AD, AB 1,5 1,0 EC EK · = I K Chứng minh: EQA = 90° IC IK · * Chứng minh: EQA = 90° ¶ (vì D điểm cung »AB ) Ta có: µ A3 = A · ⇒ AD phân giác góc BAC 0,25 · ⇒ µ Mà AD ⊥ AE ⇒ AE phân giác ngồi góc BAC A1 = µ A2 0,25 ⇒ ∆FAQ cân A (do AE vừa đường cao vừa phân giác) ⇒ AQ = AF Xét ∆AQE ∆AFE , có: AE cạnh chung; µ A1 = µ A2 ; AQ = AF 0,5 ⇒ ∆AQE = ∆AFE (c – g – c) 0,25 · · ⇒ EQA = EFA = 90° 0,25 EC EK = IC IK Tam giác KAC có: Chứng minh: IC AC = ( 3) IK AK EC AC = ( 4) AE phân giác đỉnh A ⇒ EK AK IC EC = Từ ( 3) ( 4) suy (đpcm) IK EK Bài 1 + + =2 Cho a, b, c số dương thỏa 1+ a 1+ b 1+ c 1,0 đ AI phân giác đỉnh A ⇒ 0,25 0,25 ( 1) Chứng minh rằng: abc ≤ 1 b c =1− +1− = + Từ ( 1) ta suy ra: 1+ a 1+ b 1+ c 1+ b 1+ c ⇒ b c ≥2 = + 1+ a 1+ b 1+ c Tương tự ta có: bc ( + b) ( + c) ( 1) ≥ 1+ b ac ( + a) ( + c) ( 2) ≥ 1+ c ab ( + a) ( + b) ( 3) 0,25 0,25 0,25 Nhân bất đẳng thức (cả hai vế dương) ( 1) , ( 2) , ( 3) chiều, ta được: 1 ≥ 2.2.2 1+ a 1+ b 1+ c bc.ac.ab ( + b) ( + c) ( + a ) ( + c) ( + a) ( + b) ⇒ ≥8 ( + a) ( + b) ( + c) ⇒ 8abc ≤ ⇔ abc ≤ a 2b c ( + a) ( + b) ( + c) 2 = abc ( + a) ( + b) ( + c) (đpcm) a = b = c ⇔ a=b=c= Dấu “=” xảy ⇔ 1 1 + a = + b = + c = 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH VÀO 10 BÌNH ĐỊNH – NĂM HỌC 2021 - 2022 Bài Bài Nội dung x P= − : + Cho biểu thức ÷ ÷ với ( x > 0, x ≠ )... trình: x − ( m + 3) x − 2m + 3m = (m tham số) Hãy 2,0 đ tìm giá trị m để x = nghiệm phương trình xác định nghiệm ⇔ Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 cịn lại phương trình (nếu có) Vì x = nghiệm phương... gian ô tô đến lúc gặp là: 72 ( h) x+ 20 88 72 − =1 x x + 20 ⇒ 88x + 1760 − 72x = x2 + 20x Theo đề ta có phương trình: 0,25 0,25 ⇔ x2 + 4x − 1760 = Giải phương trình ta được: x1 = 40 (nhận), x2