WWW.VNMATH.COM
ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAOĐẲNG 2012
Môn thi:TOÁN(ĐỀ 212)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh)
Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x
3
- 3x
2
+ 1
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 8.
Câu 2 (2đ) 1. Giải hệ phương trình:
+=
−=−
2
2
3
1
9
1218
yxy
xxy
2. Giải phương trình: 9
x
+ (
x
- 12).3
x
+ 11 -
x
= 0
Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh
bên và cạnh đáy đối diện bằng m.
Câu 4 (1đ) Tính tích phân:
∫
++−=
2
2
0
)]4ln()2([ dxxxxI
Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c.
Thoả mãn hệ điều kiện:
=+
=+
2
2
)(
)(
cabb
bcaa
CMR:
CBA sin
1
sin
1
sin
1
+=
II. PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)
Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a (2đ)
1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x -
6y + 9 = 0
Tìm những điểm M
∈
(C) và N
∈
(d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
2. Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng:
(P
1
): x - 2y + 2z - 3 = 0
(P
2
): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d):
3
4
21
2 −
=
−
=
−
+ zyx
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I
∈
(d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P
1
), (P
2
).
Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x
2
- x
3
)
4
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
12
x
12
.
Tính hệ số a
7
.
Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (2đ)
1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y - 3)
2
= 1 và điểm
M
5
7
,
5
1
. Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất.
2. Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P):
x - 2y + 2z - 3 = 0.
Tìm những điểm M
∈
(S), N
∈
(P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số:
x
xx
xf
2131
)(
3
+−+
=
khi x
≠
0, và
0)0( =f
; tại điểm x
0
= 0.
ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAOĐẲNG 2012
Môn thi:TOÁN(ĐỀ 212)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM
Câu 1 (2đ) y = 2x
3
- 3x
2
+ 1
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
M
WWW.VNMATH.COM
* TXĐ: R
* Sự biến thiên: + Giới hạn:
−∞→x
ylim
=
∞−
,
−∞→x
ylim
=
∞+
0,25đ
+ Bảng biến thiên: y’ = 6x
2
- 6x = 6x (x - 1)
y' = 0
==
==
⇔
)0(;1
)1(;0
yx
yx
0,25đ
Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ
* Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác. 0,25đ
2) Tìm M
∈
(C) ?
Giả sử M (x
0
; y
0
)
∈
(C)
⇒
y
0
= 2x
0
3
- 3x
0
2
+ 1
Tiếp tuyến (
∆
) của (C) tại M:
y = (6x
0
2
- 6x
0
) (x - x
0
) + 2x
0
3
- 3x
0
2
+ 1 0,25đ
(
∆
) đi qua điểm P(0 ; 8)
⇔
8 = -4x
0
3
+ 3x
0
2
+ 1
⇔
(x
0
+ 1) (4x
0
2
- 7x
0
+ 7) = 0 0,25đ
⇔
x
0
= -1 ; (4x
0
2
- 7x
0
+ 7 > 0,
∀
x
0
) 0,25đ
Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm. 0,25đ
Câu 2 (2đ)
1) Giải hệ:
≥⇒≥⇒+=
≤⇒≥−⇒−=−
3232
3
1
9
320121218
2
22
xyyxyxy
xxxxy
0,25đ
1832 =⇒=⇒ xyx
0,25đ
{ }
32;32−∈⇒ x
, tương ứng y
{ }
33;33−∈
0,25đ
Thử lại, thoả mãn hệ đã cho
Vậy,
( )
( ) ( ){ }
33;32,33;32; −−∈yx
0,25đ
2) Giải phương trình:
( )
( )
0113123
2
=−+−+ xx
xx
−=
=
⇔
x
x
x
113
13
=−+=
=
⇔
(*)0113)(
0
xxf
x
x
(a + b + c = 0) 0,5đ
(*)
0)2(
,013ln3)('
⇒
=
∀>+=
f
xxf
x
có nghiệm duy nhất
x
= 2 0,25đ
Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ
Câu 3 (1đ) S
N
A C
O
B
SO
⊥
(ABC)
S.ABC chóp
∆
đều
⇒
O là tâm tam giác đều ABC.
WWW.VNMATH.COM
MBCAO
=∩
⇒
)(SAMBC
BCSO
BCAM
⊥⇒
⊥
⊥
Trong
∆
SAM kẻ đường cao MN
⇒
MN = m
2
3
2
3
3
60sin2
0
a
AOAM
aa
AO ==⇒==
0,25đ
3
SOSAhSO
2
222
a
hAO +=+=⇒=
SA.MN = SO.AM
( )
22222
3
4
43 mahma =−⇔
< am
2
3
0,25đ
22
433
2
ma
am
h
−
=⇔
; và S
(ABC)
=
4
3
a
2
0,25đ
22
3
436
).(
3
1
ma
ma
hABCSV
−
==
< am
2
3
0,25đ
Câu 4 (1đ) Tính tích phân
∫
−=
2
0
)2( dxxxI
+
∫
+
2
0
2
)4ln( dxx
=
21
II +
∫∫
=−−=−=
2
0
2
2
0
1
2
)1(1)2(
π
dxxdxxxI
(sử dụng đổi biến:
tx sin1
+=
) 0,25đ
∫∫
+
−+=+=
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
4
2|)4ln()4ln( dx
x
x
xxdxxI
(Từng phần) 0,25đ
42ln6 −+=
π
(đổi biến
tx tan2=
) 0,25đ
2ln64
2
3
21
+−=+=
π
III
0,25đ
Câu 5 (1đ)
∆
ABC:
=+
=+
)2()(
)1()(
2
2
cabb
bcaa
(1)
⇒
sin
2
A + sinAsinC = sin
2
B (Đl sin)
⇒
sinAsinC =
2
1
(cos2A - cos2B)
⇒
sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A)
⇒
sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0)
⇒
A = B - A ; (A, B là góc của tam giác)
⇒
B = 2A 0,25đ
Tương tự: (2)
⇒
C = 2B
A + B + C =
π
, nên A =
7
π
; B =
7
2
π
; C =
7
4
π
0,25đ
WWW.VNMATH.COM
Ta có:
CB sin
1
sin
1
+
=
7
3
sin
7
cos
7
sin2
7
cos
7
3
sin2
7
4
sin
7
2
sin
7
2
sin
7
4
sin
πππ
ππ
ππ
ππ
=
+
0,25đ
=
Asin
1
7
sin
1
=
π
(đpcm) 0,25đ
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Chương trình cơ bản
Câu 6a (2đ)
1) Tìm M
∈
(C), N
∈
(d)?
(d): 3x - 4y + 5 = 0
(C): (x + 1)
2
+ (y - 3)
2
= 1
⇒
Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1
d (I ; d) = 2
⇒
(d)
∩
(C) = Ø
Giả sử tìm được N
0
∈
(d)
⇒
N
0
là hình chiếu vuông góc của I trên (d)
⇒
N
0
= (d)
( )
∆∩
, với:
( )
( ) ( )
−=⇒⊥∆
−∋∆
∆
4;3)(
)3;1(
ud
I
0,25đ
( )
⇒
−=
+−=
∆⇒
5
7
;
5
1
43
31
:
0
N
ty
tx
0,25đ
Rõ ràng
( )
∩∆
(C) = {M
1
; M
2
} ; M
1
−
5
11
;
5
2
; M
2
−
5
19
;
5
8
M
0
∈
(C) để M
0
N
0
nhỏ nhất
⇒
M
0
≡
M
1
và M
0
N
0
= 1 0,25đ
Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán.
M
−
5
11
;
5
2
; N
5
7
;
5
1
0,25đ
2) Phương trình mặt cầu (S) ?
(P
1
): x - 2y + 2z - 3 = 0
(P
2
): 2x + y - 2z - 4 = 0
Giả sử I (x
0
; y
0
; z
0
)
∈
(d):
3
4
21
2 −
=
−
=
−
+ zyx
⇒
I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P
1
), (P
2
)
⇔
d (I, (P
1
)) = d (I ; (P
2
))
⇔
−=
−=
⇔+=+
1
13
1610
3
1
39
3
1
t
t
tt
0,25đ
⇒
I
1
= (11 ; 26 ; -35) ; I
2
(-1 ; 2 ; 1)
⇒
R
1
= 38 ; R
2
= 2 0,25đ
Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:
(S
1
): (x - 11)
2
+ (y - 26)
2
+ (z + 35)
2
= 38
2
(S
2
): (x + 1)
2
+ (y - 2)
2
+ (z - 1)
2
= 2
2
0,25đ
Câu 7a (1đ) Tính hệ số a
7
?
(1 - x + x
2
- x
3
)
4
= (1 - x)
4
(1 + x
2
)
4
0,25đ
WWW.VNMATH.COM
=
( )
−
∑∑
==
4
0
2
4
4
0
4
1
i
ii
k
kk
k
xCxC
0,25đ
(Gt)
{ }
( ) ( ) ( ){ }
2;3,3;1;
4,3,2,1,0,
72
∈⇒
∈
=+
⇒ ik
ik
ik
0,25đ
40
2
4
3
4
3
4
1
47
−=−−=⇒ CCCCa
0,25đ
Chương trình nâng cao
Câu 6b (2đ)
1) Tìm N
∈
(C)?
(C): (x + 1)
2
+ (y - 3)
2
= 1
⇒
Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M
5
7
;
5
1
2
5
8
;
5
6
=⇒
−= MIIM
0,25đ
Giả sử tìm được N
∈
(C)
⇒
MN
≤
MI + IN = 3 0,25đ
Dấu “=” xảy ra
⇔
N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C).
(IM):
−=
+−=
ty
tx
5
8
3
5
6
1
;
( ) ( ) { }
21
; NNCIM =∩
−⇒
5
11
;
5
2
1
N
,
−
5
19
;
5
8
2
N
; MN
1
< MN
2
0,25đ
Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán:
−
5
19
;
5
8
N
0,25đ
2) Tìm M
∈
(S) , N
∈
(P) ?
(S): (x + 1)
2
+ (y - 2)
2
+ (z - 1)
2
= 1
Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1
(P): x - 2y + 2z - 3 = 0
⇒
d
( )( )
PI;
= 2
Ø)()( =∩⇒ SP
Giả sử tìm được N
0
∈
(P)
⇒
N
0
là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ
( ) ( )
PdN ∩=⇒
0
, với:
( )
−=⇒⊥
−∋
)2;2;1()()(
)1;2;1(
d
uPd
Id
( )
+=
−=
+−=
⇒
tz
ty
tx
d
21
22
1
:
−⇒
3
7
;
3
2
;
3
1
0
N
0,25đ
=∩ )()( Sd
{M
1
; M
2
}
−⇒
3
5
;
3
4
;
3
2
1
M
,
−
3
1
;
3
8
;
3
4
2
M
0,25đ
M
1
M
0
= 1 < M
2
M
0
= 3
M
0
∈
(S) để M
0
N
0
nhỏ nhất
⇒
M
0
≡
M
1
Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán.
WWW.VNMATH.COM
−
3
5
;
3
4
;
3
2
M
,
−
3
7
;
3
2
;
3
1
N
0,25đ
Câu 7b (1đ)
Đạo hàm bằng định nghĩa:
x
fxf
x
)0()(
lim
0
−
→
=
2
3
0
2131
lim
x
xx
x
+−+
→
0,25đ
=
2
3
0
21)1()1(31
lim
x
xxxx
x
+−+++−+
→
0,25đ
=
( ) ( )
xx
xxxx
x
xx
21)1(
1
lim
1311)31(
3
lim
0
2
3
3
2
0
+++
+
++++++
+
−
→→
0,25đ
= -1 +
2
1
= -
2
1
. Vậy,
2
1
'
)0(
−=f
0,25đ