Bài giảng lý thuyết xác suất chương 3 các quy luật phân phối xác suất thông dụng 3

Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối Ví dụ minh họa Lượng xăng/dầu bán hàng ngày cửa hàng xăng dầu Thủ Đức tuân theo phân phối liên tục khoảng [2000, 5000] (lít) a Tìm xác suất cửa hàng bán từ 2500 đến 3000 lít xăng/dầu? b Xác suất mà cửa hàng bán 4000 lít ngày bao nhiêu? 31 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối Đặt X đại lượng ngẫu nhiên số lít xăng/dầu cửa hàng bán ngày Khi đó, X có phân phối liên tục khoảng [2000, 5000] Hàm mật độ xác suất X sau:  1  = x ∈ [2000, 5000] f (x) = 5000 − 2000 3000  x ∈ / [2000, 5000] 32 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối a Xác suất cửa hàng bán từ 2500 đến 3000 lít xăng/dầu là: 1 = 3000 b Xác suất mà cửa hàng bán 4000 lít ngày 1 P(4000 ≤ X ) = (5000 − 4000) = 3000 P(2500 ≤ X ≤ 3000) = (3000 − 2500) 33 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn Định nghĩa (Phân phối chuẩn) Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X gọi tuân theo phân phối chuẩn ứng với kỳ vọng µ, độ lệch chuẩn σ với hàm mật độ xác suất có dạng, ký hiệu X ∼ N(µ, σ ): − (x−µ) f (x) = √ e 2σ , σ 2π ∀σ > 0, x ∈ R 34 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn Nếu X ∼ N(µ, σ ) thì: X −µ ∼ N(0, 1), σ X + c ∼ N(µ + c, σ ), cX ∼ N(cµ, (cσ)2 ) P(|X < µ| < kσ) = 2Φ(k) − 1, Φ(k) hàm phân phối chuẩn tắc Nếu Y ∼ (λ, τ ), Y độc lập với X thì: Y + X ∼ N(λ + µ, τ + σ ) 35 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc Phân phối chuẩn trường hợp µ = 0, σ = gọi phân phối chuẩn tắc Một đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có phân phối chuẩn tắc ký hiệu X ∼ N(0, 1) Khi đó, hàm mật độ xác suất (còn gọi hàm mật độ Gauss) xác định bởi: x2 f (x) = √ e − , ∀x ∈ R 2π 36 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc Định nghĩa (Hàm phân phối chuẩn tắc - Hàm phân phối Gauss) x −t e − dt, ∀x ∈ R Φ(x) = √ 2π −∞ Định nghĩa (Hàm tích phân Laplace) x −t ϕ(x) = √ e − dt, 2π ∀x > 37 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc Tính chất hàm Φ(x): ≤ Φ(x) ≤ Φ(x) hàm liên tục, không giảm theo x Φ(−∞) = 0, Φ(∞) = dΦ(x) = f (x) dx Φ(−x) = − Φ(x) Φ(x) = + ϕ(x) 38 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc Giả sử X ∼ N(µ, σ ), sử dụng phép biến đổi Z = Z ∼ N(0, 1) X −µ Khi đó, σ a−µ X −µ b−µ < < σ σ σ a−µ b−µ =Φ −Φ σ σ P(a < X < b) = P 39 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc Ví dụ minh họa Nhu cầu tiêu thụ xăng/dầu đại lý xăng/dầu tuân theo phân phối chuẩn với kỳ vọng 1000 lít độ lệch chuẩn 100 lít ngày Ở kho đại lý có 1100 lít xăng để bán ngày Hỏi đại lý xăng/dầu đáp ứng phần trăm nhu cầu xăng/dầu nơi ngày? 40 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc Đặt X đại lượng ngẫu nhiên số lít xăng/dầu bán ngày đại lý X ∼ N(1000, 100) Từ đó, áp dụng cơng thức ta tính được: X − 1000 1100 − 1000 ≤ 100 100 1100 − 1000 =Φ = Φ (1) = 0.9778 100 P(X ≤ 1100) = P 41 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc Ví dụ minh họa Hãy xem xét khoản đầu tư trả lợi nhuận phân phối chuẩn với giá trị kỳ vọng 10% độ lệch chuẩn 5% a Xác định xác suất bị lỗ b Tìm xác suất bị lỗ độ lệch chuẩn 10% 42 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc a Đặt X số tiền lợi nhuận thu từ khoản đầu tư Đầu tư tiền lợi nhuận âm P(X < 0) Áp dụng cơng thức ta có X − 10 − 10 < 5 = P(Z < −2) = Φ(−2) = 0.0228 P(X < 0) = P Vậy xác suất đầu tư thua lỗ 0.0228 43 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối chuẩn tắc b Nếu tăng độ lệch chuẩn lên 10%, xác suất bị lỗ trở thành X − 10 − 10 < 10 10 = P(Z < −1) = Φ(−1) = 0.1587 P(X < 0) = P Như vậy, việc tăng độ lệch chuẩn làm tăng khả thua lỗ 44 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Phân phối Student Định nghĩa (Phân phối Student) Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X gọi cóphân phối Student (hay phân phối t) với bậc tự n, ký hiệu X ∼ t(n), với có hàm mật độ xác suất: f (x) = n+1 Γ Γ n √ nπ x2 1+ n − n+1 45 / 77 ... hàng bán từ 2500 đến 30 00 lít xăng/dầu là: 1 = 30 00 b Xác suất mà cửa hàng bán 4000 lít ngày 1 P(4000 ≤ X ) = (5000 − 4000) = 30 00 P(2500 ≤ X ≤ 30 00) = (30 00 − 2500) 33 / 77 Các quy luật phân phối... (x) = 5000 − 2000 30 00  x ∈ / [2000, 5000] 32 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối... √ e 2σ , σ 2π ∀σ > 0, x ∈ R 34 / 77 Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Các quy luật phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục Xấp xỉ phân phối Các quy luật phân phối đại lượng