Thông tin tài liệu
thuvienhoclieu.com TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH TỈ LỆ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP Khối trụ tam giác • Bài toán 1: Gọi V thể tích khối lăng trụ, V4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh V4 = lăng trụ Khi đó: V VC A ' B 'C ' = Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Khi đó: VABC A ' B 'C ' • Bài toán 2: Gọi V thể tích khối lăng trụ, V5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh V5 = lăng trụ Khi đó: V VA ' B ' ABC = Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Khi đó: VABC A ' B ' C ' • Bài toán 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Mặt phẳng cắt đường thẳng AA ', BB ', CC ' VABC MNP a+b+c AM BN CP = = a, = b, =c BB ' CC ' M , N , P cho AA ' VABC A ' B 'C ' thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Khối hộp • Bài toán 1: Gọi V thể tích khối hộp, V4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối V4 = hộp đỉnh thuộc hai đường chéo hai mặt song song Khi đó: V • Bài toán 2: Gọi V thể tích khối hộp, V4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối V4 = hộp ( trừ trường hợp đỉnh thuộc hai đường chéo hai mặt song song) Khi đó: V • Bài toán 3: Gọi V thể tích khối hộp, V5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối V5 = hộp (1 đỉnh thuộc mặt phẳng đáy, đỉnh lại thuộc mặt phẳng đáy lại) Khi đó: V • Bài toán 4: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Mặt phẳng cắt đường thẳng AA ', BB ', CC ', DD ' lần AM BQ CP DN = a, = b, = c, =d M , Q , P , N BB ' CC ' DD ' lượt cho AA ' a + c = b + d thì: VABCD.MQPN VABCD A ' B 'C ' D ' = a+b+c+d a+c b+d = = 2 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com V1 = k3 V Chú ý: Hai khối đa diện đồng dạng với tỉ số k tỉ lệ thể tích chúng k hay MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH KHÁ Câu Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Tính thể tích khối đa diện BAA′C ′C 3V A 2V B V C V D Lời giải Chọn B ( BA′C ′) chia khối lăng trụ ABC A′B′C ′ thành hai khối: B AA′C ′C B A′B′C ′ Mặt phẳng ⇒ VB AA′C ′C = VABC A′B′C ′ − VB A′B′C ′ ⇒ VB A′B′C ′ = V Khối chóp B A′B ′C ′ khối lăng trụ có chung đáy chung chiều cao 2V ⇒ VBAA′C ′C = V − V = 3 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Câu ( ABM ) chia khối lăng trụ thành Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ , M trung điểm CC ′ Mặt phẳng hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính V1 tỉ số V2 A B C D Lời giải Chọn B V1 = VM ABC = S ABC MC ⇒ V2 = VABC A′B′C ′ − V1 = S ABC CC ′ − S ABC CC ′ = S ABC CC ′ V2 thể tích khối đa diện cịn lại 6 1 ′ V1 S ABC MC S ABC CC = = = V2 S CC ′ S CC ′ ABC ABC 6 Khi ta có tỉ số: V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức Câu ( A′BC ′) chia khối lăng trụ thành Khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích Mặt phẳng khối chóp tam giác khối chóp tứ giác tích A B C D Lời giải Chọn A thuvienhoclieu.com Trang +) Thể tích khơi lăng trụ là: VABC A′B′C ′ thuvienhoclieu.com = d ( B, ( A′B′C ′ ) ) S A′B′C ′ = +) Thể tích khối chóp tam giác B A′B′C ′ là: 1 VB A′B′C ′ = d ( B, ( A′B′C ′ ) ) S A′B′C ′ = VABC A′B′C′ = = 3 Vậy thể tích khối chóp tứ giác B ACC ′A′ là: VB ACC ′A′ = VABC A′B′C′ − VB A′B′C′ = − = Cho khối lăng trụ tam giác ABC A′B ′C ′ tích V Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Câu Mặt phẳng ( MAB ) chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k ≤ Tìm k ? A B C D Lời giải Chọn C Ta có V = d ( C ′, ( ABC ) ) ×S ABC VM ABC Khi k= Vậy Câu 1 = d ( M , ( ABC ) ) S ABC = d ( C ′, ( ABC ) ) ×S ABC = V ⇒ VABM A′B′C ′ = V 6 VM ABC = VABM A′B′C ′ Cho lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ tích V Gọi M trung điểm cạnh AA′ Khi thể tích khối chóp M BCC ′B′ V A 2V B V C V D Lời giải Chọn B thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Vì AA′ // ( BB′C ′C ) nên d ( M , ( BB′C ′C ) ) = d ( A, ( BB′C ′C ) ) suy VM BB′C′C = VA.BB′C ′C VA.BB′C ′C = VABC A′B′C ′ − VAA′B′C ′ = V − V = V 3 Mà VM BB′C ′C = V Vậy Câu đến ( ABB′A′ ) 15, khoảng cách từ điểm C Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ Biết diện tích mặt bên ( ABB′A′ ) A 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ B 45 C 60 D 90 Lời giải Chọn B 1 VC ABB ′A′ = d ( C ; ( ABB′A′ ) ) S ABB′A′ = 6.15 = 30 3 Ta có VC ABB′A′ = VABC A′B′C ′ ⇒ VABC A′B′C ′ = VC ABB′A′ = 45 Mà Câu Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích V Tính thể tích khối đa diện ABCB′C ′ V A V B 3V C 2V D Lời giải Chọn D thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Gọi chiều cao lăng trụ h , S ABC = S A′B′C ′ = S Khi V = S h 1 VA A′B′C ′ = S h = V ⇒ VABCB′C ′ = V 3 Ta có Câu Một khối lăng trụ tứ giác tích Nếu gấp đôi cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ hai lần khối lăng trụ tích là: A C 16 B D Lời giải Chọn A Giả sử khối lăng trụ tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Khi thể tích khối lăng trụ tứ giác tính cơng thức V = B.h = a h = Nếu gấp đơi cạnh đáy diện tích đáy B ' = 4a Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao h'= h h V = B '.h ' = 4a = 2a h = Vì thể tích khối lăng trụ là: Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Nếu tăng cạnh hình hộp lên gấp hai lần thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Lời giải Chọn A Ta có tăng cạnh khối hộp lên hai lần ta khối hộp đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số Do thể tích khối hộp V = 8V VM ABC Câu 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B ′C ′ có M trung điểm AA′ Tỉ số thể tích VABC A′B′C ′ A B C 12 D Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Chọn A ′ Ta có: VABC A′B′C ′ = AA S ∆ ABC VM ABC 1 1 = VM ABC = AM S ∆ ABC = AA′.S ∆ ABC = VABC A′B′C ′ ⇒ VABC A′B′C ′ 3 Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I giao điểm AC BD Gọi V1 V2 V1 thể tích khối ABCD A ' B ' C ' D ' I A ' B ' C ' Tính tỉ số V2 V1 =6 V A V1 =2 V B V1 = V 2 C V1 =3 V D Lời giải Chọn A C B I A D B' C' A' D' Ta có: V1 = AA '.S A ' B 'C ' D ' V1 1 1 =6 V2 = d ( I ; ( A ' B ' C ' ) ) S ∆A ' B 'C ' = d ( A; ( A ' B ' C ' ) ) S A ' B 'C 'D' = AA '.S A ' B 'C ' D ' = V1 ⇒ V 3 6 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com MỨC ĐỘ KHÁ GIỎI Câu 12 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 2022 Gọi M trung điểm AA′ ; N , P điểm nằm cạnh BB′ , CC ′ cho BN = B′N , CP = 3C ′P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 2288 A 27 4036 B 27 4036 C 7751 D Lời giải Chọn D VABC MNP AM BN CP 23 = + + = ′ ′ ′÷ Ta có VABC A′B′C ′ AA BB CC 36 Vậy VABC MNP = 7751 Câu 13 Cho hình lăng trụ ABC A′B′C ′ tích 6a Các điểm M , N , P thuộc AM BN CP = = = cạnh AA′ , BB′ , CC ′ cho AA′ , BB′ CC ′ Tính thể tích V ′ đa diện ABC.MNP A V′ = 11 a 27 B V′ = a 16 C V′ = 11 a D V′ = Lời giải Chọn C thuvienhoclieu.com Trang 11 a 18 thuvienhoclieu.com Lấy điểm Q ∈ AA′ cho PQ //AC Ta có MQ = AQ − AM = AA′ VABC MNP = VABC A′B′C ′ VM QNP = VABC A′B′C ′ 12 Dễ thấy , Vậy V ′ = VABC MNP − VM QNP = 11 11 V = a3 18 Câu 14 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC A′B′C ′ Gọi M , N , P, Q điểm thuộc AA′ , AM BN CN C ′Q = = = = AA′ , BB′ , CC ′ , B′C ′ thỏa mãn AA ' , BB ' , CC ' , C ′B′ Gọi V1 , V2 thể tích khối tứ V1 diện MNPQ ABC A′B′C ′ Tính tỷ số V2 V1 11 = V 30 A V1 11 = V 45 B V1 19 = V 45 C V1 22 = V 45 D Lời giải Chọn B thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Thể tích hình hộp V = B h B′ = B Gọi diện tích tam giác ABC B′ , ta có: A′H ⊥ ( ABCD ) Gọi A′H đường cao hạ từ A′ xuống mặt phẳng đáy: H , đặt h = A′H Dựng MK MA 2 = = ( gt ) ⇒ h′ = h K , ta có MK //A′H có tỉ số A′H A′A 1 V V ′ = B′ h′ = B h = B h = 3 9 Gọi V thể tích hình chóp M ABC , ta có: Câu 23 Cho khối hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ tích 2110 Biết A′M = MA , DN = ND′ , MK ⊥ ( ABCD ) CP = 2C ′P hình vẽ Mặt phẳng ( MNP ) chia khối hộp cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ 5275 A 8440 B 7385 C 18 5275 D 12 Lời giải Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com MNP ) Gọi Q giao điểm mặt phẳng ( với BB′ A′M C ′P D′N B′Q =x =y =z =t ′ ′ ′ ′ AA CC DD BB Giả sử , , , Khi x + y = z + t VA′B′D′.MQN VA′B′D′ ABD VC ′B′D′.PQN VC ′B′D′.CBD ⇒ = V′′ ′ x+ z +t x+ z +t ⇒ A B D MQN = VA′B′C ′D′ ABCD = V′′ ′ y+ z+t y + z +t ⇒ C B D PQN = VA′B′C ′D′ ABCD VMNPQ A′D′C ′B′ VABCD A′D′C ′B′ VMNPQ A′D′C ′B′ VABCD A′D′C ′B′ = ( x + y) A′M C ′P 1 = + + = ÷= AA′ CC ′ ÷ 12 ⇒ VMNPQ A′D′C ′B′ = 5275 VABCD A′D′C ′B′ = 12 Câu 24 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ tích Gọi M , N P điểm nằm cạnh B′N = A′B′ , B′C ′ BC cho M trung điểm A′B′ , B′C ′ BP = BC 4 Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB′ E đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCA′MNC ' 23 A 23 B 59 C 12 19 D Lời giải Chọn C thuvienhoclieu.com Trang 20 thuvienhoclieu.com EB EQ EP BP = = = = Ta có EB′ EM EN B′N d ( E , ( A′B′C ′ ) ) = d ( B, ( A′B′C ′ ) ) Suy S B′MN B′N B′M = = ′ ′ ′ ′ Mà ta lại có S A′B′C ′ B C B A VE MB′N = d ( E , ( MB′N ) ) S MB′N = VABC A′B′C ′ = 16 Và VE QPB Ta lại có VE MNB′ Suy Vậy EQ EP EB EB = = = ÷ EM EN EB′ EB′ 27 VBQP.B′MN = VE MB′N − VEBQP = 26 VE.MB′N 27 VAQPCA′MNC ′ = VABC A′B′C ′ − VBQP B′MN = − 26 59 = 27 12 Câu 25 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABB′A′, ACC ′A′ BCC ′B′ Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A B 20 C 14 D Lời giải Chọn B thuvienhoclieu.com Trang 21 thuvienhoclieu.com Thể tích khối lăng trụ ABC A′B′C ′ V = 42 = 16 V Gọi thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P Ta có: V1 = VAMNCB + VBMNP + VBNPC VAMNCB = VA′ABC VAMNCB = V VA′ABC = V 4 Dễ thấy nên 1 VBA′B′C ′ = V VBMNP = VBA′B′C ′ VBMNP = V 24 nên 1 VA′BCB′ = VA′B′CC ′ = V VBNPC = VBA′B′C VBNPC = V 12 nên V1 = VAMNCB + VBMNP + VBNPC = V = Vậy Câu 26 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N , P tâm mặt bên ABB′A′, ACC ′A′, BCC ′B′ Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A B 10 C D 12 Lời giải Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 22 thuvienhoclieu.com ( MNP ) Gọi DEF thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng Dễ chứng minh ( DEF ) / / ( ABC ) D, E , F trung điểm đoạn VABC DEF = VABC A′B′C ′ = 12 thẳng AA′, BB′, CC ′ suy Ta có VABCPNM = VABC DEF − VADMN − VBMPE − VCPMF Mặt khác VADMN = VBMPE = VCPMF = VABC DEF ⇒ VABCPNM = VABC DEF = 12 Câu 27 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P 40 A 28 C B 16 D 12 Lời giải Chọn D Ta có: VABC A' B ' C ' = Khối đa diện cần tìm 1 = 32 3; VC ' ABC = VABC A ' B 'C ' ; VA.BC ' B ' = VABC A ' B 'C ' 3 V = VC ABPN + VP AMN + VP ABM thuvienhoclieu.com Trang 23 thuvienhoclieu.com VC ABPN = VC ' ABC = VABC A ' B ' C ' 4 Ta có 1 VPAMN = VABC ' B ' = VABC A ' B 'C ' 24 Ta có 1 VPABM = VABC ' B ' = VABC A ' B 'C ' 12 Ta có 1 V = VABC A ' B 'C ' + VABC A' B 'C ' + VABC A ' B 'C ' = VABC A' B ' C ' = 12 24 12 Vậy thể tích khối cần tìm Câu 28 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao đáy tam giác cạnh Gọi M , N P tâm mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B , C , M , N , P A 30 B 36 C 27 D 21 Lời giải Chọn C Gọi h chiều cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Vì ∆ABC có độ dài cạnh nên S ∆ABC = 62 =9 Thể tích lặng trụ ABC A ' B ' C ' V = h S∆ABC = 8.9 = 72 thuvienhoclieu.com Trang 24 thuvienhoclieu.com Gọi E trung điểm cạnh AA ' Thể tích khối chóp A.EMN VA EMN = 1 1 d ( A, ( EMN ) ) S ∆EMN = h S ∆ABC = V 3 24 Thể tích khổi đa diện ABCMNP là: 1 VABCMNP = V − 3VA EMN = V − V = V = 27 2 24 Câu 29 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N , P Q tâm mặt bên ABB′A′, BCC ′B′, CDD′C ′ DAA′D′ Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q A 27 B 30 C 18 D 36 Lời giải Chọn B Ta có VABCD A′B′C ′D′ = 9.8 = 72 Gọi I , J , K , L trung điểm cạnh AA′, BB′, CC ′, DD′ suy VABCD.IJKL = 36 Do hình chóp A.MIQ đồng dạng với hình chóp A.B′A′D′ theo tỉ số nên 1 VA.MQI = VA B′A′D′ = = 8 2 VABCD.MNPQ = VABCD IJKL − 4VA.MIQ = 36 − = 30 thuvienhoclieu.com Trang 25 thuvienhoclieu.com ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a , BC = 2a , AC ' = 3a Điểm N thuộc cạnh Câu 30 Cho hình hộp chữ nhật BB ' cho BN = NB ' , điểm M thuộc cạnh DD ' cho D ' M = MD Mặt phẳng ( A ' MN ) chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C ' A 4a B a C 2a D 3a Lời giải Chọn C ( B ' N = DM , B ' N //DM ) Nhận xét: B ' NDM hình bình hành ⇒ MN I B ' D = O trung điểm đoạn nên O trung điểm đường chéo A ' C Vậy thiết diện tạo mặt ( A ' MN ) hình chóp hình bình hành A ' NCM 2 2 Ta có: C ' A = B ' B + BA + BC ⇒ B ' B = 2a Cách 1: Thể tích phần chứa C ' 1 V = V A ' B ' C ' CN + VA '.C ' CMD = A ' B '.S B ' C ' CN + A ' D '.SC ' D ' MC 3 2a 4a + 2a + 2a = a.2a + 2a.a = 2a 3 Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh Gọi thể tích phần chứa C ' V ' V' Ta có: VABCD A ' B ' C ' D ' B'N D'M + 1 = B ' B D ' D = ⇒ V ' = 4a = 2a 2 thuvienhoclieu.com Trang 26 thuvienhoclieu.com C Cách 3: Nhận xét nhanh đa diện chứa ' đối xứng với đa diện khơng chứa C ' qua O nên thể tích V ' = VABCD A ' B ' C ' D ' = 2a hai phần nhau, suy Câu 31 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S tâm mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S a3 A 24 a3 B a3 C 12 a3 D Lời giải Chọn D V = VR.MNPQ + VS MNPQ = 2VR MNPQ Ta có: dễ thấy MNPQRS bát giác nên Dễ thấy: RO = a Lại có hình chóp R.MNPQ có tất cạnh nên: MR = OR = a 2 a3 ⇒ 2VR.MNPQ = .MN OR = Câu 32 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có M , N , P trung điểm cạnh BC , C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP thuvienhoclieu.com Trang 27 thuvienhoclieu.com A 15 B 24 C 20 D 18 Lời giải Chọn A NP ∩ CD = E Đặt DC = 2d , BC = 2r S EMA = S ECBA − S EMC − S ABM = 5dr − dr − dr = dr 2 1 5 VNEAM = S EMA d ( N , ( EMA)) = S EMA CC ' = 4dr.CC ' = VABCD A ' B 'C ' D ' = 30 3 24 24 VNPAM = VNEAM = 15 Câu 33 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh bằnga Gọi S điểm đối xứng A qua BC ' Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' a3 A B a a3 C a3 D Lời giải Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 28 thuvienhoclieu.com Chia khối đa diện ABCSB ' C ' thành khối khối chóp A.BCC ' B ' khối chóp S BCC ' B ' VABCSB 'C ' = VABCC ' B ' + VS BCC ' B ' Gọi M trung điểm BC AM ⊥ BC a ⇒ AM ⊥ ( BCC ' B ' ) ⇒ AM = Ta có: AM ⊥ BB ' Tam giác ABC Thể tích khối chóp A.BCC ' B ' là: VA BCC ' B ' 1 a a3 = AM S BCC ' B ' = a = 3 d S ; BCC ' B ') ) S BCC ' B ' VS BCC ' B ' ( ( = d ( S ; ( BCC ' B ') ) SI VA BCC ' B ' d A; BCC ' B ' S = ( ) ) BCC ' B ' d ( A; ( BCC ' B ') ) = AI = ( Thể tích khối chóp S BCC ' B ' là: ⇒ VS BCC ' B ' = VA BCC ' B ' a3 a3 a3 a3 = ⇒ VABCSB 'C ' = VA BCC ' B ' + VS BCC ' B ' = + = 6 Câu 34 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A′B′C ′D′ có đáy hình thoi có cạnh 4a , A′A = 8a , · BAD = 120° Gọi M , N , K trung điểm cạnh AB′, B′C , BD′ Thể tích khối da diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , K là: A 12 a 28 3 a B 3 C 16 a 40 3 a D Lời giải Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 29 thuvienhoclieu.com MN / / AC ; MN = AC , MNCA hình thang VMNKABC = VK MNCA + VB.MNCA DK cắt (B’AC) B’, Mà: VB.MNCA = VD.MNCA S MNCA = Mặt khác: d ( K ;( MNCA) ) B'K 1 = ⇒ = ⇒ VK MNCA = VD.MNCA B'D d ( D;( MNCA) ) 2 VMNKABC = VB.MNCA + VB MNCA = VB.MNCA 2 nên ta có: 3 3 S B ' AC ⇒ VB.MNCA = VB.B ' AC = VB ' ABC = VABCD A ' B 'C ' D ' = 3a 4 4 3 VMNKABC = VB.MNCA = a = 12 a 2 Câu 35 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ tích V Gọi M điểm thuộc cạnh BB′ cho BM = MB′ Mặt phẳng (α ) qua M vng góc với AC ′ cắt cạnh DD′, DC , BC V1 N , P, Q Gọi V1 thể tích khối đa diện CPQMNC ′ Tính tỷ số V 31 A 162 35 B 162 34 C 162 13 D 162 Lời giải Chọn B thuvienhoclieu.com Trang 30 thuvienhoclieu.com Theo giả thiết (α ) ∩ DD′ = N , (α ) ∩ CD = P, (α ) ∩ BC = Q Từ tính chất hình lập phương ta có ( ACC ′) ⊥ BD suy BD ⊥ AC ′ BD //(α ) , từ ta suy MN //BD; PQ //BD ta có DN = ND′ AB ⊥ B′C ⇒ B′C ⊥ ( ABC ′) ⇒ B′C ⊥ AC ′ ′ ⊥ B′C BC P , Q Ta xác định vị trí sau: Ta có (α )//B′C MQ //B′C , ta BQ = 2QC , theo PQ //BD ta lại có DP = PC Vậy điểm M , N , P, Q hoàn toàn xác định Gọi S điểm cạnh CC ′ thỏa mãn CS = SC ′ R điểm đường thẳng CC ′ thỏa mãn MB′CR hình bình hành Khi ta có R nằm mặt phẳng (α ) ( MNS )//( A′B′C ′D′) Đặt V0 = VRCPQ ;V2 = VC ′MSN V1 = VRMNS + VC ′MSN − VRCPQ Đặt cạnh hình lập phương AB = x ta có V = (3 x)3 = 27 x3 V SN SM SR = x RMNS = 3x3 ′ VC ′MSN = SM SN SC = 3 x3 x + x − x V1 2 = 35 V = CP CQ CR = = RCPQ 6 27 x 162 V V1 35 = Vậy V 162 Câu 36 Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có chiều cao diện tích đáy 11 Gọi M trung điểm AA′, N điểm cạnh BB′ cho BN = 3B′N P điểm cạnh CC ′ cho thuvienhoclieu.com Trang 31 thuvienhoclieu.com 6CP = 5C ′P Mặt phẳng ( MNP ) cắt cạnh DD′ Q Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , D, M , N , P Q 88 A B 42 C 44 220 D Lời giải Chọn B Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: AM BN CP VABC MNP = + + ÷.VABC A′B′C ′ ′ ′ ′ AA BB CC Cho hình lăng trụ hình vẽ, Chứng minh: VABC MNP = VN ACB + VN ACPM VN ACB = BN BN VB ' ACB = VABC A′B′C ′ BB′ BB′ VN ACPM S ACPM = VB′ ACC ′A′ S ACC ′A′ ( CP + AM ) CP AM = = + ÷ AA′ CC ′ AA′ CP AM ⇒ VN ACPM = + ÷ VABC A′B′C ′ CC ′ AA′ Từ ta suy điều phải chứng minh Bây ta áp dụng vào giải toán thuvienhoclieu.com Trang 32 thuvienhoclieu.com ( ADD′A′ ) // ( BCC ′B′ ) MQ ⊂ ( MNP ) ∩ ( ADD′A′ ) ⇒ NP //MQ NP ⊂ ( MNP ) ∩ ( BCC ′B′ ) Ta có: , tương tự ta có MN //PQ Do MNPQ hình bình hành Ta có OI đường trung bình hai hình thang AMPC BNQD suy 2OI = MA + PC = DQ + NB ⇒ MA PC BN DQ + = + AA′ CC ′ BB′ DD′ Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần cắt mặt phẳng ( BDD′B′ ) VA′D′B′ ADB = VBD′C ′.BDC = 44 VABCD.MNPQ = VABD MNQ + VBCD NPQ MA BN DQ CP BN DQ = + + VABD A′B′D′ + + + ÷ ÷.VBCD B′C ′D ′ AA′ BB′ DD′ CC ′ BB′ DD′ MA BN DQ CP BN DQ = + + + + + ÷ VABC A′B′C ′ AA′ BB′ DD′ CC ′ BB′ DD′ = MA CP + ÷ VABC A′B′C ′ 3.2 AA′ CC ′ MA CP = + ÷.VABC A′B′C′ AA′ CC ′ 1 = + ÷.88 = 42 11 thuvienhoclieu.com Trang 33 Do ... hai mặt song song Khi đó: V • Bài toán 2: Gọi V thể tích khối hộp, V4 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối V4 = hộp ( trừ trường hợp đỉnh thuộc hai đường chéo hai mặt song song) Khi... lên hai lần ta khối hộp đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số Do thể tích khối hộp V = 8V VM ABC Câu 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC A′B ′C ′ có M trung điểm AA′ Tỉ số thể tích VABC A′B′C ′ A ... Câu 16 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích V Gọi M trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN = 2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V A VA BCMN = 7V 12 B VA.BCMN = 7V 18 C VA
Ngày đăng: 13/10/2022, 17:45
Xem thêm:
