Giúp học tốt toán cấp 3-lê quang ánh

Giúp học tốt toán cấp 3 - cấp số dãy số - Lê Quang Ánh

Trang 2

www.VNMATH.com

Lời nói đầu

Chúng tôi xin giới thiệu với các bạn học sinh, Cấp ä đặc biệt là học sinh các lớp chuyên chọn, tập tài liệu về "DÃY SỐ - CẬP SỐ" nhằm mục đích giúp các em có thêm tài liệu học tập và nâng cao > trình độ của mình trong chuyên đè này

Mỗi một vấn đề đều được bắt đầu bằng phần tóm t tắt W thuyết nếu phần này đã học và phần giới thiệu và triên khai một số kiến thức quan trọng nêu phần này chưa học hoặc | ít được đề cập trong các sách giáo khoa thông dụng ở C ap 3 Sau đó là phần bài tập có lời giải và bài tập đề nghị Đó là những bài tập minh họa các kiến thức trước đó hoặc những bài tập có liên quan đến các kiến thức đó nhưng cao hon, | trich trong cac dé thi Tú Tài Pháp hoặc các kỳ thi học sinh giỏi thành phố HCM, Toàn quốc và Quốc tế Đối với bài tập ‹ đề nghị tác giả có hướn 8 dân qua, nhưng học sinh ˆ hoàn toàn có thể nghĩ đến phương pháp khác riêng của mình s

Tác giả rất mong muốn kinh nghiệm và nhiệt tình của mình đem lại lợi ích cho các học sinh ham thích toán

Trong lần xuất bản đầu tiên này, có thể có một số sai sót ngoài ý muốn, rat mong ban doc góp ý — xin chân thành cám ơn

TP Hề Chí Minh, mùa hè 94

Trang 3

www.VNMATH.com - MỤC LỤC : ; Trang Lời nói đầu - 2-5-2 2secrsecrkeerreeerxee 5 Chương 1 - Cấp số Cộng .-e 7 Chương 2 - Cấp số nhân 14 Chương 3 - Dãy số .22 Chương 4 - Dãy số Un = f(Un-l) .42

Chương 5 - Dây qui nạp tuyến tính sesneeeeeee SD

Chương 6 - Bài tập tổng hợp _ 61

d ryt

Trang 5

www.VNMATH.com c=b ~ Wa + Vb) (Wb + Ve) (Ve + Ýa) vo Na —- c+Na - b+Yc We santo + ey “qrr4oc+ (0: dõ Từ hai kết quả đó ta có : Í 4 o aD Ee Vo+Va — ea eae Hay là : ath b= Ce Ree Te oR Đó chính là điều phải chứng minh Bài 2

Trong một cấp số cong ta dat: S, =u, +u,+ +u,

1/ Cho biệt : Sm = n và Sn = m (với m # n) Hãy tính Sm+a-

Trang 7

www.VNMATH.com Ta cÓ : , rÝ15 +6 =sq) TUG) ta say ra: Wis) = đ15- ByesaVs- Vey nên : Vie - Ga 8 s` cũng là số hữu tỷ vì r và s đều là số hữu tỷ se ay OR AN ` StS Tu (i) và (H) ta có: 2r N15 =s+s' => V15 =, r sa l Jr -

Vậy X15 là số hữu tỷ : vô lý ! :

Trang 8

+ « WWW.VNMATH.com Cộng (n >* 1) đăng thức trên ta được: Ý ø 1 | 1 1 1 1 ap ab bm a) d2z a dy Ay-| a, ad ay ay Ay ~ ay _ứI +(nT— ])d— đi 7 đ ay Cn da an 17) ` qị du 2/ Từ giả thiết với k lần lượt cho bằng 3 4,4, ,n ta được : 1 1 dị đạ a2 đa “đi ay 2 l 3 ay da da da a, a4 n~2 1 n-1 ap Be (n) đị đụT{ CC đụng đạc A Uy Biến đổi (3) ta được: (3) => a, +a, = 2a, => 8 — AỊ = 8à — a2 = d Như vậy dị, dy, a, 1a l cấp số cộng cong sai d- Biến đổi (4) : (4) => 2a, + a, = 3a,

=> 204 = -ai + 3 (ai + 2d)

=> da = dị + 3d

Giả sử ta chứng mình được: a,_¡ =a¡ + (n -2) dc Từ đẳng thức (n) tá suyra: (n—2) a, ta, =(n- 1 ant

Do đó: (n-2)a, 9 =-a, +(n— 1) [a, +(n~ 2) d]

‘ - =(n-2)ai+(n-l)(n-2).d

Suy ra: an=ai#e(n—l).d

Trang 9

Bài 5 : Cho cấp số cộng a1; a2; ; ân

1/ Ching minh: a, a, <a,a,_)Sa,a,_,S Sapa iy, S n+l với l<kx<- — 2 2/ Giả sử tất cả các số hạng của cấp số cộng deu khong 4 am, hay Chứng minh : n ” — đị + dy Vd} dy S V@y G2 03 Uy S 7 XẾT 2 Giai 1⁄ Ta chứng mình : n nÌ

Ug} Ap-ke2 S Ak dạ gyị VỚI 2 ŠSk > Thật vay : ag} An—k+2 = [ay + (Kk 2).d].[ai+(n-=k+l) dj

=a, 24 (n= lad t (k - 2) (n—- k+1) a qd) Ak Apeker = Ley + (K— 1) d] fay + (n ~k).d]

=a; +in- lad (k~1).-k).@? (2)

Tà so sánh hai kết quả ở ( ) và (2) bằng cách lấy hiệu : Ak ĐnT—k+t — đg~1 8n—g+; # [— D.(n — ky (k—-2)m—-k+1)] g in-2k+2) a n+i Do ké<- > nén: n—-2k+120 =>n-2k+2>0 atl Vay: Mot yk? SM Ân kại (với 2 <k<- >? Ta cho k lấy các giá trị trên ta thu được bất đẳng thức 6 cau 1/ 2/ se ;he2 cầu l/ta có:

(ö A2 43 an)” = (ajay) (@2ap-1) (Ap ay 2 (aya,)”

Lấy căn bậc 2n hai về ta dude: Va, a, <"Va, 4 4, (i) ¢Doa2>0 (i= 1, 2, m) nén bat đẳng thức Côsi cho :

Te dị + dạ + tần “Am đ2 dđ SỐ” TT”

i

Trang 10

www.VNMATH.com

`

= —~ [(aj + a,) + (a2 + dp) + + (a, + ay)] 2n

1 ay +a, ees

=~—.n(4i+an)=———— ( 2n n (a; + ay) 2 (ii)

(i) va (ii) cho ta bất đẳng thức kép cần chứng minh C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ oe 1 Cho cấp số cong aj, a2, ., an, với tất cả các số hạng đều dương _— — — s ] ñn—Ï —= +7 + + a, + Nay et vn vn 1 Va, -Ve Hướng dẫn: —ˆ p= =- a Vay + Vaya) d 2/ a, b, c lần lượt là ba số hạng thứ m, n, p của một cấp số cộng Chứng minh : a (n— p) +b (p- m) + c (m ~ n)=0 3/ Một cấp số cộng có tính chất với mọi số nguyên dương m và n 2 2 + om ` & + ^ 4 ki m khác nhau, các tông Sm vả Sn thoa hệ thức : —= 5 noon 4 : › An 2m-— Ì Ching minh rang : ——=——— a, 2n—I nm - 2 - y & _ 4/ Hãy xác định câp số cộng biệt rang a không phụ thuộc vào n 2n "Đáp số : đ= 2m 5/1/ Định một cấp số cộng biết Sn = 3n” + án, với mọi số tự nhiên n

Trang 11

www.VNMATH.com

§2 CAP SO NHAN

A TOM TAT GIAO KHOA oo |

1 Dinh nghia : Ta goi cấp số nhân công bội q tắt cả các dãy số(wa) thỏa điêu kiện :¬ (* cho sẵn trong R * Un = Q Up] (n>2) Nếu q = Othiuz= =Un= =0 vi Nếu q = 1 thì tắt cả các số hạng bằng nhau và bang u, Néug =-/ thì = 03 = U4 = ; 2 = Ua = = —UI Sau này't4 loại ba trường hợp tầm thường này ` 2 Các công thức : i Hy = Uy qh (n 22) 2 Un = Un~1 - Ưn¿| nề 2) 3 > = U2Un_I = 4 Su, _=— k=l T—N mê ~q ") 3 Voil qi < † thì wị + 0a + *vUn+.c= BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI od

Baj 1: Chứng minh rang dé ba sé khac khong a, b, c la ba sé hạng của cùng một cấp số nhân, điều kiện cần và đủ là tồn tại ba sô nguyên khác không p, q, r sao cho :

p+rq+r=0

aP pĩ,c =1

Giải

* Thuận: Giả-sử a, b, c là ba số hạng thứ k + I,/+lvàm+I của cùng một cap s6 nhân số hạng dau uj, đông bội p

14

Trang 12

www.VNMATH.com Ta có : a=u,.p“;b=u,.p ;c=u,.p” Từ các đẳng thức ấy ta suy ra : ag A ay —Ðq- SP" => (DE = pIk-D-m) ọ b Diet (emylket c=p => CF !p m6) _€ ad Do đó: | orm = Qe =>alTm prim kl kl y => am pt cc =1 Với p=/ m ;q=m —k và r=k — / thì hiển nhiên là p, q, r là ba số nguyên khác không và: p+qg+r=0 Dao : a, b,c #0 théa hai điều kiện : p+q+r=0(1) W P.plc=l @

Trang 13

'wWww.VNMATH.com Giải Ta có : 9.A=9+99+ +09 9, n SỐ 9 =(10— 1) + (100— 1) + + (10”— 1) =(0° + 10Ỷ + + 10°) — n — 10-10) _ 10”'~9;—10 —ñ = 1-10 — 9 - 10”?! — 9(¢n + 1)-1 Vay : RO 81

Trang 14

www VNMATH.com ay ¬ fh {= 9") - a —q"P (1-9? 2, =——z.[q".0=qÐ] (1-4) - “on n “4 ˆ.(1-4”) =[ ==Ỷ (2) _ |l-q So sinh (1) vi (2) tacé: — S, (Say — S_) = (Sq — 8)” Bai 4

Trang 15

www VNMAT om N.co V5 + 1 Do q > 0 nên điều kiện của q rút lại là : ” <q<_- 2 Bai 5 1/ Chitng minh rằng nêu X;yY„Z (ba số thực khác 0) theo ti thứ tự tạo thành một cap số nhân thì ta có :

(x" + +2") (x"~y hư) x yy +2" iVneZ Trong trường hợp nào thì phần đảo đúng

2/ Áp dụng : Xác định bạ số thực khác 0 biếtrằng chúng tạo thành một câp sô nhân có tong nghich đảo của chúng bằng 26 và tổng hình phương các nghịch đảo của chúng băng 364 | Giải | Vetacd: x ty tea") (xt yt 42") st 2) y7" - 2n non 2n =x" 477 " z —Y Do đó : D= (x0 + y" +2") (x8 y" 42") - (x2 + y2" + z7) =2(xhz" y)

Do" x,y,z nén > yr=xze> y= x" 2"

Vậy D=0nên: (x°+ y"+zP) x®— yh + z") = x20 + y2" + 279 (1)

Đảo lại nếu có (1} tức là D= 0 nên: x"z?=y”"

Có hai trường hợp phải xem xết :

1/ n1 : Hệ thức trên dẫn tới xz = y”

Do d6 x, y, z theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân : Đảo đúng

2/ n chắn : liệ thức trên cho :

Trang 16

www.VNMATH.com

-2/ Cho n =—1 vao (1) ta dugc

Trang 17

www.VNMATH.com C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ +1 Tinh tổng : ` 7+771+777+ +77 7 — ` : n SỐ 7 ˆ ,„ 7(10W°!—9g ~ 10) Dap sô: ————————————— 81 - Tà 3 5 7 n+) 2 Tinh tong : S,=l+G+ y+ gt + > Hướng dẫn và đáp số : Tính Sn — : Sn I 20 6n+11 Dap sé : Sy = “= — = ¬ 1 9 92 2n Ot 3 Mot cap sé cộng và một cấp số, nhân có củng số hạng thưm " , thứ n + 1 và thứ p+ Ila ba số dương a, b, c

Chứng minh : abe po? FPL °

Hướng dẫn : Dùng các công thức của cấp số cộng và cấp số nhân: a=U u¡ + mở và a = Vy q „ Vân vân,

4 Chứng, minh rang 2, 3, 5 không thể là những số hạng của cùng một câp số nhân được

Hướng dẫn : Nếu chúng là các số hà: $ hứk+l,!+ Í vàm+i của cùng một cấp số nhân số hạng đầu a, công bội q, thì ta - chứng minh đợc :

2 - a1 gm

3 ° "3

Từ đồ : 2m 3k sl~2l 3", s5 wa ly) - (Một số nguyên dương chỉ có thé phân tích thành thừa số nguyên tô một cách duy nhât)

5 Cho một cấp số cộng : ` a;, a,„ , 8.,

oa

„và một cấp số nhan : * bị ;by, ; bạ ;

Trang 18

www.VNMATH.com 1/Néu aj> 0; V iva ay =b1 4 a2= be thi hãy Chứng minh rằng: an < bn; Vn>2 2/Néu ais 03V i va a1 = bị # an = bn thì hãy Chứng minh rằng: _ }ay>bụ với 1<k<n ay, < by với k>n Hướng dẫn :

pening Bae nah ¬

Sau đó suyra: n—l<l+q+qF+ +q” ” :.hiển nhiên

2/ Cũng nhơ gên :d >0 và q> 1

gi-1 ¢'-1

| my

~ Khi n >k thì bất đẳng thức hiển:nhiên đúng `

Trang 19

-www.VNMATH.com _§3 DÃY SỐ A TÓM TẮT GIÁO KHOA I ĐẠI CƯƠNG VỀ DÃY SỐ : 1 Định nghĩa : Một dãy số là một ánh xạ từ tập N dén tập hợp R - 7 nÌ— > An) =u,

Ta ghi : Day sé (u,), ¢ x hoac van tit hon : day (u,)

2 Day s6 tang — đấy sô giảm :

Déy (ty) tang ké tir No! N2 No => Unser > Un

Day (itn) giam ké từ No: 1 2 No => Un+1 < Un

CHU Y:

1/ Dãy tăng, dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

2/ Dây có thé tăng hoặc giảm k từ nọ, nhựng dãy cũng có thê tăng hoặc giảm kê từ dau (no = 0) Sau nay ta gọi chung là đãy tăng hoặc dãy giảm (mà không nói kế từ no) 3 Dãy số bị chận * Dãy (uạ) bị chận trên (bị chân bên phải) : đAc R:ua<A;VneN Day (un) bi chan dưới (bị chận bên trái) : : J3BeR:ua>B ;VneN Dãy (ua) bị chận khi nó bị chan trên và bị chân dưới CHÚ Ý :

J/ Các số thực A và B nói trên không duy nhất Thật vậy Ac có thể thay bởi A'>A, còn B thì cô thê thay bởi B' < B

2 Hiển nhiên (Ha) bi chan khi va chi khi (I ua |) bi chận trên, tức là :

- (4g) bi chan <=> (J A > 0:lu,ls A; VneN)-

4 Cac phép tinh vé Šdãysế: ˆ 22

Trang 20

www.VNMATH.com Tit hai day (u,) va (v,) ta dinh nghĩa các diy mdi: ¢

Day (ty + Vo): Wa=un+vn;VneN Day (uy Vn) | Wa = Ug Vn; Vo € N

_ Đãy(k.un): Wa#k.un; Vne N (với k là một số thực cho san)

Davy ( mm ) (với vạ #() kể từ No)! Wn =") Vn ny

Vn Vụ

5 Day con

Cho day (u,) Vi mỗi số tự nhiên n ta cho tương ứng với một so ty

nhién p,, sao cho : -

Pì <Pz<P< -SPn<

Ta nói đãy (vụ) định bởi : v„ = uy la day con cua (u,)

Hiển nhiên la néu day (u n) bị chận thì dãy con của nó cũng bị chận II GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ :

1 Định nghĩa :

Trang 21

www.VNMATH.com - a <=> n> E 4 a ; 1, Chọn n, là số nguyên dương lớn hơn : ; ta CÔ : n>n =>lT=-0l<£ ` ni | ˆ 1 Vậy : lim ~=0- no tool :' CHỦ Ý:

1/ Hiển nhiên n, khong phai duy nhất ; nó tùy thuộc vào £ 2/ Ta cũng chứng minh: được : lim —= 0 (a> > 0) n —> +00 nh 2 Ching minh rang: lim q" = 0 (véilq)<1) neo Giai Cho € > 0 tty ý l Ta có:Iq°~0I<e<=>Iqi?<e <=>n.ighql<ige lọc <= Tờ (chú ý : lgql< 0) lọE Chon fi, la số nguyên dương lớn hơ Hai tach: n 2n _., -0l<£ Vậy : im q"=0 n> +ee

Hai kết quả trong các thí dụ trên sau nay sé được dùng trong các phép tính về giới hạm mà không cần chứng minh lại

3 Tính duy nhất của |

Định lý 1 : Nếu đãy (uạ) có giới hạn là / thi / 1a duy nhất

24

Trang 22

www.VNMATH.com “ Chitag mink Giả sử rằng (u,) có giới hạn là / va /'z Ì - PI Đặt : f= ~<=>11-11=2€ (i) v“ - deg : Ðo định nghĩa ta có: 3n¡ec N ;n> ny => lu,—i<é Fnge N: n2 mm => bu,-li<e Do đó: , : mp

n > max (nị, n2) => ƒ— 1< lua— + luan —/1<2e(0)

~ (i) va (ii) mâu thuẫn nhau Vậy / = " `

4 Điều kiện đề đãy hội tụ

a

Định lý 2 : (cần) Moi day hội tụ đều bị chan Chúng minh

Cho đãy (u;) hội tụ đến [:

Ve>0 ;Änạe N: -ñÏ> nạ =>l~£ <uạ <l+e

Dat: A= Max { Uy Uy, , +e} B= min { do, 8y 1£}

Như thế hiển nhiên là : - 1Ä Su, <B ;VneN Tức là dãy (u,) bi chận

Định lý 3 (Đủ) Moi day tăng (giảm) và bị chân trên (dưới) thì hội

tu

Ching minh oo

Trang 23

| www.VNMATH.com

~_ Đối với đãy (un) giảm và, bị chận dưới thì ta xét đãy (—un) Dãy này là dãy tăng và bị chận trên nên hội tụ Từ đó (ua) hội tụ

CHU Y : Trong chứng minh định lý 3 ta đã xử dụng mệnh đề

Sau đây (mà ta công nhận) :

Mọi tập hợp con của R bị chân trên (dưới) đều có một chân ` +

trên (dưới) nhỏ nhất (lớn nhất):

5 Các định lỷ về giới hạn - |

Cho hai day (u,) va (v,) h6i ty Ian lugt dén 1 va 1’, 0: va B 1a hai sé

thực Thê thì : ni

(i) Day (ou, + Bv„ ) hội tụ đến oJ + BP

(i1) Dãy (w,„ và) hội tụ đến ¡.' n n ¬ , 2 - M - Ì (ii) Nêu ø„ # 0 (kế từ n,) và nếu /#0 thì đãy —” hội tụ đến re v n (các chúng mính xem như bài tập) 6 Quan hệ thứ tự và sự hội tụ -

Định lý 4; Cho hai day (u,) va (v„) lần lượt hội ty tới ! và Ù Nếu

Trang 24

www.VNMATH.com

=> uU,>V_: mau thudn véi gid thiét © Vay <I"

Định lý 5 : Cho hai day (un) va (va) lần lượt hội tụ tới / va": Néu 7</'thé

thi kê từ một thứ hạng nào đồ un<vn ' Ching minh Dat : - € Polo h2, Tồn tại hai số tự nhiên n, và n sao cho : P—I - l+P n>n¡ => Í uạ— FÌ<£ =>Uạ—Ì< => U, <7 rol IẸP, _ n>n;=>lvụ -H1<e=>I~ VạST—2— 2 SY n Do đó : 2 max (hy, 12) => tạ <\Vạ CHỦ Ý : Trong đi định lý 4 khi u„ h Vn vẫn có thể / =!, Chẳng hạn 1 1

<7; Vn > I nhung lim it ye lim 1 - Cử trong định lý 5

non ñ—>tee n n—vtee n ,

khi / = /'thì ta chưa kết luận gì về thứ tự của Uạ Và Và

Định l¥ 6 : Cho ba day (un), (un) và (Wn) VỚI Hạ < Vn © Wn mn (3 tù một thứ

Trang 25

www.VNMATH.com 7 Day sé tién ti vé cre

Định nghĩa :

* Déy (un) tién tới + s khi với mọi số A > On tồn tại số tự nhiên no sao cho mỗi khi có n 2 RokhÌ tụ > A

Ký hiệu : lm u„ = + œ hoặc'(w„}—> + «khi > + œ

se £

Him Uy = + 2° <= >(VA>0;Ä]n,eN: N2No => Uy, >A)

: n~> 09 : ‘

* Day (un) tién t6i — © khi với mọi số B < 0, tồn tại số tự nhiên nạ i sao cho mỗi khi có n> nọ thì uạ < B

Trang 29

www VNMATH com n= 1 + &, ( &n 20) Do đó : n(n — 1 ¬—- n=(+e)f=1+ng,+ CC t ¢ner +6 Suy ra được : ¬ nín — Ì "—- =>0<£2 <—~T e 2 n-1 s pin 2 => lim e =0 f H—+<e => lim ¢,.=0 "n.» # Vậy: lim “Ởn=1 te , - LÊN }_ Bài 4: Xét tính hội tụ của các dãy định bởi : Vu, " + : 2 nh - 1 1 l a £Z a = (2/v = + — + + —— (p là số nguyên dương cho sản) n8 n+ì np : - ` -Giải

Phương pháp : Dùng định lý 3 (đủ) trong phần trên : - ~ Xem dãy tăng hay giảm

Trang 30

www VNNATH com Unel =p + te t+ 17 2? n œ+UŸ \ Do đồ :u, —u =— n+l n @&+1 >0,Vn21 4

Do đó dãy (u,) tăng ‘

Với mọi số tự nhiên k > 2 ta déu có : l ` I 1 1 1 kk (kk k-1- k Cho nên : - 1, ng ? doo aa 2 1 2 w 1 < iol 32 2 3 1 fy + Z —=—_2 n n—1, n ~ Công tất cả các bất đẳng thức lại theo từng vế, ta có : „<l+1—=1<2-1^ n nm

Trang 31

www.VNMATH.com ya? 1 L 1.1 Do đồ: 0 Vagy Va a as , np+ Ì np+2_ - (n+l n Nhưng : 1 c1 « np+1 np 1 1 " np+2 mp we i 1 tee et (n+ 1)p np Suy ra ` 1 Vn+i—Vạ<(T—+—+ +——)——=0(n3]) p nnn & n số hạng Từ đó (vạ) là đãy giảm Mặt khác, hiển nhiên là ta có : : _

vạ>0;Vn>I : dãy (v,}bị chân dưới

Tóm la : đầy (v„) giảm va bi chan dưới nên là dãy hội tụ

Bai 5: Hai day (ua) va (vn) được gọi là tiếp cận nhau khi chúng thỏa ba điều kiện sau đây: , ¬ pe es

@) (tạ) là đãy tăng

(ii) (vạ) là đấy giảm ,

Trang 32

'www.VNMATH.com

# Giai

1/ Chứng minh (u,) và (v,) hội tụ đến cùng một giới hạn

:— Ta cứ cho rằng là ba điều kiện đúng ngay từ n= d (néu khong ta loại bớt đi một số số hạng) Xét dãy (wa) định bởi :

“Wa = Vạ — tạ

Ta CỔ : Wn¿t — Wn = (Vn¿{ — Bn+1) — (Vn — tạ) = Wii = Vad ~ (n+i ~n)

Theo giả thiết (u n)1 là dãy tăng và (v„ ) là dãy stim , nên : os Up+¡ — tạ > Ö Vn+1 ~ Ÿn <0 _ Cho nên: Wn+i— Wa <0 -

Suy ra (w,) = (v,- u„) là day giam Nhung theo gia thiét (iii) day nay hoi ty den 0 cho nên :

Vn=uạ S0 => vạ Sun - Như vậy ta có :

Uị <02< <Un Vạ < < V„ < Vị

Dãy (u,) tăng và bi chan trên (bởi vị chẳng hạn) nên hội tụ Từ đó áp dụng định lý giới hạn vào (ii) ta được :

‘lim luạ— vvl=0=>lim (uạ— vụ) = 0

._ Hơ+<~s nr+<ee

đ

=>lim ua=lim vụ

n—*++e ñ+=

Trang 33

Ta kiểm tra ba điều kiện www LVNMATH tiếp cần com (i) (uy) 1a day tăng Quả vậy : ¬ 1 1 boy 1 Une] ~ Up = (1 + mà Hà nợ) = >0; Vn> 1 (+ (ii) (v,) 1a day giam Qua vay : “1 1 Vn+1 — Vn = tìn+1 + "(in +0! ~ Ya = (Une — t,)* Cee " , 2 1 l-n ~ +)! Al m (n+ <° ’ vn22 > 1 (đ) lim luạ - vạiÌ = lim = 0 nots h nÌ, Như vậy (uy) và (vn) là hai đãy tiếp cận nhau nên hội tụ đến cùng một giới hạn e Do định lý về thứ tự và giới hạn ta có : Un< €<Vp + ~ và 3 1 hp ae PP s -Ằ ` 2 Gia su e là số hữu ty : e = — với p, n„ là hai số tự nhiên Ta có : c 0s : 1 1 1 1-1 - 1 1 1+— + 73+ + <? «1+ + + +—+——

I! 2! Nol No ~ lL 2! No! nại

Trang 34

ly Ũ

Bài 6 : Coi dãy số định bởi ; Up on (n> > 1)

Trang 35

www.VNMATH.com Do lim u, (19) n-10 =0nên lim u,=0 : + lÌ: : N—>+0° sy + 4 _ „ - a’ ¬ Bài 7 : 1/ a > 1 cho sắn Chứng minh: lim ——=+ ¬ set n—rteo , ¬ 2/ Tông quát : a >lvàp>0 cho sẵn ; chứng minh : ¬ " lim —~=+00 n—yteo n? Giai 1/ Chứng mình lim: —— = + (a > l) n “ ñ—>+œ Do a> 1 cho sẵn nên ta có thể viết : a= 1 +h(h >0, cố địn®) Từ khai triển Newton của (1 +h)" ta suy ra : ní(n - Ì a’ (n-1) a" > na) 2 =>" > o” he H n— ‘ -Khin -›+ethi——— >+sdođó: Hm ~—=+0 2 h n 2/ Chứng minh trường hợp tổng quát ] po - a (a’y” Ta viết : | we @P n-

Dat: b=a'? Tach: b>1 Z

Theo câu 1/ thi: dim = + 00

- ˆ n-»+ee

38

'

Trang 36

www.VNMATH.com „ p° Lo đó : lim (—©JŸ=+s(p>0) - - ]n+ee n Tàu ` ‘lute la: lim 4 + 00 :ä+~e ¿MU C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ _ 1 Tính giới hạn các day sau đây : ; , CIỶ a " —; n+l casi - wae fn 2 0) - bluge 8 (n20) ion st ` 7 +6" ˆ sin(n2) ee cu, = (m21) 6 0 wee - n 2 Tính ¿ “` im min n—+= , Hudng dẫn : nN 2 3; gọi p là so étyn nhiên nhỏ 'nhắt lớn hơn hoặc : HT s 4 - bằng -: Chứng tỏ: -e Xn! :> mm n- +122 eo p a) nh oR 7 LE vi - Tir d6 suy ra: Nat > A Kệt luận ? 3 a > 0 cho sẵn Tính : lim «~~ t , Re tr: Hướng dẫn : Gọi fal là phần nguyên, của a - Khi r n> {al + 1 thì ta cé thé viết :

n- [a| thừa số thừa số

Trang 37

www -VNMATH com

Suy ra : a Sk.qg 8Í với qx a va k hang sé

4 Xét sự hội tu của các dãy sau đây :

` I 1 1

afu, = 9 +00 tO ae np (p guy ngu an cươn g cho sẵn) h -

b/u= (1+2 ya te ,Π_

Hướng dẫn : cốc

a/ Chứng minh dãy giam-

b/ Chứng minh dãy tăng Đề chứng minh dãy bị chan trén ta 1 chimg minh: u, $3 (1 - T ) bằng qui nạp 2” 5 Cho đấy (u„) hội tụ đến / Đặt: „ TÔ uy uy tut + Vn= TT”: a Tư › (Trung bình Césaro) Chứng minh rằng (vụ) cũng hội tụ đến / , Ap dung; 1/Cho uy, =~ + 2+ +> C2 ee ee | ‘Ching tỏ : lim u, = 0 N— peo rs n ifn 2 k/n 2/Cho:u, = [] +2) Chứng tỏ: limu, =e? ` Neo ` ™

Trang 38

Lim an ee TU com

6 'a là số ố thực “cho san Tinh:

lim tạ với U, = COS : cos“ : nh = cos # Mo ˆ n— zee 2 ors 2 Hướng dẫn : Mơ ` * „ + sina 7 Dùng công thie cos “ L để tính tụ 2 a 2sin, 2 ¬- - 7 Tính giới hạn các day số sau day: 1 i al up= (1-5) ({—>~) at) 3 n bộ ci w =a-®2 a-ty.d- nh 22 32 + n ¬ Đáp số : - a/ lim uạ=0 pH Ổ ¡ - He kee SỞ b/ lim v,=0 n—>+eo cf tim wn= ; n—+e©e 8 Cho bai số thực dương a, b với a < b Ta định dãy (an) và đấy (bn) như sau :

a+b a+b): Ani + Ppt

a = =o Fae ———y,.,vn=”””” 2 “os tee b, = -Va,e b;bạ= \aạb, ` «Đa = = Va, Dots

Chứng Minh răng (an) và (bạ) Tà hai day hội tụ đến cùng n một ˆ ~_ giới hạn Tính giới hạn đó

Hướng dẫn : - Đưa về bài 6

Mối quan hệ giữa a, và bạ _

~Ñ_

Trang 39

www.VNMATHcom §4DAY SO un=f(un-1) A MOT SO KIEN THỨC CƠ BẢN 1 Một định lý về hàm liên tục : cf 42 * (u,) la mouday trong đoạn [a, b} , f la một hàm số xác định trên fa.b] ` , màn (i) Néu (un) hoi tu dén le ta, B]v và à nếu f liên t tục tại Í ' thì day (f(un)) hội tụ đến f(!) - a

ti) Nên với bat kt day ( un} nào hội tự đến ? e [n, b] mà các dãy tương `

ứng (f(in)) hội tự: đến f(1) thi ham số f ñiên tục tại l

Chitng minh / ae i

Chitng minh (i) -

Ham số f liên tục tại / nên :

Ve>0 ; œ>0:lx—!l<œ=>lf(x)— f(D I<e Với œ> 0 đó, do (uạ) hội tụ đến / nên :

TU Ny € N:n>n,=>luạ—/l<œ

Khi ấy thì : n >ñ=>lf(u,—f()I<e

Điều này chứng tô (f(u,)) hội tụ đến Ø1)

Chứng minh (ii) s

Trang 40

N | www.VNMATH.com Khi lấy œ= tạ có : 1 : n ' n lí f(u,) — (Dlpe

Nhu thé /a ta có cùng một lúc dãy (uạ) tiến đến L và đãy y (flu) không tiến tới f(} : trái với giả thiết Vậy nàm số f liên tục tại Ú _ 2 Đấy un = f(un-1)

Cho hàm số f liên tục trên [a, b] và có miền giá trị chứa trong la bị Xem dãy số định bởi :

^^ u¡ € [a, bị { = f(ug_}) (= 2)

Rõ rang /a day số hoàn toàn được xác định vi Uạ € ƒa, b] với n > Ì Định lý 1 : Nếu f Ja hàm số tăng thi day-(u „) đơn điệu và à hội tụ đến

Í, nghiệm của phương trình f(x) =x TÑ

SN mink

Tacé: Une — Up = f(u,) — f(u,_1)

Do ham số f tăng nên fy) ~ f(un_¡) cùng dấu Với tlạ — Up) 3 SUY f2 tIn+ — tạ Cùng dấu với Up ~Un-1 Cứ thế tiếp tục ta đi

đến :

Un¿¡ — lạ CÙnE dấu với uạ— UI

Từ đó : - Nếu u¿ > tị thi day (u,) tang

~~ Néu up <u; thi đấy (uạ) giảm

Day (u,) đơn điệu và bị chận nên hội tự đến Va theo định lý mỡ đầu về hàm liên tục thì (f(uạ)).hội tụ đến f(), do do:

tat)

Dinh ly đã được chứng minh xong -

Định /ý 2 : Nếu f /à hàm số giảm: thì các đãy con (iy) va Cond của dãy (u,) đơn điệu và ngược chiều biến thiên

Chúng minh

Trước hết ta chứng (ninh bổ đề : " m——-— Nếu f là hàm nghịch biến thi fof /a hhm dong biến

Thật vậy : lấy hai phan tit x, x` e [a, b], ta có : X <x’ => f(x) > f(x’)