GA day them toan 8 chu de 8 ve hinh phu de giai toan trong tu giac

thuvienhoclieu.com CHỦ ĐỀ VẼ HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TỐN TRONG CHƯƠNG TỨ GIÁC A Kiến thức cần nhớ Nhiều tốn chương tứ giác cần phải vẽ hình phụ giải Vẽ hình phụ để tạo thêm liên kết giả thiết kết luận từ dễ tìm cách giải Một số cách vẽ hình phụ thường dùng chương là: Nếu đề có hình thang từ đỉnh vẽ thêm đường thẳng: - song song với cạnh bên; - song song với đường chéo; - vng góc với đáy Khi vẽ vậy, đoạn thẳng dời song song với từ vị trí đến vị trí khác thuận lợi việc liên kết với yếu tố khác, từ giải tốn Vẽ thêm hình bình hành Để chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh quan hệ độ dài, chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ba điểm thẳng hàng, tính số đo góc,… Vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng + Để vận dụng định lí đường trung bình tam giác, hình thang, định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông + Cũng vẽ thêm đường thẳng song song để tạo đường trung bình tam giác, hình thang + Dùng định lí đường trung bình chứng minh quan hệ song song, thẳng hàng, quan hệ độ dài,… Vẽ điểm đối xứng với điểm cho trước qua đường thẳng qua điểm Nhờ cách vẽ ta dời đoạn thẳng, góc từ vị trí sang vị trí khác thuận lợi cho việc chứng minh B BÀI TẬP VẬN DỤNG I MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Chứng minh hình thang tổng hai cạnh bên lớn hiệu hai cạnh đáy Giải * Tìm cách giải Xét hình thang ABCD (AB // CD), ta phải chứng minh AD + BC > CD - AB Điều phải chứng minh gần với bất đẳng thức tam giác Điều gợi ý cho ta vẽ hình phụ để có AD + BC tổng độ dài hai cạnh tam giác thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com * Trình bày lời giải Vẽ BM // AD (M ∈ CD) ta DM = AB BM = AD Xét ∆BMC có BM + BC > MC ⇒ AD + BC > DC – DM hay AD + BC > CD – AB (đpcm) Trường hợp hai cạnh bên song song hai đáy nhau, tốn hiển nhiên Ví dụ Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường chéo vng góc với Biết AB = 5cm, CD = 12cm AC = 15cm Tính độ dài BD Giải * Tìm cách giải Ba đoạn thẳng AB, AC CD biết độ dài ba đoạn thẳng ba cạnh tam giác nên không tiện sử dụng Ta dời song song đường chéo AC đến vị trí BE tam giác BDE vuông B biết độ dài hai cạnh, dễ dàng tính độ dài cạnh thứ ba BD * Trình bày lời giải Vẽ BE // AC (E ∈ tia DC) Khi BE = AC = 15cm; CE = AB = 5cm Ta có BE ⊥ BD (vì AC ⊥ BD) 2 Xét ∆BDE vng B có BD = 17 − 15 = (cm) o µ µ Ví dụ Hình thang ABCD có A = D = 90 Biết AB = 3cm; BC = 2cm CD = 5cm Chứng minh µ µ B = 3C Giải * Tìm cách giải Nếu dời song song đoạn thẳng AD tới vị trí BH ∆BHC vng H Ta dễ dàng tính HC = HB, tính góc C, góc B * Trình bày lời giải Vẽ BH ⊥ CD (H ∈ CD) BH // AD, DH = AB = 3cm suy HC = – = (cm) Xét ∆BHC vuông H, áp dụng định lí Py-ta-go ta có HB = BC2 − HC2 = ( 2) − 22 = (cm) o o µ · · µ Vậy ∆HBC vng cân ⇒ C = 45 ABC = 135 suy ABC = 3C thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com o · Ví dụ Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt O Cho biết AOB = 60 AC = BD = a Chứng minh AB + CD ≥ a Giải * Tìm cách giải Từ điều phải chứng minh ta thấy cần vận dụng bất đẳng thức tam giác Do cần vẽ hình phụ để tạo tam giác có hai cạnh AB, CD cạnh thứ ba đường chéo AC Nếu vẽ thêm hình bình hành ABEC yêu cầu thoả mãn * Trình bày lời giải Vẽ hình bình hành ABEC, ta BE // AC suy · · DBE = AOB = 60o ; BE = AC = a; AB = CE Tam giác BDE tam giác ⇒ DE = a Xét ba điểm C, D, E ta có CE + CD ≥ DE hay AB + CD ≥ a (dấu "=" xảy điểm C nằm D E hay DC // AB Khi tứ giác ABCD hình thang cân) Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD Vẽ AH ⊥ BD Gọi K M trung điểm BH CD Tính số đo góc AKM Giải * Tìm cách giải Bài tốn có cho hai trung điểm K M chưa thể vận dụng trực tiếp Ta vẽ thêm trung điểm N AB để vận dụng định lí đường trung bình hình chữ nhật, đường trung bình tam giác * Trình bày lời giải Gọi N trung điểm AB MN đường trung bình hình chữ nhật ABCD ⇒ MN // AD Mặt khác, AN // DM nên tứ giác ANMD hình bình hành Hình o µ bình hành có D = 90 nên hình chữ nhật Suy hai đường chéo AM DN cắt trung điểm O đường: OA = OM = ON = OD Xét ∆ABH có NK đường trung bình nên NK // AH ⇒ NK ⊥ BD (vì AH ⊥ BD) Do ∆KDN vng K thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Xét ∆KDN có KO đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên KO = DN ⇒ KO = AM = OA = OM o · Vậy ∆KAM vuông K ⇒ AKM = 90 Ví dụ Cho hai điểm A B thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm d điểm M cho hai tia MA, MB tạo với đường thẳng d hai góc nhọn Giải * Tìm cách giải ¶ ¶ Giả sử tìm điểm M ∈ d cho M1 = M Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d ¶ =M ¶ , ¶ ¶ ¶ M suy M = M (cùng M1 ) Do ba điểm A', M, B thẳng hàng * Trình bày lời giải - Vẽ điểm A' đối xứng với A qua d; - Vẽ đoạn thẳng A'B cắt đường thẳng d M; ¶ ¶ - Vẽ đoạn thẳng MA ta M1 = M ¶ ¶ Thật vậy, A' đối xứng với A qua d nên M1 = M ¶ ¶ ¶ ¶ Mặt khác, M = M (đối đỉnh) nên M1 = M II LUYỆN TẬP • Vẽ thêm đường thẳng song song 8.1 Chứng minh hình thang có hai cạnh bên hình thang cân hình bình hành 8.2 Cho hình thang hai đáy khơng Chứng minh tổng hai góc kề đáy lớn nhỏ tổng hai góc kề đáy nhỏ 8.3 Cho hình thang ABCD (AB // CD), BD ⊥ CD Cho biết AB + CD = BD = a Tính độ dài AC 8.4 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), đường cao h tổng hai đáy 2h Tính góc xen hai đường chéo 8.5 Chứng minh hình thang tổng bình phương hai đường chéo tổng bình phương hai cạnh bên cộng với hai lần tích hai cạnh đáy • Vẽ thêm hình bình hành thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 8.6 Cho tam giác ABC Dựng tam giác tam giác ABD, BCE, CAF Chứng minh trọng tâm tam giác DEF trùng với trọng tâm tam giác ABC 8.7 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M Qua M vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt AB H, cắt đường thẳng vng góc với AC vẽ từ C điểm K Gọi N trung điểm BM Chứng minh tam giác ANK có số đo góc tỉ lệ với 1, 2, 8.8 Dựng tứ giác ABCD cho AB = 2,5cm; BC = 3cm; CD = 4,5cm; DA = 3,5cm góc nhọn hai đường thẳng AD, BC 40o • Vẽ thêm trung điểm - Tạo đường trung bình µA = 90o , AB = CD 8.9 Cho hình thang ABCD (AB // CD), Vẽ DH ⊥ AC Gọi K trung điểm HC Tính số đo góc BKD 8.10 Cho hình vng ABCD, hai đường chéo cắt O Gọi M N trung điểm OA CD Chứng minh tam giác MNB vuông cân 8.11 Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BM Từ M vẽ đường thẳng vng góc với BM cắt đường thẳng BC D Chứng minh BD = 2CM 8.12 o · · Cho tứ giác ABCD, CAD = CBD = 90 Gọi E F hình chiếu C D đường thẳng AB Chứng minh AF = BE 8.13 Cho đường thẳng xy Vẽ tam giác ABC nửa mặt phẳng bờ xy Gọi G trọng tâm tam giác ABC Từ A, B, C G vẽ đường thẳng song song với cắt xy A', B', C' G' Chứng minh AA' + BB' + CC' = 3GG' 8.14 Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB AC lấy điểm M D cho AM = AD Từ A M vẽ đường thẳng vng góc với BD chúng cắt BC E F Chứng minh 8.15 AE = BD + MF Cho tứ giác ABCD Gọi A', B', C', D' trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AA', BB', CC', DD' qua điểm; b) Điểm chia AA', BB', CC', DD' theo tỉ số 8.16 · · Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác cho ABO = ACO Vẽ OH ⊥ AB, OK ⊥ AC Chứng minh đường trung trực HK qua điểm cố định thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com • Vẽ thêm hình đối xứng 8.17 Cho góc xOy có số đo 60 o điểm A góc cho A cách Ox 2cm cách Oy 1cm a) Tìm điểm B Ox điểm C Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất; b) Tính độ dài nhỏ chu vi tam giác ABC 8.18 Dựng tam giác biết đỉnh, trọng tâm hai đường thẳng qua hai đỉnh lại thuvienhoclieu.com Trang ... đối xứng 8. 17 Cho góc xOy có số đo 60 o điểm A góc cho A cách Ox 2cm cách Oy 1cm a) Tìm điểm B Ox điểm C Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất; b) Tính độ dài nhỏ chu vi tam giác ABC 8. 18 Dựng tam... thẳng song song 8. 1 Chứng minh hình thang có hai cạnh bên hình thang cân hình bình hành 8. 2 Cho hình thang hai đáy không Chứng minh tổng hai góc kề đáy lớn nhỏ tổng hai góc kề đáy nhỏ 8. 3 Cho hình... thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 8. 6 Cho tam giác ABC Dựng tam giác tam giác ABD, BCE, CAF Chứng minh trọng tâm tam giác DEF trùng với trọng tâm tam giác ABC 8. 7 Cho tam giác ABC Trên cạnh BC