HÌNH CHỮ NHẬT

HÌNH CHỮ NHẬT A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vuông ABCD   Aˆ  Bˆ  Cˆ  Dˆ ABCD hình chữ nhật *) Nhận xét: Hình chữ nhật hình bình hành, hình thang cân Tính chất: Hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành hình thang cân - Tính chất cạnh: Các cạnh đối nhau, song song với - Tính chất góc: Bốn góc - Tính chất đường chéo: Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật - Hình thang cân có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật - Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật Cách vẽ hình chữ nhật Có bốn cách vẽ hình chữ nhật hay dùng hai cách sau Cách 1: Sử dụng lưới ô vuông để vẽ tứ giác có bốn góc vng Cách 2: Vẽ tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường theo hai bước Bước 1: Vẽ hai đường thẳng cắt O Bước 2: Vẽ đường trịn tâm O bán kính cắt hai đường thẳng bốn điểm ta bốn đỉnh hình chữ nhật *) Lưu ý: +) Cách không chứng minh nhận hình chữ nhật, ảnh hình chữ nhật +) Cách 2: Chứng minh hình chữ nhật Ứng dụng vào tam giác vuông - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền, ta có: BM  AC - Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh tam giác tam giác vng: Nếu BM  AC  ABC vng A Từ tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ta thu khái niệm thứ ba - Cứ nói đến tam giác vng phải nghĩ tới đường trung tuyến ứng với cạnh huyền - Ý nghĩa kinh nghiệm là: Với toán mà giả thiết kết luận đề cập đến tam giác vuông vẽ đường phụ ta vẽ thêm đường trung tuyến ứng với cạnh huyền Từ dấu hiệu nhận biết tam giác vng ta có cách vẽ ABC vng A theo hai bước sau Bước 1: Vẽ đường trịn đường kính BC Bước 2: Lấy điểm A đường trịn ta ABC vng A Từ dấu hiệu nhận biết tam giác vuông ta vẽ đường cao tam giác nhọn ABC thước kẻ compa theo hai bước Bước 1: Vẽ nửa đường trịn đường kính BC Bước 2: Giao điểm hai cạnh AB, AC với nửa đường trịn chân đường cao kẻ từ B C Giao điểm hai đường cao trực tâm tam giác, nối đỉnh A với trực tâm ta đường cao thứ ba B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AC  BD  O Gọi E , F , G, H trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA Chứng minh a OE  OF  OG  OH nửa chu vi tứ giác ABCD b Tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải a Ta có 1 OE  OF  OG  OH = ( AB  BC  CD  DA)  PABCD 2  EF / / GH  E FGH  EF  GH  b Có hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)  AC  BD  BD  EF   EH  EF  EFGH  AC / /EF BD / / EH   Mặt khác hình chữ nhật (dhnb) Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân C Trên cạnh AC , BC lấy điểm P, Q cho AP  CQ Từ điểm P vẽ PM / / BC ( M thuộc AB ) Chứng minh tứ giác PCQM hình chữ nhật Lời giải µ Ta có ABC vng cân  A  45  APM vuông cân  AP  PM Theo giải thiết AP  CQ  PM  CQ Lại có PM / /CQ  PMCQ hình bình hành ˆ Mặt khác C  90  PMCQ hình chữ nhật (dhnb) Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD , E thuộc AD , F thuộc AB Gọi I , K , M , N theo thứ tự trung điểm EF , DF , BE , BD Chứng minh IN  KM Lời giải Ta chứng minh tứ giác IKMN hình chữ nhật  IM / / KN (/ / FB)   IMKN   IM  KN  FB +) Theo giả thiết có: Là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)  IK / / DA  IK  AB   IM  IK  IKMN  AD  AB IM / / AB   +) hình chữ nhật  IN  KM Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A , AB  AC , đường cao AH Lấy điểm E cạnh AC cho AE  AB Gọi I trung điểm BE , kẻ EK  BC ( K  BC ), EN  AH ( N  AH ) a Chứng minh tứ giác NEKH hình chữ nhật · · b IHA  IHC Lời giải a Tứ giác NEKH có góc vng nên hình chữ nhật b Ta chứng minh IHA  IHK Xét IHA, IHK : IH cạnh chung , AI  IK  BE Cần thêm AH  HK AH  NE (do HK  NE ) · · ABH  AEN (ch  gn)  AH  NE  AH  HK  IHA  IHK  IHA  IHC Bài 5: Cho tam giác ABC cân A , đường trung tuyến BD, CE cắt O Gọi M Là điểm đối xứng với O qua D N điểm đối xứng với O qua E Tứ giác BNMC Là hình gì? Vì sao? Lời giải Tứ giác BNMC hình chữ nhật Giải thích: Ta có M đối xứng với O qua D nên OD  DM O trọng tâm ABC nên BO  2OD  BO  OM Chứng minh tương tự ta có: CO  ON Tứ giác BNMC có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành µ µ Có BDC  CEB  cgc   B1  C1  BO  CO  BM  CN Hình bình hành BNMC có hai đường chéo nên hình bình hành Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Biết AD  AC 1· · BAC  DAC Và Chứng minh hình bình hành ABCD hình chữ nhật Lời giải Gọi O giao điểm AC BD , ta có: OA  OC Vì AD  AC  AD  AO Vẽ AH  OD, OK  AB Xét AOD cân A , AH đường cao  AH đường trung tuyến, đường phân giác µ ¶ Do HO  HD A1  A2 1Ã Ã ả BAC DAC A3  A A1 2 Vì 1 µ  300  OK  OH  OD  OK  OB  B AOK  AOH (cạnh huyền – góc nhọn) 2 0 µ · · Xét ABH vng H , có B1  30  HAB  60  DAB  90 Hình bình hành ABCD có góc vng nên hình chữ nhật Dạng 2: Vận dụng tính chất HCN để chứng minh quan hệ nhau, song song, vng góc, đồng quy, tính độ dài đoạn thẳng Cách giải: Áp dụng tính chất hình chữ nhật - Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng Bài 1: µ µ Cho ABC có góc B nhọn B  2C Kẻ đường cao AH , tia đối tia BA lấy điểm D cho BD  BH , gọi I giao điểm DH BC Chứng minh rằng: a) AI  IC b) AD  HC Lời giải µ µ Đặt C    B  2 a) T gi thit H ả BD  BH  D Vì tam giác, đối diện với hai cạnh hai góc µ µ µ µ µ µ Vì B  2 góc ngồi BDH nên B  2  D  H  D  H àA ảA Trong tam giỏc vuụng AHC ta có   , phụ với  Từ  IC  IH  IA  IC  IH  IA  1     b) Do I trung điểm AC theo câu a) nên chọn AC đường chéo Vẽ thêm E cho I trung điểm HE tứ giác AHCE hình chữ nhật, có hai đường chéo cắt trung điểm ca mi ng v cú gúc H vuụng ả Áp dụng định nghĩa vào hình chữ nhật AHCE ta AE / / HC  E1  H   µ µ µ Lại có D    E1  D Áp dụng tính chất cạnh vào hình chữ nhật AHCE tính chất hai cạnh đối diện với hia góc ta được:  AE  HC  HC  AD   AE  AD Bài 2: Cho ABC vuông A có AH , AM tương ứng đường cao, đường trung tuyến Kẻ HD, HE vng góc với AB, AC Kẻ MK  AB Gọi N giao điểm AM HE Chứng minh rằng: a) AM  DE b) BN / / DE c) MK , BN , AH đồng quy Lời giải a) Gọi O giao điểm AH DE · ·  OAD  ODA  1 Ta có ADHE hình chữ nhật  OAD cân AM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông ABC · ·  AM  BM  AMB cân  MBA  MAB   · · · ·  ODA  MAB  900  AM  DE Mà OAD  MBA  90 nên từ     · · · · b) AM  MC  AMC cân  MAC  MCA  MAC  BHD mặt khác AE  HD  EAN  DHB  gcg   NE  BD Lại có BD / / NE  BDEN hình bình hành  BN / / DE c) Ta có: BN / / DE  BN  AM  BMA có AH , BN , MK ba đường cao AH , BN , MK đồng quy Bài 3: Cho ABC vuông A , có AM đường trung tuyến Gọi D điểm thuộc AM Kẻ DI vng góc với AB , DK vng góc với AC a) Chứng minh IK / / BC b) Xác định vị trí điểm D AM cho IK  BC Lời giải · · a) AIDK hình chữ nhật  DAI  KAI · · · ·  MBA  KIA  MBA  IK / / BC AMB cân (tính chất)  DAI 1 IK  AD  AD  BC  AM  AM  D 3 b) trọng tâm ABC Bài 4: Cho ABC cân A , đường cao BH Từ điểm M MP  AB, MQ  AC cạnh Chứng BC kẻ minh MP  MQ  BH Lời giải µ µ µ Kẻ MK  BH  MK / / AC K  H  Q  90 Tứ giác Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD, AB  40cm, AD  30 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD Tính độ dài đoạn DH , OH , OB Lời giải Áp dụng định lý Pytago  BD  50cm OA  OB  OC  OD  25cm AD  DH  AH  AO  HO  AO  ( DO  DH ) 2 2 2 2 Hay 30  DH  25  (25  DH )  30  DH  25  (625  50 DH  DH )  50 DH  900  DH  18  HO  7CM Cách 2: S ABD  1 AD AB  600  AH BD  600  50 AH  AH  24  DH  18cm 2 Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E chân đường vng góc kẻ từ B đến AC I trung điểm AE , M trung điểm CD , H trung điểm BE a Chứng minh CH / / IM b Tính góc BIM Lời giải  IH / / AB  AEB    IH  AB a Ta có IH đường trung bình  MC / / AB   IMCH   MC  AB Lại có hình bình hành  CH / / IM Ta có: IH / / MC , MC  BC  IH  BC CH  BI ·   BIM  900 CH / / IM Xét IBC có H trực tâm  10 Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy điểm P tùy ý đường chéo BD Gọi M điểm đối xứng C qua P a Chứng minh AM / / BD b Gọi E , F hình chiếu M AD, AB Chứng minh AEMF hình chữ nhật c EF / / AC d E , P, F thẳng hàng Lời giải a Gọi O giao điểm BD AC Ta có OP đường trung bình AMC  OP / / AM µ µ µ b Xét AEMF , có A  E  F  90 AEMF l hỡnh ch nht ả ả ả ¶ µ µ µ c Ta có A2  D1 ( slt ), A2  E1 , D1  A1  E1  A1  EF / / AC d E , F , P thẳng hàng  IE / / AC , IP / / AC  IP đường trung bình AMC Lại có EF / / AC  IE / / AC Theo tiên đề Ơclit E , F , P thẳng hàng Bài 8: 11 Cho tam giác ABC cân A Từ điểm D đáy BC kẻ đường vng góc với BC cắt AB E AC F Vẽ hình chữ nhật DBHE CDFK Gọi I tâm hình chữ nhật BDEH , J tâm hình chữ nhật CDFK Chứng minh a AIDJ AHIJ hình chữ nhật b A, H , K thẳng hàng A trung điểm HK Lời giải a AIDJ hình bỡnh hnh à ả AI / / DJ ( B1  C1  D1 )  µ µ ¶   AJ / / DI ( B1  C1  D2 )  HI / / AJ ( HD / / AC )   AJ / / HI  / / ID  AHIJ hình bình hành  AI / / KJ ( AI / / DJ )  b A, H , K thẳng hàng  AJIK hình bình hành  AI  KJ ( AI  DJ ) Vậy qua A có HA / / IJ , AK / / IJ  A, H , K thẳng hàng 12 Dạng 3: Sử dụng định lí thuận đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Cách giải: Sử dụng định lý tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông để chứng minh hình chứng minh tam giác vuông Bài 1: Cho tam giác ABC , đường cao BD CE Gọi M , N chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE , K trung điểm BC Chứng minh a IK  ED b EM  DN Lời giải a Ta có EK  DK  EKD( KE  KD) BC    IE  ID  IK  ED (đpcm)  KB  KC ( K  BC )  IM  IN  KI MBNC    ME  DN  KI / / BM / / NC IE  ID   b đường trung bình hình thang Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , K theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh · a IHK  90 b Chu vi tam giác IHK nửa chu vi tam giác ABC Lời giải · · · · a) Ta có: IAH , KAH cân I K IHA  IAH , HAK  AHK 13 b Ta có IH  1 1 AB, HK  BC , IK  BC  PIHK  PABC 2 2 (đpcm) Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao AI Từ A kẻ tia Ax vng góc với AC , từ B kẻ tia By song song với AC Gọi M giao điểm hai tia Ax By Nối M với trung điểm P AB , đường MP cắt AC Q BQ cắt AI H a Tứ giác AMBQ hình b Chứng minh CH vng góc với AB c Chứng minh tam giác PIQ cân Lời giải a Ta có tứ giác AMBQ hình chữ nhật (hai đường chéo cắt trung điểm đường nhau) b Ta có H trực tâm ABC  CH  AB c có PI  PQ  AB  PIQ cân P Dạng 4: Tìm điều kiện để tứ giác hình chữ nhật Cách giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật 14 Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải Ta có tứ giác EFGH hình bình hành Để EFGH trở thành hình chữ nhật thì: ·  HEF  900  HE  EF  AC  BD Vậy điều kiện hai đường chéo tứ giác ABCD vng góc với Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi O điểm thuộc miền tứ giác M , N , P, Q trung điểm đoạn thẳng OB, OC , AC , AB a Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành b Xác định vị trí điểm O để tứ giác MNPQ hình chữ nhật Lời giải a Ta có MNPQ hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b Để MNPQ trở thành hình bình hành O nằm đường cao xuất phát từ đỉnh A ABC Bài 3: 15 Cho hình thang cân ABCD  AB / / CD  , AB  CD Gọi M , N , P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BD, AC , BC a Chứng minh bốn điểm M , N , P, Q thẳng hàng b Chứng minh tứ giác ABPN hình thang cân c Tìm hệ thức liên hệ AB CD để ABPN hình chữ nhật Lời giải a Ta có MN // AB, MP // AB, PQ // AB, PN // AB  M , N , P, Q thẳng hàng b Hình thang ABPN có hai đường chéo nên hình thang cân c Để ABPN hình chữ nhật NP  AB hay CD  AB BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: 16 Cho tam giác ABC , đường cao AH Gọi I trung điểm AC Lấy E điểm đối xứng với H qua I Gọi M , N trung điểm HC , CE Các đường thẳng AM , AN cắt HE G K a Chứng minh tứ giác AHCE hình chữ nhật b Chứng minh HG  GK  KE Lời giải a Chứng minh tứ giác AHCE hình bình hành, có ·AHC  900  AHCE hình chữ nhật b Chứng minh G, K trọng tâm tam giác AHC , AEC sử dụng tính chất đường chéo hình chữ nhật Cho tam giác Bài 2: ABC , đường cao AD, BE , CF cắt H , gọi I , H , R theo thứ tự trung điểm HA, HB, HC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm BC , AC , AB Chứng minh a Tứ giác MNIK , PNRK hình chữ nhật b P, N , R, K , I , M thuộc đường tròn c D, E , F thuộc đường trịn Lời giải Ta có: OD  1 IM , OE  KN , OF = PR 2 Bài 3: 17 Cho tam giác ABC vuông A , M thuộc BC Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC a Định dạng tứ giác ADME b Gọi I trung điểm DE Chứng minh A, I , M thẳng hàng c Điểm M nằm đâu BC DE nhỏ Tính DE trường hợp biết AB  15cm, AC  20cm Lời giải a Tứ giác ADME có góc vng nên hình chữ nhật c DE nhỏ AM nhỏ ( DE  AM ) AM nhỏ AM  AH M trùng H ABC Xét  BC  25cm( pytago)  S ABC  vuông 1 AB AC 15.20 AH BC  AB AC  AH    12(cm) 2 BC 25 Bài 4: Cho tam giác ABC vng A Về phía ngồi tam giác ABC , vẽ hai tam giác vuông cân ADB  DA  DB  ACE  AE  EC  Gọi M trung điểm BC , I giao điểm DM với AB , K giao điểm EM với AC Chứng minh: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) Tứ giác IAKM hình chữ nhật c) Tam giác DME tam giác vuông cân 18 A Lời giải · a) Chứng minh DEA  180 · · · b) Chứng minh AIM  AKM  IAK  90 · · c) Chứng minh DME có EDM  DEM  45  DME vng cân M Bài 5: µ µ Cho hình thang vng ABCD ( A  D  90 ) có điểm E F thuộc cạnh AD · cho AE  DF BFC  90 Chứng minh · BEC  900 Lời giải Gọi I , K trung điểm BC , AD Chú ý FEI cân I · Chứng minh: IE  IB  IC  EBC vuông E  BEC  90 19 ... AC F Vẽ hình chữ nhật DBHE CDFK Gọi I tâm hình chữ nhật BDEH , J tâm hình chữ nhật CDFK Chứng minh a AIDJ AHIJ hình chữ nhật b A, H , K thẳng hàng A trung điểm HK Lời giải a AIDJ hình bình... CD để ABPN hình chữ nhật Lời giải a Ta có MN // AB, MP // AB, PQ // AB, PN // AB  M , N , P, Q thẳng hàng b Hình thang ABPN có hai đường chéo nên hình thang cân c Để ABPN hình chữ nhật NP  AB... , CD, DA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để tứ giác EFGH hình chữ nhật Lời giải Ta có tứ giác EFGH hình bình hành Để EFGH trở thành hình chữ nhật thì: ·  HEF  900  HE  EF  AC  BD Vậy điều kiện