(SKKN HAY NHẤT) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Toán THANH HÓA NĂM 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong kì thi Tốt nghiệp Đại học (ĐH), Cao đẳng (CĐ) khối A, B, D mơn Tốn đóng vai trị quan trọng Trang bị kiến thức, phương pháp, kĩ phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh mục tiêu hàng đầu mục tiêu dạy học môn Tốn nói chung chương trình lớp 11, 12 phần phương trình tiếp tuyến nói riêng Phương trình tiếp tuyến (Pttt) đồ thị hàm số y = f(x) phần quan trọng chương trình tốn THPT phát triển khả tư Toán học cho học sinh, áp dụng nhiều kì thi Tốt nghiệp ĐH-CĐ, thời lượng nội dung ít, học sinh cịn lúng túng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải số tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Từ kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, lựa chọn phân dạng cho tốn phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho đối tượng học sinh khơng bị thụ động đa dạng tốn, liều thuốc bình tĩnh để học sinh dựa vào hoạt động học tập khảo thí Từ đó, tơi lựa chọn đề tài "kinh nghiệm giảng dạy số toán phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" mong muốn giúp học sinh u thích mơn Tốn, học sinh học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp ĐH-CĐ làm tài liệu tham khảo đển ôn luyện kiểm tra kiến thức mình, vững vàng, tự tin, thành cơng học tập khảo thí Tơi xin giới thiệu số tốn "phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" tốn tơi tham khảo, tổng hợp, tích lũy kì thi trình giảng dạy lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp, Đại học - Cao đẳng II PHẠM VI ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phạm vi đề tài - Tập trung vào đối tượng học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp THPT Đại học Cao đẳng - Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải số toán phương trình (pt) tiếp tuyến đồ thị hàm số số tập có liên quan Phương pháp nghiên cứu - Kinh nghiệm giảng dạy - Tổng hợp, tích lũy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Ở trường THPT, dạy tốn dạy hoạt động Toán học, với học sinh việc giải toán hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Khi thực hành giải tập cần chuẩn bị phương pháp thích hợp, cơng cụ giải tốn làm cho lời giải rõ ràng, mạch lạc, súc tích, ngắn gọn, có lơgic, dễ hiểu hiệu việc giải toán tốt hơn, tiết kiệm thời gian, tạo hứng thú tích cực học tập cho học sinh Rồi từ lựa chọn phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh, với dạng toán cụ thể giúp em định hướng phương pháp giải nhanh có hiệu II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy mơn Tốn lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 2, Tơi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ thực hành, phương pháp tư duy, số học sinh toán tiếp tuyến đồ thị hàm số yếu, số nguyên nhân sau: - Học sinh học kém, nắm kiến thức không vững, chưa chủ động học tập cách tích cực, ngại phát giải vấn đề dựa tảng kiến thức cũ, - Thời lượng dành cho nội dung - Tài liệu tham khảo cịn chung chung Dựa tình hình thực tế tơi nghiên cứu, tìm tịi, tích lũy đưa phương pháp chia thành bốn tốn phương trình tiếp tuyến để đối tượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực học tập Sau số tốn "phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x)" phương pháp giải mà tơi tích lũy từ kinh nghiệm giảng dạy sử dụng để dẫn dắt học sinh thực thời gian qua Cơ sở lí thuyết - Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng dạng y = kx + b, k hệ số góc - Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị y = f(x) tiếp điểm k = f ' ( x0 ) x0: hồnh độ tiếp điểm - Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) tiếp điểm M (x0; f (x0)) là: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + f(x0) Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm 2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) a Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) Cách giải: + Tính f ' (x ), f ' ( x0 ) ; + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x ) (x - x0) + y0 ta pt tiếp tuyến cần tìm Ví dụ Cho hàm số y = x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x −1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) Tại điểm O(0; 0); b) Tại điểm M(2; 4) x − 2x Giải Ta có y ' = ; (x − 1)2 a) Tại O(0; 0) ⇒ y'(0) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 0; b) Tại M(2; 4) ⇒ y'(2) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = Ví dụ Cho hàm số y = x - 3x2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M(-1; -2) ĐS: y = 9x + Ví dụ Cho hàm số y = x - 8x + 10 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M(-1; 3) ĐS: y = 12x + 15 b) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M thỏa mãn tính chất P cho trước Cách giải: + Lập hệ thức M thỏa mãn tính chất P, tìm x0; y0 + Tính f ' ( x ) , f ' ( x0 ) + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta pt tiếp tuyến cần tìm x −1 Ví dụ Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x +1 giao điểm đồ thị với trục tung Giải Gọi M giao điểm đồ thị(C) với trục tung; x −1   y = −1 y = Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:  x +1 ⇔  x =  x = ⇒ M(0; -1) Ta có f ' ( x ) = ⇒ f ' (0) = Pt tiếp tuyến y = 2x - (x + 1)2 Ví dụ Cho hàm số y = (1 - x)2(4 - x) (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) giao điểm (C) với trục hoành Giải Hàm số (C) viết lại là: y = -x3 + 6x2 - 9x + Tọa độ giao điểm (C) với trục hoành nghiệm hệ phương trình:  x =  y = −x3 + 6x2 − 9x +  M (1;0 )  ⇔  x = ⇒  , y'(1) = 0; y'(4) = -  M ( ; )  y = y =  Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y = y = -9x +36 x−3 Ví dụ Cho hàm số y = (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) 2−x giao điểm đồ thị hàm số (C) đường thẳng d: x + 2y + = Giải Tọa độ giao điểm (C) với đường thẳng d nghiệm hệ phương x−3  y = trình:  Có hai tiếp tuyến cần tìm y = − x − , y = - x - 2− x  x + y + = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ Cho hàm số y = x − x + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm uốn chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2004) Giải * Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số (C) điểm uốn  2 Điểm uốn (C) I  2;  , y'(2) = - Pt tiếp tuyến y = − x +  3 * Chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Gọi k1 hệ số góc tiếp tuyến d ⇒ k1 = -1 Gọi k2 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số x ⇒ k2 = y'(x) = x2 - 4x + Xét hiệu k1 - k2 = - - (x2 - 4x + 3) = - (x - 2)2 ≤ 0, ∀x ⇒ k1 ≤ k2, ∀x Dấu " = " xảy ⇔ x = (là hoành độ tiếp điểm) ⇒ k1 bé Vậy tiếp tuyến (C) điểm uốn có hệ số góc nhỏ Ví dụ Cho hàm số y = - x3 + 3x2 + (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thi hàm số (C) điểm uốn b) Chứng minh tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn Đáp số (ĐS) * Phương trình tiếp tuyến d (C) điểm uốn y = x + * Tương tự ví dụ ⇒ k1 = k2 = y'(x) = -3x2 + 6x ; k1 - k2 = 3(x - 1)2 ≥ 0, ∀x ⇒ k1 ≥ k2 ∀x ⇒ k1 lớn Vậy tiếp tuyến (C) điểm uốn có hệ số góc lớn Chú ý: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ ) * Nếu a > tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc bé * Nếu a < tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn 2.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) điểm có hồnh độ x0 Cách giải: + Tính f ' ( x ) ⇒ f ' ( x0 ) + Thay x0 vào (C) tìm y0 + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 kết luận Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3x + (C) Hãy viết phương trình đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ x0 = Giải Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 ) (x - x0) + f(x0) +) Ta có f ' ( x ) = 3x2 - ⇒ f ' (1) = +) Thay x0 = vào (C), ta y0 = f(1) = +) Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 0(x - 1) + ⇔ y = 3x + Ví dụ Cho hàm số y = , ta có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến 2x + LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com đồ thị (C) điểm có hồnh độ ĐS: y = - x+ 4 x3 Ví dụ Cho hàm số y = + 2x2 - 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0, biết f ' ' ( x0 ) = Giải Ta có f ' ( x ) = - x2 + 4x - 3; f ' ' (x ) = - 2x + ⇒ f ' ' ( x0 ) = -2x0 + Từ giả thiết, ta có f ' ' ( x ) = ⇒ - 2x0 + = ⇔ - 2x0 = ⇔ x0 = - 16 ⇒ y0 = , f ' (− 1) = - Vậy phương trình tiếp tuyến y = - 8x - 3 2.3 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm có tung độ y0 Cách giải: + Thay y0 vào (C) tìm x0 + Tính y' = f ' ( x ) , f ' ( x0 ) + Thay x0; y0; f ' ( x0 ) vào y = f ' ( x0 ) (x - x0) + y0 ta kết 2x − Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ x +1 thị (C) điểm có tung độ x0 − Giải Từ giả thiết, ta có y0 = ⇒ = ⇔ x0 = f ' ( x ) = x0 + ( x + 1) 1 1 ⇒ f ' (4 ) = Phương trình tiếp tuyến y = (x - 4) + ⇔ y = x + 5 5 Một số tập liên quan đến toán 2x − Bài Cho hàm số y = (C) Cho M điểm (C) Tiếp tuyến x−2 (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ  2x −  −1  ∈ (C), x0 ≠ Giải Ta có y ' = Giả sử M  x0 ; x − (x − )   2x − −1 ( x − x0 ) + Phương trình tiếp tuyến d (C) M y = x0 − ( x − 2)  2x −   ; B( x − 2;2) Gọi A, B giao điểm d với hai tiệm cận, nên A 2;  x0 −  Ta có: x A + x B = + x0 − = 2.x0 = 2.x M 2x − 2x − ⇒ M trung điểm AB y A + yB = + = = y M x0 − x0 − Giao điểm hai tiệm cận I(2; 2) Tam giác IAB vuông I, nên IM bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB Diện tích đường trịn ngoại LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com     x − tiếp tam giác IAB là: S = π IM = π ( x − ) +  −   ;   x0 −     1 2 S = π ( x − 2) + ≥ 2π Dấu " = " xảy ( x0 − 2) =  ( x − )2 (x − 2)    x0 = ⇔  Vậy có hai điểm M cần tìm M1(1; 1) M2(3; 3)  x0 = x−3 Bài Cho hàm số y = (C) x −1 a) M điểm có hồnh độ x0 thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A, B Chứng minh rằng: * M trung điểm đoạn thẳng AB * Diện tích tam giác AIB khơng đổi, I giao điểm hai tiệm cận (C) * Tìm tọa độ điểm M cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến điểm vừa tìm b) Chứng minh khơng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua giao điểm hai tiệm cận c) Chứng minh đồ thị (C) có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến hai điểm song song với nhau, đồng thời đường nối cặp điểm đồng quy  x −3  ; x0 ≠ Giải Ta có: y ' = Vì M ∈ (C) ⇒ M  x0 ; x0 −  (x − 1)  a) Tiệm cận đứng (C) ∆1 : x = 1, tiệm cận ngang (C) ∆ : y = x −3 Phương trình tiếp tuyến d M y = ( x − x0 ) + x0 − (x0 − 1) Gọi {A} = d ∩ ∆1 ⇒ Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình x A =  − x0    x − ⇒ A1; y = ( x − x ) + − x A A    x0 − (x0 − 1)2  Gọi {B} = d ∩ ∆ ⇒ Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình:  yB =  yB =  ⇒ B(2x0 - 1; 1) x0 − , x0 ≠ ⇔  1 = ( x − x ) + x = x − B  B  ( x − 1) x0 −  * Ta có: xA + xB = + 2x0 - = 2x0 = xM − x0 x −3 ⇒ M trung điểm AB yA + yB = + = = yM − x0 x0 − 1 * Vì ∆1 ⊥ ∆ I ⇒ tam giác IAB vng I, nên ta có: S ∆IAB = IA.IB , LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4 , IB = x0 − ⇒ S ∆IAB = x0 − = ⇒ S ∆IAB không đổi x0 − x0 − * Gọi C chu vi tam giác IAB, ta có: C = IA + IB + AB = IA + IB + IA + IB ≥ IA.IB + 2.IA.IB ⇒ C ≥ + IA.IB Dấu ''='' xảy ⇔ IA = IB ⇔ = x0 − x0 − IA = ( ) ( ) ( ) ) Ta có: y ' (1 ± ) = Giải ta x = ± ⇒ M 1 − ;1 + ; M + ;1 − cần tìm ( Khi đó: C = + ) ( IA = + Phương trình tiếp tuyến M1; M2 y = x ± 2 b) Phương trình qua giao điểm I(1; 1) hai tiệm cận d1: y = k(x - 1) + x −  x − = k ( x − 1) + 1(1) d1 tiếp tuyến (C) ⇔ Hệ  có nghiệm Thay (2) vào (1)  = k (2)  ( x − 1) x−3 ta được: = (x − 1) + ⇔ x − = x + ⇒ phương trình vơ nghiệm x − ( x − 1)2 Vậy khơng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua giao điểm hai tiệm cận c) Tâm đối xứng (C) giao điểm I(1; 1) hai tiệm cận (C) * Gọi M điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ xM = x0 Gọi M' đối xứng với M qua I ⇒ M' ∈ (C), Ta có xM' + xM = xI = ⇒ xM' = - x0 I ; Hệ số góc tiếp tuyến M k1 = y (/x0 ) = (x0 − 1)2 O / (C) Hệ số góc tiếp tuyến M' k = y (2− x0 ) = (2 − x0 − 1)2 2 ⇒ k = y(/2− x0 ) = = = k ⇒ Hai tiếp tuyến M M' song (1 − x0 ) (x0 − 1)2 song với Vậy đồ thị (C) có vơ số cặp điểm đối xứng qua giao điểm I hai tiệm cận, tiếp tuyến hai điểm song song với đường nối cặp điểm đồng quy I Lưu ý: Với hai số dương a, b thỏa mãn ab = S (khơng đổi) biểu thức C = a + b + a + b nhỏ a = b Vì C = a + b + a + b ≥ ab + 2ab = ( + ) ab = (2 + ) S Dấu (( = )) a = b x2 Bài Cho hàm số y = (C) x −1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... f(x0) Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị y = f(x) điểm 2.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x0; y0) a Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =... y'(0) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 0; b) Tại M(2; 4) ⇒ y'(2) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = Ví dụ Cho hàm số y = x - 3x2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm... ĐS: y = 9x + Ví dụ Cho hàm số y = x - 8x + 10 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm M(-1; 3) ĐS: y = 12x + 15 b) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M thỏa