(SKKN HAY NHẤT) khai thác giả thiết hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau trong giải toán hình học không gian

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN " LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình ơn thi đại học, giải tốn hình học khơng gian tổng hợp, học sinh thường lúng túng gặp giả thiết toán “cho trước hai đường thẳng chéo vng góc với nhau” Đa số học sinh nhận xét dạng toán khó, học sinh thường khơng liên kết hai đường thẳng chéo quan hệ vng góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán Đặc biệt, học “Định lý ba đường vng góc” học sinh biết áp dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc với mà khơng biết cách khai thác khác là: tạo mối liên hệ gần gũi hai đường thẳng chéo vng góc với Trên lí để chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VUÔNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận I.1 Góc hai đường thẳng khơng gian Hai đường thẳng vng góc + Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song ( trùng) với a b a’ a I b’ + Hai đường thẳng b không gian gọi vng góc với góc chúng 900 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I.2 Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng + Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt b c nằm mặt phẳng (P) đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) a b P I c I.3 Định lý ba đường vng góc + Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) Khi điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) B a A P A’ b B’ a’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com II Thực trạng vấn đề Khi toán giả thiết cho trước hai đường thẳng chéo vuông góc với Học sinh thường định hướng giải tốn khơng liên kết hai đường thẳng chéo quan hệ vng góc để từ dễ dàng suy luận kết phục vụ cho việc giải toán III Giải pháp tổ chức thực III.1 Định hướng phương pháp Cho hai đường thẳng a, b chéo vng góc với (1) Để khai thác giả thiết áp dụng vào giải tốn, có hai hướng suy luận: Hướng 1: Từ giả thiết (1) , lập luận để hai đường thẳng cắt vuông góc với Từ áp dụng tính chất hình học phẳng để giải tốn ( Định lý Pytagore,….) Hướng 2: Từ giả thiết (1) suy đường thẳng vng góc với mặt phẳng Từ áp dụng tính chất đường thẳng vng góc với mặt phẳng để giải toán Để suy luận theo hai hướng ta đưa ba cách thực hiện: Cách 1: + Qua điểm I b, kẻ a’ // a Ta hai đường thẳng a’ b cắt vng góc với LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b I a’ a Cách 2: Áp dụng Định lý đường vng góc + Nếu đường thẳng b nằm mặt phẳng (P), mà ta dễ dàng xác định hình chiếu vng góc a lên (P) ta dựng hình chiếu a’ a lên (P) Ta có kết quả: B a A B’ a’ A’ b P Cách 3: + Nếu đường thẳng c cắt b Suy a b P I c LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com III.2 Tiến trình thực + Cung cấp cho học sinh số kiến thức hình học khơng gian cách khai thác giả thiết hai đường thẳng chéo nhau, vng góc với + Đưa ví dụ tốn hình học khơng gian tổng hợp có giả thiết hai đường thẳng chéo vng góc với nhau, phân tích để học sinh tự lựa chọn cách khai thác giả thiết dựa cách gợi ý + Yêu cầu học sinh nhận xét xem cịn dùng cách khác để khai thác giả thiết khơng, so sánh tính khả thi hiệu phương pháp III.3 Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC cạnh a Gọi M N trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC biết S K M N A C O B Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết , dùng cách LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời giải: Gọi K trung điểm SN, suy MK // AN ( tính chất đường trung bình) Vì vng M (*) Đặt SA = b ( b > 0) Theo cơng thức độ dài đường trung tuyến, ta có: , tương tự: Áp dụng ĐL Cosin, ta có: Khi (*) Gọi O tâm tam giác ABC, suy , Suy ra: (đvtt) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, Gọi M trung điểm SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BM, AC, biết LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com S M A F K D E B C Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết , dùng cách 2, thấy việc dựng hình chiếu BM lên (ABCD) dễ dàng Lời giải: Gọi K trung điểm AD, suy MK // SA Vì (Theo ĐL đường vng góc) Khi đó, ta có (vì phụ với ) đồng dạng với Suy ra: Gọi Ta có (đvtt) Kẻ ( ) Suy EF đoạn vng góc chung hai đường thẳng BM AC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có Ta có Vậy Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, tam giác SAC cân C, có Biết Tính thể tích khối chóp S.ABC tính thể tích khối tứ diện SBCK, biết K điểm thuộc SA thỏa mãn CK vng góc với SB S K A C H B LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phân tích: Khi tiếp cận với giả thiết , dùng cách 2, nên hình chiếu SA lên (ABC) AC Lời giải: Vì có , suy AC hình chiếu vng góc AS lên mặt phẳng (ABC) Lại ( Theo ĐL đường vng góc) Suy tam giác ABC vng C Kẻ Ta có Suy Vì H, suy (đvtt) , suy SC hình chiếu vng góc SB lên mặt phẳng (SAC) Vì ( Theo ĐL đường vng góc) Khi ta có: Ta có: Ta có (đvtt) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh (SBD) tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp Biết S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC, SB theo s F H K E D A O B C Phân tích: Bài tốn phức tạp cho hai cặp đường thẳng chéo vng góc với là: +Ta để ý đến Suy trước, có (cách 3) , ta nghĩ đến việc dựng hình chiếu vng góc S lên (ABCD) Đây sở để ta dùng cách để khai thác giả thiết Lời giải: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vì ABCD hình thoi nên , mà , suy Kẻ H, suy Vì Gọi ( Theo ĐL đường vng góc) , ta có , suy góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) góc Từ giả thiết, suy tam giác ABC ACD tam giác cạnh Vì Suy Suy (đvtt) Tính Dựng hình bình hành OHEB, suy OHEB hình chữ nhật Ta có BE // AC, suy AC // (SBE) Ta có Kẻ F, suy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm B’C’ Biết AB’ vng góc với A’M AB’ = AM Cạnh bên AA’ hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Phân tích: Để ý , từ giả thiết Đây cách A C N B A’ C’ B’ H M Lời giải: Vì tam giác A’B’C’ nên , lại có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Gọi H trung điểm B’M, tam giác AB’M cân đỉnh A nên Suy góc AA’ (A’B’C’) góc Ta có Suy Suy (đvtt) Tính tính cosin góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) Vì (ABC) // (A’B’C’) nên số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (A’B’C’) số đo góc hai mặt phẳng (BCC’B’) với (ABC) Gọi N trung điểm BC, ta có Vì Suy Ta có tam giác ANH vng A, nên Ví dụ 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD hình vng cạnh a, Gọi M, N trung điểm cạnh BB’, AD Biết BN vng góc với CM, AA’ hợp với (ABCD) góc 600 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com N A K D H C B D’ A’ M C’ B’ Phân tích: Vì ABCD hình vng, ta liên tưởng đến tính chất : Gọi K trung điểm AB , mà , ta chọn cách Lời giải: Gọi K trung điểm AB Ta dễ dàng chứng minh Vì Kẻ H, suy Vì AA’ // BB’ Suy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy (đvtt) III.4 Một số tập áp dụng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có AB = a Gọi M trung điểm cạnh SD Biết Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB CM Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, thuộc đoạn CD cho MC = 2MD Biết Gọi M Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến (SAB) Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có ABC tam giác vuông B, Biết , với M trung điểm A’C’; mặt phẳng (BCC’B’) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 4: Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vng cân tai B, AC = 2a Tam giác SAC vuông S, đường thẳng SC thỏa mãn ; Gọi M trung điểm BC, N điểm thuộc Tính thể tích khối tứ diện SBMN IV Kết thực nghiệm 1) Trong khuôn khổ viết đưa ví dụ điển hình Từ ví dụ hướng dẫn giáo, học sinh tìm tịi lời giải tốn Sau giải tốn, tơi hướng dẫn học trị thay đổi cách tiếp cận tốn, để đưa so sánh tính khả thi hiệu phương pháp Trong trình tìm tịi học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com sinh phấn chấn, tự giác tiếp nhận kiến thức kỹ giải tốn dạng mà cịn hình thành cho em cách nhìn nhận Định lý, tính chất hình học nhiều góc độ khác nhau, biết cách phân tích vấn đề nhiều góc độ 2) Trong lớp 12C8, 12C9, 12C10 dạy năm nay, giao Ví dụ Ví dụ nhà cho lớp 12C8, 12C9 12C10 chưa phương pháp khai thác giải thiết hai đường thẳng chéo vng góc với Kết số học sinh giải sau: Lớp 12C8 12C9 12C10 Sĩ số 51 51 45 Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 12(VD1) 23,5%(VD1) 7(VD2) 13,7%(VD2) 16(VD1) 31,4%(VD1) 10(VD2) 19,6%(VD2) 7(VD1) 15,6%(VD1) 5(VD2) 11,1%(VD2) Sau hướng dẫn phương pháp, phân tích hai ví dụ: Ví dụ Ví dụ lớp u cầu học sinh làm ví dụ cịn lại sở gợi mở, phân tích Hầu hết học sinh lớp hiểu, nắm phương pháp giải ví dụ 3,4,5,6 Khi giao bài tập nhà Kết số học sinh giải tập sau: Lớp 12C8 Sĩ số 51 Số học sinh giải Tỉ lệ % học sinh giải 38 74,5% LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12C9 51 42 82,4% 12C10 45 30 58,8% C KẾT LUẬN Quá trình dạy học q trình tìm tịi suy nghĩ để không ngừng đúc rút kinh nghiệm nâng cao hiệu dạy Kinh nghiệm trình bày ứng dụng nhỏ rèn luyện kỹ giải tốn hình học khơng gian Nhưng dù qua trình nêu hình thành cho học sinh phương pháp luận; rèn luyện cho học sinh cách nhìn nhận vận dụng lý thuyết vào giải tốn, tạo cho học sinh hứng thú tìm tịi, hứng thú học toán Trên kinh nghiệm rút từ trình giảng dạy thân, mong đồng nghiệp bổ sung, góp ý để áp dụng rộng rãi hiệu dạy học LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ VNG GĨC VỚI NHAU TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận I.1 Góc hai đường thẳng khơng gian Hai đường thẳng vng góc + Góc hai đường thẳng. .. thiết hai đường thẳng chéo nhau, vng góc với + Đưa ví dụ tốn hình học khơng gian tổng hợp có giả thiết hai đường thẳng chéo vng góc với nhau, phân tích để học sinh tự lựa chọn cách khai thác giả thiết. .. minh hai đường thẳng vng góc với mà khơng biết cách khai thác khác là: tạo mối liên hệ gần gũi hai đường thẳng chéo vng góc với Trên lí để tơi chọn đề tài: MỘT SỐ CÁCH KHAI THÁC GIẢ THIẾT HAI ĐƯỜNG