Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh cao bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH CAO BẰNG ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN CAO BẰNG NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI : TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) x +2 x + 2x + x − − − x +1 − x x − x − A= a) b) Rút gọn biểu thức Cho Parabol ( P ) : y = mx Tìm giá trị m để hai điểm Câu (2,0 điểm) a) Cho số thực P= 2021 a, b, c 2022 (d) A đường thẳng cắt A B Chứng minh a + b + c = ab + bc + ca thỏa mãn Tính giá trị biểu thức 2023 a b c + 2022 + 2023 2021 b c a a) Cho hệ phương trình : cho biểu thức A = 3x − y b) Giải phương trình Câu (3,0 điểm) I m Tia IO (m tham số) để hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) nhận giá trị nguyên AB ( O; R ) lấy điểm C Gọi trung điểm AM thỏa mãn x 2022 = y 2022 − y1348 − y 674 + x + + − x − − x − x2 = Cho nửa đường tròn B Trên cung ( x; y ) mx − y =  2 x + my = Tìm giá trị nguyên điểm hai điểm phân biệt (m tham số, m > 0) B nằm bên phải trục tung b) Tìm cặp số nguyên dương Câu (2,0 điểm) ( O) ( P) ( d ) : y = x − m2 đường kính M AM (M khác Tia cắt đường thẳng IO d AB A Đường thẳng B) Tia cắt đường thẳng N AM d d tiếp tuyến cắt đường thẳng I d C Gọi trung a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh OBCI AI IC = IO.IN O c) Gọi E hình chiếu d) Xác định vị trí M để AN Chứng minh 2AM + AC AN CE = 2R CN đạt giá trị nhỏ a , b, c Câu (1,0 điểm) Cho số dương Chứng minh nội tiếp thỏa mãn 4a + 3b + 2c = 10 3b + 2c + 15 4a + 2c + 15 a + 3b + 15 + + ≥ 15 + 4a + 3b + 2c ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) x +2 x + 2x + x − − − x +1 − x x − x − A= c) Rút gọn biểu thức Điều kiện : x +2 x + 2x + x − − − = x +1 − x x − x − A= = ( x ≥ 0, x ≠ 25 −3 x − )( x +1 d) x −5 = ) ( Cho Parabol m > 0) −3 ( ) x +1 )( x +1 x −5 ( P ) : y = mx Tìm giá trị m ( ) x +2 = )( ) ( x + 3) ( x + 1) − x − ( x + 1) ( x − 5) x −5 + −3 x −5 đường thẳng để ( d) cắt ( P) Chứng minh hai điểm Do m>0 ∆ ' =1− m nên phương trình A mx − x + m = ( 1) x +4 ( d ) : y = x − m2 (m tham số, hai điểm phân biệt A B B nằm bên phải trục tung phương trình bậc hai ẩn có Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ∆ ' > ⇔ ( − m ) ( + m + m ) > ⇔ m < 1(do + m + m2 > 0) < m m   x1 x2 = m > ⇒ x > 0; x > Theo định lý Vi-et ta có Nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B nằm bên phải trục tung Câu (2,0 điểm) a) Cho số thực P= 2021 a , b, c 2022 thỏa mãn a + b + c = ab + bc + ca Tính giá trị biểu thức 2023 a b c + 2022 + 2023 2021 b c a Ta có : a + b + c = ab + bc + ca ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac = ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = ⇔ a = b = c ⇒P= 2 a 2021 b 2022 c 2023 + + =3 b 2021 c 2022 a 2023 b) Tìm cặp số nguyên dương x 2022 =y 2022 −y 1348 −y 674 Ta có : a = x 674 , b = y 674 , a, b ∈ ¥ * Đặt Xét : + ( 1) ( x; y ) thỏa mãn ta phương trình : x 2022 = y 2022 − y1348 − y 674 + a3 = b3 − b2 − b + a − ( b − 1) = b3 − b − b + − b3 + 3b + = 2b − 4b + = ( b − 1) + > ⇒ a > ( b − 1) ⇒ a ≥ b3 ⇔ b3 − b − b + ≥ b3 ⇔ b + b − ≤ ⇔ ( b + ) ( b − 1) ≤ ( b + > b − 1) b + ≥ ⇒ ⇒ −2 ≤ b ≤ b − ≤ Do b ∈ ¥ * ⇒ b = ⇒ y 674 = ⇒ y = 1( y ∈ ¥ *) ⇒ x = 1(do x ∈ ¥ *) ( x; y ) = ( 1;1) Vậy Câu (2,0 điểm) a) Cho hệ phương trình : mx − y =  2 x + my = Tìm giá trị nguyên ( x; y ) cho biểu thức Ta có : Thế mx − y =  2 x + my = y = mx − Thay A = 3x − y mx − y = ⇔ y = mx − ( 1) 3m + m2 + y = m vào (1) ta : Vậy với m, hệ có nghiệm A = 3x − y = nhận giá trị nguyên x + my = vào phương trình 3m + m2 + (m tham số) để hệ phương trình cho có nghiệm Từ phương trình : x + m ( mx − 3) = ⇔ x = x= m 3m + 9m − −3 = 2 m +2 m +2 3m +   x = m +   y = 9m −  m2 + 3m + 9m − 33 − = 2 m +2 m +2 m +2 Để A có giá trị nguyên b) Giải phương trình ta : Ta có : 33M( m + ) ⇒ m + ∈ { 3;11;33} (do m + > 0) ⇒ m ∈ { ±1; ±3} x + + − x − − x − x2 = x + + − x − − x − x = ( −3 ≤ x ≤ ) ( ⇔( ⇔ ) ( x − − 1) − ( x + −1 + 2− x − x−2 )( ( − x ) ( x + 3) ) = ) x + −1 = ⇔  x +3 =1 x + =1  x = −2 ⇔ ⇔ ⇔ (tm)  x − =  x − =  x = ( )( ) x + −1 1− x − = S = { −2;1} Vậy phương trình có tập nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn ( O) thẳng I d B Trên cung AB đường kính lấy điểm I M C Gọi trung điểm trung điểm e) ( O; R ) AM Tia IO AB (M khác AM Tia OBCI nội tiếp A IO cắt đường thẳng Chứng minh tứ giác Đường thẳng d B) Tia d AM tiếp tuyến cắt đường cắt đường thẳng N d C Gọi IA = IM ( gt ) ⇒ OI ⊥ AM ⇒ ∠OIC = 90° Do (d) Vì tiếp tuyến (O) Xét tứ giác OBCI Suy tứ giác f) Xét có : OBCI Chứng minh ∆IOA ∆ICN ∠OIC + ∠CBO = 90° + 90° = 180° nội tiếp AI IC = IO.IN có : ∠AIO = ∠NIC = 90°; ∠IAO = ∠INC Do O trực tâm Suy ba điểm Xét (vì phụ với ∠ACB) IO IA ∆IOA ∽ ∆ICN ( g g ) ⇒ = ⇒ IO.IC = IA.IC (dfcm) IC IC Gọi E hình chiếu g) Do B ⇒ d ⊥ AB ⇒ ∠CBO = 90° ∆ABN ∆ANC C , O, E ∆CEN nên O CO ⊥ AN AN mà Chứng minh AN CE = 2R CN OE ⊥ AN thẳng hàng có : ∠ABN = ∠CEN = 90°; ∠ANB chung AB AN AN CE ⇒ = ⇒ = AB = R (dfcm) CE CN CN h) Xác định vị trí M để 2AM + AC Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : Mà AM + AC ≥ 2 AM AC ( 1) AM AC = AB = R ( ) Từ (1) (2) suy Vậy đạt giá trị nhỏ 2AM + AC AM + AC ≥ 2.4 R = R đạt giá trị nhỏ 4R Câu (1,0 điểm) Cho số dương a , b, c 2AM = AC thỏa mãn hay M trung điểmAC 4a + 3b + 2c = 10 Chứng minh Đặt 3b + 2c + 15 4a + 2c + 15 4a + 3b + 15 + + ≥ 15 + 4a + 3b + 2c x = 4a + 1; y = 3b + 1; z = 2c + x, y , z (với số dương) Suy Thì bất đẳng thức cho trở thành: Cho x + y + z = 13 x, y , z số dương thỏa mãn Chứng minh : y + z + 13 x + z + 13 x + y + 13 + + ≥ 15 x y z Ta có : VT = y z 13 x z 13 x y + + + + + + + + 13 x x x y y y z z y x y z z =  + ÷+  + ÷+  +  x y  z y x 1 1 x ÷+ 13  + + ÷( 1) z x y z Áp dụng BĐT Cô si cho số dương , ta có : x y x y + ≥ = 2, y x y x tương tự y z x z + ≥ 2; + ≥ ( ) z y z x Ta lai có : 1 1  x y  y z x + + ÷ = +  + ÷+  + ÷+  + x y z  y x  z y z ( x + y + z)  ⇔ z ÷≥ + + + = x 1 9 + + ≥ = ( Do x + y + z = 13) ( 3) x y z x + y + z 13 VT ≥ + + + 13 Từ (1), (2), (3) ta có : x=y=z= Dấu xảy x + y + z = 13 = 15( dfcm) 13 13 10 10 10 ⇔ a = ;b = ;c = 12 ... Thay A = 3x − y mx − y = ⇔ y = mx − ( 1) 3m + m2 + y = m vào (1) ta : Vậy với m, hệ có nghiệm A = 3x − y = nhận giá trị nguyên x + my = vào phương trình 3m + m2 + (m tham số) để hệ phương trình