BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Xuân Mỹ Lớp: L01 Nhóm thực hiện: Nhóm 02 Họ tên Đặng Trung Dũng Nguyễn Đức Duy Phạm Nhật Phương Duy Nguyễn Thanh Hải Phan Thanh Hải Lê Trương Ngọc Hân Trương Huỳnh Gia Hân Nguyễn Thị Thu Hằng Nguyễn Xuân Hòa Mã số sinh viên 2012859 1610470 2012835 2013074 2013077 2011170 2013114 2013104 2013254 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Xuân Mỹ Lớp: L01 Nhóm thực hiện: Nhóm 02 Đề tài: 14 Họ tên Đặng Trung Dũng Nguyễn Đức Duy Phạm Nhật Phương Duy Nguyễn Thanh Hải Phan Thanh Hải Lê Trương Ngọc Hân Trương Huỳnh Gia Hân Nguyễn Thị Thu Hằng Nguyễn Xuân Hòa Mã số sinh viên 2012859 1610470 2012835 2013074 2013077 2011170 2013114 2013104 2013254 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 MỤC LỤC TRANG A.PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………… B.PHẦN NỘI DUNG……………………………………… I Đề tài tập lớp……………………………………… Giới thiệu mơ hình Markok Viết chương trình dung mơ hình Markok giải tốn cụ thể Tìm ứng dụng khác mơ hình Markov II Giới thiệu ma trận Markok…………………….……… Cơ sở lý thuyết…………………………………… Bài toán đặt ra…………………………………… III Đoạn code Latex…….……………… ………… 12 IV Ứng dụng khác mơ hình Markov…… ………… 13 1.Trong trị chơi……………….…………………… 14 Trong khảo sát chuỗi trạng thái… ………… 16 Chính sách thay thiết bị vật tư………………… 17 C LINK THAM KHẢO………………………………… … 21 *Báo cáo gồm: 21 trang Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 LỜI MỞ ĐẦU Toán học từ xa xưa trở thành công cụ giúp người khám phá giới Có thể nói, Tốn học giúp người tính tốn chí dự đốn việc xảy dựa kiện xảy Trong lĩnh vực trọng điểm kinh tế, máy tính, kỹ thuật, Tốn học đóng vai trị cơng cụ mạnh mẽ để tính tốn mơ lý thuyết nghiên cứu từ áp dụng lý thuyết vào thực tế Đại số tuyến tính lĩnh vực lớn Tốn học lĩnh vực sử dụng vào thực tế nhiều Ngày nay, Đại Số Tuyến Tính (ĐSTT) áp dụng vào kinh tế, nghiên cứu khoa học, máy tính, kỹ thuật, Một ứng dụng lớn mà ta thường thấy ma trận Markov Ma trận thường sử sụng để ước lượng xác xuất xảy kiện nằm chuỗi kiện cho trước Nhờ vào đó, nhà nghiên cứu đưa định xác mà không cần phải thông qua nhiều lần thí nghiệm Trong lý thuyết xác suất , Mơ hình Markov mơ hình ngẫu nhiên sử dụng để mơ hình hệ thống thay đổi ngẫu nhiên Giả định trạng thái tương lai phụ thuộc vào trạng thái tại, không phụ thuộc vào kiện xảy trước (nghĩa giả định thuộc tính Markov ) Nói chung, giả định cho phép lập luận tính tốn với mơ hình mà khơng khơng thể đọc Vì lý này, trường mơ hình dự đốn dự báo xác suất , mơ hình định mong muốn thể thuộc tính Markov Trong phần Bài tập lớn này, chúng em chủ yếu tập trung nghiên cứu giải thích ma trận Markov ứng dụng ma trận vào thực tế Đồng thời, chúng em đưa vài ví dụ vấn đề sống tìm lời giải cho tốn thông qua ma trận Markov Qua phần Bài tập lớn này, chúng em hy vọng làm rõ ý nghĩa tầm quan trọng ma trận Markov lĩnh vực nghiên cứu khác  B PHẦN NỘI DUNG I ĐỀ TÀI BÀI TẬP LỚN Giới thiệu mơ hình Markok Viết chương trình dung mơ hình Markok giải tốn cụ thể Tìm ứng dụng khác mơ hình Markov Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 II GIỚI THIỆU MA TRẬN MARKOV Cơ Sở Lý Thuyết 1.1 Sơ lược Markov ma trận Markov: 1.1.1 Sơ lược Markov: Markov (14/6/1856 − 20/7/1922) Markov, sinh ngày 16/6/1956 Ryazan − Nga ngày 20/7/1922 St Petersburg, tên đầy đủ Andrey (Andrei) Andreyevich Markov Ơng nhà tốn học người Nga biết đến với cơng trình q trình ngẫu nhiên bật xích Markov hay q trình Markov Ơng học Đại học St Petersburg nhận thạc sỹ tiến sỹ Đồng thời, ông giáo sư giảng dạy Đại học St Petersburg thành viên Học viên Khoa học Nga Ơng cơng bố kết nghiên cứu lần vào năm 1906 Markov người em trai ông Vladimir Andreevich Markov (1871– 1897) chứng minh bất đẳng thức anh em Markov Con trai ông tên Andrei Andreevich Markov (1903–1979), nhà toán học đáng ý, đóng góp cho ngành tốn học kiến thiết lý thuyết hàm đệ quy Markov hưu năm 1905 tiếp tục nghiệp giảng dạy Đại học đến cuối đời Nghiên cứu ông Xích Markov tiền đề cho việc nghiên cứu Quá trình ngẫu nhiên với hàng loạt ứng dụng thực tế Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 1.1.2 Xích Markov Trong lý thuyết xác suất lĩnh vực liên quan, trình Markov (đặt theo tên ơng) q trình ngẫu nhiên thỏa mãn tính chất đặc biệt, gọi tính chất Markov (cịn gọi tính trí nhớ) Tính chất giúp dự báo tương lai dựa vào trạng thái Điều có nghĩa trạng thái tương lai khứ độc lập Tuy nhiên sau, trình Markov mở rộng thành Markov bậc cao, tương lai phụ thuộc vào quãng thời gian q khứ Xích Markov q trình Markov đặc biệt mà có trạng thái rời rạc thời gian rời rạc Quá trình Markov nhà tốn học Markov bắt đầu nghiên cứu từ khoảng đầu kỷ 20 có nhiều nghiên cứu hàng trăm năm trước trình dạng biến ngẫu nhiên phụ thuộc Hai ví dụ quan trọng q trình Markov trình Wiener (hay chuyển động Brownian) trình Poisson Hai trình coi quan trọng trung tâm lý thuyết q trình ngẫu nhiên Xích Markov có nhiều ứng dụng với vai trị mơ hình xác suất q trình thực tế Thuật tốn biết đến PageRank thực khởi nguồn cho công cụ tìm kiếm Google dựa xích Markov Ta xét hệ thống kinh tế hệ thống vật chất S với m trạng thái có thể, ký hiệu tập I: I = 1, 2, 3, , m hệ thống S tiến hóa ngẫu nhiên thời gian rời rạc (t = 1, 2, 3, , n, ), đặt C n biến ngẫu nhiên tương ứng với trạng thái hệ thống S thời điểm n (C n∈ I) Định nghĩa 1.1: Dãy biến ngẫu nhiên (C n, n ∈ n) xích Markov với tất c 0, c 1, , c n∈I: P r(C n= c n| C 0=c 0, C 1= c 1, , C n=c b ) = P r(Cn = cn | Cn−1 = cn−1) (với điều kiện xác suất có nghĩa) 1.1.3 Mơ hình Markov Mơ hình Markov phương pháp ngẫu nhiên để thay đổi ngẫu nhiên hệ thống giả định trạng thái tương lai không phụ thuộc vào trạng thái q khứ Các mơ hình hiển thị tất trạng thái xảy chuyển đổi, tốc độ chuyển đổi xác suất chúng Mơ hình Markov thường sử dụng để mơ hình hóa xác suất trạng thái khác tốc độ chuyển đổi chúng Phương pháp thường sử dụng để mô Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 hình hóa hệ thống Mơ hình Markov sử dụng để nhận dạng mẫu, đưa dự đoán để tìm hiểu thống kê liệu Mơ hình Markov biểu diễn dạng phương trình mơ hình đồ họa Các mơ hình Graphic Markov thường sử dụng vòng tròn (mỗi trạng thái chứa trạng thái) mũi tên hướng để thay đổi chuyển tiếp xảy chúng Các mũi tên hướng gắn nhãn tỷ lệ biến cho tỷ lệ Các ứng dụng mơ hình Markov bao gồm ngơn ngữ mơ hình hóa, xử lý ngơn ngữ tự nhiên (NLP), xử lý hình ảnh, tin sinh học, nhận dạng giọng nói mơ hình hóa hệ thống phần cứng phần mềm máy tính Ví dụ 1.1 Trong khu phố có 1000 hộ dân Trong có 200 hộ siêu thị A, 500 hộ siêu thị B, 300 hộ siêu thị C Khảo sát cho thấy ,sau tháng có 10% khách hàng A chuyển sang B 10% chuyển qua C; có 7% khách hàng B chuyển sang A 3% chuyển sang C; có 8.3% khách hàng C chuyển sang A 6.7% chuyển sang B a/ Lập ma trận chuyển P b/ Cho biết ý nghĩa p23 c/ Tìm số lượng khách hàng siêu thị tháng thứ 10 10 A B 6,7 8,3 Hình 1: Ví dụ mơ hình Markov Giải ( ) 200 X = Đặt 500 300 ( 0.8 0.07 0.083 0.9 0.067 0.1 0.03 0.85 a/ Ma trận chuyển P= 0.1 ) b/ p23 tỉ lệ khách hàng chuyển từ siêu thị C sang siêu thị B C Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 X n=Pn X c/ Ta có : => Số lượng khách hàng siêu thị tháng thứ là: ( )( ) ( ) 0.8 0.07 0.083 200 244,72 X =P X 0= 0.1 0.9 0.067 500 = 476,66 0.1 0.03 0.85 300 278,62 *Mơ Hình Markov Ẩn: Một ví dụ Mơ hình Markov vẽ cầu từ bình ẩn Hình 2: Ví dụ ứng dụng Mơ hình Markov vẽ cầu từ bình ẩn Ở dạng rời rạc, quy trình Markov ẩn hình dung dạng tổng qt tốn urn với thay (trong mục từ urn trở lại bình gốc trước bước tiếp theo) Hãy xem xét ví dụ này: Trong phịng mà người quan sát khơng thể nhìn thấy có thần đèn Phịng chứa bình X1, X2, X3, bình chứa hỗn hợp bóng biết, bóng có nhãn y1, y2, y3, Thần đèn chọn lọ phịng rút ngẫu nhiên bóng từ lọ Sau đó, đặt bóng lên băng chuyền, nơi người quan sát quan sát trình tự bóng khơng phải trình tự bình mà chúng rút Thần đèn có số thủ tục để chọn bình; việc lựa chọn lọ cho bóng thứ n phụ thuộc vào số ngẫu nhiên lựa chọn lọ cho bóng thứ (n - 1) Việc lựa chọn bình khơng phụ thuộc trực tiếp vào bình chọn trước bình trước đó; đó, gọi q trình Markov Nó mơ tả phần Hình Bản thân q trình Markov khơng thể quan sát, có chuỗi bóng dán nhãn, xếp gọi "quá trình Markov ẩn" Điều minh họa phần biểu đồ Hình 2, nơi người ta thấy bóng y1, y2, y3, y4 vẽ trạng thái Ngay người quan sát biết thành phần Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 bình vừa quan sát thấy chuỗi ba bóng, ví dụ: y1, y2 y3 băng chuyền, người quan sát chắn thần đèn (tức trạng thái nào) thần đèn rút bóng thứ ba từ Tuy nhiên, người quan sát tìm thơng tin khác, chẳng hạn khả bóng thứ ba đến từ bình 1.1.4 Ma trận chuyển bước Gọi Pij xác suất mà quấ trình chuyển từ trạng thái j sang trạng thái i Từ ta có Pij > , ∞ ∑ Pij = , j=0,1,2,… i=0 Định nghĩa 1.2 Ma trận chứa xác suất chuyển đổi từ trạng thái i sang trạng thái j, Pij [ P00 P01 P = P10 P11 ⋮ ⋮ ⋮ ] gọi ma trận chuyển xác suất bước q trình Ví dụ 1.2 Xét tốn sau: Có hai cửa hàng A B, nghiên cứu cho thấy xác suất khách hàng cửa hàng A chuyển sang cửa hàng B sau lần mua sắm α(> 0) xác suất khách hàng của hàng B chuyển sang hàng A sau lần mua sắm β(> 0) Tính xác suất để người khách mua sắm hàng A sau lần mua sắm α B A 1-β β Hình 4: Ví dụ mơ hình Markov bước Giải: 1-α Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 Gọi P00 xác suất chuyển từ cửa hàng A sang cửa hàng A, P01 xác suất chuyển từ cửa hàng A sang cửa hàng B, P10 xác suất chuyển từ cửa hàng B sang cửa hàng A, P11 xác suất chuyển từ cửa hàng B sang cửa hàng B Dễ thấy, xác suất chuyển là: { P 00=1−α P10=α P01=β P11=1−β => P= [ 1−αα β 1− β ] 1.1.5 Ma trận chuyển n bước Gọi Pij xác suất chuyển từ trạng thái i đến trạng thái j sau n lần chuyển Nói rõ hơn, Pij(1) = Pij Định nghĩa 1.3 P (n ) = Pn P(n ) ma trận chuyển bước thứ n P ma trận chuyển bước thứ Chứng minh quy nạp: Ta biết định nghĩa với n = 1, giả sử định nghĩa với số nguyên dương n, ta được: n P = P×P×P×……×P n lần Chứng minh định lý với k = n + 1: Pij(n+1 ) = ∑ Pmi(n) P jm(1 ) = ∑ Pmin P mj = [ Pn+1 ]ij m∈ R m∈ R Theo quy nạp, định lý với n số nguyên dương 10 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 Hình 6: Ví dụ mơ hình Markov (n + 1) bước Lấy tốn Ví dụ 1.2, yêu cầu tính xác suất khách hàng cửa hàng B tiếp tục mua sắm hàng B sau lần mua sắm Cho α = 0.4 β = 0.7 P(4) = P4 = [ ] [ 0,6364 0,6363 0,6 0,7 = 0,3636 0,3637 0,4 0,3 ] => Như vậy, xác suất để khách hàng cửa hàng B quay lại mua sắm cửa hàng B sau lần P11(4 ) = 0.3637 Cho chuỗi Markov có trạng thái thuộc 0, 1, 2, Giả sử thời điểm n = 0, xác suất trình trạng thái i a i , i = 0, 1, 2, Xác xuất trình trạng thái i chuyển sang trạng thái j sau n bước chuyển là: Pij(n) = Pij(n) với Pij xác suất sau bước chuyển từ trạng thái i sang trạng thài j trình Xác suất trình trạng thái j sau n lần chuyển là: ∞ ∞ ∑ P( X ¿ ¿ i) ¿ × Pij(n) = ∑ × [ Pn ]ij i=0 i=0 Gọi: X (n) ~(n) X (n) =(~ , X , … ) xác suất phân phối trạng thái quy trình chuỗi Markov bước chuyển thứ n ∞ ~(n) (n) X i xác suất trình từ trạng thái i thành trạng thái j sau n bước chuyển ∑ X i Ở đây, ~ i=0 =1 Dễ dàng thấy được: X (n+1) = P X (n) 11 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 Và X (n+1) = P(n +1) X (0) Ta lại lấy từ ví dụ phía trên, n = 0, khách hàng cửa hàng B, ta biểu diễn thông tin bằng: X (0) ~(0 ) T T X (0) = (~ , X ) = (0 , 1) Điều xảy lần mua sắm thứ vị khách là: X (n+1) = P(n +1) X (0) = [ ] 0,6 0,7 × (0 , 1)T = (0,6363 ; 0,3637)T 0,4 0,3 Điều có nghĩa xác suất vị khách tiếp tục mua sắm cửa hàng B 0.3637 xác suất vị khách hàng chuyển sang mua sắm hàng A 0.6363 lần mua sắm thứ III ĐOẠN CODE TRÊN LATEX \documentclass{article} \usepackage[utf8]{vietnam} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{graphics} \begin{document} \textbf{Ví dụ} : siêu thị A, B, C có 200, 500, 300 hành khách ban đầu Sau tháng có 10\% khách hàng chuyển từ A sang B; 10 \% khách hàng chuyển từ A sang C ; 7\% khách hàng chuyển từ B sang A; \% từ B sang C ; 6.7 \% từ C sang B; 8.3 \% chuyển từ C sang A Hỏi lượng khách hàng siêu thị sau n tháng ? \\ Hình \\ Ma trận Markov \\ P= $\begin{pmatrix} 0.8&0.07&0.083\\ 0.1&0.9&0.067\\ 0.1&0.03&0.85 \end{pmatrix}$\\ $\rightarrow$ Dự đoán n tháng sau siêu thị có lượng khách hàng : \[ X_n = P^n X_0 \]\\ \end{document} 12 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 Ví dụ : siêu thị A, B, C có 200, 500, 300 hành khách ban đầu Sau tháng có 10% khách hàng chuyển từ A sang B; 10 % khách hàng chuyển từ A sang C ; 7% khách hàng chuyển từ B sang A; % từ B sang C ; 6.7 % từ C sang B; 8.3 % chuyển từ C sang A Hỏi lượng khách hàng siêu thị sau n tháng ? Hình Ma trận Markov P= → Dự đốn n tháng sau siêu thị có lượng khách hàng : X n=Pn X IV ỨNG DỤNG KHÁC CỦA MƠ HÌNH MARKOV Trong trị chơi Mơ hình Markov sử dụng nhiều game có yếu tố ngẫu nhiên (xúc xắc, đồng xu,…) Snakes and Ladders, Monopoly (cờ tỷ phú), cờ cá ngựa v.v Chúng ta sử dụng mơ hình Markov để tính xác xuất chiến thắng sau bước trò chơi Snakes and Ladders 13 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 -Giả sử ta có game Snakes and Ladders hình bên với luật chơi sau: +Trò chơi ô số 1, số lượt di chuyển tính theo số điểm mà bạn xúc xắc được.  +Cứ thực theo cách chơi Snakes and Ladders đến ô số 100 Người đến ô 100 trước người thắng.  (Trong tốn này, ta giả sử khơng có rắn thang để đơn giản tốn) -Như vậy, vị trí ban đầu người chơi biểu thị ma trận Markov biểu thị nước để đơn giản toán): , ma trận biểu thị bên (giả sử khơng có rắn thang Sau lượt đi, vị trí người chơi là: Có nghĩa có 1/6 tỷ lệ người chơi đến ô số 2, 1/6 tỷ lệ tới ô số Sau n lượt vị trí người chơi là: Bằng cách thay n vào phép toán trên, tính tỷ lệ vị trí người chơi sau lượt 14 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 Tiếp tục tính vậy, ta lập đồ thị thể xác xuất để kết thúc trò chơi với giả thiết trên: Có thể thấy, 50% người chơi hồn thành trò chơi sau 29 lượt Phù hợp với thực tế trung bình lượt chơi người ta tiến 3,5 bước phía trước Để tính trường hợp đầy đủ trị chơi, tức có rắn thang, ta cần thay đổi ma trận Markov biểu thị nước cho phù hợp Và tương tự trên, người ta sử dụng mơ hình Markov để tính tốn xác suất cho tất trị chơi có tính ngẫu nhiên khác 2.Trong khảo sát chuỗi trạng thái Như khảo sát trên, ma trận Markov dung để tính nhanh chuỗi trạng thái phức tạp Ví dụ 1: Tổng thống Mỹ kể cho người A việc có khơng tranh cử tuyển cử tới Nếu A thay đổi câu trả lời chuyển tiếp tới B B người chuyển tiếp cho C,vv luôn chuyển tiếp cho người Ta đặt xác suất a với người thay đổi câu trả lời từ có sang khơng truyền thơng điệp cho người xác suất b mà người 15 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 thay đổi từ khơng sang có Ta chọn trạng thái thơng điệp có khơng Ma trận chuyển cho trường hợp này: Bằng việc sử dụng cơng thức Yes No cuối , ta tính tỷ lệ câu trả lời Ví dụ 2: Cho hình sau biểu thị xác suất diễn thời tiết tháng Tính xác suất loại thời tiết ngày n, biết hôm trời nắng Ma trận mẫu ma trận chuyển cho trường hợp là: Với hàng biểu thị cho nắng, hàng cho mưa hàng cho mây Tiếp tục áp dụng cơng thức, ta tính xác suất thời tiết ngày n tháng 3.Chính sách thay thiết bị vật tự Ví dụ: Trong hệ thống điện kĩ thuật, thiết bị loại phân tình trạng sau đây: vừa thay, tốt, dùng bị hỏng Theo số liệu thống kê được, ta có ma trận xác suất chuyển trạng thái sau: 16 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 đó, sau tuần (xem hàng đầu ma trận P) có 0%, 80%, 20% 0% số thiết bị thay chuyển sang tình trạng thay, tốt, dùng bị hỏng Các hàng khác ma trận P giải thích cách tương tự Ta tìm phân phối dừng  phương pháp biết Xuất phát từ (n+1) = (n)  P, cho qua giới hạn hai vế n ta có:  =  P, hay  (I – P) = Do P ma trận đặc biệt (ma trận chuyển xác suất) nên ma trận suy biến Khi viết lại dạng hệ phương trình (4 ẩn, phương trình) ta phải loại bớt phương trình đi, thêm vào hệ thức 1+ 2+ 3 + 4 = ràng buộc k 0 (k = 1, 2, 3, 4) Kí hiệu x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 x4 = 4 ta có hệ: Vậy phân phối dừng  = [1/6 1/3 1/3 1/6] Giả sử chi phí thay thiết bị 25 nghìn (đồng) thất thu thiết bị hỏng 18,5 nghìn, tuần hệ thống trung bình thiết bị số tiền là: (1/6) 25 + (1/6)  18,5 = 7,25 nghìn / thiết bị / tuần Ta xét phương án thứ hai cho việc thay vật tư thiết bị với ma trận xác suất chuyển trạng thái sau đây: Ma trận tương ứng với sách thay vật tư thiết bị là: 17 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 thay thiết bị kiểm tra phát thiết bị tình trạng dùng Điều dẫn tới việc giảm thiểu thất thu thiết bị hỏng gây nên Thật vậy, ứng với ma trận P đây, phân phối dừng  = [1/4 1/2 1/4] Lúc này, tuần hệ thống trung bình thiết bị số tiền là: (1/4) 25 + (0)18,5 = 6,25 nghìn / thiết bị / tuần Như hệ thống tiết kiệm nghìn/ thiết bị / tuần Nếu hệ thống có 2000 thiết bị, nhờ sách thay vật tư mới, tuần hệ thống tiết kiệm triệu (đồng) Một ứng dụng trinh sinh-tử cho hệ thống hàng chờ Quá trinh sinh-tử ứng dụng rộng rãi Lí thuyết độ tin cậy, môn học ngành Điện / Điện tử, số ngành khoa học kĩ thuật khác Quản trị kinh doanh Vận trù học Quá trinh sinh – tử trường hợp riêng xích Markov thời gian liên tục, với không gian trạng thái S không đếm S = {S0; S1, S2,…, Sn, …} ma trận cường độ Q = [qij] có tinh chất qij = với | i – j | ≥ Điều có nghĩa việc chuyển trạng thái trinh sinh-tử tới “1 đơn vị lên xuống” (xem hình IV.3) Sơ đồ chuyển trạng thái trinh sinh – tử Từ trạng thái Sn thời điểm t hệ X(t) chuyển tới trạng thái Sn+1, Sn Sn-1 Vì có cường độ chuyển: µ0 = λ−1 = 0=q00, qn, n+1 = λn, qn, n−1 = µn qn, n = − (λn + µn) ∀n Trong trường hợp λn, µn > 0, ∀n > 0, theo định lí chứng minh, phân phối giới hạn tìm cách giải hệ: [π0 π1 π2 π3 …]Q = 0, với ma trận cường độ Q biết Ma trận chuyển vị Q có dạng: Ta có [ π0 π1 π2 π3 … ]Q = ⇔ QT [ π0 π1 π2 π3 … ] T = ⇔ 18 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 Hay: Do tinh chất đặc biệt, phân tích trên, ma trận cường độ Q trinh sinh – tử, hệ viết cách tường minh sau: Từ dễ tìm πn+1 = (λn/ µn+1) πn, ∀n = 1, 2, 3, để tới cơng thức tính πi, ∀i ∞ Với điều kiện ∑ π i = 1, cuối ta có: i=0 Đặc biệt µn = 0, ∀n, trình sinh-tử trở thành trình sinh 19 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 khiết(pure birth process) Quá trình sinh khiết với λn = λ q trình Pốt-xơng với tham số λ Ví dụ: Giả sử dịng khách hàng đến mua vé văn phòng bán vé với M quầy phục vụ dịng Pốt-xơng với tham số λ = khách hang / phút (điều có nghĩa khách hàng đến phòng bán vé với thời điểm đến tuân theo luật phân mũ với tham số λ = 6) Ngồi ra, cịn biết ngun tắc phục vụ FCFS (Frist come first serve) thời gian phục vụ quầy có luật phân phối mũ với kì vọng 1/3 (phút) Cần trả lời hai câu hỏi sau đây: - Số quầy hàng tối thiểu để hàng chờ không trở nên dài vô hạn - Giả sử Nt số khách hàng chờ hay phục vụ thời điểm t Chọn M = khách hàng chờ để phục vụ Nt ≤ 4, chờ với xác suất 0,5 Nt = cà bỏ Nt = Hãy xác định phân phối dừng q trình này? Trước hết, ví dụ có q trình sinh-tử với không gian trạng thái S = {S0, S1, S2, …,Sn,…}, Sn trạng thái văn phịng có n khách hàng Các cường độ chuyển λk = với k = 0, 1, 2, cịn µk = 3k với k ≤ M µk = 3M với k > M (điều biến cực tiểu biến ngẫu nhiên với phân phối mũ độc lập có phân phối mũ với tham số tổng tham số phân phối mũ tương ứng) Do λk/ µk+1 = 6/3M < (khi k ≥ M) nên với M ≥ thì: Bởi hàng đợi không dài vô hạn (nếu trái lại, chuỗi phân kì, π0 = π1 = π2 = … = 0, nên số khách hàng đợi dần tới số hữu hạn t → ∞ với xác suất = 0) Trong câu hỏi thứu hai, ta có λ0 = λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 6, λ5 = Theo công thức tính π0¿ 1/¿λk λk-1 … λ0 / µk+1 µk … µ1)) ta có π0 =12/89 Từ tính π1 = 24/89, π2 = 24/89, π3 = 16/89, π4 = 8/89, π5 = 4/89, π6 = 1/89 C LINK THAM KHẢO Snakes and Ladders: The nerdification of a children's favorite — Ilan Man Analysing Snakes and Ladders as a Markov Chain (scipython.com) Markov Chains - deparkes Xích Markov, du động ngẫu nhiên ứng dụng t.10 (Đặng Thị Thỏa) 20 Bài tập lớn đại số tuyến tính Nhóm 02 https://www.academia.edu/22879262/Ch%C6%B0%C6%A1ng_IV_PH %C3%82N_T %C3%8DCH_MARKOV_V%C3%80_%E1%BB%A8NG_D%E1%BB%A4NG? fbcli d=IwAR1nWWxEqqJd0WVnb4Ly6lfeopCBe7GPhQ7S99gQMHvodDAvda6o IYfZh- M 21