CÁC hàm KINH tế và ỨNG DỤNG

7/3/2016 Hàm cung hàm ầu CÁC HÀM KINH TẾ VÀ ỨNG DỤNG Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế • Các nhà kinh tế sử dụ g khái iệ hàm cung hàm ầu để iểu diễ phụ thuộ lượ g cung lượ g ầu ột loại hàng hóa vào giá hàng hóa đ • Hàm cung hàm ầu có g QS S p ; QD D p • Trong đ p giá hàng hóa; QS lượ g cung: tứ lượ g hàng hóa gười bán ằ g lòng bán ỗi ứ giá; QD lượ g ầu: tứ lượ g hàng hóa gười mua ằ g lịng mua ỗi ứ giá Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Hàm cung hàm ầu Hàm cung hàm ầu • Khi xem xét mơ hình hàm cung, hàm ầu nói ta giả thiết ằ g ếu tố khác khơng đổi • Quy luật thị t ườ g kinh tế họ nói ằ g, hàng hóa thơng thườ g, hàm cung hàm điệu tă g, hàm ầu hàm điệu giả Đồ thị hàm cung (hàm ầu) gọi đườ g cung (đườ g ầu) Giao điể đườ g cung đườ g ầu đượ gọi điể cân ằ g thị t ườ g • Trong kinh tế họ hiều gười ta vẫ gọi hàm gượ hàm QS=S(p) hàm cung hàm gượ hàm QD=D(p) hàm ầu: Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế QS  S ( p )  p  S 1 (QS ) Qd  D( p )  p  D 1 (Qd ) Bài giả g Toán cao ấp Hàm chi phí – Hàm doanh thu Ngu ễ Vă Tiế Hàm lợi huậ • Hàm chi phí: hàm số iểu diễ phụ thuộ tổ g chi phí sả uất (TC) vào sả lượ g (Q): TC  TC (Q) • Hàm lợi huậ : hàm số iểu diễ phụ thuộ tổ g lợi huậ vào sả lượ g (Q): • Hàm doanh thu: hàm số iểu diễ phụ thuộ tổ g doanh thu (TR) vào sả lượ g (Q): • Hàm lợi huậ xác đị h ởi    Q    TR(Q)  TC (Q) TR  TR (Q ) Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế 7/3/2016 Hàm tiêu dùng – Hàm tiết kiệ • Hàm tiêu dùng: iểu diễ phụ thuộ iế tiêu dùng(C) vào thu hập (Y): Hàm sả C  C Y  • Hàm tiết kiệ : Là hàm số iểu diễ phụ thuộ iế tiết kiệ (S) vào thu hập (Y): S  S Y  Bài giả g Toán cao ấp Hàm sả Ngu ễ Vă Tiế Bài giả g Toán cao ấp (a, b,  ,   0) Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Cấp số nhân ứ g dụ g • Đị h ghĩa: Cấp số nhân mãn điều kiệ : Ngu ễ Vă Tiế Các hàm khác • Mơ tả phụ thuộ sả lượ g hàng hóa (tổ g số lượ g sả phẩ hiệ vật) vào ếu tố đầu vào, gọi ếu tố sả uất, hư vố lao độ g… • Ngắn hạn khoả g thời gian mà hất ột ếu tố sả uất thay đổi Dài hạn khoả g thời gian mà tất ếu tổ sả uất thay đổi • Khi phân tích sả uất, ta quan tâm đế hai ếu tố sả uất quan t ọ g vố (Capital) lao độ g (Labor), đượ ký hiệu tươ g ứ g K L • Ví dụ: Hàm sả uất g Cobb-Douglas phụ thuộ vào ột hai ếu tố vố lao độ g: ột dãy số xn thỏa xn1  xn q, n  1,2,3 • Với q không đổi, gọi công ội ấp số nhân • Khi -1 AC (đườ g chi phí ậ biên ằ đườ g chi phí bình qn) • Nếu hàm chi phí bình qn giả MC < AC (đườ g chi phí ậ biên ằ đườ g chi phí bình qn) • Nếu hàm chi phí bình qn đạt ự t ị MC = AC (đườ g chi phí bình qn gặp đườ g chi phí ậ biên điể mà đườ g chi phí bình qn đạt ự t ị) Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế 7/3/2016 Cự t ị hàm kinh tế ột iế số • a) Tìm ứ sử dụ g lao độ g L để sả lượ g hoặ lợi huậ tối đa • Ví dụ Cho hàm sả uất Q=120L2-L3 (L>0) Hãy xác đị h ứ sả lượ g lao độ g để sả lượ g tối đa • Giải Q  120 L2  L3 ( L  0)  Q  240 L  3L2 ; Q  240  L; Q   240 L  3L2   L  80 (do L  0) • Lập ả g iế thiên ta có Q đạt giá t ị tối đa L=80 Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Cự t ị hàm kinh tế ột iế số • b) Tìm ứ sả lượ g Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi huậ tối đa • Ví dụ Cho hàm chi phí TC=Q3-130Q2+12Q (Q>0) Hãy xác đị h ứ sả lượ g Q để chi phí bình qn hỏ hất • Giải TC  Q  130Q  12Q  AC  Q  130Q  12 AC   2Q  130 2 AC    Q  65 • Lập ả g iế thiên ta có AC đạt giá t ị hỏ hất Q=65 Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Tích phân phân tích kinh tế • + Xác đị h hàm tổ g iết hàm ậ biên • + Xác đị h uỹ vố dựa theo ứ đầu tư • + Tính thặ g dư gười tiêu dùng thặ g dư nhà sả xuất Cự t ị hàm kinh tế • Ví dụ Cho hàm sả ột iế số uất gắ hạ Q  100 L3 ( L  0) giá sả phẩ p=5$ giá thuê lao độ g pL=3$ Hãy tìm ứ sử dụ g lao độ g lợi huậ tối đa • Giải TR  pQ  500 L3 , L  TC  pL L  3L   TR  TC  500 L3  3L, L     300 L2/3  3;     L2/3  100  L  100000 Lập ả g iế thiên ta có lợi huậ đạt giá t ị tối đa L=100.000 Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Cự t ị hàm kinh tế ột iế số • Ví dụ Cho hàm chi phí TC=Q3-8Q2+57Q +2 (Q>0) hàm ầu đảo p=45-0,5Q Hãy xác đị h ứ sả lượ g Q cho lợi huậ ự đại • Giải p  45  0,5Q  TR  pQ   45  0,5Q  Q  45Q  0,5Q   TR  TC   45Q  0,5Q    Q  8Q  57Q    Q  7,5Q  12Q     3Q  15Q  12 Q1  Q2      • Lập ả g iế thiên ta có lợi huậ Q=4 ự đại Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Tích phân phân tích kinh tế • Giả sử iế số kinh tế y mang ý ghĩa tổ g giá t ị (tổ g chi phí, tổ g doanh thu, tổ g tiêu dùng ) hàm số đượ xác đị h theo giá t ị đối số x: y=f(x) • Nếu ta iết đượ hàm giá t ị ậ biên M =f’ xác đị h đượ hàm tổ g y=f(x) thông qua phép tốn tích phân: y  f ( x)   f ( x)dx   Mydx • Hằ g số C tích phân ất đị h đượ xác đị h ếu ta iết giá t ị ột điể x0 đ : y0=f(x0) Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế 7/3/2016 Tích phân phân tích kinh tế Chú ý • Ví dụ Cho hàm chi phí ậ biên ỗi ứ sả lượ g Q MC=8e0,2Q chi phí ố đị h FC=50 Xác đị h hàm tổ g chi phí chi phí khả iế • Ví dụ Cho hàm doanh thu ậ biên ỗi ứ sả lượ g Q MR=50-2Q-3Q2 Xác đị h hàm tổ g doanh thu • Chi phí ố đị h chi phí Q=? • Chi phí khả iế = tổ g chi phí – chi phí ố đị h • Doanh thu Q=0 là? Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Xác đị h uỹ vố dựa theo ứ đầu tư • Giả sử lượ g đầu tư I (tố độ ổ sung) uỹ vố K hàm số iế thời gian t • Giữa uỹ vố đầu tư có ối quan hệ: I t   K 't  • Do đ ếu iết hàm đầu tư I(t) uỹ vố K(t) đượ xác đị h hư sau: • K  t   I  t  dt • Hằ g số C tích phân ất đị h đượ xác đị h ếu ta iết uỹ vố ột thời điể đ  Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Thặ g dư gười tiêu dùng • Cho hàm ầu Qd=D(p) hoặ hàm ầu đảo p=D1(Q ) Giả sử điể cân ằ g thị thườ g d (p0, Q0) lượ g hàng hóa đượ bán với giá p0 • Khi đ thặ g dư gười tiêu dùng đượ tính ởi công thứ : CS  1  D (Q)dQ  p0Q0 Bài giả g Tốn cao ấp Tích phân phân tích kinh tế • Ví dụ Cho hàm đầu tư I(t)=3t1/2 (nghìn đ la ột tháng) uỹ vố thời điể t=1 K(1)=10 (nghìn đ la) Hãy xác đị h hàm uỹ vố K(t) lượ g vố tích lũ đượ từ tháng đế tháng Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Thặ g dư nhà sả xuất • Cho hàm cung QS=S(p) hoặ hàm cung đảo p=S1(Q ) Giả sử điể cân ằ g thị thườ g s (p0, Q0) lượ g hàng hóa đượ bán với giá p0 • Khi đ thặ g dư nhà sả uất đượ tính ởi công thứ : PS  p0Q0   S 1 (Q )dQ Q0 Q0 0 Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Ngu ễ Vă Tiế Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế 7/3/2016 Giải Tích phân phân tích kinh tế • Ví dụ Cho hàm cung hàm ầu: QS  p  1 QD  43  p  • Hãy tính thặ g dư nhà sả dư gười tiêu dùng uất thặ g Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Hàm hai iế • • • • • • Cho không gian Ánh R2 tập hợp D thuộ f: D R  x, y  Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Hàm số hiều iế số R2 z  f  x, y  đượ gọi hàm số hai iế xác đị h tập D Mỗi ặp số thự (x,y) tươ g ứ g với ột số thự z=f(x,y) • Các iế số x,y iế số độ lập, iế số z iế số phụ thuộ vào x,y • f(x,y) giá t ị hàm số hai iế ứ g với ặp số (x,y) Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Bài giả g Toán cao ấp Hàm hiều iế kinh tế • Một số hàm quan t ọ g phân tích kinh tế: • Hàm sả uất • Hàm tổ g chi phí, tổ g doanh thu, tổ g lợi huậ • Hàm lợi ích • Hàm cung, hàm ầu Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Ngu ễ Vă Tiế Hàm sả uất • Hàm sả uất hàm g: Q=Q(K,L) • đ K vố , L lao độ g • Hàm Cobb-Douglas hàm sả uất g: Q  aK  L , • đ a, α, β hằ g số dươ g Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế 10 7/3/2016 Hàm lợi ích Hàm tổ g chi phí, tổ g doanh thu, tổ g lợi huậ • Hàm tổ g chi phí hàm TC=TC(Q) ếu tính theo ếu tố sả uất thì: TC=WKK+WLL+C0 • đ WK giá thuế ột vị vố , WL giá thuế vị lao độ g, C0 chi phí ố đị h • Hàm tổ g doanh thu hàm TR=PQ=PQ(K,L) đ P giá thị t ườ g sả phẩ • Hàm tổ g lợi huậ hàm TT=TR-TC Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Hàm cung, hàm ầu Bài giả g Toán cao ấp • Sinh viên tự tham khảo tài liệu QSi  Si ( P1, P2 , , Pn ) QDi  Di ( P1, P2 , , Pn ) Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Bài giả g Toán cao ấp Đạo hàm hàm hiều iế • • • • Ngu ễ Vă Tiế Giới hạ liên tụ hàm hiều iế • Giả sử thị t ườ g có n loại hàng hóa với giá t ị tươ g ứ g P1, P2,…,Pn Khi đ • Hàm cung: • Hàm ầu: • Người ta dùng iế lợi ích u để iểu diễ ứ độ ưa thích gười tiêu dùng ỗi tổ hợp hàng hóa ấu tiêu dùng Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi ột giỏ hàng Giả sử ấu gười tiêu dùng có ặt hàng ỗi giỏ hàng ột ộ ba số thự (x,y,z) Hàm lợi ích cho tươ g ứ g ỗi giỏ hàng với ột giá t ị hất u=u(x,y,z) Ngu ễ Vă Tiế Ma t ậ Hess • Giả sử hàm số n iế số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng ấp Khi đ , ma t ậ vuông ấp n Đạo hàm riêng ấp Vi phân ấp Đạo hàm riêng ấp cao Vi phân ấp cao  f x1x1   f xx H  21   f xn x1 f x1x2 f x2 x2 f xn x2 f x1xn   f x2 xn    f xn xn  gọi ma t ậ Hess hàm số Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng ấp liên tụ ma t ậ Hess ma t ậ đối ứ g Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế 11 7/3/2016 Ví dụ Đạo hàm hàm ẩ • Ma t ậ Hess hàm iế • Xem tài liệu f ( x, y, z)  x y z • ma t ậ  x y z 12 x y z 15 x y z    H  12 x y z 12 x3 y z 20 x3 y z  15 x y z 20 x3 y z 20 x3 y z    Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Cự t ị ràng uộ M ( x1 , x2 , , xn )  D f ( x1 , x2 , , xn )  , i  1, 2, xi ,n • Đ điều kiệ ầ để có ự t ị Điể thỏa mãn điều kiệ đượ gọi điể dừ g hàm số • Hàm số hỉ đạt ự t ị điể dừ g • Đ hỉ điều kiệ ầ , hưa phải điều kiệ đủ Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Điều kiệ đủ để có ự t ị • Ma t ậ Hess:  a11 a H   21    an1 a12 a22 an a1n  a2 n    ann  Bài giả g Toán cao ấp a1k a2 k akk , , Dn  • Điều kiệ đủ để có ự t ị: Giả sử M ( x1 , x2 , , xn )  D • điể dừ g hàm số f(x1,x2,…,xn) điể đ hàm số có tất ả đạo hàm riêng ấp hai liên tụ • Đặt: aij  2 f ( x1 , x2 , , xn ) (i, j  1, 2, xi x j , n) Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế Tiêu huẩ xét ự t ị • Xét đị h thứ chính: a11 a12 a21 a22 a11 a12 , , Dk  D1  a11 , D2  a21 a2 ak1 ak Ngu ễ Vă Tiế Cự t ị khơng có ràng uộ • Điều kiệ ầ để có ự t ị: Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác đị h có đạo hàm riêng theo tất ả iế độ lập D đạt ự t ị ( ự đại hoặ ự tiểu) điể Bài giả g Tốn cao ấp a11 a12 a21 a22 a1n a2 n an1 an ann Ngu ễ Vă Tiế • i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 M điể ự tiểu hàm số • ii) Nếu D10, …, (-1)n Dn>0 M điể ự đại hàm số • iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) tồ k cho Dk=0 hưa thể kết luậ ự t ị địa phươ g hàm số Hàm số đạt ự t ị hoặ không đạt ự t ị điể M Muố có đượ kết luậ ta phải sử dụ g phươ g pháp khác • iv) Trong t ườ g hợp khác M khơng phải điể ự t ị Bài giả g Toán cao ấp Ngu ễ Vă Tiế 12 7/3/2016 Áp dụ g cho hàm iế Ví dụ • Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng ấp liên tụ M(x0, y0) điể M(x0, y0) điể dừ g hàm số Ta đặt: A • • • • A B 2 f 2 f 2 f ( x0 , y0 ), B  ( x0 , y0 ), C  ( x0 , y0 ),    AC  B B C x xy y i) Nếu A>0, ∆>0 M điể ự tiểu ii) Nếu A0 M điể ự đại iii) Nếu ∆0 M(x0;y0) điể ự đại có điều kiệ hàm số • Nếu D0, D30 M điể đại có điều kiệ hàm số • Nếu D2