TL cơ sở TOÁN NGUYỄN THỊ NHÀN

Tiểu luận: Tìm hiểu về logic mệnh đề: Các phép toán trên mệnh đề, phép hội, phép tuyển, phép phủ định, phép tuyển loại, phép kéo theo, phép tương đương, công thức logic, công thức hằng đúng, tương đương logic, suy luận toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HUẾ KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TIỂU LUẬN MƠN HỌC: CƠ SỞ TỐN CHO TIN HỌC TÊN TIỂU LUẬN: TÌM HIỂU VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ GVHD: PGS.TS Trương Công Tuấn HVTH: Nguyễn Thị Nhàn Lớp: Cao học KHMT Gia Lai 2020 Gia Lai, tháng 1/2022 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU B NỘI DUNG CHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ I Mệnh đề II Các phép toán logic mệnh đề Phép hội Phép tuyển Phép phủ định 4 Phép tuyển loại Phép kéo theo Phép tương đương III Công thức logic IV CÔNG THỨC HẰNG ĐÚNG V TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC VI SUY LUẬN TOÁN HỌC VII MỘT SỐ QUY TẮC SUY LUẬN THƯỜNG DÙNG VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Phương pháp chứng minh trực tiếp Phương pháp chứng minh dùng phản ví dụ Phương pháp chứng minh phản đảo Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh xét tất trường hợp Phương pháp chứng minh quy nạp toán học CHƯƠNG CHỨNG MINH CÁC QUY TẮC SUY LUẬN THƯỜNG DÙNG 10 C KẾT LUẬN 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 A MỞ ĐẦU Sống xã hội, người không tồn cách lập mà ln có mối quan hệ với quan hệ với tự nhiên Cùng với ngơn ngữ, Lơgíc giúp người hiểu biết cách xác nhận thức tự nhiên đắn Trải qua q trình lao động, tư lơgíc người hình thành trước có khoa học lơgíc Tuy nhiên tư lơgíc hình thành cách tư lơgíc tự phát Tư lơgíc tự phát gây trở ngại cho việc nhận thức khoa học, dễ mắc phải sai lầm trình trao đổi tư tưởng với nhau, vấn đề phức tạp Lơgíc học giúp chuyển lối tư lơgíc tự phát thành tư lơgíc tự giác Khơng phải khơng học logic người ta tư thiếu xác, tư đắn hình thành kinh nghiệm, qua trình học tập, giao tiếp, ứng xử… Nhưng chưa phải thứ tư logic mang tính tự giác Và vậy, ta dễ tư sai lầm ngộ biện Chẳng hạn: Có người lập luận rằng: “Người tốt hay giúp người nghèo Ơng Ba hay giúp người nghèo Vậy ơng Ba người tốt” mà khơng hiểu lập luận sai Logic giúp ta nâng cao trình độ tư để có tư khoa học cách tự giác Nhờ đó, ta chủ động tránh sai lầm tư thân, ví dụ Logic công cụ hữu hiệu để, cần thiết, ta tranh luận, phản bác cách thuyết phục trước lập luận mâu thuẫn, ngụy biện, thiếu người khác Sau học xong môn học Cơ sở tốn cho tin học PGS.TS Trương Cơng Tuấn Em chọn nội dung Tìm hiểu logic mệnh đề để làm tiểu luận cho môn học Nội dung tiểu luận thể qua chương bao gồm: Chương 1: Tìm hiểu logic mệnh đề Chương 2: Chứng minh quy tắc suy luận thường dùng Do thời gian nghiên cứu có hạn nên tiểu luận chắn không tránh khỏi thiếu sót định Kính mong thơng cảm góp ý PGS.TS Trương Cơng Tuấn để hướng nghiên cứu tới em hoàn thiện đạt hiệu Em xin cảm ơn! Học viên thực Nguyễn Thị Nhàn B NỘI DUNG CHƯƠNG TÌM HIỂU VỀ LOGIC MỆNH ĐỀ I Mệnh đề Trong tiếng Việt có câu – thường câu tường thuật – mơ tả vật tượng Có câu mơ tả đúng, có câu mơ tả sai vật tượng Những câu thế, câu câu sai, gọi mệnh đề Ví dụ, câu sau: (a) Nam sinh viên; (b) Khí hậu trái đất nóng dần lên; (c) Bạn thất vọng bị thất bại bạn khơng khơng nỗ lực (Beverly Silis); (d) Nếu người vợ đẹp mà khơng phải thiên thần người chồng vô bất hạnh (J.J.Rousseau); mệnh đề Không phải câu hoặc sai Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán không mô tả nên khơng mà khơng sai Có câu tường thuật xác định hay sai Chẳng hạn, câu “Tơi nói dối” khơng thể đúng, không sai Những câu không đúng, không sai mệnh đề Các mệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề đơn Các mệnh đề tách thành mệnh đề đơn giản gọi mệnh đề phức Nói cách khác,mệnh đề phức tạo thành từ mệnh đề đơn Các mệnh đề (a) (b) mệnh đề đơn, (c), (d) mệnh đề phức Bởi vậy, lớp mệnh đề chia thành lớp con: lớp gồm tất mệnh đề lớp gồm tất mệnh đề sai Mỗi mệnh đề thuộc lớp nhận giá trị chân lý (kí hiệu 1) sai (kí hiệu 0) Chú ý: Logic 2-trị: Mỗi mệnh đề nhận giá trị: (đúng), (sai) Logic trị: Mỗi mệnh đề nhận giá trị: (đúng), (sai), ½ (chưa biết) Logic mờ: giá trị chân lý mệnh đề [ ] Ta ký hiệu mệnh đề p, q, r, sau ta gọi biến mệnh đề hay mệnh đề sơ cấp Các mệnh đề phức tạp tạo từ mệnh đề sơ cấp, việc thực nhờ phép toán mệnh đề: tuyển (˅), hội (˄), phủ định (‒ ¬), kéo theo (=>), tương đương (⇔) Tập mệnh đề với phép toán gọi đại số mệnh đề II Các phép toán logic mệnh đề Phép hội Hội mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p ˄ q, mệnh đề p ˄ q p q sai trường hợp lại Bảng chân trị mệnh đề p ˄ q là: p q p˄q 1 1 0 0 0 Phép tuyển Tuyển mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p ˅ q, mệnh đề sai p q sai trường hợp khác Bảng chân trị phép tuyển mệnh đề: p q p˅q 1 1 1 0 Phép phủ định Phủ định mệnh đề p, ký hiệu ¬ p ̅ mệnh đề có bảng chân trị: p ¬q 0 Phép tuyển loại (⨁) Phép tuyển loại hai mệnh đề p q, ký hiệu p ⨁ q, mệnh đề có bảng chân trị: p q p⨁ q 1 1 1 0 Phép kéo theo Cho p, q hai mệnh đề Mệnh đề p  q, đọc “p kéo theo q” mệnh đề sai p q sai trường hợp lại Bảng chân trị mệnh đề p  q p q pq 1 1 0 1 0 Chú ý: Trong số trường hợp, mệnh đề p  q sử dụng không quan tâm đến giá trị chân lý mệnh đề p, q cách đầy đủ, chẳng hạn mệnh đề sau: Nếu + = Hà Nội thủ nước Việt Nam Nếu + Hà Nội thủ đô nước Việt Nam Nếu + thành phố Hồ Chí Minh thủ đô nước Việt Nam Rõ ràng mệnh đề nhận giá trị chân lý đúng, mối liên hệ giả thiết p kết luận q không ăn khớp với Do để đảm bảo tính logic chặt chẽ mệnh đề, ta phải sử dụng mối quan hệ cho giả thiết p kết luận q phải có mối quan hệ xác định Phép tương đương Cho p, q hai mệnh đề Mệnh đề “p tương đương q”, ký hiệu p ⇔ q, mệnh đề p, q sai (nghĩa p q chân trị) p q p⇔q 1 1 0 0 III Công thức logic Công thức logic (hoặc đơn giản công thức) định nghĩa đệ quy sau: (1) Mỗi mệnh đề sơ cấp p, q, r,… công thức (2) Nếu P, Q cơng thức thì: ¬Q, P˅Q, P˄Q, PQ, P⇔Q, P⨁Q công thức (3) Công thức thành lập cách áp dụng số hữu hạn Quy tắc từ (1)-(2) IV CÔNG THỨC HẰNG ĐÚNG Công thức A gọi công thức (totologic) A nhận giá trị với giá trị chân lý có biến mệnh đề có mặt A Ví dụ: p ˅ ¬p cơng thức p ¬p 1 p ˅ ¬p 1 V TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC Hai công thức A, B gọi tương đương logic, ký hiệu A ≡ B, A ⇔ B công thức Các tương đương logic bản: 1) p ˄ ≡ p p˅0≡p (luật đồng nhất) p˄0≡0 p˅1≡1 (luật nuốt) 2) p ˄ p ≡ p p˅p≡p 3) ¬(¬p) ≡ p 4) p˄q ≡ q˄p (luật phủ định kép) p˅q ≡ q˅ p 5) p˄ (q˅r) ≡ (p˄q) ˅ (p˄r ) (luật phân phối) p˅(q˄r) ≡ (p˅q) ˄ (p˅r ) 6) p˄ (q˄r) ≡ (p˄q) ˄r (luật kết hợp) p˅(q˅r) ≡ (p˅q) ˅ r 7) ̅̅̅̅̅ ≡ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅ (luật De Morgan) ̅˄ ̅ 8) Một số tương đương logic khác: p˄ ̅ ≡0 p ˅ ̅ ≡1 (pq) ≡( ̅ ̅ ) (pq) ≡( ̅ ˅q) Chú ý: Việc chứng minh tương đương logic lập bảng chân trị lập luận qua giá trị chân lý VI SUY LUẬN TOÁN HỌC Suy luận diễn dịch (hoặc suy diễn): Suy luận rút mệnh đề từ hay nhiều mệnh đề có Các mệnh đề có thường gọi tiền đề mệnh đề rút gọi hệ logic Định nghĩa (Hệ logic) Giả sử A1, A2,…,An; B công thức Lúc đó: NếuA1˄ A2˄ …˄ An B cơng thức ta gọi B hệ logic A1, A2, …,An ký hiệu: VII MỘT SỐ QUY TẮC SUY LUẬN THƯỜNG DÙNG 1) (Quy tắc cộng) 2) (Quy tắc rút gọn) 3) 4) 5) 6)   ̅ ̅  9) 10) (Quy tắc kế luận ngược – Modus tollens)     ⇔ ̅ 7) 8) (Quy tắc kết luận – Modus ponens)   (Quy tắc đưa tương đương vào) (Quy tắc tách tuyển)    (Quy tắc tam đoạn luận)  (Quy tắc tách tuyển giả thiết) (Quy tắc hội kết luận) ̅ ̅  (Quy tắc phản đảo) ̅ 11) ̅ ̅ (Quy tắc phản chứng) Chú ý: Để chứng minh quy tắc: Ta chứng minh quy tắc AB mà không cần lập bảng chân trị Ta cần chứng minh A B phải VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Phương pháp chứng minh trực tiếp Để chứng minh mệnh đề B ta rõ B hệ logic tiền đề A1, A2,…,An Ví dụ: Chứng minh mệnh đề: “Nếu n số lẻ n2 số lẻ” Giả sử n số lẻ Khi n có dạng: n = 2k + Suy ra: n2 = 4k2+4k+1 = 2(2k2+2k)+1  n2 số lẻ Phương pháp chứng minh dùng phản ví dụ Giả sử cần chứng minh mệnh đề p sai Nếu ta tìm mệnh đề q trường hợp đặc biệt mệnh đề p mà q sai Lúc ̅ p  q Do theo quy tắc kết luận ngược  ̅ ̅ ̅ đúng, từ p sai Như để chứng minh p sai ta cần tìm trường hợp đặc biệt p sai, tức lấy phản ví dụ Ví dụ:Cho m,n sốtự nhiên tùy ý ≠ Chứng minh m+n ), tương đương (⇔) Tập mệnh đề với phép toán gọi đại số mệnh đề II Các phép toán logic mệnh đề Phép hội