Luận văn Phương pháp Newton nửa trơn trong chỉnh hóa thưa và ứng dụng sẽ nhắm vào việc hệ thống lại các kiến thức cơ sở liên quan, trình bày lại chỉnh hóa thưa và phương pháp Newton nửa trơn. Trong phần cuối luận văn sẽ trình bày về lập trình cho giải thuật này trong Matlab và một vài ví dụ số.
Trang 1
DO VIET LAN
PHƯƠNG PHÁP NEWTON NUA TRƠN
TRONG CHỈNH HÓA THƯA VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Trang 2
ĐỖ VIẾT LÂN
PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN
TRONG CHỈNH HÓA THƯA VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 8460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS PHẠM QUÝ MƯỜI
Trang 3'Tôi xin cam đoan luận văn này là cõng trình nghiên cứu tổng quan của tôi, các kết quả
trong luận văn này được tổng hợp từ những tài liệu có nguồn gốc rõ ràng dưới sự hướng dẫn của TS Phạm Quý Mười Vì vậy tôi xin khẳng định đề tài luận văn: Phương pháp Newton nia tron trong chỉnh hóa thưa tà tứng đựng không có sự trùng lặp với bắt kỳ đề
Trang 4Ngành: Toán giải tích
Họ và tên học viên: Đỗ Viết Lân
Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Tom tit:
1 Những kết quả chính
~ _ Đề xuất phương pháp Newton nửa trơn suy rộng cho phương trình
không liên tục một biến
~ _ Đề xuất phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán chỉnh hóa thưa ~ _ Chứng minh sự hội tụ của hai phương pháp trên
~ ˆ Đưa ra chương trình MATLAB vả áp dụng vào một số ví dụ 2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
~ _ Để tải có giá trị về mặt thực tiễn, ứng dụng tốt trong giải các phương
trình sinh ra từ các phương pháp chỉnh hóa
~ _ Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quan tâm
3 Hướng nghiên cứu tiếp theo của dé tài: Chỉnh sửa giải thuật dé thu được
dãy hội tụ toàn cục
Từ khóa: Phương pháp Newton nửa trơn, chỉnh hóa /,, chỉnh hóa thưa, chương, trình MATLAB cho chỉnh hóa thưa, chương trình MATLAB cho phương trình
không liên tục một biến
Xác nhận của giáo viên hướng dẫn Người thực hiện để tài
GE ZO, fue” Ps “Veil Lan Lực
fe 6
Trang 5application, i
Major: Mathematical analysis
Full name of Master student: Do Viet Lan
Supervisor: PhD Pham Quy Muoi
‘Training institution: University of Education Ỉ
Abstract
1 The major results of the master’s thesis
~ The thesis proposes an extension of semi-smooth Newton method for
one-variable equations, which are not continuous
- The thesis proposes semi-smooth Newton method for sparse regularization, - The thesis proves the convergence of the sequence in two methods above - The thesis provides MATLAB programs and applies it for some examples
2 The applicability in practice
- The results of this thesis can use to solve equations which appear in
sparse regularization
- This thesis can use as reference for mathematical student and other
people who interest
3 Subsequent research of the thesis: Research another extension of the semi- smooth Newton method to provide a global convergent sequence
Key words: Semi-smooth Newton method, /,—regularization, sparse regularization, MATLAB code for sparse regularization, MATLAB code for
non-continuous one-variable equations
Supervisor's confirmation Student
/ Lư —
Trang 6MỞ ĐẦU 1
CHƯƠNG 1 KIÊN THỨC CƠ SỞ 4
1.1 Không gian Banach 4
1.2 Không gian Hilbert 4 1:3 Cơ sở trực chuẩn 6 1.4, Hàm số và dao ham Fréchet " 1.5 Đạo hàm Newton và tính chất 13 CHƯƠNG 2.PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN VÀ CHÍNH HÓA THƯA 16 3.1 Phương pháp newton nửa trơn suy rộng cho phương trình không liên tục một biến 16 2.1.1 Đặt vấn đề 16
2.1.2 XAp xỉ nửa trơn cho hàm không trơn 17
2.1-3 Phương pháp Newton nửa trơn suy rộng, 23 2.2 Phương pháp newton nửa trơn trong chỉnh hóa thưa 24 2.2.1, Bai tốn tối tu khơng trơn trong chỉnh hóa thưa 25
2.2.2 Diều kiện tối ưu 2%
3.2.3 Một số bổ đề bổ trợ 30
3.2.4 Phương pháp Newton nửa trơn 34
CHƯƠNG 3 LẬP TRÌNH VÀ VÍ DỤ SỐ 39
3.1 GIẢI THUẬT NEWTON NỦA TRƠN SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH
KHƠNG LIÊN TỤC MỘT BIẾN 39
3.2 GIAL THUAT NEWTON NUA TRON CHO BAI TOAN TOI UU TRONG
"HÌNH HÓA THƯA 4
KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ 53
Trang 71 Lý do chọn đề tài:
“Trong khoa học kĩ thuật, khi nghiên cứu các mơ hình tốn người ta dẫn đến việc tìm nghiệm của phương trình
Kr=y (0.1)
với K là tốn tử từ khơng gian Hilbert # vào không gian Hilbert ?/' hơn nữa về phải
ta không được biết chính xác mà chỉ biết được xắp xỉ yŠ của ự với
ly-w <6 (0.2)
Thong thudng để giải Bài toán (0.1) — (0.2), người ta thường tìm nghiệm zŠ của phương
trình
KxŠ =ựỄ (0.3)
và xem như zŠ là nghiệm xắp xỉ của z
“Tuy nhiên cách tiếp cận này trong nhiều trường hợp không hoạt động được Chẳng hạn như khi Phương trình (0.3) không có nghiệm hoặc tổng quát hơn khi Bài toán (0.1)~ (0.2) là bài tốn đặt khơng chỉnh [8], đặc biệt là nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Khi đó, nghiệm của Phương trình (0.3) không phải là một xắp xỉ của nghiệm chính xác + cần tìm
Khi Bai toán (0.1)— (0.2) là bài toán đặt không chỉnh, ta cần dùng một phương pháp chỉnh hóa để giải Có nhiều phương pháp chỉnh hóa như chỉnh hóa thưa, chỉnh hóa Tikhonov [S|, chỉnh hóa biến phân [3|, Cơ sở để lựa chọn phương pháp chỉnh hóa phù hợp là dựa
vào những thông tin đã biết về nghiệm của bài toán Chẳng hạn khi bài toán có nghiệm
thưa ta sử phương pháp chỉnh hóa thưa f, Sử dụng phương pháp chỉnh hóa thưa dẫn đến việc tìm nghiệm của bài toán
min f(z) + À S2 |zn| nea
trong đó khong gian Hilbert 1 6 cơ sở trực chuẩn {e„}„ca, Zn = (z,e„) và ƒ(z) thường
là gIKz —#|É
Trang 8phương pháp kể trên, phương pháp Newton nửa trơn có tốc độ hội tụ bậc hai nhanh [1]
Với những tìm hiểu về phương pháp Newton nửa trơn, tôi chọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN TRONG CHỈNH HÓA THƯA VÀ ỨNG DỤNG" để làm luận văn của mình
2 Mục tiêu nghiên cứu:
Luận văn sẽ nhắm vào việc hệ thống lại các kiến thức cơ sở liên quan, trình bày lại chỉnh hóa thưa và phương pháp Newton nửa trơn Trong phần cuối luận văn sẽ trình bày về lập
trình cho giải thuật này trong Matlab và một vài ví dụ số
3 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và thực tiễn Có thể sử dụng luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quan tâm
4 Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được dự Kiến như sau
CHUONG 1 KIỀN THÚC CƠ SỞ 1.1 Không gian banach
1.2 Không gian hilbert
1.3 Cơ sở trực chuẩn
1.4, Ham số và đạo hàm fréchet 1.5 Dao ham newton va tính chất
CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỦA TRƠN VÀ CHỈNH HÓA THƯA
2.1 Phương pháp newton nửa trơn suy rộng cho phương trình không liên tục một biến
2.1.1 Đặt vấn đề
3.1.2 Xấp xỉ nửa trơn cho hàm không trơn 2.1.3 Phương pháp Newton nửa trơn suy rộng,
2.2 Phương pháp newton nửa trơn trong chỉnh hóa thưa 2.2.1 Bai toán tối ưu không trơn trong chỉnh hóa thưa 3.3.2 Diều kiện tối ưu
2.2.3 Một số bổ đề bổ trợ
2.2.4 Phương pháp Newton nửa trơn
Trang 93.1 Giải thuật newton nửa trơn suy rộng cho phương trình không liên tục một biến
Trang 10
Trong chương này, luận văn trình bày một số định nghĩa và định lý của giải tích hàm
có liên quan đến luận văn Trình bày các kiến thức chuẩn bị, gồm khái niệm không gian Banach, không gian Hilbert, cơ sở trực giao, hàm khả vi Fréchet, dao ham Fréchet, ham liên tục Lipsehitz và đạo hàm Newton
1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn) Cho X là một không gian vectơ trên K va
||- ||: X > R là một hàm số thỏa man:
1 Vz€ X: |lz|| >0; |lz|[ = 0 khi và chỉ khi z = 0 2 JJAzll = lA| llz|| với mọi À € K z € X
3 lIr+ w|l < |lzll+ llu|| với moi x,y € X
Khi đó cặp (X; || - ||) được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn hay gọn hon là không
gian định chuẩn và hầm số || || được gọi là một chuẩn trên X
Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ theo chuẩn) Cho (X, ||: ||) là một không gian định chuẩn
Dãy (z„)„ C X hội fụ đến z trong không gian X nếu lim ||z„ — z|| = 0
Định nghĩa 1.1.3 (Dãy Cauchy) Cho (z„)„ là dãy trong không gian định chuẩn (AX, ||) (z„)„ là một đãy Cauchy nếu ||z„ — z„|| + 0 khi m,n + oo
Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach) Cho (X, ||: |) là không gian định chuẩn Nếu mêtric sinh từ chuẩn đ(z,y) = ||z — w|| trong X cùng với X tạo thành không gian mêtric đầy đủ thì X được gọi là không gian Banach
Nói cách khác, một không gian định chuẩn (X, ||: ||) được gọi là Banach nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc X
1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.2.1 (Tích vô hướng) Cho #f là một không gian vectơ trên trường số thực R Tích vô hướng trên /f là một ánh xạ (-,:) : H x HH — TR, xác định như sau:
Trang 111) Với mọi z € H, ta có (z,z) > 0 Ngoài ra, (z,z) = 0 © z = 0
3) Œ.v) = (u,z) Yr.u € H
3) (e+ 2,y) =
x.y) + (zy) Weezy € H 4) (Ary) =A(a,y) Ve,u€ H,VÀ €R
$6 thu (x,y) duge goi la tích vO hung ciia hai vecto x va y Cap (H, (.,.)) dutge goi là
không gian tién Hilbert
Định lí 1.2.2 (Bất đẳng thức Schwarz) Với mọi x, trong không gian tiền Hilbert H ta
luôn có bắt đẳng thức sau đâu
Lứ,w) Ÿ < (.z) - (w.w) (1.1)
Trang 12lle + yl? =e +2 ty)
= +) + 2,0) + (ụ 0)
= lElÊ +2, w) + lll? < IIelẺ + 2Izlllll + IIulÉ = (lel + llwlẺ
Suy ra ||x + yl] < llx|] + |lyl] Như thế || - || là một chuẩn trên H n
Nhận xét 1.2.4 Do Định lý 1.2.3, ta thấy một khong gian tién Hilbert H 1A mot không,
gian định chuẩn với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng được cho bởi công thức (1.2)
Định nghĩa 1.2.5 (Không gian Hilbert) Mot không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với
chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert 1.3 Cơ sở trực chuẩn
Định nghĩa 1.3.1 Cho #7 là một không gian tiền Hilbert, S và Af là các tập con của
1H Ta có các định nghĩa san day:
1) Hai phần tử z và y thuộc ïƒ được gọi là frực giao với nhau, ký hiệu là x L , nếu (x,y) =0
2) Ta nói vectơ z trực giao với tập M nếu x L ự với moi y € M,
3) Af* là tập gồm các phần tử z trực giao với AM
4) Mot he S CH goi la hệ trực giao nếu hai phần tử khác nhau bất kì của Š trực giao
với nhau, tức là, với mọi z, ý € S vax #y tacé x L
5) Cho S là một hệ trực giao Nếu mọi phần tử của Š đều có chuẩn bằng 1 thì ta gọi
S là hệ trực chuẩn
Dinh If 1.3.2 Néwn phan tit 2.22,
thite Pythagore x, tao thành một hệ trực giao thì ta có đẳng
Trang 132 i ~ (Sedo) > ( ) a 1 \jat = > ez > laall? ñ
Định lí 1.3.8 Cho {zị,za } là một hệ trực giao đếm được trong không gian Hilbert #Á Diều kiện cần tà đủ để chuỗi 3` z„ hội tu là chuỗi Š` |(z„||? hội tu va lúc đó ast net
Sụ =1 +1 + +,
3 oo
=> lal?
Le Chitng minh, Ta dat
On = lleall? + lleall? + - + llra|Ể- Khi đó ta có lập lân = >2 li? = lơnsy isnt — ol ISn4y— Sull? = 'Từ đẳng thức này ta thấy (S„)„ là dãy Cauchy trong ?ý khi và chi khi („,)„ la day Cauchy trong R
Vì và R là những không gian đầy đủ nên (S,)„ là dãy hội tụ trong #í khi va chỉ khi
(on)u là dãy hội tụ trong Et Điều này có nghĩa là chuỗi ŠÖ z„ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi at
Trang 14va (Ag) là day số thuc Ta cd chudi 3% Ayen hoi tu vé x € H Khi va chỉ khi Š |Ày|* hội net = tu va
ll? = al
Chứng mình Để chứng mình hệ quả này ta chỉ cần áp dụng Định lý 1.3.3 cho hệ trực Aseu Khi đó ta có chuỗi 3` A„e„ hội tụ về z € ?( khi và
chỉ khi 32 ||Auea|2 hội tụ Hơn nữa {e„.n = 1,2 } là hệ trực chuẩn nên ||e„|| = 1 suy ti giao {z„,n = 1,9, } với ra [[Anenll = |Àu|- Do vậy chuỗi 3 A„e„ hội tụ về z € ý khi và chỉ khi 3` |A,|? hội tụ và > Izl nền 2 => IAsel# = Ð 2 làa|” oo ñ Định nghĩa 1 1,2, } là một hệ trực chu
5 (Chuỗi Fourier) Cho 1 la khong gian Hilbert va = {e„,n = Cho x là một vectơ trong 2í Ta lập chuỗi hình thức sau đây Seder (1.3) T
gọi là chuỗi Fourier của vectơ z đối với hệ trực chuẩn E, các số (z.en) gọi là hệ số Fourier:
thứ n của z đối với hệ E
Định lí 1.3.6 Giả sử E = {e„.n € Ñ} là một hệ trực chuẩn trong không gian HiberL %4 Khi đó uới mọi z € 1M chuỗi Fourier (1.3) của nó luôn h6i tu trong H va ta có
>1.) < lirlP i=
Dinh lí 1.3.7 (Định lý hình chiếu true giao) Gid sit M la mét khong gian con déng ciia
khong gian Hilbert H Khi dé méi phan tử z € ?( đều tồn tai duy nhat cap (y, z) trong do
y€M waz € M+ sao cho
z=u+z
trong đó là uectơ thỏa mãn điều kiện ||z ~ y|| = |l2|| = inf {\lz — ull} = dự M) aen
Ching minh, Dat d= d(z,M) = inf, infimum sé
tồn tại dãy (yn)n trong M sao cho
— w|l} Khi đó theo tính chất củ
Trang 15
AM Ấp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai vectơ „ — z và , = z với mm,n € Ñ ta có I? + llw — z|Í) (1.4) Um + Yn — 22]? + [lm — Yn? = 2U (em — Do M là không gian con nen “= € Aƒ, Them vào đó, do d = inf {llr ~ ull} nên 2 | Yate _ ol) > Lite nay, từ đẳng thức (1.4), ta có IP + lym — (|?) — llum + wa — 2z| =2(llun —#‡ < 2(lun = #lŸ + lu, — #lP) — 4É 0 < llum — a Cho m,n — 00 ta c6 2(||ym — z|Ï + |Ïy, — z|Ê) — 4d? —> 0 nên |lw„ — wa|| => 0 Vay (Yn)n là đãy Cauchy Hơn nữa A/ là không gian đầy đủ nên tồn tại € Af sao cho lim ạ = Từ đó ta có lz — yll d= lim |x ~ yall =
Bay giờ ta đặt z = z — ự hay z = ự + z Ta chỉ cần chứng minh rằng z € M+ Thật vay,
giả sử u € Aƒ và u # 0 Với mọi a € R ta có ý + au € Aƒ nên lel)? = llz = ll? < Ile = (y+ au) |? =llz— au|# = Œ~ qu,z = quỳ = |? ~ 2a (e,u) + a#llu|Ÿ Chọn a = ="), ta06 " Izlf < lle? - SS La) en lull?
Do đó | (z,u) | < 0 suy ra (z,u) = 0 với mọi u € M, tức là z € Af+
Bây giờ để chứng minh tính duy nhất ta giả sử có y,y/ € M va z,2’ € M+ sao cho x=u+z=W+ Khi đó ụ — y'= z' — z € Á MT nên (y — /, — ý) = Như thế = w và z = a
Định nghĩa 1.3.8 (Cơ sở trực chuẩn) Cho E = {en,n = 1, } là hệ trực chuẩn hữu
hạn hay đếm được của không gian Hilbert # Ta nói E là cơ sở trực chuẩn hay hệ trực
Trang 16mệnh đề sau tương đương 1) E là cơ sở trực chuẩn 8) Mọi ucctơ z € ?( được khai triển thành chuỗi Fourier của nó z = Ÿ" (z,c) cị 8) Với mọi z,ụ € 1 ta 6 (x,y) = ŠŠ (6) (v.e)) & 4) Với mọi z € ®H ta có |lr|? = 3| ,cð P h Chứng mình
1) 2) Theo Định lý 1.3.6 ta có chuỗi Fourier của z luôn hội tụ trong ?í Ta dat y = 3) (.e¡) c¡ và sẽ chứng mình = 0 Với mỗi mm € Ñ ta có a (ys €m) = (&,€m) = ei) (em) = (em) — (,em) (6m, 6m) Do đó
Gọi Af là không gian con sinh bởi E Với mọi z € Af ta có
(yz) = 3 3e) =0 y1 z2 w L Á a € AM, Do A là không
Trang 17
4) +1) Goi M là không gian con sinh bởi Z Do Ấf là không gian con đóng của ?( nên theo Dinh lý 1.3.7 ta có
H=MeM*
Do đó ta chỉ cần chứng mình W7* = {0} That vay, voi moi z € I~ ta có
z Lu véi moi u € M Dac biét z 1 €, nén (2, = 0 với mọi n Từ đẳng thức 4)
ta có
Vitel?
Vay H = M nên E là cơ sở trực chuẩn của ?í
1.4, Ham số và đạo ham Fréchet
Định nghĩa 1.4.1 Cho X,Y là hai không gian định chuẩn Toán tử ƒ: X + Y duwe
gọi là liên tục tại zọ € X nếu với mọi e > 0, tồn tại ổ > 0 sao cho với mọi z € X mà
llz — zo|| < ổ ta đều có ||ƒ(z) — ƒ(ze)|| < e
Nhận xét 1.4.2 Ta có thể định nghĩa toán tử ƒ liên tục tai ro theo một cách khác “Toán tử ƒ được gọi là liên tục tại zọ nếu mọi dãy (z„) mà z„ — x9 thi ƒ(z„) => ƒ(zo) Định nghĩa 1.4.3 Toán tử ƒ được gọi là liên tục trên X nếu ƒ liên tục tại mọi zạ € X
Định nghĩa 1.4.4 Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường #Ý, ta nói
ƒ: X —> Y là toán tử bị chặn nếu tồn tại số Af sao cho ||ƒ(z)|| < A||z|| với mọi z € X
Định nghĩa 1.4.5 Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường #, ta nói ánh
xạ ƒ: X + Y là ánh zạ tuyến tính (toán tử tuyến tính) trên không gian định chuẩn V'
nếu với mọi z, € X, với mọi a € K ta có 1) ƒ(z + w) = ƒ(z) + ƒ(w)
2) flax) = af(z)
Định lí 1.4.6 Cho X,Y là hai không gian định chuẩn uà ƒ: X —x Y' là toán từ tuyến tính Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
1) ƒ liên tục trên X
Trang 183) ƒ liên tục tai 0
4) ƒ bị chăn
Chứng minh 1) => 3) Điều này hiển nhiên theo định nghĩa toán tử liên tục trên X
2) = 3) Giả sử có đây (z„) mà z„ —> 0 Khi đó z„ + zọ => zo nên theo giả thiết ƒ liên
tục tại zọ ta có ƒ(#„ + #o) => ƒ(zo) Do ƒ tuyến tính nên
f(an + 20) = f(tn) + f(z0) > F(z0)-
Suy ra ƒ(z,) + 0 Từ đó ƒ liên tục tai 0
3) = 4) Theo định nghĩa, do ƒ liên tục tại 0 nên với e = 1 tồn tại ổ > 0 sao cho nếu + € X và |z|| < ổ thì ||ƒ(z)|| < 1 Bây giờ với mọi z € X, z # Ú ta có | | =$<s I Ga) |= 2 l : Do ƒ tuyến tính nên ta có ||ƒ(2)|| < 3 |z||- Mạt khác đẳng thức này hiển nhiên đúng khi + =0 Vậy ta có ƒ là toán tử bị chặn nên 4) = 1) Giả sử (z,) là dãy bất kì ma x, + x € X Do 4) ta có
IIf(zs) ~ ƒ)l| = l̓(œa — #)|| < Milzs — z|| + 0 khi n —> so
Do dé f(r») => ƒ(z), nghĩa là f liên tục trên X o Định nghia 1.4.7 Cho X,Y la hai khong gian định chuẩn và toán tử ƒ: X => Y' được gọi là Lipschitz nếu có một hằng số đương E sao cho
|I/(z) = f0)|ly < #llz = w||x
với mọi z, € X
Định nghĩa 1.4.8 Cho V và IW là không gian Banach, và U C V là một tập con mở cia V Mot him f: U => IV được gọi là kha vi Fréchet tai x € U nếu tồn tại một toán
tit tuyén tinh bi chan A: V > W sao cho
lạ ƯŒ +8) = ƒŒ) = AG)h|
Trang 191.5 Dao ham Newton va tinh chat
Dinh nghia 1.5.1 Cho X va ¥ Ia cdc khong gian Banach va U C X là một tập con mổ Một ánh xạ ƒ: => Ÿ' được gọi là kha vi Newton tai x € U nếu tồn tại một ánh xạ
F:U + £(X,Y) sao cho
Jim [fe +h) = f@) ~ Fe + Willy _ 9 (15)
khô Wally
trong đó £(X, Y) la tap cdc ham tuyén tinh lién tue tit X vao Y Khi d6 F duge gọi là
một dao ham Newton cia f tai 7
Chú ý 1.5.2 Hàm ƒ đạo hàm Newton tai moi điểm được gọi là ham Newton nita trơn
Chú ý 1.5.3 Nếu hàm số ƒ có đạo hàm cổ điển ƒ liên tục trên tap mé U thi ƒ là hàm nửa trơn trên Ứ và đạo hàm Newton của ƒ là ƒ'
“Thật vậy, với mọi z € Ứ, ta có oc Meth) Tận #œ+h)h| J/Œ +") = ƒœ) = fœ)h|| [All Vậy ƒ là hàm nửa trơn trên U va có một đạo hàm Newton la F = f’ + llƒ() = f'(œ + h)|| => 0 khi h —> 0
Bồ đề 1.5.4 Lấy U C #4 là một tập md va gid sit ning Jz U CH > H la ham kha
vi Fréchet va dao ham ctia né lién tuc Lipschitz trong một lân cận của u € U Giả sử HH kha vi Newton tai J(u) vdi dao ham Newton la y Hon nita, |\x(u)|| bi chan đều Khi đó, hàm hợp T: ?Á — 1Á được cho bỏi công thức
Tíu) = 0(J()) khả vi Newton tai u vdi dao ham Newton la
H(u) = x(J(u)) J(u)
Chứng mình Hàm J có đạo ham Frechet liên tục Lipschitz tai u nén J(u + h) = J(u) + J'(u)h + r{h)
- mm +
với |r(h)| < g|B|8 Thật vậy, ta có
Trang 20Ệ Ƒ{u + t.h)h dt — J'(u)h| 1 = lí (7w +t.h) = 20)4l|, hạ
Do J’ la Lipschitz nén |J'(w + £.h) — J/()|| < LI[(u + £.h) — ull = Lilt Suy ra
incon < [ rltlPrat = II, Đặt k(h) = J'(u)h + r(h) và rút gọn ta có |T(u + h) — T(w) — H{u + h)h|| = llứ(J0) + k(h)) — ý(J(w)) — x(2(w) + k(h))J/(w + h)h|| < llU(2(w) + k(h)) = U(2(w)) = x(2(u) + k(h))k(h)|| + Ix(7() + k(h))(J'(u + h)h = k(i))|)-
Mặt khác
Indo) + ROD) + AY ~ KCI
= lina) + ROCA a+ AYR = Hladh — 0) < In(Hu) + RA (lu 8) = oA + rH) <i) + 44H (t+ 5) Do đó ta có Tí + h) = Tu) = Hứu + h)h| II <ll#(J6) + k(h)) = #(70)) = x(J@) + k(B))&(8)|| JIk(h)l| ~ Ix0)|| [all (ate) + a (z+ 3)
Cho ||ñ|| => 0 thi k(h) + 0, Lúc này do tý khả vi Newton tai J(u) nen
tim We) + K(A)) = YI (u)) = xu) + A) ROI _ g,
whl-0 lkœ)||
Mặt khác ||k(h)|| < |Ì2”(w)|||IFll + llr(5)|| nên
Trang 21Tite là = bị chặn khi ||h|| tiến đến 0 Hơn nữa theo giả thiết ta có ||x(u)|| bị chặn
đều nên |(J(w) + k(B))| bị chân Do đó im, TT; =0 Bỏ
Trang 22CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON NỬA TRƠN VÀ CHỈNH HÓA THƯA “Trong chương này, luận văn nghiên cứu phương pháp Newton nửa trơn cho hai bài toán sau đây
1 Phương pháp Newton nửa trơn suy rộng cho phương trình không liên tục một biến; 3 Phương pháp Newton nửa trơn cho bài toán tối tru trong chỉnh hóa thưa
2.1.Phương pháp newton nửa trơn suy rộng cho phương trình
không liên tục một biến
Nội dung ở phần này được lấy từ bài báo [1] do tác giả và các thành viên trong nhóm nghiên cứu thực hiện 2.1.1 Đặt vấn đề Trong mục này, luận văn nghiên cứu phương trình không trơn trong [3] 1 x= Hy (« - +r) 2a) hay F(2):=2- Hao (= - 0) eles trong d6 Hy : R > R dinh nghia bai Ae) = E nếu |z| < VẬ, (2.2) + nếu|z|> VÀ Ở đây s > 0 là một số thực cho trước và ƒ € C!(R), tức là ƒ là một hàm khả vi liên tục trên R
Chú ý rằng các hàm #f và không liên tục trên R vi ham Hy khong lien tục tại z = VX (xem Hình 2.1) Vì thế các phương pháp số thông thường như phương pháp dây cung,
phương pháp Newton, tựa Newton, không thể áp dụng được [11, 6, 7]
Trang 23
Hình 2.1: (a): DO thị hàm #a(z) và (b): F(z) với A = 0.01
« Trước hết, ta xấp xỉ các hàm Hy va F (khong liên tục, không khả vi) bởi các hàm số P{ và F;„ tương ứng © Sau đó thực hiện vòng lap: Chọn day {en} { 0,29 € R va tinh Fey (n)- (2.3) Tas = Œ
Chú ý rằng, nếu Ƒ là hàm liên tue Lipschitz thi (2.3) chính là vòng lặp Newton trơn hóa [11, 6, 7) Ở đây, hàm số Ƒ' được cho ở (2.2) là hàm không liên tục nên kết qua sau day là mới và là một sự mở rộng của các kết quả trong [11, 6, 7] “Trong các mục tiếp theo, luân văn sẽ đưa ra điều kiện cho day en} và chứng mình sự hội tụ địa phương của vòng lặp (2.3) cho phương trình (2.2) 2
Xấp xỉ nửa trơn cho hàm không trơn
“Trước hết, ta trình bày một tính chất quan trọng cho nghiệm z* của phương trình (2.2)
Tinh chất này được phát biểu trong bổ đề sau:
Bé dé 2.1.1 Cho f € C'(R) vas > 0 Vai méi x" € R néu F(x*) = 0 thì một trong hai trường hợp sau zảu ra:
(1) 2 =0 (2) lr|> %
Chứng mình Giả sử |r"| < v3 Ta sẽ chứng mình z* = 0 That vay, tit F(x") = 0 ta có
Trang 24Khi đó Mâu thuẫn này cho ta Bồ đề được chứng minh a
Tiép theo ta đưa ra một phương pháp xấp xỉ các hàm số khéng lién tuc Hy va # bởi các
Trang 251) P{(@) và F(z) là các hàm số liên tục tà khả ti Neuton trên R tới các đạo hàm Newton twang ứng là 1 {Glo sếur|<và (P{@)'= { * nếu [x] > VX" (2.4) fre xenescryy néu 1x) < 7 (my =} : =, (25) =f") nếu |X,| > y= ở đây (ey! = là đạo hàm của hàm số G va X, = X,(z) " t0) 2) Với mọi z € R ta có 1m PỆŒ) = 1z), lim F(z) = F(a)
Chứng mình 1) Với mỗi zạ € R ta có các trường hợp sau:
+ Nếu |zạ| > v^ thì với mọi h # 0 đủ bé, ta có |zạ + h| > v^ Khi đó
|P4(o + h) — P{(zo) — (Px (ao + h))'-h| = xo + h — zạ — 1.h| = 0 LÄŒa + h) = P{Œn) = (P§(o + h))-h| (al + Nếu |zạ| < v^ thì với mọi h # 0 đủ bé, ta có |zạ + h| < VX Khi đó Do đó —> 0 khi h —> 0 |PŒo + h) — P{(o) — (P§(zạ + h))-h| =|GÄ(Œạ + h) — Gã(œa) ~ (Gã(zạ))-h + (Gã(œa)}'-h — (Gã(œạ + h)) -h| <|Gf(a + h) = GẤ(œa) = (Gá(zo)) h| + |(GA(zo)}ƒh — (G5 (wo + h))'.h|
Trang 26=0
Từ đó, suy rà lim LPÃŒ6 +) = Pu) = (PýGe + VỊ _ g khô TA]
+ Néu |zo| = VX thi ta xét cdc gidi han mot phia Khi h —> 0* và |zo + h| < VX thi
tim Pile + 8) = P50) = (Pa + R))-h|
noe TA
tim [Galo +h) ~ G5(z0) = (Gã(zạ + h)Y-h| = Tim Gao 8) ~ Gato) ~ (Gato FAI aoe Al = 0 Khi h —> 0° và |zo + h| > VX thi Em ÍPŒa+B) = P(Œn) = (Pico +1)", to t= 20 — nor Ih| hoor Ih| Như vậy ta luôn có (is + B)J-h| — 0 a “Tương tự ta cũng chứng minh được AM _ 9, = lhị “Từ đó suy ra ho [Al
Điều này có nghĩa là P{(z) khả vi Newton và (P§(z))' được cho bởi (2.4) Theo công thức
đạo hàm Newton của hàm hợp trong Bồ đề 1.5.4, ta có Fie)=1~(r~ tre) (%( ‡/6))- Ấp dụng kết quả (2.4) ta có ngay kết quả cần chứng minh 0 2) Ta xét hai trường hợp sau: © Néu |x| > VÀ thì P§(z) = 2 = Hal
© Nếu |z| < vÀ thì P§(z) = G{(z) Vì A — z2 > 0 nên khi e => 0* thì G{(z) > 0
Như vậy ta có lim P{(z) = Ha(z),Vz € R Từ kết quả trên ta có
Trang 27
ñ
Bồ đề 2.1.4 Cho U la mét tap con cia R Néu0 < A< f"(x) < Bx EU thì 3sạ > Ú
sao cho We € (0;€9) ta ludn 06 0 < my < |Fi(x)| < m2, Vx EU Chứng mình Theo Bé dé 2.1.3 ta cé 1—X/@)M nếu |X,(ø)|< v22 (R@)= 4, Gio trong dé M duge dinh nghĩa bởi: c0) nếu |X,(¢)] > (X(ny? - 2 R Meee (1+2.c.e") Nếu |X,(z)| > y= thi (F.(x))! = i f"(a) Do đó 0<Ê<(E@)ý <5 Nếu |X,(z)| < 4/22 th (F,(ø)j' = 1— XJ(2)M Ta có X/(z) = 1 — ƒ"(z) bị chặn và s s lim M = 0 nen Sey > 0 sao cho Ve € (06g) ta có 0<1< (F(a) <2 Đặt mị = min {1:4} và mạ = ma {2,2} ta luôn có 0<m < |Fƒ(z)| < mạ,Yz € H4 a Bồ đề 2.1.5 Cho x* la mét nghiệm của phương trình (9.9) Khi đó 3r > 0 sao cho Var € B(z",r) va Ve > 0 ta luôn có
[Fo(a) = F(a") — Ff@).(e—z")|< ME
Chứng mình Với moi ¢ > 0 vì F7(z") là dao ham cita F, tai x* nen
lim |F:Œ* + h) — F.(z*) — FZ(z* + h).h| -
a hl
Trang 29
F(a") = F(x") =0-0=0, Ve > 0 Vay |F.(x*) — F(z*)| < ce,Ve > 0 o 2
Phương pháp Newton nửa trơn suy rộng
Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề, phương pháp Newton suy rộng cho phương trình (2.2) như sau: 1) Chọn zọ € R và én sao cho 2) Thực hiện bước lặp (a) Tính (b) Chọn e„„; sao cho O< ens
Sự hội tụ của dãy {z„} được đưa ra ở định lý sau:
Định lí 2.1.7 Cho z* là một nghiệm của phương trình (3.9), zạ € R la mét số thực tù ý, tà đâu {z„} định nghĩa bởi vong lặp
nn 2"|,¥n = 0,1) (2.6)
Trang 30- 1 FL) 1 v.(Ea)(#a — #' aay ca excel ae [tne — z"| Fe, (Ep) — #"| Fea(tn)|
Fey (tn) + Feq(2*) = Fey(2*) + F(2")]
[Fea (tn) — Fen (*) — F2,(2n)(tu — 2°)|
1 miz,—2"| Tay] Fe) ~ Fae
TT tuyến
Vì0< s„ < 8|z„ — z*| với mọi n € Ñ, ta suy ra
lzsei —#'l< gizy —# nt gla
với mọi n € Ñ Bằng phương pháp quy nạp, ta có
Điều này suy ra rằng dãy {z„} hội tụ đến z* với tốc độ tuyến tính n
Chú ý 2.1.8 Diều kiện (2.6) chỉ mang tính lý thuyết Trong thực tế, nghiệm chính xác là giá trị mà chúng ta muốn tìm nên không được biết
“Trong thực hành, chúng ta có thể chọn một dãy không âm tùy ý {e„} sao cho tốc độ tiền
tới không của dãy này nhanh hơn tốc độ tuyến tính (chẳng hạn hội tụ bậc đa thức hoặc bậc mũ) và giá trị ban đầu eọ đủ bé
2.2 Phương pháp newton nửa trơn trong chỉnh hóa thưa
Trang 312.2.1 Bài toán tối ưu không trơn trong chỉnh hóa thưa
“Trong thực tế khoa học kỹ thuật, người ta thường gi:
ngược thường được viết ở dạng tìm nghiệm xắp xỉ của phương trình toán tử các bài toán ngược Một bài toán ụ=Kz, (27) vi K: HH la toan tit dat không chỉnh trên # và dữ liệu xAp xi y với ly-v <6
Dé tìm nghiệm xấp xỉ của nghiệm phương trình toán tử (2.7), người ta sử dụng phương, pháp chỉnh hóa thưa Ta sẽ tìm giá trị của z để hàm ©3,: ?ý > R dat gid tri nhỏ nhất với S%(z) Tu slik — vl? + Mel hoặc tổng quát hơn ta có Đà(z) ð(Kz.yŠ) + Al|zllt
trong đó À > 0 gọi là tham số chỉnh hóa, |lz||i = SO |i] va hàm ó(Kz, yŠ) biểu thị sai số a
giữa Kz và yŠ Với mỗi giá trị gần đúng của dữ liệu yÝ, hàm (Kz, y2) chỉ phụ thuộc vào x Do dé ta ki hiéu f: D(f) CH > R voi J (x) = o(Kz,y') Khi đó 3,(z) = f(z) + Ale va i toan téi ưu trong chỉnh hóa thưa được viết lại như sau argmin /(#) +Alizll a (28)
Trang 32“Trong phần này, g
nghiệm z" của bài toán (2.8) cũng là nghiệm của phương trình sit f: H+ R la ham kha vi Fréchet Khi đó, ta sẽ chứng minh rằng
r-Sy ( - 1/6) =0
“Trước hết ta tìm hiểu một số khái niệm cơ bản, làm cơ sở cho việc trình bày và chứng
mình phương pháp Newton nửa trơn trong bài toán chỉnh hóa thưa
Định nghĩa 2.2.1 Cho không gian Hilbert 1 véi cơ sở {c„}, tham số chỉnh hóa À > 0 và hàm Sa : # => ? được định nghĩa như sau 5 m(zi)e:, = S(z) trong d6 x, := (x,¢,) và Hạ(z) := sgn(z) max{0, |x| — A} Nhận xét 2.2.2 i, Néux > À >0 thì |z|=À =z= A >0 Khi đó Hạ(z) ii Nếu z < =A < 0 thì |z|— À = =z — À >0 Khi đó #a(z) = —z—À) =z+À ii Nếu ~A < z <A thì |z|— À < 0 Khi đó Ha(z) = sgn(z).0 = 0 #=À nếuz>À Vậy Ha(z) 0 nếu =À<z<À +z+A nếuz<-À
Do dé Hy la ham khong tron Theo định nghĩa trên, Sạ cũng là hàm không trơn Bây giờ để tìm nghiệm Bài toán (2.8), trước hết ta xét hàm phụ đ,(z,) và bài toán tối ưu trong
bổ đề sau:
Bồ đề 2.2.3 Cho hàm f:H — R khả uì Fréchet tà s là hằng số dương Xét hàm
04: Hx H > R dude cho bdi công thúc
6.(2,u) ƒ@)+(f),u=z) + Su
Datu = argmin{@,(1,u)} Khi dé vdi méix © H thi wen
Trang 34cu.) = (0 =m)? = Âu, Ệ — 2mAu + mỆ — SÂm, 3 ^ -k(m +3) + mg : “Ta lại có hai khả năng: (a) Nếu m, < —^ thì i sao) = (6= (m+3)) +ut= (mà "` — Dau bing khi u =m, +4 <0 3 (b) Nếu mị > — s thì y(2i, us) = -2( “Tóm lại ta có 3 trường hợp sau: À 1) Nếu mm; > À > 0> —^ thì g(z; iu) nhỏ nhất khí uy = mạ — À = Hà (m) 5 : 3) q d dus ¬ À 2) Nếu mụ < =C < 0< ^ thì g(z¡,u,) nhỏ nhất khi uy = mạ + 2 = Hy(m,) Ván VÀ uy 2 nhất khi 3) Nếu —^ < m; < C thì g(z¿.;) nhỏ nhất : 5 khi uy = 0 = Hạ (m,) 2 7 Vay u = Sy (- sự 6): n
Bây giờ ta sẽ sử dụng bổ đề này để chứng minh một định lý được nêu ra ở [11, Bồ đề 2.6]
Định lí 2.2.4 Giá sử ƒ: 1 —š R có đạo hàm Fréchet liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L va s là hằng số thỏa mãn 5 =L>U Khi đó nếu z* là nghiệm của Bài toán (2.8) thi
1/0) Liye
Chứng mình Xét hàm C: H — R cho bdi
Trang 35Nếu z* là nghiệm của Bài toán (2.8) thì C(x") <C(a* +h) VhEH Do đó ta có 6,(z*,z*) = C(#*) < ƒ(œ' +h) +Allr" + hị|, Yh €1 Xét hiệu (0, 2" +h) — 0,(2", 2") >fŒ') + (fŒ9),h) + hl? + Ala" + hh — f(2" +h) — Allo" + hl =f la") ~ f(a" +h) + (F(2"),h) + Sih? Vh eH
“Theo Định lý giá trị trung gian, với mọi h thuộc # ta có
F(a +h) ~ f(a") = Ứf(6),@° +h) =z)) = (F(A)
với c= a(z* + h) + (1— a)z* và a € [0:1] Do đó
O(a" 2" +h) = 6,(a°,2°) > = (ƒ'(e).h) + (S'(2"), A) + Sel? = fŒ") = /().h) + SIP Mặt khác, ƒ' là hàm số Lipschitz và œ > 0 nên IZŒ°)= (e)l < He = #'l = Lla(z* +h) + (L— a)z* — z'|| = alll
‘Theo Bat dang thite Schwarz va do a < 1 ta có
Trang 36của phương trình F(x) =0 (2.9) với F(z) := z—§à (= - 2/0): ì s 2.2.3 Một số bổ đề bổ trợ Để s sự hội tụ của vòng lặp (2.13), ta cần có một số kết quả bổ trợ
dụng được phương pháp Newton nửa trơn cho Phương trình (2.9) và chứng minh
“Trước hết, ta cần xem xét tinh kha vi Newton cita F va tim đạo hàm Newton của nó
thông qua bổ đề sau:
B6 dé 2.2.5 S, khả vi Newton va dao ham Newton ciia Sy tai u la Gy: H + H duoc
cho bởi
ue néu |u| >A
Gale), § néu |uyl <d°
Chứng mình Véi méi u € H ta c6 G, bi chan vi
IG) = DUG) s Ye
tea ten
lpl|: Woe H
Ngoai ra, véi moi v € H, w EH waa ER taco
(vow), nếu |u| >À
(G.(v + aw), = f nếu |u¿| <À
— [te+awe nếu |uy| >À
— 10 nếu |uy| <À =(G(0)) +a(Gu(0)) VE AL Suy ra G,(v + aw) = G,(v) +aG,(w) Vo € H,Yw €H,Va € R Vay véi mỗi u € # ta có G„ là phiếm hàm tuyến tính bị chặn Ta có
[Ha(u + h,) — Hạ — Gu+n(h)ủ €
S0 +) — S:(u) — Gu.a() — 2ã (6 + B) ~ Bal) ~ Guanes Thị TA
Xét các trường hợp sau:
1) Nếu uy > A thì với mọi hy 4 0 dit bé sao cho uj + hy > À ta có:
Hy(us + hs) — Hy(us) — Gusn(h)a
Trang 37
2) Néu u; <A thi vdi moi h; #0 dit bé sao cho tạ + h; < À ta có:
Hà(u + hi) — Hy(us) — Gun) = (us + hs +d) = (us + A) — he
3) Nếu —A < uạ < À thì với mọi h, 4 0 dit bé sao cho —\ < uj +h; <d ta c6:
Hy(uy + hi) = Hà(u Gusn(h); =0-0-0= 4) Nếu uị = À thì với mọi hị # 0 đủ bé có hai khả năng xảy ra: (a) Nếu w, + h, > À thì Ha(u, + hà) — Hà(w) = Guy(R)ị = 0 + bị = A =0 hị = uy = À =0, (b) Nếu —A < wạ + hị < À thì Hà( + hộ) = Hy(u:) = Gusa(h)i = 0-0-0=0 5) Néu uj =—A thi voi moi hy 40 di bé có hai khả năng xảy ra: (a) Nếu w, + hị < ~A thì Tà(u + hà) — Hà(0)) — Gu2ä(h); = tị + hị + À — Ö— hị = uy + À =0 (b) Nếu —A < wụ + hị < À thì
Hy(u; + hy) = Hy(uj) = Gu¿a(h)¿ =0 =0 =0 =0 Tom lai Hy(u; + hi) — Hy(ui) — Gusa(h)i =0 Vi € A va hị đủ bé
Như vậy khi cho |[hl] => 0 thi hy => 0 và lúc này ta có
Gusn(h)ll
Vay G, la dao ham Newton ciia S) tai u a
“Toán tử đạo hàm Newton Œ„ của F tại w được biểu diễn dưới dạng một trận với các phần
tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc 1 và các phần tử khác đều bằng 0
Bằng cách đổi cơ sở, ta có thể biểu diễn Œ„ dưới dạng ma trận In 0
c= (% 0)
Trang 383} > s và tập không hiệu Inc I(u) duge định nghĩa như sau (re), (-@) |<‡}-
Bồ đề 2.2.7 Vi u EH ta dat A:= A(u) va T= Iu) Gid sit f: D(f) CH > R bhi vi Fréchet dén cấp 2 uà bằng cách đổi cơ sở ta có thé viét f"(u) dudi dang = (Max Ma Fu) = ( Mi) : Khi đó hàm F(u) = u — Sạ (« - 1/6) khả vi Newton va 06 dao ham Newton là alums 1 1 Fw)= (2 imu) 0 ok A(u) = {« eA: I(u) = {« €A: Chứng mình Theo Bồ đề 2.2.5 và Bồ đề 1.5.4 ta có
re=( 1)-ka(-tre)Ï (5 l 0 G90 |(% 1) - tre]
= (Ix 0) _ (In 0) (In OY 1 (Max Mas a 91 9 0 1 s\0 0 Mu Mu 1 _ ( Mu) -[E 0 on Nhận xét 2.2.8 Voiu €H ta 06 u—1f"(u) € H Do đó chuối 5 H(i) + > x > ( =6), (-‡e),
“Theo Định nghĩa 2.2.6, với mỗi s va À cho trước ta có A(u) là tập hữu hạn với mọi u € ?ý hội tụ Theo Hệ quả 1.3.4 chuỗi
2
cũng hội tụ Như vậy, ta phải có hội tụ về 0 khi & tiến đến vô cùng
Trang 39đều trên lân cận đó Tính chất này được phát biểu cụ thể như trong bổ đề sau đây:
Bé dé 2.2.9 Giá sử ƒ' liên tuc Lipschitz rối hằng số Lipschitz L trong một lân cận của +" Khi đó tồn lại ko € A va p > 0 sao cho |\x — #*||< p tà
A(x) C [1, fo) Hon nita ky va p phu thudc vio s, x*, L vi A
Chứng mình Theo bất đẳng thức tam giác ta có + sị— 2/0 | + |[s~z‡~ SƯ) = ƒ@°)| — 040) Vì z* và ƒ!(z*) thuộc ? nên —> 0 khi k + 00 Do dé tén tại kọ phụ thuộc 5ï — s/ứ° vào z", À sao cho (2.11)
Trang 40Từ (2.10) đến (2.12) ta có <A Wk>lu s,— 2/0)
Hay nói cách khác |z„ — dpa, > A vdi moi k < kp Tit day suy ra A(x) C [1;ko] va s
hơn nữa p, ky phu thude vio 2*, s, L va A ũ
2
Phuong phap Newton nửa trơn
Phương pháp Newton cho phương trinh (2.9) được cho bởi vòng lặp sau a1 =ăm = F(a") F(2") (2.13) 3 : "0| < Đặt các tập A(") {i eA: sĩ = 3/09) P= Kz") {: € Theo Bé dé 2.2.7 ta có -( 98 —MitteMicr) (405, (x21) Tư (2 Mai Meee) (2) 0 Iw th
- (* ~ Mike (C2) All = Macro ) (2.14)
ở đây, ta giả thiết rằng a2, tồn tại và dấu của À phụ thuộc vào dấu của z" — = ƒ'(z") 5 Do đó, thay vì tính z"*! bằng vòng lặp (2.13), ta đặt zÿ;*" = 0 Sau đó giải phương trình
Aasasðras = [Ƒf(e") # |
— AMasezi
va tinh ryt) = ry — ổrAa
Bay giờ ta phát biểu một số giả định với hàm ƒ cần để chứng minh sự hội tụ địa phương,
của phương pháp Newton được cho bởi vòng lặp (2.13) và (2.14) Giả định 2.2.10 Ta giả sử rằng