Chuyên đề học tập Toán 10 (Bộ sách Cánh diều)

Cuốn Chuyên đề học tập Toán 10 sẽ cung cấp thêm cho các em học sinh những hiểu biết toán học sâu sắc hơn, mở rộng hơn với nhiều ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Chuyên đề học tập bao gồm các chuyên đề: hệ phương trình bậc nhất ba ẩn; phương pháp quy nạp toán học, nhị thức Newton; ba đường conic và ứng dụng. Mời các em cùng tham khảo!

Trang 1

CHUYEN DE HOC TAP icy oe

NHA XUAT BAN

Trang 2

ĐỖ ĐỨC THÁI (Tổng Chủ biên kiêm Chủ biên)

PHẠM XUÂN CHUNG - NGUYỄN SƠN HÀ - NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LOAN PHẠM SỸ NAM - PHẠM MINH PHƯƠNG - PHẠM HỒNG QUÂN

CHUWEN BE HOC TAP

phê duyệt sử dụng trong cơ sở giáo dục phổ thơng

tai Quyết định số 442/@Đ-BGDPT ngày 28/01/2022)

Trang 3

a

i _ CÂU HỎI KHỞI ĐỘNG

Gợi mở vốn đề, dễn dốt học sinh vờo bời học HOẠT ĐỘNG

° > Giúp học sinh phơn tích, kiến tạo kiến †hức mới với sự hướng dỗn củo giĩo viên X@ KHÁM PHÁ KIẾN THỨC v `” Phĩ† hiện kiến thức mới từ hoạt động

va R PP” KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

“ Nội dung kiến thức trọng tâm 5 LUYEN TAP - VAN DUNG

= Sti dung nhting kin thc vita hoc dé lam những bời tập co ban

« Vộn dụng kiến thức đõ biết đề giỏi quyết vốn đẻ, đặc biệt những vốn để thực tiễn

CĨ THỂ EM CHƯA BIẾT

Tìm hiểu †hêm kiến thức †oĩn học, lịch sử

toan hoc va ting dung ctia todn hoc vờo †hực tiễn

Trang 4

Gac em hoc sinh lop 10

Trong qua trinh tim hiéu mén Toan Ip 10, bén canh cĩc nội dung

cốt lõi mờ các em được học, sĩch Chuyên để học tộp Toén 10

sẽ cung cdp thêm cho cức em những hiểu biết tốn học sơu sắc hơn, mổ rộng hơn với nhiều ứng dụng củo tốn học †rong thực tiễn Chuyên dé hoc tộp bao gồm cĩc chuyên đề: hệ phương trình bộc nhdt ba dn; phương phĩp quy nẹp †oĩn học, nhị thức Newton; ba đường conic vờ ứng dụng

Toèn bộ những điều trên được thể hiện qua những †ranh ỏnh, hình vẽ, bai tap độc đéo vị hốp dỗn; qud những tri thức gỗn gũi, lí thú vễ

khoa học tự nhiên vị tích hợp với những mơn học khĩc Từ đĩ, cĩc

em được tiến thêm một bước trên con đường khĩm phĩ thế giới bí

ổn vị đẹp đẽ củo †oĩn học, đặc biệt là được “lam giịu” về vốn văn hoa chung vị cĩ cơ hội `Mong cuộc sống vịo bịi học - Đưa bời học

vịo cuộc sống”

Chịu khĩ suy nghĩ, trao đổi với thẳy cơ giáo vị bạn bè, nhốt định

cĩc em sẽ ngịy cịng tiến bộ và cảm thốy vui sướng khi nhộn ro ý nghĩq: Học †oĩn rốt cĩ ích cho cuộc sống hồng ngịy

Chúc các em học tộp thột tốt, say mê học toĩn vờ cĩ thêm nhiều

niễm vui

Trang 6

SL ) HE PHUONG TRINH BAC NHAT BA AN

Trong kho tàng văn hố dân gian Việt Nam cĩ bài tốn vẻ Trâu ăn cỏ như sau: Trâu đứng ăn năm, a

Trâu nằm ăn ba, te Lụ khụ trâu già, Ba con một bĩ, Tram con an co, Tram bĩ no nê

Hỏi cĩ bao nhiễu trâu đứng, trâu nằm, trâu già?

1 Phương trình bậc nhất ba ẩn

GD Cho phuong trinh: 2x + y—3z = 1 (1)

a) Nêu các ân của phương trình (1)

b) Với mỗi ẩn của phương trình (1), xác định bậc của ẩn đĩ

Phương trình (L) gọi là phương trình bậc nhất ba an a,

Trang 7

Nhận xét

+ Phương trình bậc nhật ba ân là phương trình cĩ dạng: ax + by + cz = đ, trong đĩ x, J, z là ba ấn; các hệ sé a, b,c khơng đồng thời bằng 0

« Nếu phương trình bậc nhất ba ân ax + by + ez = đ trở thành mệnh đê đúng khi x = Ấy, yE=ÿg;z= ä¿ thì bộ số (xạ; yạ; zạ) gọi là một øghiệm của phương trình đĩ 2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Cho hệ phương trình 3x+2y—5z==4

a) Mỗi phương trình của hệ (x) là phương trình cĩ dang như thế nào?

b) Bộ số (%; y ; z)=(—2; 1; 0) cĩ là nghiệm của từng phương trình trong hệ (*) hay khơng? Vì sao?

vl

ay ¥

Vy

« Bộ số (—2; 1 : 0) nghiệm đúng mỗi phương trình của hệ (x) và duoc gọi là một nghiệm của hệ phương trình đĩ

PP”

« Bộ số Œạ : 7ạ ; zạ) nghiệm đúng mơi phương trình của một hệ phương

trình bậc nhất ba ân được gọi là nghiệm của hệ phương trình đĩ

s Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình mà mỗi phương trình

trong hệ là một phương trình bậc nhất đối với ba ân đỏ

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ân cĩ dạng tổng quát là: axtbytez=d, ax+ by+cz=d, a,x+ b,y + 0,z=4,

Trong do x, y, z la ba ẩn; các chữ cịn lại là các hệ số; các hệ số của ba ân x, y, z trong mỗi phương trình khơng đồng thời bang 0

Trang 8

Nêu định nghĩa hai hệ phương trình bậc nhất hai ản tương đương Cho hai hệ phương trình bậc nhat ba an:

axt+ by t+ez= d, mm + my + pịz = 4 axt by+oz=d, (va mx + my t+ pz= q qd) a,x + by + ¢,2= d, mx + ny + p32= 43 Nhận xét:

« Nếu tập nghiệm của hệ phương trình (I) bằng tập nghiệm của hệ phương trình (T) thì hệ phương trình (I) được gọi là tương đương với hệ phương trình (TI)

« Phép biến đổi hệ phương trình bậc nhất ba ân vẻ hệ phương trình tương đương với nĩ

được gọi là phép biên đơi tương đương hệ phương trình bậc nhât ba ân

Cjøi ý: Đề giải hệ phương trình (), ta thường thực hiện một số phép biến đổi tương đương nhằm dẫn đến một hệ phương trình cĩ thể tìm được nghiệm một cách dé dang

II GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẤN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS

Giải hệ phương trình sau: x+2y- z=-4 (1)

4y-3z=-13(2) (ID —5z=—15 3)

4y -3.3=-13 2 4y-9=-13 6 4y=(-13)4+9 © 4y=-4

©yz=(C4):4© y=-] « Thế y=— 1, z= 3 vào phương trình (1), ta được:

x+2.C1)-3=-4€©x-5=-4€©x=(4)+5<>x=] Vậy hệ phương trình (HI) cĩ nghiệm (x; y; z) = (1 ;— 1 ; 3)

C?ø¡ ý: Hệ phương trình (TT) là một hệ phương trình cĩ đạng fam giác Đề giải hệ phương trình cĩ dạng tam giác như vậy, ta bắt đâu giải từ phương trình cuơi và ngược dân lên

Trang 9

Vĩ dụ 1 } Giải hệ phương trình sau

Vậy hệ phương trình đã cho cĩ nghiệm (+; y; z)=(—2; 5 ;— 4) Giải hệ phương trình sau:

x+2y- z=-4 (I) “- +2 SG? (VV)

3x y- Z=Đ G3)

Cĩ nhiều phương pháp giải hệ phương trình bậc nhật ba ân Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu phương pháp Gauss thơng qua việc giải hệ phương trình (IV)

Bước 1 Khử số hạng chứa x

2x+2y— z=_—

Trừ theo từng vế của phương trình (L) cho phương trình Deb ZY £ 4 @), rồi thay phương trình mới vào vị trí phương trình | > 4y -3z=-13 thứ hai 2+ W —* coi x+ 2y- z=-4 Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 rồi trừ theo

từng vế cho phương trình (3), sau đĩ thay phương trình | > 4y—3z=— 13 (4) mới vào vị trí phương trình thứ ba

eee 3y — z=-6 (5)

Bước 2 Khử số hạng chứa y

Nhân hai vế của phương trình (4) với 3, nhân hai vế x+2y- z=-4 của phương trình (5) với 4, rồi trừ theo từng vế hai ay 4y- 3z=- 13 (V) phương trình vừa tìm được và thay phương trình mới

vào vi trí phương trình thứ ba = 5g 15

Trang 10

Nhận xét: Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng cách biến đổi hệ đĩ về

hệ cĩ dạng tam giác (như cách làm trên) gọi là phương pháp khử dân hệ số hay phương pháp Gauss

L7 dụ 2Ý Giải hệ phương trình:

x+3y+2z=l xi3y†24 =1 x+3y+2z=l

oe! l6y+7z=—5 el 16+74C3)=-5 & x =f 5z=- l5 z =-3 8 x+3.1+2.C3)=1 xa SS

@

v= 3yt gal x—3y+ z=1 x-3y+ z=1 x—3y+ z=1

2x- y-2z=2 ©$ -5y+4¿=0 ©4 -Syt+4z=0 0 —5y+4z=0

x+2y —3z=-1 x+2y —3z=-1 —S5y+4z=2 0=2:

Trang 11

Vidu 4) Giai hé phuiong trinh:

Ta co thé tim nghiệm của hệ ba phương trình bậc nhất ba ân bằng cách sử dụng máy tính cằm tay Mỗi máy tính khác nhau cĩ thể cĩ các phím khác nhau Tuy nhiên, đều cĩ quy tắc chung là phải mở chương trình giải hệ ba phương trình bậc nhật ba ân rồi mới nhập đữ liệu

Vĩ dụ Š J St dung may tinh cam tay đề tìm nghiệm của hệ phương trình: 3x— y+ z=2 —x+2y+5z=6 x+3y- z=1 Giải Sử dụng loại máy tinh phù hợp, ân liên tiếp các phim:

MODE BEBBHBBBHESEBBSBSBESIDB ()EJ2)EI2I)EUUE)E)

Ấn tiếp phím (=) ta thấy trên màn hình hiện ra y= =

Trang 12

Ke Picecepses scene: ai a _ 13 — Ấn tiếp phím (=) ta thấy trên màn hình hiện ra z = ơ Ơ Sử dụng máy tính - oo oe 20 8 13 cầm tay để tìm nghiệm Vậy nghiệm của hệ phương trình là(x ; y ; z)= OED - của hệ phương trình: 2y— SE (=0 =1 h0 CO Ea Sx 4y = 32= 7

sài rập

3 Giải hệ phương trình:

6x- y-4z=9; x-4y-2z =l; 5x+7y-52=6

4 Tìm số đo ba gĩc của một tam giác, biết tổng số đo của gĩc thứ nhất và gĩc thứ hai bằng hai lần số đo của gĩc thứ ba, số đo của gĩc thứ nhất lớn hơn số đo của gĩc thứ ba là 20”

Trang 13

5 Bac Thanh chia sé tién 1 tỉ đồng của mình cho ba khoản đầu tư Sau một năm, tổng số

tiền lãi thu được là 84 triệu đồng Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 6%, 8%, 15%

và số tiền đâu tư cho khoản thứ nhất bằng tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai và thứ ba Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho mỗi khoản

6 Khi một quả bĩng được đá lên, nĩ sẽ đạt độ cao nào đĩ rồi rơi xuống Biết quỹ đạo chuyển động của quả bĩng là một parabol và độ cao h của quả bĩng được tính bởi cơng thức

1

h= zat + vot + hg, trong 46 d6 cao h va dé cao

ban đầu h, duc tinh bang mét, 1a thdi gian cla chuyển động tính bằng giây, ø là gia tốc của

chuyển động tính bằng m/s”, vụ là vận tốc ban đâu được tính bằng m⁄s Tìm 4, vụ, hy bist

sau 0,5 giây quả bĩng đạt được độ cao 6.075 m; sau I giây quả bĩng đạt độ cao 8,5 m; sau 2 giây quả bĩng đạt độ cao 6 m

7 Một cửa hàng bán đồ nam gồm áo sơ mi, quân âu và áo phơng Ngày thứ nhất bán được

22 áo sơ mi, 12 quân âu và 18 áo phơng, doanh thu là 12 580 000 đồng Ngày thứ hai bán được 16 áo sơ mi, 10 quân âu và 20 áo phơng, doanh thu là 10 800 000 đồng Ngày

thứ ba bán được 24 áo sơ mi, 15 quân âu và 12 áo phơng, doanh thu là 12 960 000 đồng

Hỏi giá bán mỗi áo sơ mi, mỗi quần âu và mỗi áo phơng là bao nhiêu? Biết giá từng loại trong ba ngày khơng thay đổi

8 Ba nhãn hiệu bánh quy là A, B, C được cung cấp bởi một nhà phân phối Với tỉ lệ thành phần dinh dưỡng theo khối lượng, bánh quy nhãn hiệu A chứa 20% protein, bánh quy nhãn hiệu B chứa 28% protein và bánh quy nhãn hiệu C chứa 30% protein Một khách hàng muốn mua một đơn hàng như sau:

+ Mua tong cong 224 cái bánh quy bao gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C

+ Luong protein trung bình của đơn hàng này (gồm cả ba nhãn hiệu A, B, C) la 25%

+ Luong banh nhãn hiệu A gấp đơi lượng bánh nhãn hiệu C

Tính lượng bánh quy mỗi loại mà khách hàng đĩ đặt mua

9 Sử dụng máy tính cẩm tay để tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

—#+#2y_3,=2 x-3y+ z=l x+ y-3z=-1 a)+ 2x+ y+2z=-3 b) 5y-4z=0 €4 3x-5ÿy= £@S¬3

= 2#-3ÿ+ =5; x+2W¬3#£—- l —#+4y-2z s1:

Trang 14

UNG DUNG HE PHUONG TRINH

Š” BAC NHAT BA AN

Hệ phương trình bậc nhất ba ản là một cơng cụ đề giải quyết nhiêu vân đẻ trong thực tiên cũng như trong các mơn học khác như: Vật lí, Hố học, Sinh học, Kinh tế,

1 UNG DỤNG TRONG VẬT LÍ

1 Ứng dụng trong bài tốn về mạch điện Bai todn 1 Cho một đoạn mạch điện như Hìn?h J Biết Rị = 36 Q, R, = 90Q,R, = 60 Qva U = 60 V Goi I, la cuong dé dịng điện của mach chinh, I, va I, la cuong d6 dong dién cua hai nhánh Tính I, L,, J,

Giải

Cường độ dịng điện của đoạn mạch mắc song song là: L + lÀ Tacé: 1, =I, +I, hay I, -L-1,=0

Hiệu điện thế ở đoạn mạch mắc song song là: U; = R, 1,= R, I, nén 90L, = 601, hay 3L -~-2L =0 Hiệu điện thế của đoạn mạch là: U = U, + U¿ nên 60 = R, I, + R¿ L hay 361, + 901, = 60 => 61, + ISI, = 10 I,- 1,- 1,=0 Ta cĩ hệ phương trình: 31, - 2l; =0 61, + 151, =10

Giải hệ phương trinh, ta duge I, = 20a), 1; = SA 1; = 2A) 2 Ứng dụng trong viễn thơng

Bài tốn 2 Cũng như trong mặt phẳng toạ độ, trong khơng gian ta cĩ thể đưa vào hệ trục toạ độ Oxyz Khi đĩ, mỗi điểm M trong khơng gian

cĩ toạ độ là bộ ba số (X% 3.9 3 Zo) Va dude ki hiéu là My : yọ : zạ) (Hình 2)

Khoảng cách giữa hai điểm PŒ@,: y,: z¡)

@x;; y; ; z›) trong khơng gian được tính như sau:

PQ= lx ~ xUỆ + Œy — yUÊ + Œy — ä)Ÿ -

Trang 15

Ta cĩ thể mơ phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS (Global Positioning System — Hệ thống định vị tồn câu) trong khơng gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm trong khơng gian đĩ sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước

Chẳng hạn, ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Øxyz, cho bốn

vệ tinh A(0 ; 4; 5), B3 ;— 1; 3), C2; 8; 9),

D(—7;2;— 3) và trên mỗi vệ tinh cĩ một máy thu

tín hiệu Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận được tín hiệu phản hơồi, mỗi máy thu tín hiệu xác định

được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tim Bi = 2

toa độ Biết các khoảng cách đĩ là MA = 3, MB =5, _ Ame V8 tink GPS dang bay tren gus

MC=9, MD = 10 a) Chứng minh toạ độ ctia diém M 1a nghiém ctia hệ phương trình: (Nguén: http://commons.wikimedia.org)

x?+(y-4)°+(z- 5) =9 ( (x +3)? +(y+ 1)? 4 (¢-3)? =25 (@) (x+2)° +(y-8)? +(z-9)? =81 @) (x +7) + (y—2)? #(¢+3)° =100 (4)

Giải

ME = 52 ere =25 (2) © MC? =92 (x+2)? +(y-8)? +(z-9) =81 @) MD* = 102 là Ty +(y—2)° +(z +3)? = 100 (4)

Vậy toạ độ điểm A⁄ là nghiệm của hệ phương trinh (1)

b) Sau khi trừ theo từng về của mỗi phương trình (2), (3), (4) cho phương trình (1), ta nhận được hệ phương trình sau:

Trang 16

6x+1l0y+ 4z =38 3x+5y+2z=19 4x- 8y- 8z =-36 € 42x-4y-4z=-l18 (T) 14x+ 4y+16z =70 7x+2y+8z=35

©) Giải hệ phương trình (II), ta được x = 1, y= 2, z= 3 Vậy M1 ; 2; 3)

II ỨNG DỤNG TRONG HỐ HỌC

1 Phương pháp đại số trong cân bằng phản ứng hố học A

Xét phan ung hoa hoc co dang: x,A, +x,A, >4,A,+2,A, 4A,» trong do mỗi phân tử A;cĩ thể cĩ nhiều hơn một nguyên tơ

Để cân bằng phản ứng trên, ta phải tìm các hệ số Xị, X;, X;, x„ sao cho các nguyên tổ được bảo tồn

Bước 1 Col xạ, x;, x;, x; là các an, lap hé phuong trinh bac nhật bốn ẩn dựa theo định luật bảo tồn nguyên tơ trong phản ứng hố học

Bước 2 Chọn ra một trong bến ân Mu Ấ, XU GIỎ ẩn đĩ một gia tri cu thé Thong thường, ta chọn ra ản ứng với phân tử cĩ cầu trúc phức tạp nhát trong bĩn phân tử A,, Ay, Aj, Ay Giai hé phuong trinh bac nhất theo ba ẩn cịn lại

Bài tốn 3 Tìm các hệ số x, y, z để cân bằng phương trình: xFe;O, + yO,-f3 zFe,O Giải Theo định luật bảo tồn nguyên tố đối với Fe và O, ta cĩ: 3x = 2z hay 3x — 2z = 0 và 4x + 2y = 3z hay 4x + 2y — 3z = 0 Ta cĩ hệ phương trình sau: 3X— Z=0 hề =0 0 x=4 x4 Chọn x = 4 Khi đĩ, hệ (1) trở thành 2z=12 @6Ằ4z=6 2y—3z =—16 y=l Vậy ta cĩ phương trình sau cân bằng: 4Fe;O,+ 0,5 6Fe,0,

Bài tốn 4 Hồ tan hồn tồn 13,4 g hỗn hợp X gém Mg, Al, Fe vao dung dich H,SO, đặc nĩng dư thu được 12,32 lit khi SO, (dktc) Mat khac, néu cho 13,4 g hỗn hợp trên tác dụng với dung dịch HCI dư thì thu được 11,2 lít H, (đktc) Tính khối lượng Mg, Al, Fe trong hỗn hợp X

Trang 17

Giải

Gọi số mol của Mg, Al va Fe trong hỗn hợp X lần lượt là a, b, e (a, ư, e lớn hơn 0) Ta cĩ các phương trình phản ứng hố học sau

Mg+2H,SO,-“>MgSO,+2H,O+SO, (1) Mg+2HCI›MgCL+H, (4)

2Al + 6H,SO, > AL(SO,),+ 6H,0 + 3SO, (2) 2Al+6HCI— 2AlCI, + 3H, (5)

2Fe + 6H,SO, + Fe,(SO,),+ 6H,0 +380, 3) Fe+2HCl>FeCl,+H, (6)

Do khối lượng hỗn hợp X bằng 13,4 g; nguyên tử khối (khối lượng mol) của Mg, AI], Fe lần lượt là 24, 27, 56 nên ta cĩ: 24a + 27b + 56 = 13,4

Số mol SO, la: 12,32 : 22,4 = 0,55 (mol)

Từ các phương trình (1), (2), (3), tacé: a+ 1,5b + 1,5c = 0,55 S6 mol H, 1a: 11,2 : 22,4 = 0,5 (mol)

Tii cdc phuong trinh (4), (5), (6), ta cĩ: ø+ 1,5b+c=0,5 24a+ 27b+ 56c = 13,4 Ta cĩ hệ phương trình: a+1,5b+1,5¢e=0,55 a+1,5b+ c=0,5 Giải hệ phương trình, ta được: a = 0,1; b= 0,2; c= 0,1 Vay ta co:

Khối lượng Mg trong hỗn hợp X là: 24 0,1 = 2,4 (g) Khối lượng AI trong hỗn hợp X la: 27 0,2 = 5,4 (g)

Khối lượng Fe trong hỗn hợp X là: 56 0,1 = 5,6 (g)

2 Tìm cấu tạo của nguyên tử và xác định cơng thức phân tử của hợp chất Ta đã biết một nguyên tơ cĩ ba loại hạt cơ bản là: p (proton), n (nơtron), e (electron), Ta gọi Z là sĩ lượng hạt p Khi đĩ, theo nguyên lí cân bằng điện tích, ta cĩ Z cũng là số lượng hạt e

Ta gọi N là số lượng hạt n

ĐặtA =Z+N, A được gọi là số khối

Trang 18

Bài tốn 5 Tổng số hạt cơ bản (p, n, e) của một nguyên tử X là 26 Số hạt mang điện

nhiều hơn số hạt khơng mang điện là 6 Xác định số hạt p, n, e của nguyên tử X Giải Cĩ hai loại hạt mang điện của X là p và e Vì thế tổng số hạt mang điện của X là 2Z 2Z+N=26 2Z-N=6 Giải hệ phương trình trên ta được Z = 8, NĐ = 10 Ta cĩ hệ phương trình sau: {

Vậy nguyên tử X cĩ 8 hạt p, 10 hạt n và 8 hat e

Bài tốn 6 Trong phân tử M,X cĩ tổng số hạt (p, n, e) là 140 hạt, trong đĩ số hạt mang điện nhiều hơn số hạt khơng mang điện là 44 hạt Số khối của nguyên tử M lớn hơn số khối của nguyên tử X là 23 Tổng số hạt (p, n, e) trong nguyên tử M nhiều hơn trong

nguyên tử X là 34 hạt Xác định cơng thức phân tử của hợp chat M,X Giải

Gọi Z, Nụ lần lượt là số lượng hạt p, n của nguyên tử M; Lye Nye lần lượt là số lượng hạt p, n cia nguyén tt X

* Theo giả thiết, tổng số hạt (p, n, e) trong phân tử M,X là 140 hạt nên ta cĩ:

2(2Zy4 + Nyy) + (2Z + Ny) = 140 hay 47Z,,+ 2Ny, + 2Zy +Ny = 140

* Do trong phân tử M,X số hạt mang điện nhiều hơn số hạt khơng mang điện là 44 hạt Tiên ta cĩ:

(4Z+2Z2)— ONụ +Ny) = 44 hay 4Z4y— 2Nạy + 22 -Ny= 44

s Số khối của nguyên tử M lớn hơn số khơi của nguyên tử X là 23 nên ta cĩ:

(Z4 + Nyy) — (Zye + Ny) = 23 hay Zyy + Nụ — Z2 — Nụ = 23

+ Téng sé hat (p, n, e) trong nguyén tir M nhiéu hon trong nguyên tử X là 34 hạt nên ta cĩ:

Trang 19

Giải hệ phương trình, ta được Z4 = 19, Nụ = 20, Z„ = 8 Do do, Ny = 8 Vì Z = 19 nên M là K (kalium); Zy = 8 nên X la O (oxygen) Vay phan ti đĩ là K,O

Il UNG DUNG TRONG SINH HOC

Bai todn 7 Mét phan tit DNA co téng sé nucleotit (nu) loai G voi mét loai nucleotit khác bằng 60% tổng sơ nucleotit của phân tử DNA Tổng sĩ liên kết hyđro của phân tử DNA la 3 120 Trong mach 1 co số nu loại A bằng — số nu loại G và bằng % số nu loại T Xác định sơ nucleotit mơi loại trên từng mạch của phân tử DNA đĩ

Giải

Kí hiệu: A, G, T, X lần lượt là tổng số nu loại A, G, T, X của phân tử DNA;

ÁN là tổng số nu của phân tử DNA ;

Ấu,GẽT lần lượt là tổng số nu loại A, G, T, X trong mach 1; Ay, G, Ty, X lần lượt là tổng số nu loại A, G, T, X trong mach 2

*Taco: G+A=50%N; A=T; G=X

Ma dé bai cho tổng số nu loại G với một loại nu khác là 60% của N nên G + X = 60%N Suy ra G = X = 30%N và A +T = 40% N

Vì A = TT nên từ A + TT = 40%N ta co: A= T = 20%N

s Ta cĩ số liên kết hyđro bằng 2A + 3G = 3 120 mà G = 1,5A nênA = TT = 480; G=X=720 Vậy N = 2(A + G) = 2 400

Do đĩ, tổng số nueleotit của phân tử DNA trên mỗi mạch là 2 400 : 2 = 1 200

* Ta cĩ: Ai = T;, A; = T¡ nên A¡ + T¡ =A¡ +A; = 480

Trang 20

IV UNG DUNG TRONG KINH TẾ

1 Mơ hình cân bằng thị trường hàng hố cĩ liên quan

Giả sử trên thị trường cĩ ø loại hàng hố được mua và bán, đánh số lần lượt là hàng hố 1, 2, ., 2 Ta nĩi ø loại hàng hố đĩ cĩ liên quan nếu giá của một mặt hàng nào đĩ thay đổi thì nĩ khơng những ảnh hưởng tới lượng cung (kí hiệu là Ø¿) và lượng câu (kí hiệu là Q,,) cua bản thân mặt hàng đĩ, mà nĩ cịn ảnh hưởng tới giá và lượng cung, lượng câu của

các mặt hàng cịn lại

Như vậy, đối với ø loại hàng hố cĩ liên quan thì lượng cung Ø;¿ (hoặc lượng câu Ø„) của mỗi loại hàng hố là một đại lượng phụ thuộc vào ø biến P, P, Ð,, trong đĩ

P,, P; P, lần lượt là giá của hàng hố 1, 2, n Người ta thường biểu diễn sự phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào giá của các hàng hố bởi hàm cung và hàm cầu

như sau:

Qs = SP Poy vr Py),

Op =D,(P, Py us P,) Si <n),

trong d6 P,P, .,P, lần lượt là gid cua hang hoa 1, 2, ., n

Mơ hình cân bằng thị trường ø loại hàng hố cĩ liên quan (cân bằng cung cầu) được xác

định bởi hệ phương trình: Ø¿ = @;, 1<¡ <n Giải hệ phương trình đĩ chúng ta tìm được

bộ giá cân bằng thị trường: P =(T¡, P;, P,) Thay vào Ø¿ (hoặc Ø„) chúng ta thu

được bộ lượng cân bằng thị trường: Ø = (Ø\, Ĩ;, ,

Bài tốn 8 Xét thị trường gồm ba loại hàng hố gồm chè, cà phê, ca cao cĩ hàm cung và hàm câu tương ứng như sau:

Q,=-10+P; Q, =20-P-P, (chè)

Os =2B; OQ, =40-2P, -P, (ca phé)

Q, =—5+3P;; Q, =10-P.+P,-P, (ca cao)

Trang 21

b) Giai hé phuong trinh (1), ta co:

2P.+ P,=30 [2PB+ P,=30 [2B 4 P,=30 De 4P,+ P,=40© 4P,+ P,=40© 4P,+ P,=40 2P, -2P, + 8P, = 30 2P,~7P, =0 4P, ~14P,=0 yl 2P+ P,=30 3

15P, = 40 ps

OQ = 2P, ey

2 Mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân

Tổng thu nhập quốc dân, kí hiệu là Y, thường được tính trên hai nguồn chủ yếu: Chỉ tiêu cỗ định của chính phú, kí hiệu là Gạ, và tiên của người dân (bao gồm đầu tư của các hộ gia đình, kí hiệu là J), va tiêu dùng của các hộ gia đình, kí hiệu là C) Ta nĩi thu nhập quốc dan là cân bằng nêu Y = C'+ Ip + Go

Xét mơ hình can bang thu nhap quéc dân cĩ dang hệ phương trình bậc nhất: Y=C+1,+G,

C=a(Y-T)+b

ray

Trong do: T la thué, C= a(Y—7) + b, các hằng s60<a<1,b>0, 0<a@<1 duoc chon trước (phụ thuộc vào sự lựa chọn mơ hình của các nhà hoạch định chính sách) Bài tốn 9 Cho mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân:

Y=C+1,+G, C=150+0,8(Y -T) T=0;2Y

Trong đĩ, Y là tổng thu nhập quốc dan, G, la chi tiéu cĩ định của chính phủ, 7, già đầu tư của các hộ gia đình, C là tiêu dùng của các hộ gia đình, 7 là thuế và các đại lượng Y, Ớy, 1ạ, T, C được tính theo cùng đơn vị đo,

Trang 22

a) Tim trang thai can bang khi /, = 300, G, = 900

b) Khi suy thối kinh tế, ta chon C = 150+0,7(¥ -T) Gia stt J, = 300 Héi G, bang bao

nhiêu thì ồn định được tổng thu nhập quốc dan? Giải a) Khi J, = 300, G, = 900, mơ hình cân bang thu nhập quốc dân cĩ dang: T.€ =1200 — 0,8Y +C+0,87 =150 (D 0,2¥ — T=0 Giai hé phuong trinh (1), ta co: Ÿ— € =1200 ¥=G =1200 Y¥ =3 750 (DS 48Y -10C-8T =-1500 4 2C+87=11100<©4C=2 550 2Y:— 10T =0 M6 =5T T =750 b) Theo gia thiét C = 150+ 0,7(Y —T) va J, = 300 nên mơ hình cân bằng thu nhập quốc dan co dang:

â }_ 0,77 +Ơ-300-G, +0,7 0,2 =150 © 2<Y= 450 + Gụ ra

sài rập

1 Cho mạch điện như Hình 3 Biết U = 20 V, r=1Q, = 0,5 Q, R = 2 Q Tim cường độ dịng điện I, 1,1

ng mỗi nhánh

2 Cho mạch điện như Hình 4 Biết U = 24 V, Ð,: 12V-6W, Dy: 12 V-12 W,R=3 2

a) Tính điện trở của mỗi bong den

b) Tính cường độ dịng điện qua các bĩng đèn và qua

điện trở R

Trang 23

a Tìm các hệ số x, y, z để cân bằng mỗi phương trình sau:

a) x*KCIO, 5 yKCl+ 20,;

b) xFeCl, + yCl, <FeCl,;

c) xFe + yO, 4 zFe;O;;

d) xNa,SO, + 2KMnO, + yNaHSO, "> zNa,SO, + 2MnSO, + K,SO, + 3H,0

> Một giáo viên dạy Hố tạo I 000 g dung dich HCI 25% từ ba loại dung dịch HCI cĩ

nơng độ lần lượt là 10%, 20% và 30% Tính khối lượng dung dịch mỗi loại Biết rằng lượng HCI cĩ trong dung dịch 10% bằng 4 lượng HCI cĩ trong dung dịch 20%

4

yw Tổng số hat p, n, e trong hai nguyên tử kim loại A và B là 177 Trong đĩ số hạt mang điện nhiều hơn số hạt khơng mang điện là 47 Số hạt mang điện của nguyên tử B nhiều

hơn của nguyên tử A là 8 Xác định số hạt proton trong một nguyên tử A

6 Một phân tử DNA cĩ khối lượng là 72 10! đvC và cĩ 2 826 liên kết hydro Mạch 2 cĩ số nu loại A bằng 2 lần số nu loại T và bằng 3 lần số nu loại X Xác định số nucleotit mỗi loại trên từng mạch của phân tử DNA đĩ Biết rằng một nu cĩ khối lượng trung bình là 300 đvC

=

Tìm đa thức bac ba fx) = ax? + bx? + cx + 1 (voi a #0) bist ƒ— 1) = — 2, fl) = 2,

ƒ@)=1

® Ba lớp 10A, 10B, 10C trồng được 164 cây bạch đàn và 316 cây thơng Mỗi học sinh lớp

10A trồng được 3 cây bạch đàn và 2 cây thơng; mỗi học sinh lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 3 cây thơng; mỗi học sinh lớp 10C trồng được 5 cây thơng Hỏi mỗi lớp cĩ bao nhiêu

học sinh? Biết sĩ học sinh lớp 10A bằng trung bình cộng số học sinh lớp 10B và 10C

; 1

Độ cao ? trong chuyển động của một vật được tính bởi cơng thức ø = =aÊ + vot + ho,

=

với độ cao h va d6 cao ban đầu /„ được tính bằng mét, / là thời gian của chuyển động tính bằng giây, ø là gia tốc của chuyển động tính bằng m/sỶ, vụ là vận tốc ban đầu tính bằng m/s Tìm a, vụ, hạ Biết rằng sau 1 s và 3 s vật cùng đạt được độ cao 50,225 m; sau

2 s vật đạt độ cao 55,125 m

Trang 24

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

NHI THUC NEWTON

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu những nội dung sau: phương pháp quy nạp tốn học, nhị thức Newton

$1 PHƯƠNG PHÁP @UY NẠP TỐN HỌC

Chia hình vuơng cạnh 1 thành bốn hình vuơng nhỏ bằng nhau, lây ra hình vuơng nhỏ thứ nhất (ở gĩc dưới bên trái, màu đồ), cạnh của hình vuơng đĩ bằng me

Chia hình vuơng nhỏ ở gĩc trên bên phải thành bĩn hình vuơng bằng nhau, lây ra hình vuơng nhỏ thứ hai (màu đỏ), t)|—

Canh cua hinh vuéng nho thir n (mau do) bang bao nhiéu? Vi sao?

I PHUONG PHAP QUY NAP TOAN HOC

Ge» Xét ménh dé chứa biến P0: “1 +3+ 5+ +(2ø~ 1)=z?” với n là số nguyên đương a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh dé đúng

b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) la ménh dé đúng, cho biết 1+3+5+ +(2&~ 1) bằng bao nhiêu

c) Voi k la một số nguyên dương tuỳ ý mà P(#) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(+ 1) cũng là mệnh đê đúng bằng cách chỉ ra #2 + [2(&+ 1) — 1]=(k+ 1}

Trang 25

Ta đã chứng tơ được rằng: * P(1) la mệnh đề đúng, «Với k là một số nguyên đương tuỳ ý, nếu P() là mệnh đề đúng thì PŒ + 1) cũng là mệnh đề đúng Khi đĩ P(n) là mệnh đê đúng với mọi n e ĐÌ theo một nguyên lí

mà ta gọi là nguyên lí quy nạp tốn học

Phương pháp chứng minh như trên (đề khẳng định tính đứng đắn của một mệnh đẻ tốn học) được gọi là phương pháp quy nạp tốn học

ag

Đề chứng minh mệnh đẻ đúng với mọi số tự nhiên n > 1 bang phuong pháp quy nạp tốn học, ta làm như sau:

Bước 1 Chứng tỏ mệnh đẻ đúng với ø = 1

Bước 2 Với k là một số nguyên đương tuỳ ý mà P(#) là mệnh đề đúng

(gọi là giả thiết quy nạp), ta phải chứng tỏ PŒ + 1) cũng là

mệnh đẻ đúng

Nhận xét: Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ứ, m > rm (me N’) bang phương pháp quy nạp tốn học, ở Bước 1 trong cách làm trên, ta phải chứng tỏ mệnh đề ding voi n =m

Vidu 1) Chimg minh rang n° —n chia hết cho 3 với mọi ø e ĐÏ Giải

Bước 1 Khi n= 1, ta cĩ: 13— 1 = 0 chia hết cho 3

Bước 2 Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà #Ÿ — & chia hét cho 3, ta phải chứng minh (k+ 1) —(k + 1) chia hết cho 3 Thật vậy, tá co: (6+ 1 —(k4- 1) = + 3+ 3k +-1—-k-1 =P -h4 34+ Theo giả thiết quy nap, —k:3, ma 3(? +4) :3 Suy ra —k + 3( + 433, tue la (k + 18 — (K+ 1):3 Do do, theo nguyên lí quy nạp tốn hoe, n° —n chia hết cho 3 với mọi ø e Đ”

Bidet Rhine 1,1acd—|_=_)_way ing thiteding vine 1.@T)" [44

Trang 26

Bước 2 Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng

1.2 2.3 (k+D[ (+41) (k+D41

= +>

theo nguyên lí quy nạp tốn học, đẳng 0 1V 1 s1 thức đúng với mọi ø € N" Tức là b) 22] MA Bel wel

1 1 , FJ n _ 2@?+n+1) 1.2 2.3 7 mữ+l) nm+] 7 Cra) VỚI MỌI 7 € Đ

II ÁP DỤNG

Vĩ dụ 3 } Một người gửi số tiền 4 (đồng) vào ngân hàng với lãi suất z%/năm Biết rằng, nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiên lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vơn lần lãi) sau ø (năm) là T,=All+ a (đồng), nêu trong khoảng thời gian này người gửi khơng rút tiền ra và

lãi suất khơng thay đổi

Giải

Sau 1 năm, số tiền vốn và lãi thu được là: A + A- te = Al Tete (đồng) 100 100

1

Vay T, = ali + aa „ tức là đẳng thức đúng voi n= 1

Với k là một số nguyên đương tuỳ ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức

k+l

cũng đúng với k+ 1, tức là 7y „ ¡ = AI + ng)

Trang 27

k That vay, theo gia thiét quy nap, ta co: T,, = Ai + aa

k

Ta thay, sau khi hét & (nam) thi s6 tién 1= ali + = tré thanh tién vén dé tinh tiền lãi cho năm thứ &+ 1 Do đĩ, số tiền vốn va lãi người đĩ cĩ được sau &+ 1 (năm) là:

k k k k+l

Am) sate] ig = A(t) 3 =a(i+

r k+1

tue la T, k+l = Al 1+— ( m) (đồng) déng)

Vậy đẳng thức đúng với &+ 1 Do đĩ, theo nguyên lí quy nạp tốn học, đẳng thức đúng voi moi n € N’, tức là số tiên cả vốn lần lãi người đĩ cĩ được sau ø (năm) là:

T =a(t+ 3%) " 100

Vĩ dụ 4 Cho x là số thực, x >— I Chứng minh với mọi ø e Đ, ta cĩ: (I+x)">1+”mx(1)

Giải

Bước 1 Khi n= 1, ta cĩ: (1+x)! =1 +x= 1 + 1z Vậy bất đẳng thức (1) đúng với ø= 1

Bước 2 Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà bất đẳng thức (1) đúng, ta phải chứng mình bắt đẳng thức (1) cũng đúng với &+ 1, tức là:

(1 +z#°*!>1+(+1%x

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta cĩ:

(+x>1+kx

Vi theo giả thiết ta cĩ: 1 + x > 0, nên bất đẳng thức Ề '2 Chứng minh với mọi trên văn đúng nêu nhân cả hai về với 1 +x Khi đĩ ta neN,(1+Ý2ÿ,

nhận được: (1 - Ý2}" lần lượt viết

(+z#.(1+z)>(+a).(+>) được ở đạng a„ + b,V2,

(txt S14 + Det be a, — b,Ý2., trong đĩ a, b,

là các số ên dương Do kx > 0 nên ta cĩ: (1 +x)“*!>1 +(&+ 13x Ha Vay bat đẳng thức (1) đúng với & + 1 Do đĩ, theo

nguyên lí quy nạp tốn học, bat đẳng thức (1) đúng — ‘3 Ching minh(16"—15n—1) với mọi ne Đ”

chia hết cho 225 với mọi

Chi ý: Bất đẳng thức (1) cịn được gọi là bất đẳng _

Trang 28

Vidus

a) Néu quy luatxép s6 cham lan luot 6 hang thtrnhat, hang © @00000

thứ hai, theo thứ tự từ trên xuéng dusi trong Hinh 2a S@x< Tỉnh sơ châm ở hàng thu n

pe: số * — OQ@Ờ-,

@0-0-0

b) Nêu quy luật xêp số châm lân lượt ở hàng thứ nhật, hàng 000006 `Ð© )

thứ hai, theo thử tự từ dưới lên trên trong Hinh 2b * Hình 2

Tinh sé cham 6 hang thir n © 0-00-0800

c) Ghép Hình 2a và Hình 2b ta được Hình 3 Giả sử A TỶ nên Hình 2a và Hình 2b cĩ n hàng Tinh sé cham cĩ ©©®©-e©© trong Hinh 3 Tu đĩ, xác định cơng thức tính tổng: ST 000-060 T, =14+2+3+ +nvoimoin € N*va chimg minh —— cơng thức đĩ bằng phương pháp quy nap tốn học Hình 3 Giải

a) Số châm ở hàng thứ ø theo thứ tự từ trên xuống dưới trong Hình 2a là n b) Số cham 6 hang thứ ø theo thứ tự từ dưới lên trên trong Hinh 26 la n

e) Do các châm ở Hình 3 xếp thành ø hàng và z+ 1 cột nên số châm 6 Hinh 3 la S„= nữ + ])

Gọi 7, là số châm ở Hình 2a Khi đĩ 7, = 1 +2+ 3+ + n Mặt khác, số cham 6

Vậy T,=1+2+3+ +w=

Bước I Khin= 1, ta cĩ: T =l= 1 a Vậy đẳng thức đúng

Trang 29

Ví dụ 6 Cp

a) Diện tích của các hỉnh tơ màu trong mỗi hàng ở 2 LH BE

Hình 4 được viết ở bên trái mỗi hàng đĩ Tiếp tục 3 HH HH HH

vẽ theo quy luật đĩ, hãy tìm diện tích của các hình tơ màu ở hàng thứ ø

‘ 3

b) Ghép cac hinh té mau trong 7 hang đầu tiên ta được 4

một hình vuơng (chẳng hạn, ghép các hình tơ màu Hình 4 ở bốn hàng trong #fình 4 ta được hình vuơng ở

Hình 5) Nêu kích thước của hình vuơng ghép được Từ đĩ, tính diện tích của hình đĩ

c) Dự đốn cơng thức tính tổng P, = 1Ÿ + 2Ÿ + + r

với mọi ø e Đ”và chứng minh cơng thức đĩ bằng phương pháp quy nạp toản học

Giải Hình 5

a) Diện tích của các hình tơ màu ở hàng thứ ø là z

b) Ghép các hình tơ màu trong n hàng đâu tiên ta được một hình vuơng cĩ cạnh bang n(n+1) 2 pe Vậy diện tích hình vuơng ghép được là [| :

1+2+3+4+ +n=

Trang 30

Suy ta P„.¡ = 124224321 + + (+ LẺ = ba +@Œ+ĐÊ [m1] (4 4k+ 4) ==l

cai tap 1 ChoS, =1+2+22+ +2"vàT,=2"!!—1 vớine N’

b) Dự đốn cơng thức tính S5, và chứng mình bằng phương pháp quy nạp tốn học

2 Cho S, = ¬ - và T,=2—.L, với n eĐ

5 Chứng minh với mọi ø e ĐÏ, ta cĩ:

a) 4” +15n—1 chia hét cho 9; b) 13” — 1 chia hết cho 6

6 Chứng minhz# >(w+1}* với ø e Đ ,n>2

7 Chứng minh #'— ð"=(a~ b)(@'~!+#'~?b+ + ab’? +b") voine N’ 8 Cho tam giác đều màu xanh (#ình thứ nhất)

a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hinh thir hai b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hinh thir ba

Trang 31

Hình thứ nhất Hình thứ hai Hình thứ ba

e) Nêu quy luật tiếp tục chọn các tam giác đều màu trang tt Hinh thir trva cac tam giác déu mau trắng ở những hình sau đĩ

đ) Tính số tam giác đều màu xanh lần lượt trong các Hình thứ nhất, Hình thứ hai, Hình thứ ba

e) Dự đốn số tam giác đều màu xanh trong Hình fhứ n Chứng mình kết quả đĩ bằng phương pháp quy nạp tốn học

9 Quan sát Hình 6 @eo@ede0d0e a) Néu quy luat sap xép các châm đỏ v vngxenknhau â â @O@Ođ@ khi xếp các châm đĩ từ gĩc trên bên trái xuống gĩc dưới @e@e@edede bên phải (to thnh hỡnh vung) đ@@@@GđSâe ) Giả sử hình vuơng thứ ø cĩ mỗi cạnh chứa ø châm @@e@e@ee0e0@ Tinh tổng số chấm duge xép trong hinh vuéng (kécatrén @ O OOOO ®@ cạnh) Chứng minh kết quả đĩ bằng phương pháp quy ' Ã .NNNN|)

nạp tốn học Hình 6

10 Giả sử năm đầu tiên, cơ Hạnh gửi vào ngân hàng 44 (đồng) với lãi suất r2%/năm Hết năm đầu tiên, cơ Hạnh khơng rút tiền ra và gửi thêm 44 (đồng) nữa Hết năm thứ hai, cơ Hạnh cũng khơng rút tiên ra và lại gửi thêm <4 (đồng) nữa Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau Chứng minh số tiền cả vốn lân lãi mà cơ Hạnh cĩ được

sau 7 (năm) là 7, = —=i + aa = ] (đồng), nếu trong khoảng thời g1an này

: 2 100

lãi suât khơng thay đơi

11 Một người gửi số tiền 44 (đồng) vào ngân hàng Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mơi năm thành z kì hạn và lãi suất z% /năm Biết rằng nêu khơng rút tiên ra khỏi ngân hàng thì cử sau mỗi kì hạn, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn Ian lai) sau øz (năm) gửi là

ro \nn „ -

Ss, -4lI + on (đơng), nêu trong khoảng thời gian này người gửi khơng rút tiên ra và lãi suất khơng thay đồi

Trang 32

§2 NHI THUC NEWTON

Làm thế nào đề khai triển biêu thức (a + B}' một cách nhanh chĩng?

&

1 CONG THUC NHI THUC NEWTON

a) Chon số thích hợp cho [?] trong khai trién biéu thtte sau:

a Alp! + cBlg? Bly? + Bla? Bp’,

(a+b = Lec

Từ đĩ nêu đạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai trién biéu thie (a+ bY

b) Xét biểu thức (ø + by’

Nêu dự đốn về dang tổng quát của mơi số hạng trong khai triển biểu thức (a + 6)”

*(a+Ð)) = Cạa” + Ca” Ìp! + Ca” ”p + Cặp”,

Mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + b)` đều cĩ dạng cw,

+ Cũng như thê, mỗi số hạng trong khai triển biểu thức (a + by" déu cĩ dạng Champ"

Trong trường hợp tổng quát, với ø là số nguyên dương, ta cĩ cơng thức nhị thức Newton:

=

Nhận xét:

(a+ by" = Cha” + Cia" 'b+ + Cha” *b* + + Crab”! + C2b"

s Số hạng tổng quát trong khai trién cia (a + 5)” déu co dang Cha? ~"BE(O<k<n) + Tir cong thtte nhị thức Newton nĩi trên, ta cĩ khai trién cia (a — 5)’ nhu sau: (a-ð}ÿ'= Cea" - Cla" 'b+ Ca" *b* - Car + „ ở đĩ các dâu “+”, “” xen kế nhau Chẳng hạn, ta cĩ: (ø— b)Š = Gia”? = Ca” !p + Char? = Cy

= Cha? - Cha*b! + Chab? - Cb’;

Trang 33

(a— by = Cfa*? — Chat! + Cla* 7b? — Cla* 70? + Cáp

= Cat - Cla*b + Cia’ b? - Cab? + Cập,

Vidul } Khai trién cac biéu thite sau 2 oe ee 3) +", b)œ-yÉ 1 Khai triển biểu thức

3?› yy œ+27

Giải Ta cĩ:

aadty= Gây + Chey + Cixty? + Gv + Ch yt + Coxy? + cậy?

=2° + Ox'y + 15x4y? + 20x77 + 15x°y4 + Oxy? + yÉ

=a35— 6x 3y + 15a292— 20v)” + 15x2y! — 6y + J6,

Trang 34

b) Ta co: (Qn T= Ch? Cee P= Ce, Peco n " 2n " n — C0! 428 Gl „28-1, c2 „21-2 2n-1 2n = Cy -C,,% +„x Ga x+Cy Cho x = 1, ta co: 2n — C0 12n GÌ 12n-1, c2 2n-2 2n-1 2n

(1-1 =C§,.129—-C1 12lị C2 VI 2— —Cn 1 1+ C2"

Ví đụ 4 j Tinh T=C02" +Ch2" 134 + C82" BF +t CTD 3" T+ C23" voin e ĐỶ Giải T= C82" +012" 13) + 4 Chea 4 gO 22am! PENS” =(24+3y'=5", II TAM GIAC PASCAL

Ta da biét: (a+ bP = Coa? + Chab + Cob;

(a+ by =CYa* + Cya*b + Cyab? + Cb"; (a+ by’ =Cfa‘ + CủaÌb+ CTa”b? + Càab” + Cib*; (a+ b)> = Cla’ + Chath + Cza°b? + Ca"? + Cgab* + C20”

Ta sắp xép những hệ số tơ hợp ở trên như sau:

Sf 2

eadeaad oo Cý Cý C

Nêu phép tốn đề từ hai số hạng của dịng trên suy ra được số hạng tương ứng (thê hiện ở mũi tên Ý) ở dịng dưới trong bảng các hệ số nĩi trên

Nhận xét: Xuât phát từ dãy các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a+ ở} với ø e Đ, ta bổ sung thêm hai địng đầu tiên và nhận được tam giác các hệ sĩ như sau:

Trang 35

n=0 C 1 n=1 a “sốt 1 1 n=2 GS & cổ 1 2 7 n=3 eo & & € 1 3 8 J m=%# lối oo SG SG Ee 1 4 6 4 1

mic & & & & € tf § 16 6 â 4

Tam giác số ở trên được goi la tam gide Pascal

Trong tam giác Pascal, tổng hai số hạng liên tiếp ở dịng trên thì bằng số hạng tương ứng ở dịng tiếp theo vì ta đã biết tính chất c + Ca = ee voi0<k<nvak,neN

Vidus

a) Viết tam giác số Pascal ứng voin <6

b) Viết khai triển của nhị thức (a + ð)" (khơng sử dụng hệ số ở dạng tơ hợp) Giải a) Tam giác số Pascal ứng với ø < 6 là KH mm 1 :3 Sử dụng tam giác 1 1 Pascal để khai triển:

1 3# a) (x+y)

b) Khai triển của nhị thức (ø + ð) là:

(a+ BÉ = a§+ 6ậ°b + 154*P2 + 20aÌÐ + 15a2Ð* + 6abŠ + bề II HỆ SỐ TRONG KHAI TBIỂN NHỊ THỨC NEWTON

Trong mục này, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất của các hệ số trong khai triển nhị thức Newton (a + b)"

Trang 36

1 Sự biến thiên của dãy hệ số trong khai triển nhị thie (a + b)“

Xét đấy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + ð}† (Hình 7a) và nhị thức (a + b)` (Hình 70) sau:

„=6 GŒ=I0<-> E=10 di a2 cườm

Ge 5

hs

So sanh ting cap hé sé Cf va Ce; Ch va Ch, CZ va Ch 6 Hinh 7b

b) Nêu nhận xét về sự tăng giảm của mỗi dãy hệ số:

Cc ej G C c (trong khai triển (a + b)*) G G € CG Ce Cc (trong khai triển (a + b)*)

vy

Dãy hệ số trong khai triển (a + by! va (a + b)Ÿ 5 D> như đã viết ở trên cùng cĩ hai tính chất sau: ừ » « Các cặp hệ số tính từ hai đầu trở vào (lương ứng) thì bằng nhau

+ Dấy hệ số tăng dần đến “giữa” rồi giảm dan

Nhận xét: Một cách téng quat, day hé sé: C2 Ch C2 Ch Ch

trong khai trién (a + 5)" co hai tinh chất sau:

«Cac cap hé số tính từ hai đầu trở vào (tương ứng) thì bằng nhau: car với mọi & e Đ, k<nne Đ

« Day hé số tăng dần đến “giữa” rồi giam dan: CnC

Del > Et tsct

Vi du 6 J Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:

Trang 37

Bị G<Ð)<7< Cặ= vài s Cao ộ xi

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển của (a + b) là Cÿ =C? = 35

2 Hệ số của xŸ trong khai triển (ax + Ð)" thành đa thức

Quan sát khai triển nhị thức:

(ax + bY" = CR(axy"+ Ch(axy"~ 1b + C2 (ax) 2b? + + C2 (ax)b"~ 1+ Chr

=F aa HG a EG OB OP abt tat ORB

Néu cơng thức tính hệ số của 3# trong khai triển trên

`

615 kì Hệ số của x* trong khai triển trên là » ý Cl “at ph~È vớikcN,k <S nne Đ

Ví dụ 7 } Xét khai triển của (Qx+1)2 = mm 5 Xét khai triển a) Nêu số hạng chứa 35, từ đĩ nêu hệ số của x° của (x + 5)'Š, b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đỏ a) Nêu số hạng chứa

nêu hệ số của xế với & e Đ, k< 12 +, từ đĩ nêu hệ số

2 của x”

Giải

„ ễ : 6 b) Nêu số hạng tổng a) Số hạng chứa 35 là C¡a 25x5 Hệ số của x5 là CỊ; 26 quát trong khai triển b) Số hạng tổng quát trong khai triển là Ge “Kone = ey TU, nhị thức tren, từ đĩ Ha sé ofa x la CR nêu hệ số a, cla x*

Š 12 2

với 0< k< 15

Trang 38

cai tap

21 Xét khai triển của $ 1) : 1 Khai triển các biểu thức sau

d)(@+2)", e)G+y}”: 8)œ—)”,

trong do ø là số nguyên dương Tinh:

a)S= Chin ah Gon hưng Cai shaveck (622206 Cr}

DƯ IS = Chay dO Be Od Bon Stee,

Chứng minh:

93° 4.673" 4,4 63" oh + CAR ee

=C? +Cl3+ + C89" 44 4 O03 4 083" voi O<k < nik, ne N

Xác định hệ số của:

a) x trong khai triên của (x + 4);

Trang 39

7 Tim hé s6 lớn nhát trong khai triển của: a) (a + ĐỀ; b) (a + Đÿ

8 Chứng minh cơng thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

(a+ by" =Ca" + Cla" 'b + + C2 lab"! + Cb" voi n € N*

9 Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: a) nỄ — n chia hết cho 5 Vø e Đ*; b) n’ =n chia hết cho 7 Vø 6 Đ*

10.Cho tập hợp A = {x,: x;; x;: ; x,} cĩ ø phần tử Tính số tập hợp con của A 11 Một nhĩm gồm 10 học sinh tham gia chiến địch Mùa hẻ xanh Nhà trường muốn chọn

ra một đội cơng tác cĩ ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập đội cơng tác như thé?

12 Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh cĩ màu khác nhau và

chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày Hỏi bạn Tiến

cĩ bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đĩ?

13.Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đơ

chơi Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đĩ

chỉ cĩ 10 sản phẩm khác nhau bày bán Biết rằng nếu mua bộ trực thăng điều khiển từ xa, bác sẽ chỉ mua I sản phẩm; nếu mua bộ đỗ chơi lego, bac sẽ mua 3 sản phẩm khác nhau; nếu mua bộ lắp ghép robot chạy bằng năng lượng mặt trời, bác sẽ mua 5 sản phẩm khác nhau; nếu mua rubik, bác sẽ mua 7 sản phẩm khác nhau; cịn nếu

mua mơ hình khủng long, bác sẽ mua 9 sản phẩm khác nhau Bác Thành cĩ bao nhiêu cách chọn quà sinh nhật cho con?

14 Gia sử tính trạng ở một lồi cây được quy định do tác động cộng gộp của ø cặp alen phân li độc lap Aya,, Ajay, ., A,a, Cho cay F, di hop vén cap alen giao phối với nhau Tỉ lệ

phân li kiểu hình của F, là hệ số của khai triển nhị thức Newton (z + 6)", nghia là tỉ lệ

phân li kiểu hình của F, 14 CC) C32 C27 ?:C?" 1C,

Cho biết một lồi cây cĩ tính trạng được quy định bởi tác động cộng gộp của 4 cặp alen phân l¡ độc lập Tìm tỉ lệ phân l¡ kiêu hình của dạ néu cay F, dihop về 4 cặp alen giao phối với nhau

Trang 40

BA DUONG CONIC

VA UNG DUNG

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu những nội dung sau: xác định được các yếu tố đặc trưng của ba đường conic (elip, hypebol, parabol) và giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với ba đường conic đĩ

“§1 ELIP

Trái Đất chuyền động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo

là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm (Hồn? 7)

_Í Làm thế nào để tìm

Ở sách giáo khoa Tốn 10 Chương VII, chúng ta đã học về ba đường conic, trong đĩ cĩ đường elip Với bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm những yếu tơ đặc trưng của elip

I TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ELIP

2 v2 Trong mặt phẳng toạ độ @», ta xét elip (Z) cĩ phương trình chính tắc là a+ > =1,

trong 45 a> b> 0 (Hinh 2) ab

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F,, F, ctia (E)

, l , 3

b) Œ) cắt trục Ox tai cac diém A,, A, va cat truc Oy tai cac Bị

điểm Bị, B, Tìm độ dài các đoạn thẳng (14, và ĨB, tố

Chí ý: Khoảng cách FJ, = 2e (với c=vja2—b”) A, Ay

được gọi là /iêu cự cua elip (E) Doan A,A, la truc lon, Fy 0 F, } ban * đoạn B,B, la truc bé ctia elip Độ dài của trục lớn têuđếm| tâm Hệ là 2a, độ dài của trục bẻ là 25 Các độ dài 2⁄4, = a,

OB, = b làn lượt được gọi là độ đài bản trục lớn, độ

dài bán trục bé Hình 2