Toán Tin THPT chuyên Hà Nội

1 PHẦN I: a) VẼ HÌNH PHẲNG Họ tên: Khoa: Mã sinh viên: Tạ Minh Tâm Toán – Tin 715101275 Ngày: Phần: Bài: 20/07/2022 I 1/5 ĐỀ BÀI [Trích Bài IV (3,0 điểm) - Hà Nội 2021 - 2022] Cho tam giác ABC vng A Vẽ đường trịn tâm C, bán kính CA Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn (C; CA) (M tiếp điểm, M A nằm khác phía đới với đường thẳng BC) 1) Chứng minh bốn điểm A, C, M B thuộc đường tròn 2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B) Lấy điểm P thuộc tia đối tia M B cho M P = AN Chứng minh tam giác CP N tam giác cân đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng N P BÀI LÀM Tóm tắt & Vẽ hình GT KL △ABC, A = 90o (C; CA) BM ⊥ CM (M ∈ (C), M ̸= A) 2) N ∈ AB (N ̸= A, N ̸= B) P, B khác phía M |M P = AN Gọi AM ∩ N P = I 1) A, C, N, M thuộc đường tròn 2) △CP N cân; I trung điểm N P (Hình vẽ mang tính minh hoạ) Chứng minh 1) Chứng minh bốn điểm A, C, M B thuộc đường trịn Tam giác ABC vng A nên BAC = 90o =⇒ A thuộc đường trịn đường kính BC BM tiếp tuyến đường tròn (C) nên BM C = 90o =⇒ M thuộc đường trịn đường kính BC KL: Bốn điểm A, C, M B thuộc đường tròn đường kính BC 2) Chứng minh △CP N tam giác cân đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng N P • Xét △CAN △CM P có: CA = CM ; CAN = CM P = 90o ; AN = M P =⇒ △CAN = △CM P (c.g.c) =⇒ CN = CP =⇒ △CP N cân C • Gọi I trung điểm đoạn thẳng N P △CP N cân C I trung điểm đoạn thẳng N P nên CI ⊥ N P Tứ giác N ACI nội tiếp =⇒ N IA = N CA Tứ giác N ACI nội tiếp =⇒ M IP = M CP △CAN = △CM P =⇒ N CA = M CP Ta có: N IA + P IA = 180o (vì I nằm N P ) =⇒ M IP + P IA = 180o =⇒ A, I, M điểm thẳng hàng KL: Đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng N P Họ tên: Khoa: Mã sinh viên: Tạ Minh Tâm Toán – Tin 715101275 Ngày: Phần: Bài: 20/07/2022 I 2/5 ĐỀ BÀI [Trích Bài IV (3,0 điểm) - Hà Nội 2020 - 2021] Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao BE Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ điểm E đến đường thẳng AB BC a) Chứng minh tứ giác BHEK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: BH.BA = BK.BC c) Gọi F chân đường vng góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB I trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh ba điểm H, I, K ba điểm thẳng hàng BÀI LÀM Tóm tắt & Vẽ hình GT KL △ABC nhọn EH ⊥ AB = H, EK ⊥ BC = K c) CF ⊥ AB = F (M ∈ (C), M ̸= A) IE = IF, I ∈ EF a) BHEK tứ giác nội tiếp b) BH.BA = BK.BC c) H, I, K thẳng hàng (Hình vẽ mang tính minh hoạ) Chứng minh a) Chứng minh tứ giác BHEK tứ giác nội tiếp Ta có: BHE = BKE = 90o nên tứ giác BHEK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: BH.BA = BK.BC Từ câu a) ta thu BHK = BEK = 90o − KEC = BCA Từ △BHK ∼ △BCA (g.g) BH BK = Suy BC BA Vậy BH.BA = BC.BK c) Chứng minh ba điểm H, I, K ba điểm thẳng hàng Gọi J hình chiếu vng góc E CF Ta có HF JE hình chữ nhật nên HJ EF cắt trung điểm I đường Lại có EJC = EKC = 90o =⇒ Tứ giác EJKC nội tiếp, BF C = BEC = 90o nên tứ giác BF EC nội tiếp Suy EJK = 180o − KCE = 180o − HJE =⇒ H, J, K thẳng hàng Vậy H, J, K thẳng hàng Họ tên: Khoa: Mã sinh viên: Tạ Minh Tâm Toán – Tin 715101275 Ngày: Phần: Bài: 20/07/2022 I 3/5 ĐỀ BÀI [Trích Bài IV (3,0 điểm) - Hà Nội 2019 - 2020] Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H 1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF 3) Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm I, đường thảng EF cắt đường thẳng AH điểm P Chứng minh tam giác AP E đồng dạng với tam giác AIB đường thẳng KH song song với đường thẳng IP BÀI LÀM Tóm tắt & Vẽ hình GT KL △ABC nhọn, nội tiếp (O) BE ⊥ AC = E, CF ⊥ AB = F BE ∩ CF = H 3) K ∈ BC|KB = KC, EF ∩ AH = P a) B, C, E, F thuộc đường tròn b) OA ⊥ EF c) △AP E ∼ △AIB, KH ∥ IP (Hình vẽ mang tính minh hoạ) Chứng minh 1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn BE ⊥ AC =⇒ BEC = 90o CF ⊥ AB =⇒ CF B = 90o =⇒ Bốn điểm B, C, E, F thuộc đường trịn đường kính BC 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF Ta có: BCEF tứ giác nội tiếp =⇒ AEF = ABC Kẻ đường kính AQ =⇒ △AQC vuông C =⇒ QAC + AQC = 90o Xét (O) có AQC = ABC = sđAC =⇒ AEF + EAO = 90o =⇒ AO ⊥ EF 3) Chứng minh △AP E đồng dạng với tam giác △AIB KH song song với IP EAO = HAB (vì phụ với ABC) =⇒ EAP = IAB AEP = ABI =⇒ △AP E ∼ △AIB (g.g) △AP E ∼ △AIB(g.g) =⇒ △AEH ∼ △ABQ (g.g) =⇒ Từ (1) (2) =⇒ AE AP = AB AI AE AH = AB AQ (1) (2) AH AP AI AP = =⇒ = AI AQ AH AQ =⇒ P I ∥ HQ (3) Chứng minh tứ giác HCQB hình bình hành =⇒ H, K, Q thẳng hàng Từ (3) (4) =⇒ KH ∥ IP (4) Họ tên: Khoa: Mã sinh viên: Tạ Minh Tâm Toán – Tin 715101275 Ngày: Phần: Bài: 20/07/2022 I 4/5 ĐỀ BÀI [Trích Bài IV (3,0 điểm) - Hà Nội 2018 - 2019] Cho đường trịn (O; R) với dây cung AB khơng qua tâm Lấy S điểm tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm đoạn thẳng AB 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO 2) Khi SO = 2R, tính độ dài đoạn thẳng SC theo R tính số đo CSD 3) Đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD điểm K Chứng minh tứ giác ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC 4) Gọi E trung điểm đoạn thẳng BD F hình chiếu vng góc điểm E đường thẳng AD Chứng minh rằng, điểm S thay đổi tia đối tia AB điểm F ln thuộc đường trịn cố định BÀI LÀM Tóm tắt & Vẽ hình GT KL (O; R), AB < 2R AS: Tia đối tia AB (S ̸= A) SC ⊥ CO = C, SD ⊥ OD = D (C, D ⊂ (O)) C thuộc cung bé AB 2) SO = 2R 3) AK ∥ SC, AK ∩ CD = K 4) E ∈ BD, EB = ED BF ⊥ AD = F Gọi BK ∩ SC = M 1) C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO 2) SD(R) =?, CSD =? 3) ADHK tứ giác nội tiếp 4) S ∈ AS F ln thuộc đường trịn cố định (Hình vẽ mang tính minh hoạ) Chứng minh 1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường trịn đường kính SO • SD, SC tiếp tuyến đường tròn (O; R) =⇒ OD ⊥ SD, OC ⊥ SC Suy ra: D, C thuộc đường trịn đường kính SO • Do H trung điểm AB =⇒ OH ⊥ AB =⇒ SHO = 90o Suy ra: H thuộc đường trịn đường kính SO (5) (6) Từ (5), (6) =⇒ C, D, H, O, S thuộc đường trồn đường kính SO 2) Tính độ dài đoạn thẳng SC theo R tính số đo CSD Xét △SDO có: SO2 = SD2 + DO2 2 2 =⇒ SD2 = SO √ − DO = 4R − R = 3R =⇒ SD = R Có: DO sin DSO = = =⇒ CSD = 60o DS 3) Chứng minh ADHK tứ giác nội tiếp đường thẳng BK qua trung điểm đoạn thẳng SC Ta có: S, D, O, H thuộc đường tròn nên SHOD tứ giác nội tiếp Suy ra: AHD = SOD = COD (7) Ta có: AKD = SCD (đồng vị) nên AKD = COD (8) Từ (7) (8) =⇒ AHD = AKD =⇒ ADHK nội tiếp Gọi M giao điểm BK SC Gọi N giao điểm AK BC Ta có: KHA = CBS =⇒ HK ∥ BC mà H trung điểm AB nên K trung điểm AN Suy ra: AK = KN AK KN Ta có: = mà AK = KN nên SM = CM nên M trung điểm SC SM CM 4) Chứng minh rằng, S thay đổi tia đối tia AB F ln thuộc đường trịn cố định Kẻ đường kính AA′ đường trịn tâm O Ta có: ADA′ = 90o =⇒ DA′ ⊥ DA, mà EF ⊥ DA =⇒ EF ∥ DA′ Kéo dài EF cắt BA′ G EF ∥ DA′ , E trung điểm BD =⇒ G trung điểm BA′ AA′ đường kính đường trịn tâm O nên A′ cố định =⇒ BA′ cố định =⇒ G cố định Mà AF G = 90o =⇒ F thuộc đường trịn đường kính AG cố định Họ tên: Khoa: Mã sinh viên: Tạ Minh Tâm Toán – Tin 715101275 Ngày: Phần: Bài: 20/07/2022 I 5/5 ĐỀ BÀI [Trích Bài IV (3,0 điểm) - Hà Nội 2022 - 2023] Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Gọi E điểm tia CA cho A nằm hai điểm C E Gọi M H chân đường vng góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC BE 1) Chứng minh tứ giác AM BH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh BC.BM = BH.BE HM tia phân giác góc AHB 3) Lấy điểm N cho M trung điểm đoạn thẳng AN Gọi K giao điểm hai đường thẳng EN AB Chứng minh ba điểm H, K, M ba điểm thẳng hàng BÀI LÀM Tóm tắt & Vẽ hình GT KL △ABC, A = 90o , AB = AC A ∈ CE AM ⊥ BC = M, AH ⊥ BE = H 3) M ∈ AN |M A = M N, EN ∩ AB = K 1) AM BH tứ giác nội tiếp 2) AC.BM = BH.BE HM tia phân giác AHB 3) H, K, M B thẳng hàng (Hình vẽ mang tính minh hoạ) Chứng minh 1) Chứng minh tứ giác AM BH tứ giác nội tiếp Vì M H chân đường vng góc kẻ từ A BC BE =⇒ AM ⊥ BC M , AH ⊥ BE H =⇒ AM B = 90o AHB = 90o Xét tứ giác AM BH có: AM B + AHB = 90o + 90o = 180o Mà hai góc vị trí đối diện =⇒ Tứ giác AM BH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh BC.BM = BH.BE HM tia phân giác góc AHB • Vì M H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC BE nên AM ⊥ BE AM ⊥ BC 10 Xét △ABC vuông cân A có AM ⊥ BC Suy ra: AB = BM.BC(hệ thức lượng) (9) Xét △ABE vng cân A có AH ⊥ BE Suy ra: AB = BH.BE(hệ thức lượng) (10) Từ (9) (10) ta BM.BC = BH.BE • Vì △ABC vng cân A =⇒ ABC = ACB = 45o =⇒ ABM = 45o =⇒ △AM B vuông cân M =⇒ M AB = 45o Xét tứ giác AM BH có: M AB = M HB = 45o (2 góc nội tiếp chắn M B) (11) Xét tứ giác AM BH có: AHM = ABM = 45o (2 góc nội tiếp chắn M A) (12) Từ (11) (12) =⇒ M HA = M HB =⇒ HM tia phân giác AHB 3) Chứng minh ba điểm H, K, M ba điểm thẳng hàng Gọi K ′ giao điểm HM AB =⇒ Ta cần chứng minh K trùng K ′ Xét △AHB △EAB có: EBA chung =⇒ △AHB ∼ △EAB(g.g) AHB = EAB = 90o Suy ra: HA AE = (Tính chất) HB AB Xét △AHB có: HK ′ phân giác AHB (K ′ ∈ AB) (chứng minh ý 2)) Suy ra: HA K ′A = ′ (Tính chất đường phân giác) HB KB (13) (14) Xét △AHB có: BM đường trung tuyến (Vì M trung điểm AN ) BM đường cao (Vì BM ⊥ AN ) =⇒ △ABN cân B Mà BAN = 45o (Vì △ABC vng cân A) =⇒ △ABN vuông cân B Suy ra: AB = BN ABN = 90o K ′A AE = ′ BN KB Xét △AEK ′ △BN K ′có: AE K ′A  = ′ (cmt) =⇒ △AEK ′ ∼ △BN K ′ (c.g.c) BN KB o  ′ ′ EAK = BK N = 90 Từ (13), (14) (15) =⇒ =⇒ AK ′ E = BK ′ N (Tính chất) 10 (15) 22 Họ tên: Khoa: Mã sinh viên: Tạ Minh Tâm Toán – Tin 715101275 Ngày: Phần: Bài: 20/07/2022 II 3/5 ĐỀ BÀI Bài toán: Dãy số hội tụ Chứng minh mệnh đề: lim an = n→∞ +∞ a > |a| < BÀI LÀM //Khảo sát hội tụ hay phân kỳ dãy số clear;clc;clf; for a = −1 : 0.1 : function y = f (n) y = aˆn //Tìm số hạng dãy số endfunction function [n, u] = f (a, i) n = linspace(0, 4, 100) y = f (n) n = i; plot(n, f ) end u = aˆn; //Kết luận: Dãy (un) hội tụ |a|