Phương pháp tìm khoảng cách thông qua thể tích tiết 1

BÀI GIẢNG: PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH THƠNG QUA THỂ TÍCH – TIẾT CHUYÊN ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN MƠN TỐN LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM CÂU KHOẢNG CÁCH TRONG ĐỀ THI THPTQG Câu khoảng cách hình học khơng gian (thuần túy) đề thi THPTQG dù khơng câu khó để nhìn chân đường cao đoạn vng góc chung học sinh trung bình yếu dễ Bài giảng mong muốn giúp có nhìn mới, có phương pháp để giải tự tin với câu khoảng cách I Ý tưởng: Ta có hình chóp S ABC việc tính thể tích khối chóp thực dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy  ABC  ), ta cần tính khoảng cách từ C đến  SAB  tức tìm chiều cao CE Vì thể hình chóp khơng thay đổi dù ta có xem điểm  S , A, B, C  đỉnh ta biết diện tích SAB khoảng cách cần tìm CE  3V Có thể gọi dùng thể tích lần SSAB Chú ý: Khi áp dụng phương pháp ta cần nhớ cơng thức tính diện tích tam giác: SABC  p  p  a  p  b  p  c  với p nửa chu vi a, b, c kích thước cạnh VÍ DỤ MINH HỌA Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! VD1: (A - 2013) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, ABC  300 ; SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ C đến  SAB  Lời giải *) Gọi E trung điểm BC SE   ABC  SE  Ta có BC  a  AB  a a a ; AC  2 3a a a a  Vì thể tích khối chóp là: VS ABC  2 2 16 *) Để tính khoảng cách từ C đến  SAB  ta cần tính diện tích SAB  a   a 2 a 2 Ta có AB  ; SB  a ; SA  SE  EA        a   2 Áp dụng công thức Heron ta được: S SAB  p  p  SA  p  SB  p  AB   Vậy d  C;  SAB    39a 16  a aa  p          3VS ABC a 39  SSAB 13 Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! Nhận xét: Với cách tính khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đẹp So với cách tính tọa độ hóa cách tình đơn giản nhiều tính tốn trình bày khó khâu tính diện tích (nhưng máy tính đảm nhận), so với cách lùi E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ) với học sinh trung bình yếu nói lựa chọ tốt VD2: (B - 2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ A đến  SCD  Lời giải *) Gọi E trung điểm AB SE   ABCD  SE  Vì thể tích khối chóp là: VS ABCD a 3a a 3  a  *) Ta cần tính khoảng cách từ điểm A đến  SCD  , ta quan sát khối chóp S ABCD tích a a3 VS ACD  a  để tính khoảng cách ta cần có diện tích SCD 2 12 Ta có CD  a ; SD  SC  SE  DE  SE  DA2  AE  a Áp dụng công thức Heron ta được: SACD   a  a  a  a2 p  p  CD  p  SD  p  SC   p      Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! Vì d  a;  SCD    3VS ACD a 21  SSCD 3a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD VD3: (A - 2014) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a; SD  khoảng cách từ A tới mặt phẳng  SBD  Lời giải *) Gọi E trung điểm AB SE   ABCD  Dùng định lý Py-ta-go ta tính được: SE  a Từ VS ABCD  a3 *) Ta cần tính khoảng cách từ A đến  SBD  ta quan sát hình chóp S ADB tích 1 VS ADB  a a  a3 Vậy nên ta tìm diện tích tam giác SBD tốn giải Ta có BD  a ; SD  3a a ; SB  Áp dụng công thức Heron ta được: 2 S SBD   3a a a 2   2 p  p  SB  p  SD  p  BD   p       3a     Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! Vậy d  A;  SBD    3VS ADB SSBD a3 2a  62  3a VD4: (B - 2014) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' lên  ABC  trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A ' C mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách từ B đến  ACC ' A ' Lời giải *) Gọi E trung điểm AB SE   ABC  600    A ' C;  ABC    A ' CE Ta có CE  a (đường cao tam giác đều) Vì A ' E  tan 600.CE   VABC A ' B 'C '  3a 3a a a 3  *) Ta cần tính d  B;  ACC ' A '  tức từ B đến  AA ' C  , ta quan sát khối chóp A ' ABC tích 3a a a 3 VA ' ABC   Vì ta cần tìm diện tích A ' AC (để dùng thể tích lần) 2 a 10 CE  a   3a  Ta có AC  a ; AA '        ; A'C  a cos 600 2   Áp dụng công thức Heron ta được: SA ' AC  a 39 p  p  A ' A  p  A ' C  p  AC   Vậy d  B;  ACC ' A '   d  B;  A ' AC    3VA ' ABC 13  a SA ' AC 13 Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! Nhận xét: Qua bốn ví dụ ta thấy việc áp dụng cách Thể tích lần tỏ hiệu khơng cần suy nghĩ q nhiều (nhưng khơng khuyến khích bạn giỏi làm theo cách trừ bí) Trước ta xét mức độ áp dụng phương pháp với đề thi thử, ta mở rộng cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách hai đường chéo mà đoạn vng góc chung khó tìm VD5: (A - 2012) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc AB cho HA  2HB Góc đường SC mặt phẳng  ABC  600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách giữ hai đường thẳng SA BC Lời giải 2 a a a 3 *) Ta có 60    SC;  ABC    SCH mà CH        6   Nên ta SH  tan 600.CH  a 21 Do thể tích khối chóp là: a a 21 a VS ABC   12 *) Dựng hình bình hành ABCD (điều tự nhiên cách tìm khoảng cách hai đường chéo nhau), d  SA; BC   d  B;  SAD   Ta quan sát khối chóp S ABD khối chóp tích với thể tích khối chóp S ABC tức VS ABD  a3 để tính d  B;  SAD   ta cần tính diện tích SAD 12 Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! 5a  2  AD  a ; SA  SH  AH  Ta có   DH  AD  AH  AD AH cos1200  19a  Do SD  10a Áp dụng cơng thức Heron ta được: S SAD  Vậy d  B;  SAD     10a 5a  a    3  p  p  SA  p  SD  p  AD   a p       3VS ABD a 42  SSAD VD6: (D - 2008) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông, AB  BC  a, cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' khoảng cách AM B ' C Lời giải *) Theo giả thiết ABC vuông cân B Vì thể tích khối lăng trụ là: VABC A ' B 'C '  a a  a 2 Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! *) Gọi D trung điểm BB ', đó: d  AM ; B ' C   d  B ' C;  ADM    d  C ;  ADM    d  B;  ADM   Ta quan sát khối chóp D ABM khối chóp tích a a a3 VD ABM  a  2 24 Vậy nên để tính khoảng cách từ B đến  ADM  ta cần tính diện tích ADM 2 a 2  a   a 2 a a a a 2 Ta có: AD   ; DM   ; AM  a       a       2 2     2 Do áp dụng cơng thức Heron ta được: SAMD  Vậy d  AM ; B ' C   d  B;  ADM    p  p  AM  p  MD  p  AD   14 a 3VD ABM a  SADM Nhận xét: Nếu biết cách linh hoạt phương pháp tốn khoảng cách trở nên dễ có nhiều lời giải hay! VD7: (THTT - 452) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng đáy I thuộc AB cho BI  AI Góc mặt bên  SCD  mặt đáy 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách AD SC Lời giải Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! *) Gọi E  CD : CE  2ED hay IE  CD Chứng minh 600     SCD  ;  ABCD    SEI Từ ta tính được: SI  tan 600.EI  a a3 Vì thể tích VS ABCD  a 3.a  3 *) Ta thấy AD / / BC d  AD; SC   d  AD;  SBC    d  D;  SBC   Ta quan sát khối chóp S.BCD tích a a3 VS BCD  a  Vì để tìm khoảng cách d  D;  SBC   ta cần tìm diện tích SBC Ta có:   2a  BC  a ; SB     a   SC  SI  CB  BI  Do S ABC    a 31 10a  a 31 10a  a   31  3  p  p  SB  p  SC  p  BC   a p       Vậy d  AD; SC   d  D;  SBC    3VS BCD 93a  SSBC 31 HẾT -Thanks for watching! Truy cập trang https://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa - GDCD tốt nhất! ... thể tích khối chóp là: VS ABCD a 3a a 3  a  *) Ta cần tính khoảng cách từ điểm A đến  SCD  , ta quan sát khối chóp S ABCD tích a a3 VS ACD  a  để tính khoảng cách ta cần có diện tích. .. theo cách trừ bí) Trước ta xét mức độ áp dụng phương pháp với đề thi thử, ta mở rộng cách làm phục vụ cho yêu cầu tính khoảng cách hai đường chéo mà đoạn vng góc chung khó tìm VD5: (A - 2 012 )... a 21 Do thể tích khối chóp là: a a 21 a VS ABC   12 *) Dựng hình bình hành ABCD (điều tự nhiên cách tìm khoảng cách hai đường chéo nhau), d  SA; BC   d  B;  SAD   Ta quan sát khối