Bài viết Phương trình Hamilton - Jacobi với dữ kiện lõm - lỗi từng phần nghiên cứu về bài toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp Hamiltonian và dữ kiện ban đầu là các hàm lõm-lồi từng phần.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI VỚI DỮ KIỆN LÕM - LỖI TỪNG PHẦN Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG i) Nếu Hamiltonian H (p) hàm lõm ngặt Báo cáo nghiên cứu toán Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi trường hợp Hamiltonian kiện ban đầu hàm lõm-lồi phần Kết đạt báo cáo là: với giả thiết đặt ra, tác giả thiết lập công thức nghiệm dạng Hopf – Lax cho nghiệm toàn cục Lipschitz toán NỘI DUNG BÁO CÁO H (p ) = −∞ |p| kiện ban đầu g(x ) hàm liên tục Lipschitz \ n , thỏa mãn lim |p |→∞ toàn cục \ n hàm ⎛ ⎛ x − y ⎞⎟⎞⎟ ⎟⎟ u(t, x ) = sup ⎜⎜⎜g(y ) + tH * ⎜⎜ ⎜⎝ t ⎠⎟⎟⎟⎠⎟ y ∈ \n ⎜ ⎝ (3) nghiệm tồn cục Lipschitz tốn (1) – (2) ii) Nếu Hamiltonian H (p) hàm lồi ngặt H (p ) = +∞ |p| kiện ban đầu g(x ) hàm liên tục Lipschitz \ n , thỏa mãn lim 2.1 Đặt vấn đề |p |→∞ Xét tốn Cauchy cho phương trình Hamilton-Jacobi n ⎧ ⎪ ⎪ut + H (ux ) = 0,(t, x ) ∈ Ω = (0,T ) × \ (1), ⎨ ⎪u(0, x ) = g(x ) , x ∈ \ n (2) ⎪ ⎪ ⎩ Hamiltonian H = H (p) kiện ban đầu g = g(x ) cho trước, ký hiệu Lip(Ω) tập tất hàm liên tục Lipschitz địa phương Ω Định nghĩa ([4]) Hàm u(t, x ) ∈ Lip (Ω) , Ω = [0,T ) × \ n , gọi nghiệm tồn cục Lipschitz tốn (1) - (2) u(t, x ) thỏa mãn (1) hầu khắp nơi Ω u(0, x ) = g(x ) với x ∈ \ n Trong báo [1] năm 1965, E Hopf chứng minh kết sau: tồn cục \ n hàm ⎛ ⎛ x − y ⎞⎟⎞⎟ ⎟⎟ u(t, x ) = infn ⎜⎜⎜g(y ) + tH * ⎜⎜ ⎜⎝ t ⎠⎟⎟⎟⎠⎟ y ∈\ ⎜ ⎝ (4) nghiệm toàn cục Lipschitz toán (1) – (2) iii) Nếu Hamiltonian H (p) hàm liên tục, kiện ban đầu g(x ) hàm lồi liên tục Lipschitz toàn cục \ n hàm ( ) u(t, x ) = sup x , y − g *(y ) − tH (y ) y ∈ \n nghiệm tồn cục Lipschitz tốn (1) – (2) iv) Nếu Hamiltonian H (p) hàm liên tục, kiện ban đầu g(x ) hàm lõm liên tục Lipschitz tồn cục \ n hàm u(t, x ) = infn x , y − g *(y ) − tH (y ) 171 y ∈\ ( ) Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 nghiệm tồn cục Lipschitz tốn (1) – (2) Ở đây, công thức (3) - (4), l *(z ) liên hợp Fenchel hàm l (p) Nếu l (p) hàm lồi ( ) l *(z ) = sup z, p − l (p) p∈\ n Định lý Giả thiết rằng, Hamiltonian H (p) = H (p1, p2 ), kiện ban đầu g(x ) = g(x 1, x ) thỏa mãn điều kiện sau: 1) Hàm H (p) = H (p1, p2 ) ∈ C (\) , lồi theo p2 lim |p2 |→∞ Nếu l (p) hàm lõm ( p∈\ ) n1 n × \ , y2 , z ∈ \ infn z 2, H z*2z (p1, y2 )z ≥ C z , y2 ∈ \ y2 ∈ \ 2 n2 3) Với x 1, x 2, p1, t cố định *1 ⎡ *1 ⎤ ⎢g (p1, x ) − g (p1, p2 ) +⎥ ⎛ x − p ⎞⎟ ⎥⎥ > −∞ lim inf ⎢⎢ *2 ⎜ 2⎟ |p2 |→∞ tH ⎜⎜p1, ⎢ ⎟⎥ ⎜ t ⎝ ⎠⎟ ⎦⎥ ⎣⎢ n x = (x 1, x ), x ∈ \ , x ∈ \ , n1 + n2 = n 4) Hàm g(x 1, x ) ∈ C (\ n ) hàm lồi theo Định nghĩa [2] Hàm f (x 1, x ) gọi lồi (lõm) theo x với x ∈ \ 2 sup z 2, g p*1p (p1, y2 )z ≤ C z Ở đây, với x ∈ \ n , ta tách sau biến x với x cố định n2 lim = g *1(p1, x ) − tH *2 (p1, 02 ) = +∞ | p1 | hàm f (x 1, x ) hàm lồi (lõm) x |p1 |→∞ Và ta có cơng thức liên hợp Fenchel phần sau 5) Với p = (p1, p2 ) ∈ \ × \ Nếu l (p) = l (p1, p2 ), hàm lồi theo n n n p1 ∈ \ với p = (p1, p2 ) ∈ \ × \ , l *1(z1, p2 ) = sup p1 ∈ \ n1 ( z ,p 1 ) n ( n ( z ,p 2 ) 6) Nếu p2 = p2 (p1, x 2, t ) nghiệm hệ phương trình − l (p1, p2 ) p2 ∈ \ , p2 ∈ \ n2 ⎡ ⎤ *1 *1 ⎢⎣E2 − tH p2p2 p1 − g p2 (p1, p2 ) g p2 (p1, p2 )⎦⎥ ≠ E2 ma trận đơn vị cấp n2 Nếu l (p) = l (p1, p2 ), hàm lõm theo l *2 (p1, z ) = infn n2 tồn số C 1, C cho Từ đến nay, có nhiều nhà Toán học nghiên cứu nhằm mở rộng kết E Hopf với điều kiện nới lỏng đặt lên Hamiltonian kiện ban đầu Báo cáo mở rộng kết theo hướng xét Hamiltonia kiện ban đầu hàm lõm - lồi phần, phát triển kết đạt [2] [3] n (p , p ) ∈ \ 2) Với l *(z ) = infn z, p − l (p) H (p1, p2 ) = +∞ | p2 | p2 + tH p (p1 − g *1(p1, p2 )) = x , với (x 1, x ) ) cố định, nghiệm p1 = p1(x 1, x 2, t ) hệ phương trình ⎛ x − p ⎞⎟ 2⎟ p1 − g p*1(p1, p2 ) + tH *2 ⎜⎜⎜p1, ⎟= ⎜⎝ t ⎠⎟ − l (p1, p2 ) 2.2 Kết Mục dành cho việc trình bày số kết cho toán Cauchy (1) – (2) trường hợp Hamitonian kiện ban đầu hàm lõm – lồi phần hàm khả vi theo x bị chặn theo t t đủ nhỏ Khi cơng thức 172 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8 u(x 1, x 2, t ) = ⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥ = sup infn ⎢⎢ 2⎟ n + tH *2 ⎜⎜⎜p1, p1 ∈ \ p2 ∈ \ ⎢ ⎟⎟⎥ ⎜⎝ t ⎠⎥ ⎢⎣ ⎦ xác định nghiệm tồn cục Lipschitz tốn Cauchy (1) – (2) Chú ý Cùng với số điều kiện tương thích tương ứng điều kiện ta đạt kết sau 1) Nếu H = H (p1, p2 ) lồi theo biến x , hàm g(x 1, x ) lõm theo x , u(x 1, x 2, t ) = ⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥ = infn infn ⎢⎢ 2⎟ p1 ∈ \ p2 ∈ \ ⎢ + tH *2 ⎜⎜⎜p1, ⎟⎟⎥ ⎜ t ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥ ⎦ nghiệm tồn cục Lipschitz tốn Cauchy (1) – (2) 2) Nếu H (p) = H (p1, p2 ) lõm theo biến x , kiện ban đầu g(x 1, x ) lồi theo x , u(x 1, x 2, t ) = ⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥ = sup sup ⎢⎢ 2⎟ n n + tH *2 ⎜⎜⎜p1, p1 ∈ \ p2 ∈ \ ⎢ ⎟⎟⎥ ⎜ t ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥ ⎦ nghiệm tồn cục Lipschitz tốn Cauchy (1) – (2) 3) Nếu H (p) = H (p1, p2 ) lõm theo biến x , kiện ban đầu g(x 1, x ) lõm theo x , u(x 1, x 2, t ) = ⎡ p , x − g *1(p , p ) + ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎛ x − p ⎞⎟⎥⎥ = infn sup ⎢⎢ 2⎟ p1 ∈ \ p ∈ \n2 ⎢ + tH *2 ⎜⎜⎜p1, ⎟⎟⎥ ⎜⎝ t ⎠⎥ ⎢⎣ ⎦ nghiệm toàn cục Lipschitz toán Cauchy (1) – (2) KẾT LUẬN Báo cáo trình bày kết mở rộng cơng thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm tồn cục Lipschitz tốn Cauchy cho phương trình Hamilton – Jacobi trường hợp Hamiltonian kiện ban đầu hàm lõm – lồi phần, kết coi cầu nối công thức (3) (4) [1] E Hopf mở rộng kết cơng trình [2] [3] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E Hopf, (1965), Generalized solutions of nonlinear equations of first order, J Math And Mech., Vol 14, pp 951-973 [2] Ha Tien Ngoan (1998), Hopf’s formula for Lipschitz solutions of Hamilton-Jacobi equations with concave-convex Hamiltonian, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 23, No 2, pp 269-293 [3] N.H Tho and Tran Duc Van, (2003), Hopf – Type estimates for solutions to HamiltonJacobi equations with cancave-convex initial data, Electronic Journal of Differential equations, Vol 2003, No 59, pp 1-11 173 ... Hopf với điều kiện nới lỏng đặt lên Hamiltonian kiện ban đầu Báo cáo mở rộng kết theo hướng xét Hamiltonia kiện ban đầu hàm lõm - lồi phần, phát triển kết đạt [2] [3] n (p , p ) ∈ 2) Với l... LUẬN Báo cáo trình bày kết mở rộng cơng thức dạng Hopf-Lax cho nghiệm tồn cục Lipschitz tốn Cauchy cho phương trình Hamilton – Jacobi trường hợp Hamiltonian kiện ban đầu hàm lõm – lồi phần, kết... hợp Hamitonian kiện ban đầu hàm lõm – lồi phần hàm khả vi theo x bị chặn theo t t đủ nhỏ Khi cơng thức 172 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 97 8-6 0 4-8 2-2 98 1-8 u(x 1, x 2,