Phần 1 cuốn giáo trình Đàn hồi ứng dụng bằng Applied elasticity trình bày các nội dung: Các khái niệm cơ bản, lý thuyết ứng suất, lý thuyết về biến dạng, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng, bài toán phẳng trong tọa độ vuông góc. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Đồ Kiến Quốc GIÁO TRÌNH DAN HGồI ƯỨNG DỤNG APPLIED ELASTICITY (Tái bản lần thứ hai) THU VIEN TRUNG TAM ĐHQG -HCM 910002697 EBOOKBKMT.COM
HO TRO TAI LIEU HOC TAP
NHA XUAT BAN DAI HOC QUOC GIA
TP HO CHI MINH - 2012
Trang 3MUC LUC LOI NOI BAU
Chương 1 CAC KHAI NIEM CO BAN
1.1 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu 1.2 Các giả thiết,
1.3 Sự liên quan giữa Lý thuyết Đàn hồi,
Lý thuyết Dêo và Lý thuyết Từ biến
1.4 Ý nghĩa của mơn hoc
Chương 2 LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
2.1 Các thành phần ứng suất và qui ước đấu
2.3 Các phương trình vi phân cân bằng 2.3 Điều kiện biên tĩnh học
24 Trạng thái ứng suất tại một điểm
3.5 Ứng suất chính và các bất biến của ứng suất
2.6 Ứng suất tiếp lớn nhất 2.7 Ứng suất bát diện
2.8 Khái niệm về tensor cầu và độ lệch của tensor ứng suất 2.9 Khái niệm về tensor Dạng chỉ số của các phương trình
Lý thuyết đàn hồi
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Chương 3 LÝ THUYẾT VỀ BIẾN DẠNG
3.1 Các thành phần biến dạng Tensor biến dạng
3.2 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị
3.8 Trạng thái biến dạng tại một điểm
8.4 Khái niệm về tensor cầu và độ lệch của tensor biến dạng
3.5 Các phương trình liên tục về biến đạng
Trang 4Chương 4 QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DANG 50 4.1 Định luật Hooke tổng quát 50
4.2 Quan hệ giữa ứng suất tiếp và biến dạng trượt
trên mặt bát diện 52
4.3 Định luật Hooke khối 53
4.4 Thế năng biến dạng đàn hồi 54
4.5 Các hằng số đàn hỏi của vật liệu 56
4.6 Các phương trình cơ bản của LTĐH và các phương pháp giải õ9
4.7 Định lý về sự duy nhất nghiệm : 63
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 66
Chương 5 BÀI TỐN PHANG TRONG TỌA ĐỘ VUƠNG GĨC 67
5.1 Khái niệm bài tốn phẳng 67
5.2 Thiết lập phương trình chủ đạo 68 5.3 Tổng quan các đường lối giải bài tốn LTĐH 71
5.4 Phương pháp đa thức 74
5.5 Đường lối nửa ngược 82
5.6 Giải bài tốn phẳng bằng phương pháp chuỗi lượng giác 90
BAI TAP CHUONG 5 94
Chuong 6 BAI TOAN PHANG TRONG TOA DO CUC 96
6.1 Khái niệm 96
6.2 Thiết lập phương trình chủ đạo 97
6.3 Bai tốn ống dày 108
6.4 Bài tốn uốn thanh cong 105 6.5 Bài tốn tập trung ứng suất trong tấm cĩ lỗ trịn 107 6.6 Khái niệm về cơ học phá hủy ui
67 Bài tốn lực phân bố trên nêm nhọn 116
BÀI TẬP CHƯƠNG 6 118
Chương 7_ BẰI TỐN ĐỐI XỨNG TRỤC TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ 121
7.1 Khái niệm 121
7.2 Các phương trình cơ bản 121
7.8 Thiét lập phương trình chủ đạo 128
Trang 5Chương 8 LY THUYET UON TAM MONG
8.1 Khái niệm và giả thiết
8.2 Phương trình vi phân của tấm chịu uốn 8.3 Điều kiện biên
8.4 Tấm chữ nhật tựa đơn 4 cạnh - Nghiệm Navier
8.5 Tấm chữ nhật tựa đơn 4 cạnh - nghiệm Lévy và Nádai
8.6 Bài tốn đối xứng trục của tấm trịn
BÀI TẬP CHƯƠNG 8
Chương 9 CAC NGUYEN LY NANG LƯỢNG VÀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHAN
9.1 Dat van dé
9.2 Các khái niệm: cơng, cơng bù, thế năng và thế năng bù
9.3 Nguyên lý thế năng tồn phẩn 9.4 Nguyên lý thế năng bù
9.6 Các phương pháp biến phân Phương pháp Rayleigh-Ritz
Chương 10 PHƯƠNG PHÁP PHAN TỬ HỮU HẠN 10.1 Giới thiệu phương pháp
10.2 Dàn phẳng
10.3 Dam va khung phẳng
10.4 Bài tốn phẳng với phần tử tam giác
Trang 7LỜI NĨI ĐẦU
Lý thuyết đàn hỗi là mơn học trình bày lý thuyết phân tích ứng suất, biến dạng va chuyén vj trong các uật thể đàn hồi cĩ hình dạng khác nhau, uì uậy nĩ đĩng uai trị cơ sở đối uới nhiều ngành khoa học kỹ thuật liên quan đến Cơ học uật rắn biến dạng, đạc biệt là các ngành cơng trình xây dựng, cơ khí, hàng khơng Mơn học này cung cấp các biến thức cơ bản uà phương pháp luận tổng quát trong lĩnh vue Cơ học uật rắn nĩi chung, đồng thời cung cấp lời giải của nhiều bài tốn cĩ ý nghĩa quan trọng cả uễ lý thuyết uà ứng dụng
Với tựa đề ĐÀN HƠI ỨNG DỤNG, tác giả muốn nhấn mạnh: khuynh hướng phục uự đối tượng sinh uiên thuộc các ngành khoa học bg thuật Trong các nội dung cụ thể, lý thuyết uà các bài tốn được chọn lọc để cĩ nhiêu ý nghĩa thực tiễn, giúp sáng tỏ thêm các khái niệm uà kiến thức mà sinh uiên đã tiếp thu trong mơn Sức bền vat ligu Dac biệt, những bài tốn quan trọng đối uới Cơ học đất như bài tốn Flamant, Boussinesq được trình bay uà làm rõ ý nghĩa thực tiễn của chúng; bài tốn tốm cĩ lỗ hình dạng khác nhau giúp cho
sinh uiên hiểu được hiện tượng tập trung ứng suất uà bước đầu lam
quen uới các khái niệm của Cơ học phá hủy
Ngồi uiệc trình bày tương đối kỹ các khái niệm uà kiến thức cơ bản, cuốn sách cịn bao gồm một số nội dung thiết thực đối uới ngành Cơng trình xây dựng như Lý thuyết uốn tấm mỏng Các nguyên lý năng lượng uà phương pháp biến phân cũng được trình bày, ngồi uiệc nêu ra một phương hướng giải các bài tốn dan héi,
cịn tạo ra các biến thức cơ sở cần thiết để sinh uiên tiếp thu Phuong
pháp phần từ hữu hạn
Để phù hợp uới hiến thức nền của sinh uiên các ngành khoa học
kỹ thuật, nội dung cuốn sách được trình bày bằng cơng cụ tốn giải tích Tuy nhiên, khái niệm tensor va dang chỉ số các phương trình cũng được giới thiệu để sinh uiên cĩ thể tiếp cận uới cách trình bày Lý
thuyết đàn hồi theo phép tính tensor tương đối phổ biến hiện nay
Trang 8Cuốn sách cĩ 10 chương, mỗi chương thường bao gỗm cả phần
lý thuyết uà bài tập hèm theo đáp số hoặc hướng dẫn cách giải để giúp củng cổ uà nắm uững hiến thức
Tác giả rất mong nhận được sự gĩp ý của đồng nghiệp va bạn
đọc để cuốn sách được hồn chỉnh trong lần in sau
Địa chỉ liên hệ: Bộ mơn Sức bên - Kết cấu Khoa Xây dựng Trường Đại học Bách khoa - Đại học Quốc gia TPHCM, 268 Lý Thường Kiệt Q.10 ĐT: (08) 8667951
“Tác giả
Trang 9Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Lý thuyết đản hồi (LTĐH) là một mơn học thuộc lĩnh vực của Cơ học uật rấm biến dạng, trình bày lý thuyết phân tích ứng suất, biến dạng và chuyển vị trong các uật thể đèn hỏi cĩ hình dạng khác nhau, chịu tác động của các nguyên nhân bên ngồi như tải trọng, sự thay đổi của nhiệt độ
Như vậy, nhiệm vụ của LTĐH cũng tương tự như Sức bên ật liệu (SBVL), nhưng khác nhau về đối tượng và do đĩ khác nhau vé phương pháp giải quyết
Nếu như vật thể được nghiên cứu trong SBVL cĩ dạng thanh là chủ yếu thì vật thể được nghiên cứu trong LTĐH nĩi chung cĩ hình dạng bất kì, như dạng khối, tấm và vỏ Trong trường hợp này, khái niệm mặt cát ngang khơng cĩ ý nghĩa, và đương nhiên giả thiết mặt cắt ngang phẳng của Bernoulli, giúp đơn giản hĩa rất nhiều trong lý thuyết SBVL, trở nên khơng dùng được trong LTĐH Bởi vậy, bài tốn của LTĐH phức tạp hơn, địi hỏi phải xây dựng một đường lối giải quyết tổng quát, áp dụng được cho các đạng vật thể khác nhau
Cũng chính vì thế, ngồi việc cung cấp lời giải của nhiều bài tốn cĩ ý nghĩa thực tiễn quan trọng, làm cơ sở cho một số mơn khoa học
khác, LTĐH cịn giúp hình thành phương pháp tư duy để giải quyết bài tốn Cơ học vật rắn biến dạng nĩi chung
Nghiệm của bài tốn LTĐH phải thỏa mãn phương trình chủ
đạo bên trong vật thể và điều kiện biên ở trên bể mặt Phương trình
chủ đạo được tạo ra bởi sự hợp nhất các nhĩm phương trình mơ tả sự thay đổi hình học, luật ứng xử của vật liệu (định luật Hooke), và điều
kiện cân bằng bên trong vật thé Diéu kiện biên thể hiện điều kiện
chuyển vị tại liên kết hoặc điều kiện tải trọng tác động trên bể mặt
Trang 1010 cHUONG 1
LTPH cố gắng dùng càng ít giả thiết càng tốt để đảm bảo tinh chặt chẽ của quá trình suy luận và tính chính xác của lời giải thu được Tuy nhiên, trong một số trường hợp LTĐH cũng dùng thêm một số giả thiết phụ để giảm bớt khĩ khăn về mặt tốn học, nhưng văn đáp ứng được độ chính xác mà thực tiễn kỹ thuật địi hỏi; chẳng
hạn giả thiết phần tử thẳng trong Lý thuyết tấm và vỏ, hay nguyên
lý Saint-Venant về hiệu ứng cân bằng cục bộ để giảm nhẹ điều kiện biên tĩnh học
Các bài tốn trong thực tế thường rất khác nhau về hình dạng,
điểu kiện liên kết và qui luật tác động của tải trọng Người ta chỉ tìm được nghiệm giải tích cho một số bài tốn tương đối đơn giản, cịn đối với các bài tốn phức tạp thì nĩi chung khơng tìm được nghiệm giải tích Trong mấy thập kỉ qua, dưới sự tác động của cuộc cách mạng tin học, các phương pháp số để giải bài tốn LTĐH phát triển rất mạnh Hiện nay, các bài tốn LTĐH chủ yếu được giải bằng Phương pháp phần từ hữu hẹn (Œinite Element Method - FEM) Đây là một phương pháp vạn năng, cĩ thể xét được sự bất kì
về hình dạng của vật thể Phương pháp phần tử biên (Boundary
Element Method - BEM) với ưu việt giảm được số chiêu và do đĩ giảm được số ẩn của bài tốn, cho khả năng giải quyết hiệu quả các bài tốn lớn và phức tap hai chiéu và ba chiểu, cũng đang phát
triển rất nhanh chĩng 1.2 CAC GIA THIET
Hình 1.1 Ảnh hưởng cấu trúc uật liệu đến phân bố ứng suất
Các vật liệu trong thực tế rất đa dạng và cĩ cấu trúc rất phức tạp Sự phân bố thật của ứng suất trong một vật thể phụ thuộc vào
hình dạng, tải trọng, liên kết của vật thể, ngồi ra cịn phụ thuộc
Trang 11CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 11
Lấy ví dụ một thanh chịu kéo Qui luật phân bố ứng suất trên một mặt cất do ảnh hưởng cấu trúc vi mơ của vật liệu được mình họa trên hình 1.1 Cĩ thể thấy rằng, so với qui luật phân bố đều dựa trên Lý thuyết sức bên vật liệu thì phân bố thật rất phức tạp Nĩi
chung, việc phân tích ứng suất trong một vật thể, cĩ xét tới cấu trúc
thật của vật liệu là rất khĩ khăn Để giải quyết vấn đề, LTĐH đã lý tưởng hĩa vật liệu và thừa nhận một số giả thiết đơn giản hĩa khác
như được trình bày dưới đây
1.21 Vật liệu được coi là liên tục, đồng nhất, đẳng hướng
và đàn hồi tuyến tính
Ta tưởng tượng lấy một phân tố bao quanh một điểm trong mot vật thể Nếu cho phân tố bé tày ý mà vẫn chứa vật liệu thì ta nĩi vật liệu liên tục tại điểm đĩ Giả thiết về sự liên tục của vật liệu làm cơ
sở để xây dựng khái niệm ứng suất và biến dạng tại một điểm, cho
phép sử dụng các phép tính của tốn giải tích như giới hạn, vi phân, tích phân Vật liệu liên tục là mơ hình tốn học của vật liệu thật, cĩ các đặc trưng cơ học giống như các đặc trưng vĩ mơ (xác định trên một thể tích vật liệu đủ lớn) tương ứng của vật liệu thật, như mơ đun đàn hỏi, hệ số biến dạng hơng, giới hạn đàn hồi Trong thực tế, ngay cả với vật liệu được coi là hồn hảo nhất như kim loại thi cing
eĩ cấu trúc vi mơ (chẳng hạn, từ mức độ mạng tỉnh thể trở đi) khơng,
liên tục theo nghĩa tốn học Giả thiết này giúp cho LTĐH tránh được việc khảo sát cấu trúc vi mơ của vật liệu thật, là việc rất phúc tạp, thậm chí khơng làm được
Vật liệu đồng nhất và đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ học tại
mọi điểm trong vật thể, theo các phương đều giống nhau Tính chất
cơ học được đặc trưng bởi các hằng số vật liệu như mơ đun đàn hồi,
hệ số biến dạng hơng, giới hạn đàn hỏi Thực ra, cấu trúc vi mơ của vật liệu thật khơng hồn tồn đổng nhất và đẳng hướng, nhưng sự sắp xếp của chúng thường là ngẫu nhiên theo mọi hướng, nên nếu vật thể cĩ kích thước đủ lớn thì giả thiết trên nĩi chung chấp nhận
được (trừ những vật liệu cĩ cấu trúc dị hướng rõ rệt như gỗ, vật liệu
composite, sgi thủy tỉnh cĩ định hướng Các đặc trưng cơ học của vật liệu dùng trong bài tốn LTĐH đều mang ý nghĩa trung bình cho một thể tích vật liệu đủ lớn, khơng xét tới cấu trúc vi mơ của vật
liệu thật tại từng điểm Vì vậy, ứng suất và biến dạng tìm được tại
Trang 12
12.5 CHƯƠNG 1
một điểm cũng cĩ ý nghĩa trung bình hĩa Tuy nhiên, cĩ những hiện
tượng vật lý địi hỏi sự đi sâu vào cấu trúc vật liệu Chẳng hạn, để hiểu cơ chế hình thành và lan truyền vết nứt trong kim loại do ung suất thay đổi (hiện tượng mỗi), người ta cĩ thể phải xét đến thành phần hĩa học, kích thước và hình dạng của các hạt tỉnh thể, sự định
hướng của chúng Khi đĩ vật liệu cĩ thể khơng được coi là đồng nhất và đẳng hướng nữa
Mật vật thể thật sẽ cĩ thay đổi hình dạng dưới tác dụng của
ngoại lực Tính chất đàn hồi của vật thể là khả năng khơi phục lại
hình dạng ban đầu của nĩ khi ngoại lực thơi tác dụng Nếu quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất, thì vật liệu được gọi là đả» hội tuyến tính Đối với các vật liệu, quan hệ ứng suất - biến dạng cho đến khi phá hoại nĩi chung là những đường cong Nếu giới hạn biến dạng trong một phạm vi đủ bé thì quan hệ này cĩ thể coi như là một
đường thẳng (chẳng hạn đối với thép) hoặc cĩ thể xấp xỉ với một đường thẳng Giả thiết vật liệu đàn hỏi tuyến tính làm giảm bớt sự
phức tạp về tốn học của bài tốn LTĐIL
1.2.2 Biến dạng và chuyển vị của vật thể là bé
Giả thiết này xuất phát từ điểu kiện cứng của các vật, thể (như
cơng trình, các bộ phận máy mĩc ) được sử dụng trong thực tế kỹ
thuật Điểu kiện cứng địi hỏi biến dạng và chuyển vị lớn nhất trong
vật thể phải nằm trong một giới hạn tương đối nhỏ Vì vậy, cĩ thể khảo sát sự cân bằng của vật thể boặc các phân tố được tách ra từ nĩ trên hình đạng ban đầu Giả thiết biến dạng bé và đèn hồi tuyến
tính thường đi với nhau Khi biến dạng lớn thì vật liệu thường thể
hiện tính chất đàn hổi phi tuyến hoặc đàn dẻo Trong trường hợp này, bài tốn tìm trường ứng suất và biến dạng của vật thể trở nên phức tạp hơn nhiều
1.2.8 Giả thiết về hiệu ứng cân bằng cục bộ (Nguyen ly Saint-Venant)
Nguyên lý Saint-Venant phát biểu như sau:
Nếu cĩ các hộ lực tương đương tĩnh học tác dựng cục bộ trên mot
diện tích đủ nhỏ của uật thể, thì trường ứng suất lân cận điểm đạt lực
cĩ nhiễu thay đổi, cịn trường ứng suất xa điểm đạt lực phụ thuộc rất
Trang 132ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 18
Như vậy, chỉ khi quan tâm đến trường ứng suất xa thì nguyên lý
này cho phép thay thế một hệ ngoại lực tác dụng cục bộ bằng một hệ
khác tương đương tĩnh học để trường ứng suất tìm được cĩ thể thỏa mãn điều kiện tác động của ngoại lực trên bể mặt Việc làm này được gọi là sự giảm nhẹ (hoặc nới lỏng) điểu kiện biên tĩnh học của bài tốn LTĐH
1.3 SỰ LIÊN QUAN GIỮA LÝ THUYẾT ĐÀN HOI (LTDH), LÝ THUYẾT
DEO (LTD) VA LY THUYET TU BIEN (LTTB)
Các lý thuyết đàn hồi, dẻo và từ biến đêu cĩ nhiệm vụ giống
nhau là tìm trường ứng suất và biến dạng trong vật thể chịu tác động của tải trọng, và đường lối giải quyết cũng tương tự nhau Sự khác nhau cơ bản của chúng nằm ở mơ hình vật liệu
“Trong LTĐH, vật liệu được giả thiết là đàn hồi tuyến tính Nĩi chung giả thiết này thích hợp trong trường hợp biến dạng cịn nhỏ Khi biến đạng lớn hơn, nhiều vật liệu bộc lộ biến dạng đẻo, nghĩa là cĩ biến dạng dư ngay cả khi tải trọng thơi tác dụng Lý thuyết đẻo nghiên cứu qui luật hình thành biến dạng đẻo và trạng thái ứng suất, ứng với quá trình biến dạng đĩ, được ứng dụng nhiều trong lĩnh vực
cơ khí, gia cơng kim loại
Ca LTDH va LTD đều thừa nhận rằng, nếu tải trọng và nhiệt độ của mơi trường khơng thay đổi thì trạng thái ứng suất và biến dạng
của vật thể cũng khơng đổi Thực tế thì một số vật liệu như bê tơng,
xi mang, lưới thép, đất, composite trong điểu kiện bình thường, và đặc biệt kim loại trong điểu kiện nhiệt độ cao, ứng suất và biến dạng do tải trọng ban đầu gây ra thay đổi theo thời gian ở các mức độ khác nhau Hiện tượng biến dạng tăng khi tải trọng khơng đổi gọi là biện tượng ndi- Hiện tượng ứng suất giảm khi biến dạng khơng đổi gọi là hiện tượng chùng
Nguyên nhân của sự thay đổi của ứng suất và biến đạng là do vật liệu cĩ tính nhớt Ngành Cơ học nghiên cứu hai hiện tượng này
Trang 1414 CHƯƠNG 1
Mặc đù qui luật ứng xử của vật liệu là khơng giống nhau trong
ba lý thuyết nĩi trên, nhưng phương pháp luận để giải quyết các bài
tốn thì tương tự Vì vậy, sự nắm vững LTĐH làm cơ sở cho việc nghiên cứu LTD và LTTB
1.4 Ý NGHĨA CUA MƠN HỌC
Mơn học L/TĐH cĩ ý nghĩa đặc biệt đối với các ngành kĩ thuật Nĩ cung cấp các kiến thức cĩ tính phương pháp luận đối với các mơn Cơ học vật rắn nĩi chung, giúp hiểu biết về cách chịu lực của các dạng kết cấu khác như: đấm dày, vách, tấm vỏ hoặc kết cấu khối 'Đây là các kết cấu rất thường gặp trong ngành xây dựng như tường,
sàn, lõi cứng, cầu thang trong nhà cao tầng, sự phân bố ứng suất
trong nền đất dưới mĩng, trong đê đập io? Tension ‘Compression ‘Stress ditbution on loaded diameter ns
Hình 1.3 Xác định độ bền kéo của bê tơng
Mơn học cung cấp lời giải một số bài tốn quan trọng, làm nén
tảng cho các mơn học khác như Cơ học đất, Cơ học phá hủy Nhiễu
bài tốn cĩ ý nghĩa ứng dụng rất cao; chẳng hạn bài tốn ép vật thể
Trang 15©ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 16
xác định độ bên kéo của bê tơng như hình 1.8, với cơng thức xác định cường độ kéo của bêtơng:
Bài tốn trường ứng suất ở vai cột giúp xác định cấu tạo cốt thép như hình 1.8 Nhu vay, đây là mơn học bổ ích cả về bể sâu và bể rộng trong các ngành kĩ thuật
Trang 16Chương 2
LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
2.1 CÁC THÀNH PHẦN UNG SUAT VÀ QUI ƯỚC DẤU
Khi một vật thể chịu sự tác động từ bên ngồi như tải trọng hoặc sự thay đổi nhiệt độ, trong vật thể sẽ phát sinh ứng suất Với giả thiết vật liệu là liên tục, ứng suất tồn phản tại một điểm trong
vật thể trên một mặt nghiêng nào đĩ (H.2.1) được định nghĩa bởi
phương trình:
p= tim SE sano AA
trong đĩ 4F là vi phan hop lye ti phan vat thé tưởng tượng bỏ đi tác động trên vi phần diện tích AA bao quanh một điểm của phần vật thể được xét *
Ứng suất p tại một điểm được xác định khi biết trị số, phương
chiểu và bể mặt mà nĩ tác dụng Về mặt tốn học, ứng suất tại một
điểm được mơ tả bằng một fensor hạng 2 goi 1a tensor ung suất và
được kí hiệu là Tụ,
Hình 2.1 Định nghĩa ứng suất tại một điển:
Nếu tách từ vật thể một phân tố hình hộp vơ cùng bé cĩ các mặt song song với các mặt tọa độ và phân tích ứng suất tồn phần trên
Trang 17LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT 7 Hình 3.9 Các thành phần ứng suất Cĩ tất cả chín thành phần ứng suất, gồm: - Ba ứng suất pháp ơx, oy, o
~ Sáu ting suat ti€p ty, Yyy, Tyz trys Tex Tez Ni
- Chỉ số thứ nhất thể hiện pháp tuyến của bể mặt mà ứng suất đĩ tác dụng
- Chỉ số thứ hai thể hiện phương tác dụng của nĩ
"Trong kỹ thuật thường dùng kí hiệu ø để chỉ ứng suất pháp và t để chỉ ứng suất tiếp Chẳng hạn:
chung, mỗi thành phần ứng suất cĩ hai chỉ số:
ø„ là ứng suất pháp trên mặt cĩ pháp tuyến theo phương z (bỏ bớt một chỉ số x cho gon)
+„y là ứng suất tiếp theo phương y trên mặt cĩ pháp tuyến theo phương x
Định luật đối ứng của ứng suất tiếp vẫn đúng trong trường hợp
phân tố trạng thái ứng suất khối như sau: Tay = tye tye = Taye Tex = tae
Nhu vậy, chỉ cĩ sáu thành phần ứng suất độc lập
Một £ensor ứng suất được xác định khi biết các thành phan me
suất trong một hệ trục tọa độ Các thành phần này thường được ae xếp thành một ma trận vuơng đối xứng, với kí hiệu kỹ thuật hoặc kí
hiệu chỉ số như sau: _
'THƯ VIỆN TRUNG TÂM ĐHQG-HCM:
910002857
Trang 1818 CHƯƠNG 2 Ce ty tz] [Sn Se 3
T.=|Tye Sy Ty2]=|521 Øzs S23 tex Tey Ơz | LS S32 Ởa3
Cách kí hiệu chỉ số thường được dùng khi áp dụng phép tính
tensor đề suy diễn và thể hiện các phương trình của LTĐH Trong
trường hợp này, các trục tọa độ x, y, z được thay bằng các kí hiệu cĩ chỉ số x„ x2, x9 Ưu điểm nổi bật của việc dùng kí hiệu chỉ số là cĩ
thể trình bày các phương trình của LTĐH và quá trình suy diễn rất ngắn gọn Tuy nhiên, để phù, hợp với người đọc chủ yếu thuộc các
ngành kỹ thuật, cách kí hiệu kỹ thuật (dễ hiểu hơn) sẽ được dùng trong tài liệu này
Qui ước dấu của các thành phần ứng suất như sau:
Trên bể mặt của phân tố cĩ pháp tuyến ngồi cùng chiểu với một trục tọa độ, các thành phần ứng suất cùng chiểu với các trục tọa độ thì cĩ dấu đương
Ngược lại, nếu pháp tuyến ngồi ngược chiểu với một trục tọa
độ, thì các thành phẩn ứng suất cĩ đấu dương ngược chiều với các
trục tọa độ
Chẳng hạn, các thành phần ứng suất trên hình 2.2 đều cĩ dấu
đương
2.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CAN BANG
“Trước hết ta xét bài tốn phẳng trong hệ trục tọa độ xOy Các
thành phần ứng suất gồm ø„ Ø„z„,s„; chúng là những hàm số chỉ phụ thuộc hai tọa độ x;y chứ khơng phụ thuộc tọa độ z (theo phương Z chúng là những hằng số) Điểu kiện cân bằng trong mặt phẳng xOy khơng phụ thuộc bể dày £ của vật thể, vì vậy cĩ thể chọn ¿=7 để đơn giản hĩa việc thiết lập các phương trình cân bằng
Xét một phân tố vơ cùng bé ABCD cĩ kích thước d+.dy.1, với các
thành phần ứng suất va các thành phần của lực thể tích X và Y (thứ
nguyên Ƒ/L*) theo phương các trục tọa độ như trên hình 2.8, các ứng
Trang 19LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT 19
Vì phân tố là vơ cùng bé (VCB) nên mỗi mặt cĩ thể lấy trị số
ứng suất trung bình Sự thay đổi ứng suất theo tọa độ chỉ xét tới các số hạng VCB bậc 1, tức là ngắt bỏ các số hạng VCB bậc cao của chuỗi Taylor Xét một hàm f(x,y) bat ki, gid tri cla hàm tại điểm
lân cận x+dx, y+dy được khai triển theo chuỗi Taylor tại điểm z, y
như sau:
Ha tds, y+dy)= f+ Ldx+ ZL dy+VoB bậc cao
Áp dụng cơng thức này để tính ứng suất pháp trên mặt CD ta
¬ dx vi dy = 0 đối với các điểm trọng tâm của
các mặt CD và AB Các thành phần ứng suất khác cũng được tính tương tự thu được giá trị ơ„ + 2, a “+ 9y | + Bay ¬ ieee ox AG) TL Hình 2.3 Phân tổ ứng suất phẳng
Đối với phân tố ứng suất phẳng trên hình 2.3, cĩ ba phương trình cân bằng độc lập sau đây: + ao, : Oye
(0, + 22s dx ydy ~ 0gdy + (Syn + GE dy ids — tyae + Xddy = 0
Rút gọn phương trình này ta thu được:
ar
Trang 2020 CHƯƠNG 2
“Tương tự với phương trình ZF„
Ory +2+¥=0 ơm n (2.1b)
Phương trình cịn lại là điều kiện cân bằng mơmen ZM=0 đối với
trọng tâm của phân tố Khi này chỉ cĩ ứng suất tiếp tham gia trong
phương trình cân bằng:
dy oe ty Oye
ax,
Thu an dyydx
Đơn giản hĩa và ngắt bỏ các số hạng VCB bậc cao, ta thu được định luật đối ứng của ứng suất tiếp cho phân tố phẳng:
yy = Tye (2.2)
‘Trong trường hợp phân tố trạng thái ứng suất khơng gian, cĩ tất cả sáu phương trình cân bằng độc lập Các phương trình cũng được
thiết lập tương tự như đối với phân tố phẳng
Lấy phương trình cân bằng hình chiếu theo ba trục tọa độ dẫn tới hệ phương trình sau đây:
Be, +S Beano
(2.3)
Phương trình cân bằng mơ men đối với ba trục đi qua trọng tâm phân tố và song song với các trục tọa độ dẫn tới các phương trình
đối ứng của các thành phần ứng suất tiếp:
ty = ty ta thổ Tyy" try (2.4)
Néu thế phương trình (2.4) vào (2.3), ta cĩ ba phương trình chứa
sáu thành phần ứng suất độc lập Như vậy, bài tốn tổng quát của
Trang 21LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT at
2.3 DIEU KIEN BIEN TĨNH HỌC
Bể mặt của một vật thể đàn hỏi gọi là biên, được chia ra biên
tĩnh học 6, và biên động học S4
Biên tĩnh học, là nơi cho trước ngoại lực là lực phân bố bể mặt
Biên động học là nơi cĩ liên kết ràng buộc, ở đĩ điểu kiện
chuyển vị được xác định
Điều kiện biên tinh học - cũng gọi là điểu kiện bể mặt - thể hiện sự liên hệ giữa các thành phần ứng suất trong vật thể tại vùng biên
và ngoại lực phân bố trên bể mặt
Hình 2.4 Bài tốn phẳng uà phân tố trên biên tĩnh học
"Trước hết, xét bài tốn phẳng cĩ bể dày đơn vị trên hình 2.4a
Tách một phân tố VCB trên biên tĩnh học (H.3.4b), cĩ các cạnh là dx, dy va ds Lực bể mặt được phân tích theo phương các trục tọa độ là Ä và Ÿ Cosine chỉ hướng của pháp tuyến v được kí hiệu lần lượt là ƒ và m nhu sau: = cox(ysx)= core = 2 L=cos( eae a= m =cos(v,y) = cos B= 2 ds ()
Vì phân tố phải ở trong trạng thái cân bằng, nên thiết lập được
các phương trình sau đây:
Trang 2222 CHƯƠNG 2 Chia hai vế cho đs và chú ý đến các quan hệ (a), ta thu được phương trình: G,4+ gui = Ä (25a) Tương tự với EY = 0: Tol + om = ¥ (2.5b)
Khi thiết lập các phương trình (2.5) đã bỏ qua lực thể tích là
'VCB bậc cao hơn so với các số hạng chứa ứng suất và lực bể mặt
Trong trường hợp bài tốn khơng gian, phân tố được tách ra là một tứ diện, cĩ ba mặt song song, với các mặt tọa độ, các cosine chi hướng lẩn lượt là I, m và n Các thành phần của lực bể mặt theo phương của các trục tọa độ là Ÿ, Ÿ và Z Thiết lập các phương trình cân bằng hình chiếu ” của các lực tác động trên phân tố theo ba phương:
5X = 0; LY = 0; SZ = 0 ta thu duge ede phương trình điểu kiện biên
tĩnh học, trong đĩ đã sử dụng luật đối ứng của ứng suất tiếp, như sau:
Hình 3.5 Ứng suất trên mặt nghiêng
Olt tygm + ten =X tyl+o,m+t,n=P (2.6) tul+t,m+on=Z Hệ phương trình này cĩ thể viết dưới dạng ma trận: Sy tye Ta |(E (x ty Oy ty |ympaye @7) Ta tye 92 |" z
Các phương trình (2.6) hoặc (2.7) thể hiện sự liên hệ giữa các
thành phẩn ứng suất tại biên tĩnh học của vật thể và lực phân bố
Trang 23Ly THUYET UNG SUAT 23
2.4 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ĐIỂM
Cauchy định nghĩa trợng thái ứng suất tại một điểm trong vat thể là tập hợp các thành phân ứng suất trên mọi mặt cắt đi qua điểm đĩ Một cách tương đương, để xác định trạng thái ứng suất tại một điểm thì cẩn phải xác định các thành phản ứng suất pháp và
ứng suất tiếp trên một mặt cắt bất hà
Giả sử đã biết các thành phần ứng suất trên các mat song song với các mặt tọa độ như trên hình 2.5, chúng sẽ được xác định khi bài
tốn LTĐH được giải Cần tìm ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên
một mặt nghiêng bất kì cĩ uécfơ pháp tuyến đơn vị v, với các cosine chi hướng là J, m,n
Ứng suất tồn phẩn p, trên mặt nghiêng ABC của phân tố tứ
diện thực chất là lực phân bố bể mặt Nếu cũng phân tích đ, ra các
thành phẩn X, Ÿ, Z theo các trục tọa độ thì chúng sẽ được xác
định theo ứng suất trên các mặt tọa độ giống như các phương trình (2.6) ở trên: =o, + tym + tan “3 = tại + gym + tự (2.6) N = tel + tym + on Từ đĩ xác định được ứng suất tồn phần p„ như sau: P2 = X74 774 Z? (2.8) Thành phẩn ứng suất pháp ơy được tìm bằng cách nhân vơ hướng 0écơ D,(X,Y,Z) với uéctơ pháp tuyến đơn vi ¥(Lm,n):
oF Xl+¥m+Zn (2.9)
“Thế các giá trị của Ấ, Ÿ, Z từ phương trình (2.6) vào (2.9) và
biến đổi, ta thu được:
ơy= ơl? +oym2 + ơ„? + 2t„Ìm + 2pyumn + 2t„„nl (2.10)
Ứng suất tiếp r„ được xác định như sau:
tỂ = pỄ = ø (2.11)
Trang 2424 CHƯƠNG 2
2.5 UNG SUAT CHINH VA CAC BAT BIEN CUA UNG SUAT
Tại một điểm trong vật thể, cĩ vơ số mặt cắt nghiêng đi qua
Các thành phần ứng suất phụ thuộc vào vị trí của mặt cất Người ta
gọi mặt chính là mặt cĩ ứng suất tiếp bằng khơng Ứng suất pháp
trên mặt chính gọi là ứng suất chính
Gọi v là pháp tuyến của một mặt chính Ứng suất chính được kí
hiệu là ø Như vậy, trên mặt chính ta cĩ:
Py = WTO
Các thành phần của ứng suất chính phân tích theo ba trục tọa độ lân lượt là:
Ä =ơl Ÿ =ơm; Z =ơn
hoặc được viết dưới dạng ma trận: ø 1 m (2.12) s]\¬ NI hội Đi a “Thế phương trình (2.12) vào (2.7) ta cĩ: S ty tal{l) fo 1 ty Sy telymp=| a iim (2.18) olla ta tye Ơz Chuyén vé phuong trinh (2.13), ta thu duge: (2.14) Đây là bài tốn trị riêng Lý thuyết ma trận chứng minh rằng một ma trận vuơng cấp 3, thực và đối xứng trong trường hợp tổng
Trang 25LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT 2
Vì các thành phần J, m, n của uéc(ơ pháp tuyến khơng đơng
nhất bằng khơng, nên định thức của ma trận vuơng trong phương trình (2.14) phải triệt tiêu:
Or“ Ty (2.15)
“Triển khai định thức, ta thu được một phương trình bậc 8 đối với ứng suất chính ơ:
d°~0(0,+Gy+0,)+0 (ơ,0y+0y0;+0:0,—ty? —tyy Tuy)
~(ơ,øỳ, + #tytztrx — Gytyi— Oytex” = Grtay”) = 0 Ơy0y0, + Đtuyfyzox — Oyfye— Oyfmx — Øvfay ) = (2.16) -
“Trong trường hợp tổng quát, phương trình (2.16) cho ba nghiệm
thực phân biệt ơi, 02, 03
Vì định thức (8.15) triệt tiêu nên chỉ cĩ hai phương trình độc lập trong (2.14) Để tìm pháp tuyến chính v; nào đĩ, ta thay thé o trong
(2.14) bởi ø¡, và bổ sung thêm điểu kiện:
đỀ + mồ + nề
(2.17)
ta sẽ cĩ ba phương trình độc lập để tìm được ba thành phan ;, m và nị của oéctơ pháp tuyến đơn vị vị Làm như vậy với ¿ = 1, 2, 3, ta
lần lượt thu được uécơ pháp tuyến đơn vị của ba mặt chính: h b 4 Si=qmyp; Vo= jmeps Vas yms m nạ ng Cée vécto nay théa man điểu kiện trực giao ÿ¡.Ÿ; = 0, hay: Lb + mimy + ning = 0, i ej (2.18)
Phương trình (2.18) cĩ thể được dùng để kiểm tra lại các kết qua
tính tốn các trị riêng (các ứng suất chính) và các vécto riéng
(phương của các ứng suất chính) của tensor ting suất Nếu phương
trình (2.18) khơng thỏa mãn thì hoặc là trị số các ứng suất chính
Trang 2628 CHƯƠNG 2
Các ứng suất chính ơi, og và ơạ tại một điểm trong vật thể
khơng phụ thuộc vào hệ trục tọa độ Để cho các trị số ứng suất chính 01, ơ; và ơa là duy nhất, các hệ số của ơ trong phương trình (2.16) phải khơng phụ thuộc vào hệ trục tọa độ, và được gọi là các bất biến của /ensor ứng suất Cĩ ba bất biến bậc 1, bậc 2 và bậc 8 như sau:
lì = Gutoy+o,
lạ = Gy0y+Gy0z+0y0y Tuy” —ty tuy” (2.19) Tg = 040502 +2txytystex — Ơyty2— Ơytyy” — Ơutxy”
Nếu ba trục tọa độ là ba phương chính, thì các ứng suất tiếp
bằng khơng Khi này các bất biến trở thành: y= 01+ 02+ 05
Ip = 0102 + 6203 + 0301 (2.20)
Ts = 010203
Đây là ba bất biến cơ bản của tensor ứng suất Các tổ hợp cùng
thứ nguyên của các bất biến này cũng là các bất biến, ví dụ J1” ~ 3ïz
Để tìm ứng suất chính trong trường hợp tổng quát cẩn phải giải
(2.16), là một phương trình đại số bậc 3 Phương trình này cĩ dạng: y+ py +qytr=0 Cĩ thể đổi biến bằng cách đặt yae-Z, ta thu duge: 2 x2+ax+b=0 trong đĩ: œ= 30a -p°) va b= Fer ~9pq + 27r) be a b_ |b° a*
Đặt: ape ee, avatar? BW t- Pee o-Voto
thì nghiệm z lấn lượt cĩ các giá trị
Trang 27
Ly THUYET UNG SUAT 27
Các trường hợp nghiệm của phương trình bậc 8 phụ thuộc vào dấu của biệt thức như sau:
2 g3
a+ >0 cĩ một nghiệm thực, hai nghiệm phức liên hợp
Ba? + $50 c6 ba nghiệm thực, ít nhất cĩ hai nghiệm giống nhau Fi bi Ba? + G7 <0 c6 ba nghiệm thực phân biệt
'Trong trường hợp cuối, cĩ thể tìm nghiệm dưới dạng lượng giác như đưới đây Gĩc ® được tính từ biểu thức: : Gửi @ cos l-z) nghiệm z sẽ cĩ các giá trị sau: ® 2D |_ ®, 2| #cos(C+120%; 2, 2jTge°%Si 2jTg c99Gg+120); Vi dụ: Tìm các ứng suất chính của /ensor ứng suất sau: cos? + 240°) 5 0 0 T,=|0 -6 -12 0-12 1
Ở đây các thành phần 4, = ti = 0 Theo cơng thức (2.19), ta cĩ
các bất biến của £ensor ứng suất: l,=5+(-6) +1=0 Tp = 5(-6) + (-6)1 + 1,5 — (19)? = -175 Is = 5(-6)1 — (12)? = -750 Các ứng suất chính được xác định bởi phương trình (2.16): 0° - No? + no - Is= 0 hay øŸ - 1750 + 750=0
Trang 2828 CHƯƠNG 2
nên phương trình cĩ ba nghiệm thực phân biệt Ta tìm nghiệm dưới dạng lượng giác như sau: Tê ~750/2 cos®= = =-0.8416 ea suy ra ® = 147° Các ứng suất được tính như sau: @ oe? =I75 |, 147 0, = 2)-§ e085 = 2-5 cos 175.147? | 199°: 3 =2, | cos $+ 120°)= of EB cos(Z— + 120%) = =15 © HITS 005 147° = 2-5 cos(2 + 240%) =2,]-——= 40°) = 5 62 =2, gong 40°) = 2,|-— > cos + 240") =
Cĩ thể đơn giản hĩa cách tính nĩi trên với nhận xét ơạ =õ là một ứng suất chính của #ensor ứng suất đã cho vì trên mặt đĩ khơng
cĩ ứng suất tiếp Lấy phương trình bậc 8 chia cho (o-5), ta thu duge phương trình bậc 2 sau: 0? 50 +150=0
2.6 UNG SUAT TIEP LON NHAT
Để đánh giá điều kiện bên của một phân tố theo thuyết bển ứng suất tiếp, cẩn phải xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm đĩ
Xét một phân tố trong hệ trục tọa độ xyz trùng với các phương chính như trên hình 2.6 Mặt nghiêng cĩ pháp tuyến v, với các
cosine chỉ hướng Ì, m, n Ứng suất pháp và tiếp trên mặt nghiêng
Trang 29LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT 29
Hinh 2.6 Tim tng suất tiếp lớn nhất
Ứng suất tiếp trên mặt nghiêng bất kì phụ thuộc vào ba biến là
các cosine chỉ hướng của uécfơ pháp tuyến: ty = ty (, mm, n) Cĩ thể
đơn giản biểu thức của tụ, ta loại bớt một cosine chỉ hướng, chẳng
hạn n, bằng quan hệ (2.17):
n? = 1-P—m? ©
“Thế (e) vào (b) ta thu được ty là một hàm số của hai biến: tụ = ty Œ, m) Cực trị của t, được tìm từ diểu kiện cho các đạo hàm bậc nhất bằng khơng: oe @ Sau khi đơn giản hĩa, ta thu được hai phương trình: te; —Gạ)? + (2 ~65)m® ~3 (0, ~65)]=0
m{(G, - 95)? + (62 ~53)m? ~ Foz -ogn=0 (e)
Một nghiệm của (e) là /
một mặt chính cĩ ứng suất
đến mặt nghiêng cĩ ty z 0
m = 0, tuong ting 1A n = +1 Đây là Ð + = 0 Tuy nhiên, ta chỉ quan tâm
Chẳng hạn, / = 0 sẽ thỏa mãn phương trình thứ nhất của (e)
Trang 3030 GHƯƠNG 2
"Tương tự, thế m = 0 (thỏa phương trình thứ hai) vào phương
trình thứ nhất ta tìm được ¿ = +V1⁄2, và tương ứng là n = +1/2
Nếu ta loại bỏ biến mm thì ty = ty Œ, n) Lặp lại quá trình trên, cho n = 0 ta thu được ¿ = +V1/2, m = +12
Các kết quả cĩ thể trình bày trong bảng dưới đây: aft zt L ° ° “t 9 *Íz ie j : "ma | + [sp | + [a TP os ee Các mạt chính, r = 0 Các mặt nghiêng, r cực trị
C6 tất cả sáu mặt nghiêng, 45° so với phương chính, vuơng gĩc từng đơi với nhau, trên đĩ cĩ ứng suất tiếp cực trị như hình 2.7 Véctơ' pháp tuyến của chúng cĩ các cosine chỉ hướng nằm trong ba cột cuối
cùng của bảng Lần lượt thế các trị số J, m, n của từng mặt nghiêng
vào phương trình (b), ta thu được các trị số ứng suất
mặt vuơng gĩc từng đơi như sau: lếp trên ba cặp n= #4(0; -62) 12 = £5(0, =9;
tạ= +o, =) (2.21)
Trang 31LÝ THUYẾT ỨNG SUAT 3
Nếu các ứng suất chính được kí hiệu sao cho gj > o2 > o3 (theo nghĩa đại số) thì ứng suất tiếp lớn nhất là ma Trị số này được dùng để đánh giá điểu kiện bên của vật liệu đẻo theo thuyết bến ứng suất tiếp 2.7 UNG SUAT BAT DIEN Mặt bát diện là mặt nghiêng đều với các mặt chính, như trên hình 2.8 Nếu chọn hệ trục tọa độ các phương chính thì trị số của các cosine của mặt bát diện đối với ba trục tọa độ là như nhau: WW =|ml=[nl= 7 - v3 35 Hinh 2.8 Một mat bát diện Như vậy, cĩ tất cả tám mặt bát điện Áp dụng lần lượt các phương trình (2.8), (2.10), và (2.11) ta tính được ứng suất tồn phần, ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt bát diện: (2.22) Seg = (01 +52 +05)=
thư SG: —92Ÿ +0; =gaƯ” + (0a =0
Nếu biểu diễn sa theo các bất biến của ứensor ứng suất, ta cĩ:
2
tổ =7 ~812)
Như vậy, các ứng suất trên mặt bát diện đều là các bất biến, vì
vậy rất tiện lợi cho việc đánh giá trạng thái chịu đựng của vật liệu
Ứng suất tiếp: nạ đĩng vai trị quan trọng trong Lý thuyết dẻo (hoặc
Trang 3232 CHƯƠNG 2
2.8 KHÁI NIỆM VE TENSOR CAU VA BO LECH CUA TENSOR UNG SUAT
Người ta nhận thấy rằng, phan lớn các vật rắn cĩ thể chịu được
áp lực rất lớn theo các phương - chẳng hạn áp lực thủy tĩnh - mà
khơng bị phá hoại Ngược lại, cũng các vật rắn này lại bị phá hoại
bởi các ứng suất nhỏ hơn nhiều, nếu các hệ ứng suất đĩ vẻ cơ bản
làm thay đổi hình đáng của vật thể Đây là cơ sở để để xuất thuyết,
bên thế năng biến đổi hình đáng thường được trình bày trong các tài liệu về Sức bên uật liệu
“Tương ứng với sự thay đổi thể tích và hình đáng của một phan tố, người ta phân tích ýensor ứng suất 7 ra hai thành phần, gọi là
tensor céu TT? và độ lệch của tensor ứng suất Dạ: Ty =Tg + D, (2.23) Dùng khái niệm ứng suất trung bình: oy =2(0, +9, +02) (2.24) ta cĩ: (2.25) te Tye (2.26) S; ~,,
Cơ sở của phép phân tích này là nguyên lý cơng tác dụng như, được mình họa trên hình 2.9 Phân tích tensor ứng suất và các biến đạng tương ứng + H= ⁄ T A Ae % cs 6,0m
Biến đạng tổng quát “Chỉ thay đổi thể tích Ch thay đổi hình đáng,
Trang 33LY THUYET UNG SUAT 33
Để đánh giá điều kiện dẻo, hoặc điều kiện bén eda vat ligu déo theo thuyết bên thế năng biến đổi hình đáng, chỉ cĩ độ lệch của
tensor ting suất D„ là được quan tâm, cịn vai trị của £ensor câu Te
thì được bỏ qua
2.9 KHÁI NIỆM VỀ TENS0R DẠNG CHỈ SỐ CUA CAC PHUONG TRINH LÝ THUYẾT ĐÀN HỔI
Chúng ta đã quen thuộc với các đại lượng tốn học vơ hướng và oéctơ Các đại lượng này là sự khái quát hĩa để mơ tả các đại lượng trong vật lý, cơ học Chẳng hạn, các đại lượng như khối lượng, năng lượng, nhiệt độ, diện tích xác định bởi trị số của chúng, được mơ tả bằng đại lượng vơ hướng Các đại lượng như lực, chuyển vị, vận tốc xác định bởi trị số và hướng, được mơ tả bằng đại lượng 0écfơ
“Tuy nhiên, cĩ những đại lượng cơ học như ứng suất tại một điểm
trong vat thể khơng mơ tả được bởi một uécứơ, vì nĩ xác định bởi ba
yếu tố: trị số, hướng và bể mặt tác dụng
'Vẻ mặt tốn học, ứng suất là một £ensor hạng 2
Tensor là một đại lượng tổn tại độc lập với hệ tọa độ, nhưng trong mỗi hệ tọa độ thì nĩ cĩ các thành phẩn phụ thuộc vào hệ tọa độ đĩ Trong các hệ tọa độ khác nhau, các thành phần của /ensor được liên hệ bởi luật biến đổi, tùy thuộc vào hang tensor
“Trong khơng gian Euclide ba chiểu, một tensor hạng N cĩ 8Ÿ thành phân 7ensor hạng khơng là một vơ hướng, cĩ 1 thành phần
Tensor hạng 1 là một uéctơ, cĩ ba thành phẩn
Tensor hang 2 - chẳng hạn £ensor ứng suất tại một điểm - cĩ 9 thành phần
Trong khơng gian ba chiều, người ta kí hiệu các trục tọa độ cĩ chi s6 x, xp, xạ thay vì z, », z Các thành phần của một £ensor sẽ mang chỉ số, nhận các giá trị 1, 2, 3 Số chỉ số độc lập của một tensor bing hạng của nĩ Một fensor được xác định khi biết các thành phần, ví dụ uécfơ a, tensor ting sudt oy
Binstein dua ra quy ước tổng như sau: Khi một chỉ số xuết hiện
hai lần (gọi là chỉ số câm) trong một số hạng thì được hiểu là lấy
tổng ứng uới chỉ số đĩ lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3 Chi số cam
Trang 3434 CHUONG 2 ‘Vi dy, tích vơ hướng của hai véctơ ä và 5 duge viet theo quy ước tổng như sau:
8-B= giồt + qaÐy + đạÐa = điƯ¡
Biểu diễn (ensor dạng chỉ số cùng với quy ước tổng cho phép viết, các phương trình của LTĐH rất ngắn gọn Dưới đây là dạng chỉ số của một số phương trình trong chương 2
Phương trình u¡ phân cân bằng (2.7): eo, Asx, =0 ý (7a) * 60; Nếu kí hiệu gon hon: of, =~ ex; thi phuong trinh (2.7a) duge viét lai: øjj+Xị=0 (2.7b)
"Trong (2.7a) nếu cho ¿ = 1, theo quy ước tổng ta lấy j = 1, 2,3 va cộng lại sẽ cĩ phương trình đầu tiên của (2.7):
ơn „ Ờ2i „Ê0ạL +231 4X, =0 âm Tây Tân TỔ
Nếu quay trở lại kí hiệu thơng thường thì phương trình này được
viết lại như sau: :
ơn
#2 LÊ, X =0
a Ø3
Cho ¿ = 2 và ¿ = 8, ta thu được hai phương trình sau của (2.7) Chú ý rằng, các thành phần của lực thể tích cĩ kí hiệu khác nhau: LX Y Z) theo cách viết thơng thường và (X; X¿ X;} theo cách viết chỉ số Như vậy, một phương trình (2.7a) dạng chỉ số tương đương
với ba phương trình của (2.7) viết đưới đạng thơng thường Phương trình điều kiện biên tĩnh học (2.8):
gụn, =Ã; : (28a)
với uéctơ lực bễ mặt viết theo dạng chỉ số là X,={X, X_ Ã;} thay
vì dạng thơng thường (# Ÿ Z}, các cosine chỉ hướng của bể mặt
Trang 35LY THUYET UNG SUAT 35
Các bất biến của tensor ứng suất: h=S¡ 1y =5 0Ệ =sùz) (2.9) 1 1a =det[G/]= 2 (26//uØ: ~ 8y + TỶ)
Ưu điểm của dạng chỉ số kết hợp với qui ước tổng cia Einstein
là các phương trình và sự suy diễn tốn học ngắn gọn, nhưng cĩ phân khĩ hiểu hơn Vì vậy, tài liệu này sử dụng lối trình bày truyền thống để phù hợp với người đọc chủ yếu thuộc các ngành kĩ thuật
BAI TAP CHƯƠNG 2
2.1 Chứng minh phương trình vi phân cân bằng
(23) trong trường hợp phân tố ứng suất
khơng gian
3.2 Chứng minh điều kiện biên tĩnh học (2.6) cho bài tốn khơng gian
9.38 Bài tốn “cái răng” trạng thái ứng suất
phẳng chơ như hình vẽ Giả thiết trường ứng
suất trong vật thể là hữu hạn và liên tục, chứng minh rằng khơng cĩ ứng suất tại đỉnh nhọn D 2.4 Trạng thái ứng suất tại một điểm cho bởi tensor ting suất: ø as bo T,-|as ø cơ bơ cĩ Ơ với ø, b, c là các hằng số, ø là một trị số ứng suất Xác định các
hang s6 a, b, c để cho ứng suất bằng khơng trên mặt nghiêng
đều với ba trục tọa độ
Trang 3636 2.5 Trường ứng suất + CHUONG 2 trong một vật thể được cho bởi: 3y 5y? 0 5y? 0 2z 0 22 0 Xác định các thành phần X, Y, Z của lực thể tích để phương trình cân bằng thỏa mãn trong tồn vật thể Trả lời: X =-18y, Y= 2, Z=0 2.6 Cho tensor ứng suất tại một điểm: T= Xée dinh o dé tiny o12 lol 210
g suất bằng khơng trên một mặt nghiêng Xác định các cos¿ne của hướng của mặt nghiêng đĩ
Trả lời: ơ= 1; (J, m, n) = (1, -2, D/VE
2.7 Cho tensor ứng suất tại một điểm: T+ Xác định các ứng 5 0 0 0 -6 -12 0 -12 1
suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất
Trả lời: ơị = 10, ơp=5, ơy =—15, tnax = 12,5
Trang 37LY THUYET UNG SUAT 37
b) Các ứng suất chính tại điểm P(a, 0, 2Va)
©) Ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm P T a) Z = —42 b) ơi = 8a, c=, o= =ơ ©) Tmax = 4,Ba
Trang 38Chương 3
LÝ THUYẾT VỀ BIẾN DẠNG
3.1 CAC THANH PHAN BIEN DANG TENSOR BIEN DẠNG
Một vật thể khi chịu tác động của các nguyên nhân bên ngồi sẽ cĩ sự thay đổi về hình dạng Nếu tách ra một phân tố hình hộp VCB trong hệ trục tọa độ xyz thì biến dạng của nĩ cĩ thể phân tích ra sáu thành phần độc lập, gồm ba biến dạng đài s„, e„, e, của các cạnh và ba biến dạng gĩc Y.y, Yya, Y của các mặt phân tố
Khái niệm biến dạng dài va biến dạng gĩc (hay biến dạng trượt) cĩ thể minh họa bởi phân tố phẳng trên hình 8.1
Các cạnh của phân tố dx và dy cĩ độ dãn dài lần lượt là 8dx và 8dy Biến dạng dài theo các phương x, y này được định nghĩa bởi các hệ thức sau:
"_ dx’ % dy
Biến dạng đài e được qui ước là dương khi phân tố thẳng dãn dài
và âm khi co ngắn
Biến dạng gĩc được định nghĩa là sự thay đổi gĩc vuơng của phân tố Trên hình 3.1, biến
dạng gĩc trong mặt phẳng xOy xác định bởi hệ thức:
T„y =œ+B
y Biến đạng gĩc y được qui ước
là dương khi làm giảm gĩc vuơng
ban dau Như vậy, các thành t phan biến dạng của phân tế Hình 3.1 Biến đạng của
phẳng trên hình 3.1 đều dương phân tố phẳng
Trang 39LÝ THUYẾT VỀ BIẾN DẠNG 39
Tương tự như ứng suất, biến dạng tại một điểm cũng là một đại lugng tensor hang 2 đối xứng, gồm sáu thành phần độc lập Cách viết dạng kỹ thuật và dạng chỉ số của zensor biến dạng như sau: $, 1 «tre He dy ° 1y, 1 #a #2 la T.e|gY~ ty 2Ye|Dn|Sn fae Fes 1 1 #ại 32 &39 Lie dry ae aa 8 z phép tinh tensor dé thé hiện và suy diễn các phương trình về biến dạng Cẩn lưu ý thành phần biến đạng trượt của (ensor biến dạng 7, bằng một nửa biến dạng gĩc tương ứng thường dùng trong kỹ thuật:
3.2 0UAN HỆ GIỮA BIEN DANG VA CHUYỂN VI (Phuong trinh Cauchy)
Trang 4040 HƯƠNG 3 |
Xí hiệu chuyển vị của một điểm theo ba trục tọa độ x, », z lần lugt 1a u, v, sơ Trong trường hợp biến dạng phẳng ta cĩ ¡ø = 0, cịn ứ và ø là hàm của hai biến z và y: u = u(xy); 0 = 0(%y) Ta áp dụng cơng thức vi phân tồn phần của hàm hai biến f(x,y):
afts.y= Lees Z dy
để tính sự thay đổi của chuyển vị u va v tai cdc diém B va D so véi A Chang han, sy thay déi của chuyển vị tại B so với A la:
Gu, Ou du= Fede ody
Các chuyển vị khác cũng được tinh tương tự và kết quả được thể
hiện trên hình 3.2
Mar vi dy=
Do chuyén vj khée nhau cia cée diém A, B, C, D ma phân tố bị biến dạng Ta thiết lập mối quan hệ giữa các thành phản biến dang 60 & Jey và các thành phần chuyển vị ứ và ø
Biến dạng dài « của phân tố thẳng AB được xác định theo định nghĩa như sau: _A'E-AB =(+£,)AB=(1+e,)dx Bình phương hai vế: (ABY =(1+6, dx? (a) Mặt khác, từ hình 3.2 ta cĩ:
(ABy =(de+ Many Pave (a+ Se (VPs?)
‘Tir (a) va (b) suy ra:
(+esz#=(+ Spey