Nghiên cứu bài toán kết nối (đỉnh) không xung đột trong lớp các đồ thị liên thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Nghiên cứu tốn kết nối (đỉnh) khơng xung đột lớp đồ thị liên thông LÊ THỊ NGỌC ANH anh.ltn202925M@sis.hust.edu.vn Ngành Toán Tin Giảng viên hướng dẫn: TS Đồn Duy Trung Viện: Tốn ứng dụng Tin học HÀ NỘI, 04/2022 Chữ ký GVHD Tóm tắt nội dung luận văn Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu có từ lâu có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà tốn học người Thụy Sĩ Leohard Euler Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng bảy cầu thành phố Konigsberg Các toán kết nối đồ thị vấn đề quan trọng lý thuyết đồ thị Mở rộng vấn đề kết nối nói chung đồ thị liên thơng, năm gần nhiều toán kết nối đồ thị nhà khoa học tập trung nghiên cứu giải vấn đề Luận văn tập trung nghiên cứu tìm hiểu lớp tốn số kết nối không xung đột số kết nối đỉnh khơng xung đột, từ phát triển kết hai lớp toán Nội dung luận văn trình bày chương: • Chương 1: Nhắc lại kiến thức lý thuyết đồ thị chuẩn bị cho nội dung luận văn • Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ tơ màu đỉnh, tơ màu cạnh quy • Chương 3: Giới thiệu định nghĩa kết kết nối (đỉnh) khơng xung đột • Chương 4: Trình bày khái niệm số kết kết nối quy khơng xung đột số đồ thị đặc biệt Để đạt kết này, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Đoàn Duy Trung, người thầy tận tình hướng dẫn tơi xun suốt q trình hoàn thành luận văn i Mặc dù luận văn hoàn thành với nhiều nỗ lực cố gắng, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để nội dung luận văn hoàn thiện Vì luận văn có trao đổi với thầy hướng dẫn, nên xin phép dùng từ "chúng tôi" thay cho "tôi" Chúng xin chân thành cảm ơn! Học viên thực Lê Thị Ngọc Anh Mục lục Tóm tắt nội dung luận văn i Các kiến thức cần chuẩn bị 1.1 Đồ thị 1.2 Các thuật ngữ 1.3 Đường đi, chu trình Đồ thị liên thơng 1.4 Một số đồ thị đặc biệt Tơ màu quy 12 2.1 Tô màu đỉnh 12 2.2 Tô màu cạnh 13 Kết nối (đỉnh) không xung đột 3.1 3.2 16 Kết nối không xung đột 16 3.1.1 Khái niệm 16 3.1.2 Một số kết 17 Kết nối đỉnh không xung đột 24 3.2.1 Khái niệm 24 3.2.2 Một số kết 25 Kết nối quy không xung đột 33 4.1 Khái niệm số kết 33 4.2 Kết 34 Kết luận 38 iii Tài liệu tham khảo 39 Danh sách hình vẽ 1.1 Ví dụ đồ thị 1.2 Đồ thị bù 1.3 Đồ thị 1.4 Phép xóa cạnh phép xóa đỉnh 1.5 Đồ thị mở rộng 1.6 Đồ thị dẫn xuất 1.7 (a) Đồ thị liên thông (b) Đồ thị không liên thông 1.8 Rừng 1.9 Cây khung 1.10 Đồ thị đầy đủ 1.11 Đồ thị vòng 10 1.12 Đồ thị bánh xe W4 , W6 10 1.13 Đồ thị hai phía 11 1.14 Đồ thị hình 11 2.1 Đồ thị C5 13 3.1 Ví dụ minh họa đồ thị có cf c(G) = 17 3.2 Ví dụ minh họa đồ thị có cf c(G) = 17 3.3 Trường hợp 18 3.4 Trường hợp 2.1 19 3.5 Trường hợp 2.2a 19 3.6 Trường hợp 2.2b 20 3.7 Đồ thị K1,n−1 23 v 3.8 Ví dụ minh họa đồ thị có vcf c(G) = 24 3.9 Ví dụ minh họa đồ thị có vcf c(G) = 25 3.10 Các khung Ti (1 ≤ i ≤ 11) 27 3.11 Ví dụ minh họa đồ thị có r(G) = 29 3.12 Đồ thị hình T với vcf c(T ) = = χ(T ) 30 C4 , C6 với pcf c(Cn ) = 36 4.1 vi Chương Các kiến thức cần chuẩn bị Trong phạm vi luận văn này, tập trung nghiên cứu đồ thị đơn vơ hướng Vì thế, nhắc đến đồ thị luận văn, ta hiểu đồ thị đơn vơ hướng Các định nghĩa bản, tham khảo [3], [4], [6] 1.1 Đồ thị Trong chương khái niệm, tính chất đồ thị giới thiệu Đây kiến thức tảng sử dụng xuyên suốt luận văn Đầu tiên, trình bày định nghĩa đồ thị Định nghĩa 1.1.1 (Đồ thị) Một đồ thị G bao gồm có V, E, V tập đỉnh, E tập cạnh nối cặp đỉnh với Ta ký hiệu G = (V (G), E(G)) • n = |V (G)|: số lượng đỉnh đồ thị • m = |E(G)|: số lượng cạnh đồ thị (hay cịn gọi kích thước đồ thị) Ví dụ 1.1.1 Đồ thị H(V (H), E(H)) • V (H) = {v0 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } • E(H) = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung v1 e5 e6 e1 v5 v2 e10 e4 v0 e7 e2 e9 e8 v4 v3 e3 Hình 1.1: Ví dụ đồ thị Trong e1 = v1 v2 , e2 = v2 v3 , e3 = v3 v4 , e4 = v4 v5 , e5 = v5 v6 , e6 = v0 v1 , e7 = v0 v2 , e8 = v0 v3 , e9 = v0 v4 , e10 = v0 v5 Một số khái niệm: • Đồ thị có tập đỉnh tập cạnh hữu hạn gọi đồ thị hữu hạn • Đồ thị khơng có đỉnh gọi đồ thị rỗng (null graph) Đồ thị có đỉnh gọi đồ thị tầm thường (trivial), đồ thị có nhiều đỉnh đồ thị khơng tầm thường (nontrivial) • Cạnh e gọi khuyên nối đỉnh với Khi e = (u, u) Đồ thị có chứa cạnh khuyên gọi giả đồ thị • Nếu hai đỉnh có nhiều cạnh gọi cạnh bội Đồ thị có chứa cạnh bội gọi đa đồ thị • Đồ thị khơng có cạnh bội, khuyên gọi đồ thị đơn • Các cạnh đồ thị định hướng Khi gọi cung Nếu tất cạnh đồ thị không định hướng ta gọi đồ thị vô hướng, tất cạnh đồ thị định hướng gọi đồ thị có hướng Trong trường hợp có hai loại cạnh gọi đồ thị hỗn hợp Như trình bày phần trước, phạm vi luận văn, tập trung nghiên cứu đơn đồ thị vô hướng Các định nghĩa đồ thị bù, đồ thị trình bày sau Chương HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung Định nghĩa 1.1.2 (Đồ thị bù) ¯ (G), ¯ E(G)) ¯ đồ thị bù đồ thị G(V, E) đỉnh đỉnh đồ thị G(V ¯ Ví dụ minh họa xem hình 1.2 G, cạnh uv ∈ E(G) uv ∈ / E(G) ¯ G G Hình 1.2: Đồ thị bù Định nghĩa 1.1.3 (Đồ thị con) ′ ′ H gọi đồ thị G V ⊆ V, E ⊆ E Ví dụ minh họa xem hình 1.3 H G Hình 1.3: Đồ thị Tiếp theo, chúng tơi trình bày định nghĩa sử dụng nhiều phần luận văn Định nghĩa 1.1.4 (Phép xóa cạnh, phép xóa đỉnh) Cho đồ thị G có n đỉnh, m cạnh • Phép xóa cạnh, ký hiệu G \ e phép mà đồ thị thu cách xóa cạnh e khỏi đồ thị G, giữ lại đỉnh, cạnh khác giữ nguyên vẹn Khi G \ e đồ thị bị xóa cạnh Chương HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung Định lý 3.2.2 ([1]) G đồ thị liên thơng có đỉnh vcf c(G) = G đồ thị 2-liên thơng G có đỉnh cắt Chứng minh Điều kiện đủ: • Nếu G 2-liên thơng, theo bổ đề 3.2.2 , vcf c(G) = • Xét trường hợp G có đỉnh cắt, gọi w đỉnh cắt G Vì vcf c(G) ≥ 2, ta cần chứng minh vcf c(G) ≤ Ta tô màu cho đỉnh w, tô tất đỉnh cịn lại G màu Vì G có đỉnh cắt nên G chứa khối có chung đỉnh w Với hai đỉnh G, w ∈ {u, v} tồn đường không xung đột u v Ta xét trường hợp u ∈ V (G) \ {u, v} Nếu u, v thuộc khối ln tồn đường không xung đột u, v Nếu u, v thuộc hai khối khác nhau, có đường P1 u − w P2 : v − w hai khối Rõ ràng đường uP1 wP2 v đường cần tìm Vậy vcf c(G) = Điều kiện cần: Giả sử vcf c(G) = Theo bổ đề 3.2.2, ta cần chứng minh G khơng 2-liên thơng G phải có đỉnh cắt Giả sử G có hai đỉnh cắt Gọi B1 , B2 hai khối G, cho khối chứa đỉnh cắt, v1 , v2 Với hai đỉnh thuộc khối tồn đường nên khối cần hai màu Giả sử u1 đỉnh có màu khác với đỉnh cịn lại B1 , u2 đỉnh có màu khác với đỉnh lại B2 Rõ ràng đường từ u1 tới u2 G phải qua v1 , v2 Đường xung đột màu xuất hai lần Vậy G có đỉnh cắt Định lý chứng minh Hệ sau suy trực tiếp từ định lý 3.2.2 Hệ 3.2.2 ([1]) G đồ thị liên thơng Khi đó, vcf c(G) ≥ G chứa hai đỉnh cắt Định lý 3.2.3 ([1]) G đồ thị liên thơng có n đỉnh với có bậc cực đại ∆(G) Nếu G có hai đỉnh cắt n − ≤ ∆(G) ≤ n − vcf c(G) = Chứng minh Vì G có hai đỉnh cắt, theo hệ 3.2.2, vcf c(G) ≥ Ta cần chứng minh vcf c(G) ≤ Ta có trường hợp sau: Chương 26 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đồn Duy Trung • Trường hợp 1: ∆(G) = n − Khi G phải có khung T1 cho hình 3.10 Hơn nữa, T1 tô nhiều màu kết nối đỉnh khơng xung đột Do đó, vcf c(T1 ) ≤ Mà vcf c(G) ≤ vcf c(T1 ), nên vcf c(G) ≤ • Trường hợp 2: ∆(G) = n − Khi G phải có khung Ti (2 ≤ i ≤ 4) cho hình 3.10 Ti tơ nhiều màu kết nối đỉnh khơng xung đột Do đó, vcf c(G) ≤ vcf c(T1 ) ≤ • Trường hợp 3: ∆(G) = n − Khi G phải có khung Ti (5 ≤ i ≤ 11) cho hình 3.10 Ti tơ nhiều màu kết nối đỉnh không xung đột Do đó, vcf c(G) ≤ vcf c(T1 ) ≤ Vậy vcf c(G) = 2 2 3 T1 2 2 T4 2 3 T8 2 1 2 T7 T6 3 T5 2 2 T3 2 T2 1 2 2 2 3 3 T11 T10 T9 Hình 3.10: Các khung Ti (1 ≤ i ≤ 11) Chương 27 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung Cho C(G) đồ thị dẫn xuất tập hợp cạnh cắt đồ thị G Định lý 3.2.4 ([1]) G đồ thị liên thơng có hai đỉnh cắt Nếu C(G) đồ thị hình khối khơng tầm thường có đỉnh chung với C(G) vcf c(G) = Chứng minh Theo hệ 3.2.2, G có hai đỉnh cắt nên vcf c(G) ≤ 3, ta cần chứng minh vcf c(G) ≥ V (C(G)) = {v0 , v1 , , vt }, (t ≥ 1), v0 tâm C(G) Ta tô đỉnh v0 màu 1, đỉnh {v1 , , vt } C(G) màu tơ đỉnh cịn lại G màu Ta cần kiểm tra với hai đỉnh {u, v} ∈ G tồn đường không xung đột Nếu u, v ∈ V (C(G)) đường cần tìm đường từ u tới v C(G) • Nếu u, v thuộc khối không tầm thường, theo bổ đề 3.2.1, có đường từ u − v block qua đỉnh chung với C(G) Rõ ràng đường không xung đột ′ ′ • u, v thuộc hai khối không tầm thường khác nhau: B, B Nếu B, B khơng có đỉnh chung, đường ngắn từ u − v G phải qua v0 , đường ′ khơng xung đột Nếu B, B có đỉnh chung vi (0 ≤ i ≤ t), tồn đường từ u − v qua vi , đường thỏa mãn khơng xung đột Do đó, vcf c(G) ≤ Định lý chứng minh t-corona đồ thị H, ký hiệu Cort (H) đồ thị thu cách thêm t cạnh chứa đỉnh treo vào đỉnh H Mệnh đề 3.2.1 Cn chu trình G t-corona Cn , (t ≥ 1) Khi đó, vcf c(G) = Chứng minh Do Cn chu trình nên G có ba đỉnh cắt Theo định lý 3.2.2, vcf c(G) ≥ 3, ta cần chứng minh vcf c(G) ≤ Ta tô đỉnh treo G màu 1, đỉnh Cn tô màu tơ màu cho đỉnh cịn lại Khi Chương 28 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung hai đỉnh G tồn đường khơng xung đột Do vcf c(G) ≤ Mệnh đề chứng minh Cách xếp hạng k (k-ranking) đồ thị liên thông G cách gán nhãn cho đỉnh đồ thị từ 1, 2, , k cho đường hai đỉnh có nhãn i chứa đỉnh gán nhãn j > i Một đồ thị gọi xếp hạng k (k −rankable) đồ thị có k-ranking Giá trị k nhỏ thỏa mãn G xếp hạng k ký hiệu r(G) Ví dụ minh hoạt đồ thị xếp hạng thể hình 3.11 1 1 Hình 3.11: Ví dụ minh họa đồ thị có r(G) = Iyer [9] có kết sau Bổ đề 3.2.3 ([9]) T với n ≥ Do r(T ) ≤ log n Bổ đề 3.2.4 ([1]) Với G đồ thị liên thơng, vcf c(G) ≤ r(G) Chứng minh Xét hai đỉnh u, v đồ thị G, P đường chúng, k nhãn lớn thuộc P Xét hai trường hợp xảy ra: • Trường hợp 1: Chỉ có đỉnh gán nhãn k Ta chứng minh P đường không xung đột: - Nếu u, v kề Do P xếp hạng nên u, v tô hai màu khác Khi P khơng xung đột - u, v không kề Đường P từ u → v tồn đỉnh gán nhãn k nên P không xung đột Chương 29 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đồn Duy Trung • Trường hợp 2: Có nhiều đỉnh gán nhãn k P Gọi hai đỉnh số đỉnh gán nhãn k v1 , v2 Khi G đồ thị xếp hạng, nên tồn đỉnh có nhãn j > k nằm đường nối hai đỉnh v1 , v2 Điều mâu thuẫn k nhãn lớn P Xem xét cách xếp hạng G cách tô màu đỉnh G với r(G) màu Rõ ràng từ phần chứng minh ta thấy đường P đường khơng xung đột Do đó, vcf c(G) ≤ r(G) Bổ đề 3.2.5 ([1]) Với T không tầm thường Khi vcf c(T ) ≥ χ(T ), χ(T ) sắc số T Chứng minh Định nghĩa cách tô màu đỉnh cho T với vcf c(T ) màu để T kết nối đỉnh không xung đột Vì T , tồn đường hai đỉnh bất kỳ, nên để hai đỉnh kề đường không xung đột hai đỉnh phải tơ hai màu khác Do vcf c(T ) ≥ χ(T ) Dấu ′ =′ xảy T đồ thị hình có đỉnh vcf c(T ) = = χ(T ) (minh hoạ hình vẽ 3.12) 2 2 2 2 Hình 3.12: Đồ thị hình T với vcf c(T ) = = χ(T ) Kết hợp bổ đề 3.2.5 định lý 3.2.1 xác định cận vcf c(T ) Bổ đề 3.2.3 bổ đề 3.2.4 xác định cận vcf c(T ) Thu định lý sau: Định lý 3.2.5 ([1]) Cho T có số đỉnh n ≥ d(T ) diameter T Khi đó: max{χ(T ), ⌈log2 (d(T ) + 2)⌉} ≤ vcf c(T ) ≤ log n Chương 30 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung Chứng minh Từ bổ đề 3.2.3 bổ đề 3.2.4 ta có vcf c(T ) ≤ r(T ) ≤ log n T có n đỉnh, nên d(T ) ≤ n − Từ định lý 3.2.1 bổ đề 3.2.5 max{χ(T ), ⌈log2 (d(T ) + 2)⌉} ≤ vcf c(T ) Định lý 3.2.6 ([1]) Cho T có bán kính rad(T ) Khi đó, vcf c(T ) ≤ rad(T )+1 Chứng minh Gọi v đỉnh trung tâm T (ϵ(v) = rad(T )) Gọi Vi = {u ∈ V (T ) : d(u, v) = i} Do v đỉnh trung tâm nên ϵ(v) = rad(T ) = maxu∈V (T ) d(v, u), ≤ i ≤ rad(T ) V0 = {v} nên ta rad(T ) + tập đỉnh Với cách tô màu đỉnh thuộc tập Vi màu i + 1, ta cần rad(T ) + màu Ta cần chứng minh đường nối hai đỉnh không xung đột Giả sử tồn đường hai đỉnh xung đột, tồn hai đỉnh u1 , u2 kề tô màu Do hai đỉnh tô màu nên d(u1 , v) = d(u2 , v) Tuy nhiên T cây, nên tồn đường v, u1 , u2 Dẫn đến có đỉnh nằm đường chung, d(u1 , v) ≤ d(u2 , v) Điều mâu thuẫn Suy đường nối hai đỉnh khơng xung đột Do vcf c(T ) ≤ rad(T ) + Dấu ′ =′ xảy T đồ thị hình có hai đỉnh Rõ ràng, rad(T ) = vcf c(T ) = rad(T ) + = Với đồ thị liên thơng G, ta ln tìm khung T G cho rad(T ) = rad(G) Từ quan sát ?? định lý 3.2.6 thu hệ sau: Hệ 3.2.3 ([1]) Cho G đồ thị liên thơng, vcf c(G) ≤ rad(G) + Chương 31 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung Đối với T , đưa cận số kết nối đỉnh không xung đột sau: Mệnh đề 3.2.2 ([1]) T có số đỉnh n ≥ Khi vcf c(T ) ≤ ⌈ n2 ⌉ Chứng minh Xét hai trường hợp sau: • Trường hợp 1: T đường Theo định lý 3.2.1, vcf c(T ) = ⌈log2 (n + 1)⌉, cần chứng minh log2 (n + 1) ≤ n2 Xét hàm số f (n) = log2 (n + 1) − n với n ≥ Ta có 1 − (n + 1) ln 2 1 ′ − χ (G) ′ Tiếp theo, chúng tơi trình bày ví dụ pcf c(G) > max{χ (G), cf c(G)} ′ Ví dụ 4.2.2 Cn đồ thị vòng chẵn, n ≥ Do đó, χ (Cn ) = cf c(Cn ) = (theo ′ bổ đề 3.1.2) Theo định lý 4.2.2, pcf c(Cn ) = > max{χ (G), cf c(G)} Do tồn ′ đồ thị liên thơng G cho pcf c(G) ≥ max{χ (G), cf c(G)} + Khi đó, dẫn đến vấn đề sau Vấn đề 4.1 Cho t ≥ 2, có tồn đồ thị liên thông không tầm thường G thỏa mãn ′ pcf c(G) ≥ max{χ (G), cf c(G)} + t Chương 37 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh Chương Kết luận Trong nội dung luận văn, chúng tơi tìm hiểu giới thiệu lớp toán kết nối không xung đột, kết nối đỉnh không xung đột Mục tiêu luận văn từ hai lớp toán trên, nghiên cứu mở rộng, chứng minh số kết toán số kết nối (đỉnh) không xung đột số đồ thị đặc biệt ′ Chúng tơi trình bày số kết như: diam(G) ≤ pcf c(G) = χ (G), pcf c(G) số lớp đồ thị liên thơng đặc biệt, số đồ thị có pcf c(G) = cf c(G) > ′ ′ χ (G) tồn đồ thị liên thông G cho pcf c(G) ≥ max{χ (G), cf c(G)} + 38 Bibliography [1] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành, Giáo trình toán rời rạc, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2009 [2] A V Iyer, H D Ratliff and G Vijayan , Optimal node ranking of trees, Inform Process Lett 28 (1988) 225–229 doi:10.1016/0020-0190(88)90194-9 [3] Douglas B.West, Introduction to Graph Theory , Prentice Hall, 2001 [4] H Chang, Z Huang, X Li, Y Mao and H Zhao, Nordhaus-Gaddum-type theorem for conflict-free connection number of graphs., arXiv:1705.08316 [math.CO] [5] Ian Holyer, The NP-Completeness of Edge-Colouring, SIAM Journal on Computing 10(4) (1981) 718-720 [6] J.A Bondy and U.S.R Murty, Graph Theory , San Francisco, Springer, 2008 [7] J Czap, S Jendrol’ and J Valiska, Conflict-free connections of graphs, Discuss Math Graph Theory 38 (2018) 911–920.doi:10.7151/dmgt.2036 [8] L.S Beineke and R.J Wilson, On the edge-chromatic number of a graph, Discrete Math (1973) 15-20 [9] Michael J.Plantholt, The chromatic index of graphs with large maximum degree, The University of Michigan and Illinois State Uniuersity, Normal, IL 61761, USA [10] M Plantholt, The chromatic index of graphs with a spanning star, J Graph Theory (1981) 5-13 39 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: TS Đoàn Duy Trung [11] Nguyen Thi Thuy Anh, Le Thi Ngoc Anh, A note on the proper conflict-free connection number of connected graphs, Vol 56, Natural Scienes Technologya, Hanoi Metropolitan University, Jan 2022 [12] S Jendrol’, X Li, Y Mao, Y Zhang, H Zhao and X Zhu Conflictfree vertex connections of graphs, Discuss Math Graph Theory, in press doi:10.7151/dmgt.2116 [13] V.G Vizing, On an estimate of the chromatic class of a p-graph, Diskret Analiz 3(1964) 25–30 [14] V.G Vizing, The chromatic class of a multigraph, (Russian) Kibemetika (Kiev) (1965) 29-39 = Cybernetics (1965) 32-41 [15] Z Huang, X Li, Hardness results for three kinds of colored connections of graphs, https://doi.org/10.1016/j.tcs.2020.06.030 Chương 40 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh ... Chương 15 HVTH: Lê Thị Ngọc Anh Chương Kết nối (đỉnh) không xung đột Trong chương này, giới thiệu số định nghĩa kết kết nối (đỉnh) không xung đột 3.1 3.1.1 Kết nối không xung đột Khái niệm Định... nghĩa kết liên quan đồ thị liên thông Định nghĩa 1.3.3 (Đồ thị liên thông) Đồ thị G gọi liên thơng ln tìm đường hai đỉnh Ví dụ minh họa xem hình 1.3 Một thành phần liên thông đồ thị G đồ thị mà... giải toán tiếng bảy cầu thành phố Konigsberg Các toán kết nối đồ thị vấn đề quan trọng lý thuyết đồ thị Mở rộng vấn đề kết nối nói chung đồ thị liên thơng, năm gần nhiều toán kết nối đồ thị nhà