(LUẬN văn THẠC sĩ) tính chính quy lyapunov trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Huyền Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Huyền Thanh TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert 1.2 Toán tử liên hợp 1.3 Toán tử unita 1.4 Nguyên lý điểm bất động 1.5 Phương pháp trực giao hóa Schmidt 1.6 Bổ đề Gronwall-Bellman 1.7 Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Tính quy Lyapunov khơng gian hữu hạn chiều 2.1 Số mũ Lyapunov 2.2 Tính quy 2.3 Cách đưa toán trường hợp tam giác 2.4 Đặc trưng tính quy 11 Tính quy Lyapunov khơng gian Hilbert 17 3.1 Số mũ Lyapunov 17 3.2 Tính quy 18 3.3 Cách đưa toán trường hợp tam giác 19 3.4 Hệ số quy hệ số Perron 22 3.5 Đặc trưng tính quy 26 3.6 Một số đánh giá cho hệ số quy hệ số Perron 32 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm không gian Hilbert 35 4.1 Một số điều kiện phương trình vi phân khơng ơtơnơm 35 4.2 Các kết tính ổn định nghiệm 39 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Nó ứng dụng ngày nhiều lĩnh vực kinh tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học mơi trường học Vì vậy, lý thuyết ổn định phương trình vi phân phát triển mạnh mẽ Có hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân phương pháp sử dụng số mũ đặc trưng Lyapunov (hay gọi phương pháp thứ Lyapunov), phương pháp hàm Lyapunov (hay gọi phương pháp thứ hai Lyapunov) Luận văn tập trung vào phương pháp thứ Cơ sở phương pháp khái niệm số mũ Lyapunov Với trường hợp phương trình vi phân ơtơnơm v = Av không gian hữu hạn chiều, giá trị riêng dùng để nghiên cứu tính ổn định Một kết biết cho trường hợp là: Định lý 0.0.1 Phương trình vi phân ơtơnơm v = Av, v ∈ Rn ổn định tất giá trị riêng ma trận A có phần thực khơng dương, giá trị riêng có phần thực có ước đơn Nó ổn định tiệm cận tất giá trị riêng ma trận A có phần thực âm Cịn trường hợp phương trình vi phân khơng ơtơnơm v = A(t)v, số mũ Lyapunov dùng để nghiên cứu tính ổn định Chúng ta biết điều kiện đủ tính ổn định nghiệm phương trình sau: Định lý 0.0.2 Phương trình v = A(t)v ổn định tiệm cận số mũ Lyapunov lớn âm Trong trường hợp phương trình ơtơnơm hữu hạn chiều, với giả thiết thích hợp, nguyên lý từ ổn định nghiệm phương trình TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời nói đầu v v = Av kéo theo ổn định nghiệm phương trình nửa tuyến tính với nhiễu nhỏ v = Av +f (v) Cịn trường hợp khơng ơtơnơm, điều khơng Vậy toán đặt với điều kiện phương trình vi phân nửa tuyến tính v = A(t)v + f (t, v) ổn định tiệm cận Để giải tốn này, ngồi dùng số mũ Lyapunov, cịn cần cơng cụ khác hệ số quy Luận văn hệ thống lại kết tính quy Lyapunov khơng gian hữu hạn chiều sau suy rộng cho trường hợp khơng gian Hilbert Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị " trình bày số khái niệm không gian Hilbert, toán tử liên hợp, toán tử unita, khái niệm ổn định nghiệm, bổ đề Gronwall-Bellman, phương pháp trực giao hóa Schmidt, nguyên lý điểm bất động Chương 2: "Tính quy Lyapunov khơng gian hữu hạn chiều" trình bày khái niệm số mũ Lyapunov, tính quy đặc trưng tính quy Lyapunov khơng gian hữu hạn chiều Chương 3: "Tính quy Lyapunov khơng gian Hilbert" trình bày nội dung luận văn Có ba kết chương Thứ nhất, khái niệm số mũ Lyapunov tính quy Lyapunov cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm không gian Hilbert thiết lập Thứ hai, hai đặc trưng tính quy Lyapunov (sử dụng hệ số quy hệ số Perron) trình bày nội dung định lý 3.4.1 định lý 3.4.2 Thứ ba, ước lượng cho hệ số quy hệ số Perron trình bày mục 3.5 Chương 4: "Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert" trình bày ứng dụng hệ số quy để nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân nửa tuyến tính v = A(t)v + f (t, v) không gian Hilbert Hà nội, ngày 22 tháng 05 năm 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Hilbert Không gian đủ: Không gian metric X dãy hội tụ tới phần tử X gọi không gian metric đủ (Dãy {xn } ⊂ X dãy lim n,m→+∞ ||xn − xm || = 0) Không gian tiền Hilbert: Không gian vectơ thực X gọi không gian tiền Hilbert, xác định hàm hai biến x, y gọi tích vơ hướng hai vectơ x y thỏa mãn tính chất sau: (i) tính đối xứng: x, y = y, x ; (ii) song tuyến tính: αx + βy, z = α x, z + β y, z với α, β ∈ R; (iii) dương: x, x > x = x, x = x = Không gian Hilbert H không gian tiền Hilbert, đầy đủ, khoảng cách phần tử x, y ∈ H xác định ||x − y|| = 1.2 x − y, x − y Toán tử liên hợp Cho A tốn tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert H Do (Ax, y) phiếm hàm song tuyến tính liên tục nên tồn tốn tử tuyến tính liên tục A∗ thỏa mãn Ax, y = x, A∗ y Toán tử A∗ xác định gọi toán tử liên hợp A Toán tử liên hợp A∗ tốn tử A có tính chất sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị (i) ||A∗ || = ||A||; (ii) (A∗ )∗ = A; (iii) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (αA)∗ = αA∗ ; (iv) (AB)∗ = B ∗ A∗ 1.3 Toán tử unita Cho H khơng gian Hilbert Tốn tử unita tốn tử tuyến tính bị chặn U : H → H thỏa mãn U ∗ U = U U ∗ = I, U ∗ tốn tử liên hợp U I : H → H toán tử đồng Tốn tử unita U có tính chất sau: (i) U bảo tồn tích vơ hướng khơng gian Hilbert H; (ii) U toàn ánh; (iii) Miền giá trị U trù mật nghịch đảo U −1 bị chặn, U −1 = U ∗ 1.4 Nguyên lý điểm bất động Cho X không gian định chuẩn đầy đủ Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn số θ thỏa mãn < θ < 1, cho với x1 , x2 ∈ X ||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ θ||x1 − x2 || x gọi điểm bất động ánh xạ f f (x) = x Nguyên lý ánh xạ co: Mọi ánh xạ co f : X → X có điểm bất động 1.5 Phương pháp trực giao hóa Schmidt a) Xét không gian Rn : Phương pháp trực giao hóa Schmidt phương pháp chuyển hệ n vectơ độc lập tuyến tính {u1 , , un } sang hệ n vectơ {v1 , , } không chứa vectơ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị θ, trực giao với đôi vectơ hệ {v1 , , } biểu diễn tuyến tính qua hệ {u1 , , un } b) Xét không gian Hilbert H: Hệ {un } phần tử không gian Hilbert H gọi hệ trực giao ui , uj = với i = j Cho hệ {un } phần tử không gian Hilbert H cho với n hệ {u1 , , un } độc lập tuyến tính Khi tồn hệ trực giao {vn } lực lượng với {un } cho với n, hai hệ vectơ u1 , , un v1 , , có bao tuyến tính Mọi khơng gian Hilbert tách có hệ trực chuẩn đầy đủ đếm hữu hạn 1.6 Bổ đề Gronwall-Bellman Cho λ(t) hàm thực liên tục µ(t) hàm liên tục khơng âm khoảng [a, b] Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn tính chất t y(t) ≤ λ(t) + µ(s)y(s)ds a với t ∈ [a, b], khoảng ta có t t µ(τ )dτ y(t) ≤ λ(t) + λ(s)µ(s)es ds a Nếu λ(t) = λ số t y(t) ≤ λea 1.7 µ(s)ds Tính ổn định hệ vi phân tuyến tính Xét phương trình vi phân tuyến tính sau v = A(t)v + f (t, v), f (t, 0) = (1.1) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Nghiệm u = u(t), a < t < ∞ phương trình (1.1) gọi ổn định theo Lyapunov (hay ngắn gọn ổn định) với > t0 ∈ (a, ∞), tồn số δ = δ( , t0 ) > cho: (i) Tất nghiệm v = v(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ||v(t0 ) − u(t0 )|| < δ xác định khoảng t0 < t < ∞; (ii) Đối với nghiệm bất đẳng thức sau thỏa mãn ||v(t) − u(t)|| < t0 ≤ t < ∞ Trường hợp đặc biệt, nghiệm không (nghiệm tầm thường) u(t) = 0, (a < t < ∞) ổn định với > t0 ∈ (a, ∞) tồn δ = δ( , t0 ) cho bất đẳng thức ||v(t0 )|| < δ kéo theo bất đẳng thức ||v(t)|| < t0 < t < ∞ Trong định nghĩa trên, số δ > chọn không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu t0 ∈ G (G = (a, ∞)), tức δ = δ( ) ổn định gọi ổn định Nghiệm u = u(t) (a < t < ∞) gọi ổn định tiệm cận t → +∞, nếu: (i) Nghiệm u = u(t) ổn định theo Lyapunov; (ii) Với t0 ∈ (a, ∞) tồn ∆ = ∆(t0 ) > cho nghiệm v(t) (t0 ≤ t < ∞) thỏa mãn điều kiện ||v(t0 ) − u(t0 )|| < ∆ có tính chất lim ||v(t) − u(t)|| = t→∞ Trường hợp đặc biệt, nghiệm không u(t) = ổn định tiệm cận, ổn định lim v(t) = ||v(t0 )|| < ∆ t→∞ Nghiệm u(t) = gọi ổn định mũ tồn số γ > cho với t0 , tồn số N = N (t0 ) mà ||v(t)|| ≤ N e−γ(t−t0 ) , v(t) nghiệm với điều kiện ban đầu ||v(t0 )|| đủ bé TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert Như nói phần lới nói đầu, ba phương pháp nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính phương pháp sử dụng số mũ Lyapunov Trong chương này, tập trung vào ứng dụng số mũ Lyapunov để xét tính ổn định tiệm cận nghiệm khơng phương trình tuyến tính khơng ơtơnơm v = A(t)v + f (t, v) với nhiễu đủ nhỏ f 4.1 Một số điều kiện phương trình vi phân khơng ôtônôm Xét toán giá trị ban đầu v = A(t)v + f (t, v), v(0) = v0 , (4.1) với v0 ∈ H Không tổng quát, theo Định lý 3.3.1, ln giả sử A(t) có dạng tam giác với t sở trực giao cố định u1 , u2 , H Chúng ta xét điều kiện sau: H1 A : R+ → B(H) hàm liên tục thỏa mãn (3.2) A(t)ui , uj = (4.2) với i < j với t ≥ 0; H2 f : R+ × H → H hàm liên tục thỏa mãn f (t, 0) = với t ≥ 0, 35 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 36 tồn số c, r > cho ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ c||u − v||(||u||r + ||v||r ) với t ≥ 0, u, v ∈ H; H3 | v0 , un | < ||v0 ||/an với n ≥ | f (t, u) − f (t, v), un | ≤ ||u − v||(||u||r + ||v||r ) an (4.3) với t ≥ 0, u, v ∈ H, n ≥ 0, dãy dương (an )n tăng đủ nhanh tới ∞ H1 bảo đảm cho A(t) có dạng tam giác Khơng tổng qt, theo phương pháp Perron, ta giả sử có điều kiện H1 Điều kiện H2 điều kiện kiểu Lipschitz Từ điều kiện H1 H2, thấy phương trình (4.1) có nghiệm v(t) Điều kiện (4.3) đảm bảo cho tính đủ nhỏ nhiễu f Khi nhiễu xét không gian hữu hạn chiều, tức tồn n ∈ N cho f (t, v) ∈ Hn với t ≥ v ∈ H, (4.3) khơng cần thiết Vì ta ln có f (t, u) − f (t, v), um = với m > n Từ đó, ý nhiễu f mà xét không thiết không gian hữu hạn chiều Bây giờ, xét điều kiện r sup{λi : i ∈ N} + γ(λ, µ) < 0, (4.4) đó, λi giá trị số mũ Lyapunov λ H Theo chương trước, ta có γ(λ, µ) ≥ nên suy sup{λi : i ∈ N} < (4.5) Chúng ta biết điều kiện (4.5) bảo đảm tính ổn định tiệm cận phương trình (3.1) Vậy liệu điều kiện (4.5) có dẫn đến tính ổn định tiệm cận nghiệm khơng phương trình (4.1) hay khơng? Perron câu trả lời không Chúng ta xét phương trình sau R2 : v1 = [−ω − a(sin log t + cos log t)]v1 , TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 37 v2 = [−ω + a(sin log t + cos log t)]v2 (4.6) Chúng ta xét hệ nhiễu (4.6) u1 = [−ω − a(sin log t + cos log t)]u1 , u2 = [−ω + a(sin log t + cos log t)]u2 + |u1 |λ+1 (4.7) Trong đó, ω, a, λ số dương thỏa mãn 2a − eπ ω−a a < ω < (2e−π + 1)a < λ < (4.8) Công thức nghiệm tổng quát (4.6) v1 (t) = d1 e−ωt−at sin log t , v2 (t) = d2 e−ωt+at sin log t Công thức nghiệm tổng quát (4.7) u1 (t) = c1 e−ωt−at sin log t , t e−(2+λ)aτ sin log τ −ωλτ dτ u2 (t) = c2 e−ωt+at sin log t + c21 e−ωt+at sin log t (4.9) t0 Trong c1 , c2 , d1 , d2 t0 số tùy ý Chúng ta tính giá trị số mũ Lyapunov phương trình (4.6) λ = −ω + a < Giả sử u(t) = (u1 (t), u2 (t)) nghiệm phương trình (4.7) Theo (4.9), u(t) nghiệm phương trình u1 = [−ω − a(sin log t + cos log t)]u1 , u2 = [−ω + a(sin log t + cos log t)]u2 + δ(t)u1 , (4.10) δ(t) = sgnc1 |c1 |λ e−ωλt−aλt sin log t Lưu ý |δ(t)| ≤ |c1 |λ e(−ω+a)λt Cố định số cho < < π/4, với k ∈ N ta đặt tk = e2kπ− π , tk = e2kπ− π− TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 38 Rõ ràng, tk → ∞ tk → ∞ k → ∞ Chúng ta nhận thấy tk tk e−(2+λ)aτ sin log τ +ωλτ dτ > t0 e−(2+λ)aτ sin log τ +ωλτ dτ tk Với τ ∈ [tk , tk ], có π π − ≤ log π ≤ 2kπ − , 2 (2 + π)aτ cos ≤ −(2 + λ)aτ sin log τ 2kπ − Từ ta suy tk tk e −(2+λ)aτ sin log τ +ωλτ e(2+λ)aτ cos dτ ≥ −ωλτ dτ tk tk Đặt r = (2 + λ)a cos − ωλ Từ đó, ta có k ∈ N đủ lớn tk tk e −(2+λ)aτ sin log τ +ωλτ t0 erτ dτ > certk , dτ > tk c = (1 − e− )/r Đặt t∗k = tk eπ = e2kπ+ π Chúng ta có t∗k e at∗k sin log t∗k tk e−(2+λ)aτ sin log τ +ωλτ dτ > e at∗k t0 e−(2+λ)aτ sin log τ +ωλτ dτ t0 at∗k +rtk > ce Do đó, từ (4.8), suy c1 = −pi = ce(a+re )t∗k đủ nhỏ số mũ Lyapunov nghiệm u(t) (4.7) (cũng nghiệm (4.10)) thỏa mãn λ(u) ≥ −ω + a + re−π = −ω + a + [(2 + λ)a cos − ωλ]e−π > Vì vậy, nghiệm u(t) không ổn định tiệm cận TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 39 Nói cách khác, giả thiết tất giá trị số mũ Lyapunov âm khơng đủ đảm bảo cho tính ổn định tiệm cận nghiệm khơng phương trình (3.1) tác động nhiễu đủ nhỏ f , tức tính ổn định tiệm cận (4.1) Do đó, phần sau, thấy có điều kiện khác thỏa mãn yêu cầu 4.2 Các kết tính ổn định nghiệm Với số n ∈ N cố định, xét sở đối ngẫu v1 , , w1 , , wn Hn cho max{λ(vi ) + µ(wi ) : i = 1, , n} = γn (λ, µ) (4.11) (chúng ta có điều giá trị nhỏ (3.13) lấy số hữu hạn giá trị) Từ định nghĩa số mũ Lyapunov, suy với n ∈ N số > tồn số D ,n > cho ||vi (t)|| ≤ D ,n e(λ(vi )+ )t ||wi (t)|| ≤ D ,n e(µ(wi )+ )t , (4.12) với t ≥ i = 1, , n, vi (t) nghiệm (3.1) với v0 = vi wi (t) nghiệm (3.7) với w0 = wi với i Chúng ta giả sử, dãy (an )n dương tăng đủ nhanh tới ∞ cho +∞ d := k=1 k D2,k thỏa mãn r (sup{λi : i ∈ N} + ) + γ(λ, µ) + < Điều kiện suy từ (4.4) (4.14) > đủ nhỏ Để chứng minh kết ổn định phương trình (4.1), cần đánh giá chuẩn toán tử tiến hóa X(t)X(s)−1 hạn chế khơng gian hữu hạn chiều Hn Nhắc lại rằng, Định lý 3.3.1, định nghĩa toán tử V (t) : H → H TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 40 cho V (t)ui = vi (t) với i ≥ 1, từ xác định toán tử X(t) = U (t)−1 V (t) (với U (t) thỏa mãn (3.14)) Tức có X (t) = B(t)X(t) với t ≥ Định lý 4.2.1 Với số tự nhiên n, (4.15) > t ≥ s ≥ 0, có X(t)X(s)−1 |Hn ≤ n2 D2,n e(λn,n + )(t−s)+(γn (λ,µ)+2 )s Chứng minh Đặt Y (t) = [X(t)−1 ]∗ với t Lấy đạo hàm với đẳng thức X(t)X(t)−1 = X(t)Y (t)∗ = Id có X (t)X(t)−1 + X(t)Y (t)∗ = Từ (4.15), suy X(t)Y (t)∗ = −B(t)X(t)X(t)−1 = −B(t) Vì vậy, Y (t)∗ = −X(t)−1 B(t) = −Y (t)∗ B(t), Y (t) = −B(t)∗ Y (t) (4.16) Theo (4.15), hàm xi (t) = X(t)vi nghiệm phương trình x = B(t)x với i = 1, , n Tương tự, theo (4.16), hàm yi (t) = Y (t)wi nghiệm phương trình y = −B(t)∗ y với i = 1, , n Chúng ta có xi (t) = U (t)−1 vi (t) yi (t) = U (t)−1 wi (t), (4.17) wi (t) = [V (t)−1 ]∗ wi với i Sử dụng (3.14), có wi (t) = U (t)yi (t) + U (t)yi (t) = [U (t)U (t)−1 − U (t)B(t)∗ U (t)−1 ]wi (t) = [−A(t)∗ + U (t)U (t)−1 + U (t)U (t)∗ ]wi (t) = −A(t)∗ + d (U (t)U (t)∗ ) wi (t) = −A(t)∗ wi (t) dt TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 41 Vì vậy, wi (t) nghiệm (3.7) với w0 = wi với i Vì U (t) tốn tử unita nên từ (4.12) (4.17), suy ||xi (t)|| ≤ D ,n e(λ(vi )+ )t ||yi (t)|| ≤ D ,n e(µ(wi )+ )t với t ≥ i = 1, , n Với i j cho trước thỏa mãn ≤ i ≤ n ≤ j ≤ n, ta xét số aij = X(t)X(s)−1 ui , uj Do X(t) có dạng tam giác với t ≥ 0, nên có aij = với i < j Bây giờ, xét trường hợp i ≥ j Ta có X(t)X(s)−1 = X(t)Y (s)∗ với t ≥ s ≥ Vì v1 , , , w1 , , wn sở đối ngẫu, nên ta có n ∗ ∗ Y (s)∗ ui , wk aij = Y (s) ui , X(t) uj = vk , X(t)∗ uj k=1 n ui , Y (s)wk = X(t)vk , uj k=1 n = ui , yk (s) xk (t), uj k=1 Tiếp tục sử dụng (4.11), có n |aij | ≤ ||yk (s)||.||xk (t)|| k=1 n D2,n e(λ(vk )+ )t+(µ(wk )+ )s ≤ k=1 n D2,n e(λ(vk )+ )(t−s)+(λ(vk )+µ(wk )+2 )s = k=1 ≤ nD2,n e(λn,n + )(t−s)+(γn (λ,µ)+2 )s n αi ui ∈ Hn mà Tương tự trình chứng minh Định lý 3.3.1, với v = i=1 ||v|| = 1, có n −1 n −1 ||X(t)X(s) v|| = αi X(t)X(s) ui , uj uj i=1 j=1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 42 n n = αi aij j=1 i=j n n n αi2 ≤ j=1 i=j n a2ij n a2ij ≤ i=j j=1 i=j Vì vậy, ||X(t)X(s)−1 v|| ≤ n2 D2,n e(λn,n + )(t−s)+(γn (λ,µ)+2 )s Bây giờ, sử dụng đánh giá để chứng minh kết ổn định nghiệm không phương trình (4.1) Lưu ý rằng, từ Định lý 3.3.1, ln giả sử A(t) có dạng tam giác với t Vì vậy, ta chọn U (t) = Id, xét toán tử X(t) = V (t) Định lý 4.2.2 Nếu điều kiện H1 - H3 (4.4) đúng, với dãy (an )n dương tăng đủ nhanh tới ∞, > đủ nhỏ cho trước, tồn số a > cho nghiệm phương trình (4.1) với ||v0 || đủ nhỏ tồn cục thỏa mãn ||v(t)|| ≤ ae(sup{λi :i∈N}+ )t ||v0 || với t ≥ (4.18) Chứng minh Ký hiệu v(t) nghiệm phương trình (4.1) Phương trình tương đương với phương trình tích phân t X(t)X(s)−1 f (s, v(s))ds v(t) = X(t)v0 + (4.19) Xét toán tử t X(t)X(s)−1 f (s, v(s))ds (T v)(t) = X(t)v0 + không gian Bδ = {v : [0, ∞) → H liên tục : ||v(t)|| ≤ δeαt với t ≥ 0}, δ > (được chọn sau), α = sup{λi : i ∈ N} + với > cho α < Trên Bδ , xác định chuẩn sau ||v|| = sup{||v(t)||e−αt : t ≥ 0} TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 43 Nhận thấy Bδ xác định với chuẩn không gian metric đầy đủ Vì vậy, chứng minh T ánh xạ co không gian Bδ Thật vậy, theo Định lý 4.2.1, với số tự nhiên n ∈ N, > t ≥ s ≥ 0, có ||X(t)X(s)−1 |Hn || ≤ n2 D2,n e(λn,n + )(t−s)+(γn (λ,µ)+2 )s ≤ n2 D2,n eα(t−s)+βs , (4.20) β = γ(λ, µ) + Lấy v1 , v2 ∈ Bδ Do X(t) có dạng tam giác với t, kết hợp với (4.20) điều kiện H3 có ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ∞ −1 = ||X(t)X(s) f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)), uk uk || k=1 ∞ | f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)), uk uk |.||X(t)X(s)−1 |Hk || ≤ k=1 ∞ ≤ k=1 ∞ ≤ k=1 ∞ ≤ k=1 ||v1 (s) − v2 (s)||(||v1 (s)||r + ||v2 (s)||r )k D2,k eα(t−s)+βs ak (4.21) k D2,k ||v1 − v2 ||(||v1 ||r + ||v2 ||r )eαt+(rα+β)s ak 2δ r k D2,k ||v1 − v2 ||eαt+(rα+β)s ak (4.22) Với d số xác định theo cơng thức (4.13), từ đánh giá có ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ≤ 2dδ r ||v1 − v2 ||eαt+(rα+β)s (4.23) Từ điều kiện (4.4) giả thiết, có đánh giá (4.14) Điều kiện H3, dãy (an )n phân kỳ đủ nhanh kéo theo giả thiết d < ∞ Vì vậy, t r ||T (v1 )(t) − (T v2 )(t)|| ≤ 2dδ ||v1 − v2 ||e αt e(rα+β)s ds r αt ≤ 2dκδ ||v1 − v2 ||e , TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình không ôtônôm không gian Hilbert 44 ∞ e(rα+β)s ds Do đó, κ = ||T v1 − T v2 || ≤ θ||v1 − v2 ||, (4.24) với θ = 2dκδ r Bây giờ, chọn δ ∈ (0, 1) cho θ < Với v0 ∈ H thỏa mãn điều kiện H3, ta áp dụng (4.20) với s = 0, ta có n ||X(t)v0 || ≤ lim | v0 , uk |.||X(t)|Hk || n→∞ ∞ ≤ k=1 k D2,k αt k=1 ak e ||v0 || = deαt ||v0 || (4.25) Mặt khác, ta lại có X(t)v0 = (T 0)(t) Vì vậy, với v ∈ Bδ , chọn v1 = v ∈ Bδ v2 = (4.24), có ||(T v)(t)||e−αt ≤ ||(T 0)t||e−αt + ||(T v)(t) − (T 0)(t)||e−αt ≤ ||X(t)v0 || + ||T v − T 0|| ≤ d||v0 || + θδ < δ với v0 chọn đủ nhỏ Vì vậy, T (Bδ ) ⊂ Bδ , nên T ánh xạ co không gian metric đầy đủ Bδ Do đó, (4.1) có nghiệm v ∈ Bδ Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh tính ổn định nghiệm khơng, tức chứng minh đánh giá (4.18) Thật vậy, đặt u(t) = (T 0)(t) = X(t)v0 Chúng ta có +∞ n [(T k+1 0)(t) − (T k 0)(t)] v(t) = lim (T 0)(t) = n→+∞ k=0 Từ (4.24) (4.25), suy +∞ θk ||u|| = ||v|| ≤ k=0 ||u|| d||v0 || ≤ 1−θ 1−θ Vì vậy, theo cách định nghĩa chuẩn Bδ , có ||v(t)|| ≤ d||v0 || αt e với t ≥ 1−θ (4.26) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 45 Chúng ta kết thúc chứng minh định lý Định lý sau suy từ kết Định lý 4.2.2 Tuy nhiên, hạn chế định lý so với Định lý 4.2.2 xét tính ổn định nghiệm khơng (3.1) cần thỏa mãn điều kiện quy, tức γ(λ, µ) = Giả thiết không cần thiết sử dụng Định lý 4.2.2 Định lý 4.2.3 Nếu điều kiện H1-H3 (4.5) thỏa mãn phương trình (3.1) quy Lyapunov với dãy (an )n dương tăng đủ nhanh tới ∞, > đủ nhỏ cho trước, tồn số a > cho nghiệm phương trình (4.1) với ||v0 || đủ nhỏ toàn cục thỏa mãn (4.18) Một hệ khác Định lý 4.2.2 xét tính ổn định nghiệm khơng trình bày nội dung định lý sau Định lý 4.2.4 Giả sử điều kiện H1-H3 thỏa mãn, tồn số α < β > thỏa mãn rα + β < 0, tồn dãy dương (cn )n với ∞ k=1 ck ak < ∞ cho với n ∈ N t ≥ s ≥ 0, ||X(t)X(s)−1 |Hn || ≤ cn eα(t−s)+βs (4.27) Khi đó, tồn số a > cho nghiệm phương trình (4.1) với ||v0 || đủ nhỏ toàn cục thỏa mãn ||v(t)|| ≤ aeαt ||v0 || với t ≥ (4.28) Chứng minh Lặp lại bước chứng minh Định lý 4.2.2, thay đánh giá (4.20) đánh giá (4.27), đánh giá (4.23) (4.25) ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ≤ 2ηδ r ||v1 − v2 ||eαt+(rα+β)s , ∞ ck /ak < ∞, η = k=1 ||X(t)v0 || ≤ ηeαt ||v0 || với v0 ∈ H thỏa mãn điều kiện H3 Tức là, đạt bất đẳng thức tương tự (4.23) (4.25), với η thay cho d Khi đó, chọn δ ∈ (0, 1) cho ∞ θ := 2ηδ r e(rα+β)s ds < 1, TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 46 nên suy từ chứng minh Định lý 4.2.2 nghiệm v(t) phương trình (4.1) với ||v0 || đủ nhỏ thỏa mãn đánh giá (4.28) với α = η/(1 − θ) Định lý 4.2.5 Giả sử điều kiện H1-H2 thỏa mãn,và tồn số α < β > 0, với rα + β < 0, C > cho ||X(t)X(s)−1 || ≤ Ceα(t−s)+βs với t ≥ s ≥ Khi đó, tồn số a > cho nghiệm phương trình (4.1) với ||v0 || đủ nhỏ toàn cục thỏa mãn (4.28) Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 4.2.4, lặp lại bước chứng minh Định lý 4.2.2, cách thay (4.23) (4.25) đánh giá ||X(t)X(s)−1 (f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s)))|| ≤ ||X(t)X(s)−1 ||.||f (s, v1 (s)) − f (s, v2 (s))|| ≤ Ceα(t−s)+βs c||v1 (s) − v2 (s)||(||v1 (s)||r + ||v2 (s)||r ) ≤ Cc||v1 − v2 ||(||v1 ||r + ||v2 ||r )eαt+(rα+β)s ≤ 2Ccδ r ||v1 − v2 ||eαt+(rα+β)s , ||X(t)v0 || ≤ ||X(t)||.||v0 || ≤ Ceαt ||v0 || Tiếp tục theo cách chứng minh Định lý 4.2.2, có kết Định lý 4.2.5 Trong trường hợp hữu hạn chiều Rn , có kết mạnh trình bày định lý sau Định lý 4.2.6 Giả sử rằng: (i) A : R0 + → M (Rn ) hàm liên tục thỏa mãn (3.14); (ii) f : R0 + × Rn → Rn hàm liên tục thỏa mãn f (t, 0) = với t ≥ 0, tồn số c, r > cho với t ≥ u, v ∈ Rn , ta có ||f (t, u) − f (t, v)|| ≤ c||u − v||(||u||r + ||v||r ); (iii) r sup{λi : i = 1, , n} + γn (λ, µ) < Khi đó, nghiệm v(t) = phương trình (4.1) ổn định mũ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm khơng gian Hilbert 47 Chứng minh Thay chuỗi chứng minh Định lý 4.2.2 tổng hữu hạn, không cần điều kiện (4.2) điều kiện H3 Hơn nữa, từ (iii) định lý suy (4.4) Vì vậy, định lý trở thành hệ Định lý 4.2.2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận Luận văn suy rộng tính quy Lyapunov (số mũ Lyapunov, hệ số quy, hệ số Perron) từ khơng gian hữu hạn chiều sang khơng gian Hilbert, từ đưa đặc trưng tính quy phương trình vi phân không ôtônôm v = A(t)v, ứng dụng nghiên cứu tính ổn định tiệm cận phương trình v = A(t)v + f (t, v) Luận văn đề cập đến vấn đề sau: Trình bày định nghĩa số mũ Lyapunov tính quy phương trình vi phân v = A(t)v không gian hữu hạn chiều Rn không gian Hilbert; Định nghĩa hệ số quy, hệ số Perron mối quan hệ hai hệ số này; Trình bày hai đặc trưng tính quy không gian Hilbert, đặc trưng dựa vào tốn liên hợp phương trình v = A(t)v đặc trưng dựa vào hình hộp m cạnh tạo hệ vectơ v1 , , vm khơng gian Hilbert H; Trình bày số ước lượng cho hệ số quy hệ số Perron khơng gian Hilbert; Trình bày ứng dụng hệ số quy nghiên cứu tính ổn định phương trình khơng ơtơnơm với nhiễu nhỏ không gian Hilbert; TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2004), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Trần Trọng Huệ (2005), Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [3] Nguyễn Văn Minh (2002), Phương trình vi phân thường, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Hồng Tụy (2006), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh [5] A.Lyapunov (1992), The general problem of the stability of motion, Taylor and Francis [6] Luis Barreira and Ya Pesin (2002), Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory, University Lecture Series 23, Amer Math Soc [7] Luis Barreira and Claudia Valls (2006), Stability of Nonautonomous Differential Equations, Springer, Berlin-Heidelberg [8] Ju L Duleckll and M G Krein (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... 2: "Tính quy Lyapunov khơng gian hữu hạn chiều" trình bày khái niệm số mũ Lyapunov, tính quy đặc trưng tính quy Lyapunov khơng gian hữu hạn chiều Chương 3: "Tính quy Lyapunov khơng gian Hilbert" ... skknchat@gmail.com Chương Tính quy Lyapunov không gian Hilbert Trong phần này, suy rộng khái niệm tính quy Lyapunov khơng gian Hilbert 3.1 Số mũ Lyapunov Giả sử H khơng gian Hilbert thực tách Xét... 1.1 Không gian Hilbert Không gian đủ: Không gian metric X dãy hội tụ tới phần tử X gọi không gian metric đủ (Dãy {xn } ⊂ X dãy lim n,m→+∞ ||xn − xm || = 0) Không gian tiền Hilbert: Không gian