(LUẬN văn THẠC sĩ) nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm ) giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ (NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN GIAM CẦM PHONON)

Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán dẫn khối

1.1.1 Xây d ựng phương tr ình động lượ ng t ử cho phonon trong bán d ẫ n kh ố i khi có m ặt trường sóng điệ n t ừ

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường bức xạ laser EE 0sin(t):

Trong đó a   p và a  p (  b q và b q ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử (phonon); p

  là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ; p

) (q là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối;

 là năng lượng điện tử;

 là năng lượng của phonon âm; c là vận tốc ánh sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử;

C q là hằng số tương tác điện tử - phonon;

A là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:

(1.3) Thực hiện phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có: q t q q t q p q p t p i b b C a a t   

Ta thiết lập phương trình cho a p q     a p  t :

Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được:

( ) ( ) exp ( )( ) ( ) 1.8 t q t q q t p k q k k p p k k k t p k p k k t t p p q t b i b C C dt a a b b a a b b t i t t i e qA t dt mc

Trong gần đúng bậc hai của C q  , ta có thể bỏ qua q t 1 b    , và sẽ thu được:

( ) exp ( )( ) ( ) t q t q q t q p p q q t p k t p p q t b i b C n n dt b t i t t i e qA t dt mc

Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi: n n=- exp( iz sin )= J ( ) exp(z in )

J z là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :

( ) exp ( )( ) is t t q t q q t q p p q q t p p p q l s l s b i b C n n dt b t eE q eE q i t t il t J J m m

Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon trong bán dấn khối [3]

1.1.2 Lý thuy ết gia tăng sóng âm ( phonon âm) trong bán d ẫ n kh ối (trườ ng h ợ p h ấ p th ụ m ộ t photon)

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có

( ) exp ( )( ) is t t q t q q t q p p q q t p l s p p q l s i b i b C n n dt b eE q eE q

(1.13) Hay viết dưới dạng khác:

Trong đó:  ( ) x là hàm Delta-Dirac

Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:

Từ phương trình (1.14) ta có:

Trong phương trình (1.17), các số hạng với l ≠ s bên vế phải đóng góp hằng số tương tác điện tử - phonon cao hơn so với các số hạng với l = s Do đó, có thể đặt l = s trong công thức (1.17) để thu được phương trình tán sắc.

Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:

Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính hệ số hấp thụ sóng âm  ( ) q  cho bán dẫn

Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một photon, với giả thiết q>>pF;    F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm:

Trong đó  là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm,   eE m  0

P F là xung lượng Fermi của điện tử;  ( ) z lầ hàm có bước nhảy:

  Ở điểm q  2 m  ,  ( ) q  sẽ đổi dấu và với:

Trong khoảng 2mΩ + pF - pF ≤ q ≤ 2mΩ, sẽ xảy ra sự gia tăng sóng âm với điều kiện α(q)ρ < 0 Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon, ta giả định rằng đối số của hàm Bessel rất nhỏ, dẫn đến aqλ < 1.

Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:

Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:

Vói V 0 thể tích của tinh thể, thương chọn V 0 =1;

 - hằng số thế biến dạng

 - mật độ tinh thể Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19)

Chuyển từ tổng sang tích phân theo p  , thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau:

N 0 là mật độ điện tử;

T là nhiệt độ của hệ

Theo công thức (1.22), khi bất đẳng thức  q    được áp dụng, hệ số hấp thụ sóng âm  ( ) q  sẽ dương Ngược lại, trong vùng sóng âm với bất đẳng thức  q   , hệ số hấp thụ sẽ âm, thể hiện qua dạng tường minh.

2 2 2 exp 4 q q q q n m q sh sh S s kT kT

Công thức (1.23) cho thấy hệ số hấp thụ sóng âm (α(q, ρ) > 0) đã chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm (α(q, ρ) < 0) Điều này có nghĩa là trong trường hợp hấp thụ một photon, hệ số gia tăng sóng âm do trường bức xạ Laser trong bán dẫn không bị suy biến.

1.1.3 Ảnh hưở ng c ủ a quá trình h ấ p th ụ nhi ề u photon lên h ệ s ố gia tăng sóng âm (phonon âm) và điề u ki ện gia tăng sóng âm (phonon âm) trong bán d ẫ n kh ố i

Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:

(1.24) Đặt     p q      p    l   q  trong trường hợp    1 , dùng công thức biến đổi:

Công thức biến đổi tổng thành tích phân

Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:

Tiếp theo ta tính tích phân theo P z , P  của (1.26), ta nhận được:

Cuối cùng, chúng ta đã xác định được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong bán dẫn dưới tác động của trường bức xạ Laser, liên quan đến quá trình hấp thụ nhiều photon.

2 q q l q q q n m m m q q s kT q kT q kT m m q q I q kT m m m q q I kT q kT m

Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:

Ta có  ( ) q   0 và có dạng tường minh như sau:

2 q q q l q q n m m m q q s kT q kT q kT m m q q I kT q kT m m

Công thức (1.31) cho thấy rằng hệ số hấp thụ sóng âm  ( ) q   0 đã chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm  ( ) q   0 Điều này có nghĩa là chúng ta lại nhận được hệ số gia tăng sóng âm, ngay cả khi hấp thụ một lượng lớn photon từ trường bức xạ Laser.

Vậy: các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối là

Hệ số gia tăng sóng âm (1.23) trong quá trình hấp thụ một photon, cùng với các biểu thức cho điều kiện gia tăng sóng âm khi hấp thụ nhiều photon (1.30), (1.31), đã được trình bày dưới dạng giải tích.

Lý thuyết gia tăng sóng âm (phonon âm) trong dây lượng tử (nhưng không kể đến giam cầm phonon)

không kể đến giam cầm phonon)

1.2.1 Xây d ựng phương tr ình động lượ ng t ử cho phonon trong dây lượ ng t ử

Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser: EE 0sin(t)), sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian sau:

 là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài a n l k  , ,  và a n l k , ,  (  b q và b q ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử (phonon);

 q  là tần số của phonon ứng với vecto sóng q 

, c là vận tốc ánh sáng. là hằng số

Khối lượng và điện tích của điện tử được ký hiệu lần lượt là m và e Thế vectơ A(t) liên quan đến trường sóng điện từ và được xác định bởi một biểu thức cụ thể.

C n l n l ( q ) là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính bởi công thức:

Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa;  là hằng số thế biến dạng; v s là tốc độ sóng âm,  là mật độ tinh thể

Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:

Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:

Ta thiết lập phương trình cho n l k , , q n l k ', ', t a     a  :

Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:

 (1.36) Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:

(1.37) tìm nghiệm của phương trình (1.36) bằng phương pháp biến thiên hằng số nghiệm của phương trình (1.37)

Giải thiết ở t   hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:

Ta tìm được nghiệm của phương trình (1.36):

( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) t n l n l j j n l k q n l k t j n l k q n l k j n l k q j n l k t t n l n l t a a i C j b b a a a a i ie k k q t t qA t dt dt

Thay phương trình (1.38) vào (1.34), ta được:

Chỉ lấy  j  q  và trong gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác C q  2 , bỏ qua sự đóng góp của b   q  t

Kí hiệu hàm phân bố của điện tử là n l , ( ) n l k , , n l k , , t n k  a   a 

* t ( ) * t os( t ) * 2 sin( ) sin( ) t t ieE q ieE q ie q A t dt c dt t t m c  m   m   

(1.41) Áp dụng công thức: sin ( ) is t iz t ( ). s s e J z e

Với J z s ( ) là hàm Bessel đối số thực.

Từ (1.40) ta thu được phương trình động lượng tử cho phonon âm trong dây lượng tử:

Phương trình động lương tử tổng quát cho sóng âm trong dây lượng tử đã được thiết lập Từ đó, chúng ta tiến hành biến đổi để tìm ra biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử.

1.2.2 Bi ể u th ứ c t ổ ng quát cho h ệ s ố h ấ p th ụ sóng âm (phonon âm)

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

Từ phương trình (1.42) và (1.43) ta có

 , thêm thừa số e  t , trong đó:   0

Tính tích phân theo dt 1 ta có:

Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:

Phương trình (1.48) là một phương trình vô hạn với thành phần Fourier B q        ( s l )   và không thể giải được Giả thiết rằng trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao động của mạng tinh thể, tức là bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn hai, với s=l và    q , phương trình (1.48) sẽ có dạng mới.

(1.49) Đây là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử

Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:

Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm trong dây lượng tử được trình bày như sau: đây là công thức áp dụng cho cả khí điện tử suy biến và khí điện tử không suy biến.

1.2.3 H ệ s ố h ấ p th ụ sóng âm (phonon âm) trong trườ ng h ợ p h ấ p th ụ m ộ t photon

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giả định rằng khí điện tử không suy biến và tiến hành tính toán cụ thể cho đối số của hàm Bessel trong trường hợp rất nhỏ, do ảnh hưởng của số hạng E0 trong trường bức xạ laser là yếu.

Loại trường hợp s=0 do vi phạm định luật bảo toàn năng lượng

Và tính chất hàm Bessel: J  s ( )x  ( 1) s J x s ( ) J s ( x)

+ Chọn chiều vecto q  trùng với chiều vecto k

 (trùng với trục của dây)

+ Giả thiết khí điện tử không suy biến, áp dụng phân bố Fermi – Dirac:

Trong đó:   k T B , k B là hằng số Boltzmann

+ Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:

Với L là chiều dài dây;

+ Sử dụng tính chất của hàm Delta:

   Thực hiện tính toán ta thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với trường hợp hấp thụ một photon như sau:

Từ công thức (1.53) ta thấy, trong trường hợp giới hạn  q    , ta được:

Thay công thức (1.54) vào (1.52) ta được biểu thức hệ số gia tăng sóng âm (do ( ) q 0

1.2.4 H ệ s ố h ấ p th ụ sóng âm (phonon âm) trong trườ ng h ợ p hâp th ụ nhi ề u photon

Xuất phát từ biểu thức (1.50), viết lại nó ở dạng:

Khi hấp thụ nhiều photon (trường laser mạnh), đối số của hàm Bessel lớn:    1

Sử dụng biểu thức biến đổi:

  Xét khí điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử tuân theo phân bố Fermi:

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tich phân:

Thực hiện biến đổi phương trình (1.57), (1.58) ta được:

Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:

Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:

Kết hợp (1.61), (1.63) và thay vào (1.56) ta được [8]:

(1.66) Bất đẳng thức xung lượng của điện tử kết hợp từ (1.62), (1.64) là:

   nghĩa là ta có hệ số gia tăng sóng âm

Thông qua Hamiltonian tương tác của hệ điện tử - phonon, chúng ta có thể tính toán và thu được biểu thức giải tích tổng quát cho hệ số gia tăng sóng âm Biểu thức này bao gồm hệ số gia tăng sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon và nhiều photon Để xảy ra gia tăng sóng âm, điều kiện xung lượng của điện tử tham gia phải được thỏa mãn.

1.2.5 H ệ s ố gia tăng sóng âm (phonon âm) không giam c ầm trong dây lượ ng t ử hình ch ữ nh ậ t h ố th ế cao vô h ạ n

Thế năng giam giữ điện tử trong trường hợp này có dạng:

Khi đó hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được viết dưới dạng:

, 2 2 2 2 n n kz x y kz n nx y me me Lx Ly

Thừa số dạng được cho bởi:

Thay vào biểu thức (1.55) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp thụ một photon như sau:

2 ex p 2 2 2 ex p 2 2 ex p 2 2 n l n l n l n l q x y q q q L m C q q n l m m L L q a m a q sh m a q sh

Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ một photon như sau:

Thay vào biểu thức (1.65) ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm trong trương hợp hấp thụ nhiều photon như sau [8]:

Bất đẳng thức xung lượng cho trường hợp hấp thụ nhiều photon là:

Khi tính toán tốc độ gia tăng sóng âm (phonon) trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, cần lưu ý rằng việc giam cầm phonon không được xem xét Sử dụng biểu thức gần đúng sẽ giúp xác định các đặc tính quan trọng của hệ thống này.

   cho trường hợp hấp thụ nhiều photon.

(với nx, n y là chỉ số giam cầm điện tử theo hai phương x,y)

Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng đến phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn, đồng thời liên quan đến phương trình động lượng tử cho phonon Sự thay đổi kích thước của dây lượng tử có thể làm biến đổi mức năng lượng của điện tử, dẫn đến những đặc điểm quang điện khác nhau Nghiên cứu này cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách mà các yếu tố hình học tác động đến tính chất điện tử và phonon trong vật liệu nano.

GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ

Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử

trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn

2.1.1 S ự lượ ng t ử hóa do gi ảm kích thướ c

Trong các cấu trúc bán dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị hạn chế nghiêm ngặt trong một vùng rất hẹp, chỉ vài trăm angstrom, và chiều rộng này so với chiều dài bước sóng De Broglie của hạt dẫn, nhiều hiệu ứng vật lý mới xuất hiện, được gọi là hiệu ứng giảm kích thước Những hiệu ứng này làm biến đổi hầu hết tính chất điện tử của hệ thống và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện dựa trên nguyên lý hoàn toàn mới.

Trong một màng mỏng có chiều dày a, tính chất của điện tử dẫn (hay còn gọi là điện tử trong vùng dẫn) phụ thuộc vào vật liệu của màng, có thể là kim loại hoặc bán dẫn Vật liệu này đóng vai trò như một hố lượng tử, ảnh hưởng đến điện tử trong chiều rộng a và chiều sâu tương ứng với giá trị công thoát.

Cơ học lượng tử chỉ ra rằng năng lượng của điện tử trong hố lượng tử bị lượng tử hóa, dẫn đến sự xuất hiện của các mức năng lượng gián đoạn En (n=1,2,…), được gọi là các mức lượng tử hóa do giảm kích thước Với giá trị thông thường của  khoảng 4 – 5 eV, lớn hơn năng lượng nhiệt kBT (với kB là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ của hệ) một vài bậc, hố lượng tử trong trường hợp này có thể được xem như sâu vô hạn.

Hình 2.1: Phổ năng lượng của màng mỏng lượng tử hóa do giảm kích thước

Hàm sóng của điện tử trong trường hợp này cho các trạng thai E n được xác đinh bởi biểu thức:

Và các mức năng lượng tương ứng:

(2.2) ở đây m* là khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn

Trong các cấu trúc lượng tử hóa do giảm kích thước, hố thế giới có chiều sâu xác định và độ dốc không tạo thành với chiều tọa độ giới hạn một góc vuông Mặc dù kết luận về sự lượng tử do giảm kích thước vẫn có giá trị, biểu thức (2.2) không thể áp dụng Do đó, theo nguyên lý bất định, ta sử dụng biểu thức đánh giá định tính cho các mức năng lượng.

Như vậy ta thấy biểu thức (2.2) chính là trường hợp riêng của biểu thức (2.3)

Kết luận về sự lượng tử hóa năng lượng cho thấy chuyển động dọc theo phương pháp tuyến với mặt phẳng của hố thế năng chỉ đặc trưng cho tọa độ trục 0z Trong mặt phẳng xy, chuyển động không bị ảnh hưởng bởi hố thế năng, khiến các hạt dẫn chuyển động giống như các hạt tự do Chúng được đặc trưng bởi dạng parabolic của phổ năng lượng liên tục với khối lượng hiệu dụng m* Tổng năng lượng của hệ lượng tử hóa kích thước bao gồm phổ kết hợp gián đoạn - liên tục, trong đó thành phần gián đoạn mô tả sự lượng tử hóa, còn thành phần liên tục liên quan đến chuyển động trong mặt phẳng của hố thế.

Với px và py là các thành phần động lượng tương ứng, sự biến đổi của phổ năng lượng tạo ra những khác biệt đáng kể trong các tính chất điện tử của hệ so với các mẫu khối Điều này cho thấy tầm quan trọng của thành phần liên tục trong phổ năng lượng.

Các điện tử ở cùng một mức năng lượng En có thể có năng lượng trong khoảng từ En đến vô cực Tất cả các trạng thái với giá trị n xác định được gọi là thuộc về vùng con lượng tử hóa do giảm kích thước.

Để sự lượng tử hóa phổ năng lượng trong các cấu trúc thấp chiều tồn tại trong mọi hiệu ứng quan sát được, khoảng cách giữa các mức năng lượng En+1 và En cần phải đủ lớn Cụ thể, giá trị này phải lớn hơn đáng kể so với năng lượng nhiệt của hạt dẫn, tức là En+1 - En phải lớn hơn kT_B.

Sự lấp đầy các mức lân cận và chuyển mức điện tử sẽ cản trở việc quan sát hiệu ứng lượng tử Để khí điện tử suy biến với mức năng lượng Fermi E_f, cần thỏa mãn điều kiện: E_2 > E_f > E_1.

Khi E f > E n + 1 - E n, có thể quan sát hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước, nhưng biên độ tương đối rất nhỏ Để thấy được hiệu ứng này, cần có thêm một điều kiện quan trọng Trong các cấu trúc thực tế, hạt dẫn luôn bị tán xạ bởi tạp chất và phonon, với xác suất tán xạ được đặc trưng bởi thời gian phục hồi động lượng , tỷ lệ thuận với độ linh động của hạt dẫn.

Thời gian phục hồi () là khoảng thời gian sống trung bình của hạt dẫn trong trạng thái lượng tử với các số lượng tử xác định (n p, x, p y) Theo nguyên lý bất định, giá trị hữu hạn của thời gian phục hồi () ảnh hưởng đến việc xác định năng lượng trong trạng thái đã cho, dẫn đến sai số khoảng E.

Việc tính toán dựa trên các mức năng lượng gián đoạn trong hệ thống chỉ có ý nghĩa khi khoảng cách giữa hai mức liên tiếp đáp ứng các tiêu chí nhất định.

Biểu thức (2.7) chỉ ra rằng quãng đường tự do trung bình của hạt dẫn phải lớn hơn chiều dày của màng mỏng a Trong cơ học lượng tử, sự lượng tử hóa các mức năng lượng xảy ra khi các hạt chuyển động tuần hoàn, điều này chỉ khả thi khi tán xạ đủ yếu để hạt dẫn thực hiện vài dao động trước khi bị tán xạ lần nữa Khoảng cách giữa các mức lượng tử hóa giảm theo tỷ lệ 1/2 a, do đó, để quan sát hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước, màng mỏng cần có chiều dày nhỏ, nhiệt độ thấp, độ linh động hạt dẫn cao và mật độ hạt dẫn thấp.

Để thỏa mãn hiệu ứng lượng tử hóa do giảm kích thước, cần có chất lượng bề mặt cao, với sự phản xạ của hạt dẫn gần như là phản xạ gương Điều này có nghĩa là thành phần hạt dẫn song song với bề mặt phải được bảo toàn trong quá trình phản xạ Để đạt được phản xạ gương trên bề mặt màng mỏng, chiều dài bước sóng De Broglie phải lớn hơn kích thước đặc trưng của độ gồ ghề, điều này thường khó tránh khỏi ở bất kỳ bề mặt nào Hơn nữa, bề mặt của màng mỏng cần phải hạn chế mật độ cao các tâm tích điện, vì chúng có thể gây ra các tán xạ phụ đối với hạt dẫn.

2.1.2 Hàm sóng và ph ổ năng lượ ng c ủa điệ n t ử trong dây lượ ng t ử hình ch ữ nh ậ t h ố th ế cao vô h ạ n

Dây lượng tử là một hệ khí điện tử một chiều, có thể được chế tạo thông qua phương pháp epitaxy MBE hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCDV Ngoài ra, việc sử dụng các cổng trên transistor hiệu ứng trường cũng cho phép tạo ra các kênh thấp chiều hơn trong hệ khí điện tử hai chiều Để giải quyết bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử, phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều có thể được áp dụng một cách dễ dàng.

ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN TỐC ĐỘ GIA TĂNG SÓNG ÂM (PHONON ÂM) GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT HỐ THẾ CAO VÔ HẠN

B iểu thức giải tích của tốc độ gia tăng (sóng âm) phonon âm giam cầm

3.1.1 M ố i liên h ệ gi ữa phương tr ình động lượ ng t ử cho sóng âm (phonon âm) giam c ầ m và t ốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam c ầm trong dây lượ ng t ử hình ch ữ nh ậ t h ố th ế cao vô h ạ n khi có m ặ t trườ ng b ứ c x ạ laser

Khi đó phương trình (2.35) có dạng:

 Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

Thay vào phương trình (3.1), ta có:

 (3.2) Đổi thứ tự lấy tích phân bên vế phải phương trình trên

N t    , nên khi lấy tích phân theo dt2 thêm vào thừa số: e  t 2 (hằng số đoạn nhiệt tương tác:    0 khi t 2  )

Khi đó, biểu thức có dạng:

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

Nhận thấy rằng các yếu tố bên phải của phương trình (3.5) đóng góp bậc cao hơn hai cho hằng số tương tác điện tử - phonon Do đó, chúng ta chỉ xem xét trường hợp l=s và thực hiện ngắt chuỗi ở bậc hai đối với các biến số liên quan.

I   k q Đồng thời thực hiện chuyển phổ Furier cho phương trình (3.5), ta có:

Trong đó: G m k q , , z : là tốc độ thay đổi phonon

3.1.2.Tính toán t ốc độ thay đổ i phonon , , m k q z

G Đổi biến trong số hạng thứ 2: ';p z  p z q z

Vì trường laser có tần số cao nên hoàn toàn có thể thực hiện được điều kiện:

Vì vậy trong   1 , 2 có thể bỏ qua   ' so với   và   (p z )

(3.9) Áp dụng công thức:  ax  1   x

 Xét trong giới hạn trường mạnh:     , ta có gần đúng [10,16,17,20]

Số hạng chứa hàm  thứ nhất trong (3.12) thể hiện sự hấp thụ     

    photon, còn số hạng thứ hai thể hiện sự phát xạ     

   photon Khi xét trong giới hạn trường bức xạ laser mạnh, ta có sự phát xạ và hấp thụ    1

 photon Như vậy tốc độ thay đổi phonon có cả sự đóng góp của quá trình hấp thụ và phát xạ photon gây ra

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:

 Xét dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, ta có:

I   m k q không phụ thuộc vào pz, nên:

Sự phân bố của điện tử tuân theo hàm phân bố Fermi – Dirac:

Biểu thức (3.24) diễn tả tốc độ gia tăng của sóng âm (phonon âm) bị giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, trong trường hợp hấp thụ nhiều photon dưới tác động của trường bức xạ laser.

G   luôn cho ta sự hấp thụ sóng âm (phonon âm), vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì , , 0 m k q z

Vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì trường bức xạ laser phải thỏa mãn điều kiện:

  (3.26) b) Xét trường hợp khí điện tử không suy biến:

Hàm phân bố Fermi – Dirac trở thành hàm phân bố Boltzmann [25]

(3.27) Kết hợp (3.27) và (3.18), ta có:

Từ (3.33) ta thấy G m k q  , , z 0, vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì G mk q  , , z 0 , tức là trường bức xạ laser phải thỏa mãn điều kiện: 0

Biểu thức (3.35) mô tả tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) bị giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, trong trường hợp hấp thụ nhiều photon và khí điện tử không suy biến Đối với trường hợp khí điện tử suy biến mạnh, hàm phân bố Fermi – Dirac có thể được xấp xỉ gần đúng bằng hàm bước nhảy.

Vậy ta có thể viết:

Theo tính chất hàm δ, ta có:

 Theo tính chất hàm bước nhảy θ

G   , vậy để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) thì , , 0 m k q z

G   , tức là trường bức xạ laser phải thỏa mãn điều kiện:

Như vậy từ biểu thức (3.26), (3.34), (3.38) ta có điều kiên để có sự gia tăng sóng âm (phonon âm) là:

Biểu thức (3.39) mô tả tốc độ gia tăng của sóng âm (phonon) trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn, khi bị cường bức xạ laser và hấp thụ nhiều photon, trong điều kiện khí điện tử suy biến mạnh.

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, chúng tôi đã xác định được biểu thức giải tích cho tốc độ thay đổi của sóng âm (phonon âm) bị giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật hố thế cao vô hạn dưới ảnh hưởng của trường laser Chúng tôi đã nghiên cứu ba trường hợp: trường hợp tổng quát (3.24), trường hợp khí điện tử không suy biến (3.35) và trường hợp khí điện tử suy biến mạnh (3.39) Đồng thời, chúng tôi cũng xác định các điều kiện cần thiết để xảy ra sự gia tăng của sóng âm (phonon âm) giam cầm (3.40).