Ứng dụng các thuật toán căn bậc hai vào tính toán bình sai truy hồi lưới trắc địa

Bài viết Ứng dụng các thuật toán căn bậc hai vào tính toán bình sai truy hồi lưới trắc địa tìm hiểu các thuật toán căn bậc hai có độ ổn định tính toán số tốt hơn và áp dụng chúng vào việc bình sai lưới trắc địa. Dựa trên các thuật toán dẫn ra, chúng tôi đã thiết kế các chương trình MATLAB sao cho có thể tiết kiệm bộ nhớ nhất, và dùng ví dụ minh họa về lưới thủy chuẩn để chứng minh tính đúng đắn của chúng.

Nghiên cứu ỨNG DỤNG CÁC THUẬT TOÁN CĂN BẬC HAI VÀO TÍNH TỐN BÌNH SAI TRUY HỒI LƯỚI TRẮC ĐỊA NGUYỄN NGỌC LÂU(1), NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG(2) (1) Trường Đại học Bách khoa TP HCM (2) Viện Khoa học Đo đạc Bản đồ Tóm tắt: Để bình sai lưới trắc địa cách hiệu máy tính, người ta thường ứng dụng thuật tốn bình sai truy hồi (Recursive/Sequential Adjustment) Trong thường sử dụng nhiều thuật toán Q Thuật toán Q trì việc tính lặp ma trận phương sai đối xứng, đánh giá đơi gặp khó khăn tính tốn số làm giảm độ xác kết bình sai Trong báo này, chúng tơi tìm hiểu thuật tốn bậc hai có độ ổn định tính tốn số tốt áp dụng chúng vào việc bình sai lưới trắc địa Dựa thuật tốn dẫn ra, chúng tơi thiết kế chương trình MATLAB cho tiết kiệm nhớ nhất, dùng ví dụ minh họa lưới thủy chuẩn để chứng minh tính đắn chúng Giới thiệu: Bình sai truy hồi (Recursive/Sequential Adjustment) giới thiệu từ thập niên 70-80 để xử lý mạng lưới trắc địa [1, 2, 3, 4] với nhiều ưu điểm so với phương pháp bình sai cổ điển như: * Tính tốn hiệu máy tính điện tử (bộ nhớ tốc độ) * Có khả tích hợp kiểm tra sai số thơ vào q trình tính tốn Nội dung phương pháp tính tốn lặp dần yếu tố: * Ma trận hiệp phương sai (variancecovariance matrix) vector ẩn số Q * Vector ẩn số X * Dạng toàn phương  theo trị đo đưa vào q trình xử lý Do thuật tốn tính lặp ma trận Q, để thuận tiện ta gọi thuật tốn Q, tóm tắt sau [4]: Bước 1: Bắt đầu với ma trận hiệp phương sai vector ẩn số Q(0 ) = 10 E , giá trị ban đầu vector ẩn số Xˆ (0 ) dạng toàn phương ˆ(0 ) = i=1 Bước 2: Tính số hạng tự trị đo thứ i ( ) wi = f i Xˆ (i −1) − y i Trọng số đảo số hạng tự wi q wi = + Q(i −1) aiT pi Kiểm tra wi  3 qwi (1) (2) (3) Ngày nhận bài: 12/2/2022, ngày chuyển phản biện: 15/2/2022, ngày chấp nhận phản biện: 19/2/2022, ngày chấp nhận đăng: 25/2/2022 10 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 Nghiên cứu Nếu (3) không thỏa mãn chuyển sang bước Ước lượng ẩn số sau xử lý trị đo thứ i w Xˆ (i ) = Xˆ (i −1) − Q(i −1) aiT i q wi (4) Ma trận hiệp phương sai ẩn số sau xử lý trị đo thứ i Q(i ) = Q(i −1) − Q(i −1) aiT Q(i −1) q wi (5) Dạng toàn phương sau xử lý trị đo thứ i ˆ(i ) = ˆ(i −1) + Bước 3: wi2 q wi (6) i = i +1 i  n chuyển sang bước 4, ngược lại quay bước Bước 4: Xuất kết bình sai Trong đó: yi trị đo thứ i, có trọng số pi (i = 1:n) vector hệ số phương trình tham số yi Các ma trận hay vetor thuật tốn có số nằm ngoặc để định ma trận hay vector khai báo chương trình, có giá trị chúng thay đổi theo bước tính lặp Krakiwsky [1] chứng minh bình sai truy hồi trường hợp riêng Kalman filter vector trạng thái không thay đổi theo thời gian Trong báo mình, Kalman đặt: Ki = Q(i −1) aiT q wi (7) gọi ma trận gia lượng (gain matrix) Khi cơng thức truy hồi (4) (5) viết lại dạng Xˆ (i ) = Xˆ (i −1) − K i wi (8) Q(i ) = Q(i −1) − K i Q(i −1) (9) Mặc dù thuật toán Q rời rạc khai thác thành cơng nhiều tốn, đơi ứng dụng thực tế thường đối diện với khó khăn tính tốn số Một vài nhà nghiên cứu thơng báo việc giảm độ xác thuật tốn Các khó khăn tính tốn với phương pháp Kalman thường thấy rõ rệt trường hợp ma trận phương sai tính trở nên không xác định (undefine) điều kiện xấu (ill condition) Việc giảm tính xác định ma trận hiệp phương sai thường kết sai số làm trịn máy tính, làm trầm trọng điều kiện xấu Những trường hợp xấu xảy trị đo xác xử lý liên kết với phương sai ban đầu lớn, hay tổ hợp tuyến tính tham số ước lượng cách xác tham số khác khơng Trong trường hợp tính tốn liên quan với ma trận hiệp phương sai dễ mắc phải sai số làm trịn Các thuật tốn bậc hai Nhiều sơ đồ tính tốn đề xuất để khắc phục việc giảm tính xác định ma trận phương sai Những phương pháp hoàn toàn tương đương mặt đại số với thuật toán Q, chúng đại diện cho kỹ thuật tính tốn khác thiết kế để cải thiện độ xác số Các thuật tốn thường địi hỏi khối lượng tính tốn lớn cơng thức ban đầu, vài phương pháp đòi hỏi việc lưu trữ nhiều máy tính Do đó, nhiều phương pháp khơng thích hợp cho ứng dụng có thời gian khả lưu trữ máy tính giới hạn Tình thường gặp nhiều TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 11 Nghiên cứu ứng dụng thời gian thực, định vị on-board máy bay tên lửa Việc lập công thức cho ma trận hiệp phương sai dạng bậc hai nhiều nhà nghiên cứu cơng nhận tốt mặt tính tốn số so với công thức cổ điển Sau xin giới thiệu hai thuật toán đánh giá cao nhóm thuật tốn Carlson thuật toán U-D 2.1 Thuật toán bậc hai tam giác Carlson Với mong muốn đạt ổn định đặc tính xác kỹ thuật ước lượng bậc hai cần thiết cho thuật toán xử lý nhanh tin cậy, Carlson vào năm 1973 đề xuất thay công thức bậc hai Phương pháp ơng ta tính toán truy hồi bậc hai ma trận hiệp phương sai có dạng tam giác [3] Dựa vào ý tưởng Carlson, tự chứng minh dẫn dắt công thức cần thiết phần sau Do chúng khơng hồn tồn giống với cơng thức Carlson ngun Vì Q ma trận đối xứng xác định dương nên ta phân tích thành Q = U U T (10) Si = U iU iT Thay (14) vào (11), ta U (i )U (Ti ) = U (i −1)U iU iT U (Ti−1) (15) Suy U (i ) = U (i −1)U i (16a) Hay U (Ti ) = U iT U (Ti−1) (16b) Vậy vấn đề lại thành lập ma trận U cách hiệu nhất? Dựa vào thuật toán Cholesky, ta dẫn cơng thức đơn giản sau để thành lập ma trận U cách trực tiếp từ vector ti mà không cần phải thành lập ma trận Si n u jj = q wi −  t k2 k= j q wi − n t k = j +1 j = 1: n (17a) k tl t j u lj = − l = 1:j-1 n n     q wi −  t k2  q wi −  t k2     k= j k = j +1    (17b) Nếu ký hiệu  j = qw − i n t k = j +1 k n Trong U ma trận tam giác  j = q w −  t k2 =  j −1 − t 2j , thuật tốn lập Kết hợp (5) (10), ta có ma trận U đơn giản sau: U (i )U (Ti ) = U (i −1) S iU (Ti−1) i (11) Trong k= j  = qw i for j = 1:n T ti ti q wi (12)  j =  j −1 − t 2j (13) u jj = Vì Qi ma trận đối xứng xác định dương nên Si đối xứng xác định dương Do tồn ma trận tam giác U cho  =− Si = E − t i = U (Ti−1) aiT 12 (14) j  j −1 tj u jj j −1 for l = 1:j-1 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 Nghiên cứu u lj =  t l biến đổi thực đoạn chương trình MATLAB sau end  = qw end i Cần lưu ý ma trận U ma trận tam giác Để tiết kiệm nhớ tăng tốc độ tính tốn, ta nên lưu ma trận U thành dãy chiều theo thứ tự phần tử sau            10   (18) Đoạn chương trình MATLAB sau cho phép thành lập ma trận U cách hiệu máy tính lưu trữ theo định dạng (18): for j = n:-1:1  j =  j −1 − t 2j j  j −1 = for l = 1:j u lj =  u lj end  =− tj  j −1 alpha0=qw; for l = 1:j-1 for i=n:-1:1  =  tl alpha1=alpha0-t(i)^2; for k = 1:j U(i*(i+1)/2)=sqrt(alpha1/alpha0); u kj = u kj +  u kl beta=- t(i)/U(i*(i+1)/2)/alpha0; end for j=1:i-1 end U(j+i*(i-1)/2)=beta*t(j); end alpha0=alpha1; end end alpha0=qw; for i=n:-1:1 Kích thước ma trận U với ma trận U Do việc trì ma trận U làm cho nhớ máy tính tăng lên gấp đơi Quan sát việc nhân hai ma trận tam giác U (i −1)U i ta thấy kết nhân ma trận U với alpha1=alpha0-t(i)^2; cột thứ n ma trận U lưu vào cột thứ n ma trận U Vì cột khơng tham gia vào việc tính n-1 cột đầu ma trận U Tương tự cột thứ n-1 không tham gia vào việc tính n-2 cột đầu, vv Do biến đổi ma trận U theo chiều từ phải sang trái, ta không cần thiết phải lập ma trận U Quá trình beta=-t(i)/U_ii/alpha0; U_ii=qrt(alpha1/alpha0); for j=1:i U(j+i*(i-1)/2)=U(j+i*(i-1)/2)*U_ii; end for j=1:i-1 U_ji=beta*t(j); for k=1:j U(k+i*(i-1)/2)=U(k+i*(i1)/2)+U(k+j*(j-1)/2)*U_ji; end TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 13 Nghiên cứu end alpha0=alpha1; end Trong đoạn chương trình ma trận U lưu trữ theo định dạng (18) Quy trình tính tốn bình sai truy hồi theo thuật tốn Carlson sau Bước 1: Bắt đầu với ma trận U (0 ) = 10 E giá trị ban đầu vector ẩn số Xˆ (0 ) dạng toàn phương ˆ(0 ) = i=1 Bước 2: t i = U (Ti−1) aiT Tính vector ti Tính số hạng tự trị đo thứ i ( ) wi = f i Xˆ (i −1) − y i Tính trọng số đảo số hạng tự li q wi = Kiểm tra + t iT t i pi wi  3 qwi không thỏa mãn chuyển sang bước Ước lượng ẩn số sau xử lý trị đo thứ i w Xˆ (i ) = Xˆ (i −1) − U (i −1)t i i q wi Biến đổi ma trận U (i −1) thành U (i ) Dạng toàn phương sau xử lý trị đo thứ i ˆ(i ) = ˆ(i −1) + Bước 3: wi2 q wi i = i +1 Nếu i  n chuyển sang bước 4, ngược lại quay bước Bước 4: Xuất kết bình sai 14 Thuật tốn Carlson có dạng tính tốn tốt thừa hưởng đặc điểm tính ổn định độ xác lọc bậc hai nói chung Mặc dù cơng thức Carlson địi hỏi khối lượng tính tốn nhớ phương pháp bậc hai Potter, hiệu thuật tốn Kalman truyền thống Vì khơng giống Kalman truyền thống, thuật tốn Carlson địi hỏi n phép bậc hai cập nhật trị đo mới, phép lấy toán tử gần chiếm nhiều thời gian PGS.TSKH Hà Minh Hòa số tài liệu [5, 6, 7] đề nghị thuật tốn tương tự phân tích ma trận hiệp phương sai dạng Q = T −1T −T đặt tên thuật toán T-T So sánh với (10), ta dễ dàng dẫn U = T-1 Vì T −1 ma trận tam giác Điểm thuật tốn T-T q trình biến đổi ma trận T(i−−1T ) thành T(i−)T thực phép biến đổi xoay Givens Phương pháp tiếng đặc tính số ưu việt nên giảm sai số làm trịn Tuy nhiên thuật tốn có chung nhược điểm đòi hỏi n phép bậc hai cập nhật trị đo 2.2 Thuật toán phân tích ma trận hiệp phương sai U-D Một cách tiếp cận đầy hứa hẹn cho lọc Kalman liên quan đến việc phân tích ma trận phương sai thành tam giác mà khơng địi hỏi phép khai Ma trận hiệp phương sai Q phân tích thành Q = U D.U T (19) Trong U ma trận tam giác đơn vị D ma trận chéo Bierman [3] đề nghị phân tích dẫn thuật tốn cập nhật trị đo U-D Dựa ý tưởng chứng minh lại thuật tốn cho TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 Nghiên cứu mục đích Do khơng hồn tồn giống với thuật toán nguyên Bierman [3] Kết hợp (19) (5), ta có U (i ) D(i )U (Ti ) = U (i −1) S iU (Ti−1) (20) Trong S i = D(i −1) − Tương tự ký hiệu  j = q wi − t 2j t k2 =  j −1 −  j = q wi −  , thuật dj k= j dk n toán lập ma trận Di U i đơn giản sau: U =E T ti ti q wi (21)  = qw i t iT = aiU (i −1) D(i −1) for j = 1:n (22)  j =  j −1 − Vì Qi ma trận đối xứng xác định dương nên Si đối xứng xác định dương Do tồn ma trận tam giác đơn vị U ma trận chéo D cho S i = U i DiU iT dj = dj U (i ) D(i )U (Ti ) = U (i −1)U i DiU iT U (Ti−1) end D ( i ) = D( i ) (26) Các phần tử ma trận Di U i tính theo cơng thức sau (suy từ (17)) q wi − u lj = − j = 1: n t k = j +1 d k Đoạn chương trình MATLAB sau thể cho thuật tốn (27a) for i=n:-1:1 alpha1=alpha0-t(i)^2/D(i); D_(i)=D(i)*alpha1/alpha0; tl t j  t d j  q wi −  k= j dk  n end alpha0=qw; k  d j j U_=eye(n); k n tj for l = 1:j-1 u lj =  t l (25) dj = dj j  j −1 (24) U (i ) = U (i −1)U i t k= j dk dj  =− Suy q wi −  t 2j (23) Thay (23) vào (20), ta n t k2  k = j +1 d k n k     l = 1: j-1 (27b) Trong dj phần tử đường chéo thứ j ma trận D(i −1) beta=-t(i)/D(i)/alpha1; for j=1:i-1 U_(j+i*(i-1)/2)=beta*t(j); end alpha0=alpha1; end Tuy nhiên việc lưu trữ ma trận U D lợi, ta biến đổi TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 15 Nghiên cứu trực tiếp U (i ) D(i ) từ ma trận ti D(i −1) Bước 1: Bắt đầu với ma trận U (0 ) = E , Đoạn chương trình MATLAB sau cho phép làm điều D(0 ) = 10 E , giá trị ban đầu vector ẩn số  = qw Xˆ (0 ) dạng toàn phương ˆ(0 ) = i i=1 for j = 1:-1:n  j =  j −1 − Bước 2: t 2j Tính vector ti dj Tính số hạng tự trị đo thứ i j dj = dj  j −1  =− t iT = aiU (i −1) D(i −1) ( ) wi = f i Xˆ (i −1) − y i Tính trọng số đảo số hạng tự wi tj d j  j −1 n (t ) 1 i j = + t iT D(−i1−1)t i = + pi pi j =1 d j q wi for l = 1:j-1  =  tl Kiểm tra for k = 1:j wi  3 qwi không thỏa mãn chuyển sang bước u kj = u kj + u kl *  Ước lượng ẩn số sau xử lý trị đo thứ i end w Xˆ (i ) = Xˆ (i −1) − U (i −1)t i i q wi end end alpha0=qw; Biến đổi ma trận U (i −1) thành U (i ) , D(i −1) for i=n:-1:1 thành D(i ) alpha1=alpha0-t(i)^2/D(i); Dạng toàn phương sau xử lý trị đo thứ i D(i)=D(i)*alpha1/alpha0; wi2 ˆ ˆ (i ) = (i −1) + q wi beta=-t(i)/D(i)/alpha0; for j=1:i-1 Bước 3: U_ji=beta*t(j); for k=1:j U(k+i*(i-1)/2)=U(k+i*(i1)/2)+U(k+j*(j-1)/2)*U_ji; i = i +1 Nếu i  n chuyển sang bước 4, ngược lại quay bước Bước 4: Xuất kết bình sai Kaminsky vào năm 1971 (tham khảo tài liệu [3]) so sánh cẩn thận khối lượng tính tốn thuật toán xử lý m trị đo cho n ẩn số Một vài kết cho bảng sau end end alpha0=alpha1; end Quy trình tính tốn bình sai truy hồi theo thuật tốn U-D sau 16 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 Nghiên cứu Bảng So sánh khối lượng tính tốn thuật tốn Thuật tốn Thuật tốn Q Số phép cộng (1.5n ) + 3.5n m 0.5n + 0.5n + Carlson (1.5n ) + 3.5n m 0.5n − 0.5n + U-D (1.5n ) + 1.5n m Số phép chia m Số phép khai ) 2nm nm ) nm Số phép nhân (1.5n ) + 4.5n m 0.5n + 0.5n + (2.0n + 5.0n m n2 − n + (1.5n Theo bảng ta thấy thuật tốn bậc hai có khối lượng tính toán lớn thuật toán truyền thống Trong số thuật tốn bậc hai thuật tốn U-D có khối lượng tính tốn khơng có phép khai Kaminsky thông báo thuật tốn bậc hai cung cấp độ xác gấp đơi so với thuật tốn Q điều kiện xấu Với đặc tính số vượt trội khối lượng tính tốn hợp lý, cách tiếp cận bậc hai lựa chọn hàng đầu ứng dụng có cấu hình máy tính hạn chế hay toán xử lý điều kiện xấu Ví dụ minh họa Để chứng minh tính đắn thuật tốn bậc hai, chúng tơi tính tốn bình sai mạng lưới thủy chuẩn đơn giản hình Trong điểm điểm gốc, chênh cao có trọng số + 5.5n m 3.1 Bình sai cổ điển * Chọn X = (H ẩn vector số H ) với giá trị gần T H3 X = (5.00 7.08 5.01) T * Vector đo trị Y = (+ 5.000 + 5.010 + 2.080 − 2.050 ) T * Ma trận trọng số trị đo P = E 1  0 * Ma trận hệ số A =  −1   −1  * Vector số 0  1 0   hạng tự W = A X − Y = (0 0 − 0.02 ) T * Ma trận phương trình chuẩn  −1    N = A PA =  − 1    T * Ma trận trọng số đảo ẩn số Q = N −1 3  4 =     1  4 1 2 3  4 * Vector số hạng tự phương trình chuẩn b = AT PW = (0 − 0.02 + 0.02 ) T Hình Tuyến thủy chuẩn khép kín TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 17 Nghiên cứu * Vector số hiệu chỉnh vào ẩn số X = −Qb = (+ 0.005 + 0.010 − 0.005 ) T * Vector ẩn số sau bình sai T Xˆ = X + X = (5.005 7.090 5.005 ) V * Vector phần dư trị đo T = A.X − W = (+ 0.005 − 0.005 + 0.005 + 0.005 ) * Dạng toàn phương  = V T PV = 0.0001 3.2 Bình sai truy hồi theo thuật toán Q Xuất phát với Q(0 ) 10  =     , 10  10 T Xˆ (0 ) = (5.00 7.08 5.01) ˆ(0 ) = , ta lần 3.3 Bình sai truy hồi theo thuật toán Carlson Xuất T Xˆ (1) = (5.00 7.08 5.01) ,  1  , Q(1) =  10   10   ˆ(1) = * w2 = , a2 = (0 1) , q w2 = + 10 , 1 T Xˆ (2 ) = (5.00 7.08 5.01) , Q =  (2 )    10 0  0 ,  ˆ(2 ) = * w3 = , a3 = (− 1 0) , q w3 = + 10 T Xˆ (3 ) = (5.00 7.08 5.01) , Q(3) 1 0   =  0 ,    * w4 = −0.02 , a4 = (0 − 1) , q w4 = , T Xˆ (4 ) = (5.005 7.090 5.005 ) , Q( ) 18 U (0 ) 10 0   , =  10   0 10   lượt nhận ( t1T = 10 * 10 −6  U1 =    q w1 = + 1012 , 0  ˆ  , X (1) = (5.00  1 0  0  ,  10  , U =  10 (1)  ( 1 0   , U2 = 0   0 10    1  U (2 ) =  10 0  ) q w2 = + 1012 , 0  ˆ  ,  (2 ) =  ( 2 0 T T Xˆ (2 ) = (5.00 7.08 5.01) , t 3T = − 10 * 7.08 5.01) ˆ(1) = t 2T = 0 10 , *    U3 =      ) 0, 2 10 −6 ) q w3 = + 1012 , ,  0 ,  0  1   T Xˆ (3 ) = (5.00 7.08 5.01) , U (3 )    =     2 0 2  0 ,  0  1   ˆ(3 ) = ˆ(3 ) = 3  4 =     với T Xˆ (0 ) = (5.00 7.08 5.01) ˆ(0 ) = , ta nhận * w1 = , a1 = (1 0) , q w1 = + 10 , phát 1  4, 1 2 3  4 ˆ(4 ) = 0.0001 (   1 U4 = 0   0  ) t 4T = − , * 3 q w4 = ,    ,  3   TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 Nghiên cứu T Xˆ (4 ) = (5.005 7.090 5.005 ) , U (4 )     =     2 0 6 3  , 3   3  ˆ(4 ) = 0.0001 D( ) D(0 ) phát U (0 ) = E , với 10 0    =  10 ,  0 10   T Xˆ (0 ) = (5.00 7.08 5.01) ˆ(0 ) = , ta lần 1  2 =0   0  ( t1T = 10 ) ( 1 0   ˆ =   ,  (1) = 0 1   ) 0  0 ( t 3T = − 10 0 ˆ(4 ) = 0.0001   0  ˆ  ,  (3 ) =   2 0         6 2 6 6 3     4  =   3     1  4 1 = Q(4 ) = Q 2 3  4 U (4 ) D(4 )U (T4 )  1  = 0  0   1    2         1       3   0  0 =      1    1  4 1 =Q 2 3  4 Vậy kết bình sai theo tất thuật tốn hồn tồn đồng với Kết luận ) q w3 = 10 , , T Xˆ (3 ) = (5.00 7.08 5.01) , U (3 ) 1 0   ˆ =    (2 ) = 0 1    1  = 0 0   1  3 2, 3 1   b) Thuật toán U-D 1 * U (4 )U (T4 )     =     q w2 = + 10 , t = 0 10 , T Xˆ (2 ) = (5.00 7.08 5.01) , D =  10   (2 )  , U (2 ) Các thuật toán khác cho kết vector ẩn số X dạng toàn phương  Riêng ma trận hiệp phương sai ẩn số, ta có q w1 = + 10 , 0,  1   D(1) =  10  , U (1)  0 10    *   1 0  ,   U (4 ) =   0 3   4  3.4 So sánh kết bình sai T Xˆ (1) = (5.00 7.08 5.01) , T a) Thuật toán Carlson lượt nhận * q w4 = , T Xˆ (4 ) = (5.005 7.090 5.005 ) , 3.3 Bình sai truy hồi theo thuật tốn U-D Xuất t 4T = (0 − 1) , * D( ) 1  2 =0 0    0 , 0   Chúng tơi tóm tắt quy trình tính tốn bình sai truy hồi truyền thống, thuật tốn T-T thuật toán bậc hai gồm Carlson U-D Thuật toán Carlson tương tự thuật toán T-T, khác tính lặp ma trận U (hay T-1) Chúng dẫn dắt công thức truy hồi chương trình tính lặp cho ma trận U Tuy nhiên việc so sánh với phép biến đổi xoay Given thuật tốn T-T cần phải có nghiên cứu thêm TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 19 Nghiên cứu So với thuật tốn Carlson T-T, thuật tốn U-D có ưu điểm thực phép khai Điều giúp thuật tốn tốt ổn định mặt tính tốn số Về mặt lập trình, thuật tốn U-D tốn nhớ cần trì thêm dãy để giữ phần tử đường chéo ma trận chéo D Chúng dùng mạng lưới thủy chuẩn khép kín để kiểm tra tính đắn thuật tốn Các thuật tốn nêu cho kết bình sai. Tài liệu tham khảo [1] Krakiwsky E.J., (1975), “A synthesis of recent advances in the method of least squares”, Lecture Notes at University of New Brunswick, Fredericton, Canada [2] Mikhail E.M and F Ackermann, (1976), “Observation and Least Squares”, Dun-Donnelley Publisher, New York, 497pp [3] Bierman G.J., (1977), “Factorization methods for discrete sequential estimation”, Academic Press, 241pp [4] Markuze U.I, (1989), “Các thuật tốn bình sai lưới trắc địa máy tính”, Nhà xuất Nedra, 247pp [5] Hà Minh Hịa, (2002), “Nghiên cứu thuật tốn bình sai mạng lưới trắc địa tự do”, Tạp chí Địa chính, 10-2002, 9-12 [6] Hà Minh Hòa Nguyễn Ngọc Lâu, (2005), “Những phát triển việc xử lý liệu GPS để nghiên cứu chuyển dịch vỏ trái đất Việt Nam”, Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh [7] Hà Minh Hòa Bùi Đăng Quang, (2009), “Phát triển thuật tốn triển khai mơ hình bình sai tổng quát mạng lưới trắc địa”, Tạp chí Khoa học Đo đạc Bản đồ, số 2, 12-2009, 13-20 [8] Nguyễn Ngọc Lâu, Nguyễn Thị Thanh Hương, (2013) Xác định mơ hình sai số cho trị đo GPS GLONASS Tạp chí Khoa học Đo đạc Bản đồ số 18, tháng 12 năm 2013, 11-18 [9] Nguyễn Thị Thanh Hương, (2014) Phương pháp tìm kiếm trị đo thơ q trình tính tốn bình sai truy hồi với phép biến đổi xoay mạng lưới độ cao hạng I, II quốc gia Tạp chí Khoa học Đo đạc Bản đồ số 22, tháng 12 năm 2014, 11-16. Summary Application of square root algorithms to sequentially adjust geodetic networks Nguyen Ngoc Lau, Ho Chi Minh City University of Technology, Vietnam Nguyen Thi Thanh Huong, Institute of Geodesy and Cartography, Vietnam To adjust the geodetic networks effectively by computer, people often apply the algorithm of recursive/sequential adjustment Of which the most commonly used is the Q algorithm The Q algorithm maintains iterative computation on the symmetric variance-covariance matrix, which is considered to be sometimes difficult in numerical computations and reduces the accuracy of adjusted results This paper has studied square root algorithms with better numerical stability and applied them to geodetic network adjustment Based on the derived algorithms, we have designed MATLAB programs to use the least amount of computer memory, and use an illustrated example of a leveling network to demonstrate their correctness. 20 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐO ĐẠC VÀ BẢN ĐỒ SỐ 51-3/2022 ... Chúng tơi tóm tắt quy trình tính tốn bình sai truy hồi truy? ??n thống, thuật toán T-T thuật toán bậc hai gồm Carlson U-D Thuật toán Carlson tương tự thuật tốn T-T, khác tính lặp ma trận U (hay T-1)... Markuze U.I, (1989), ? ?Các thuật tốn bình sai lưới trắc địa máy tính? ??, Nhà xuất Nedra, 247pp [5] Hà Minh Hịa, (2002), “Nghiên cứu thuật tốn bình sai mạng lưới trắc địa tự do”, Tạp chí Địa chính, 10-2002,... thiệu hai thuật tốn đánh giá cao nhóm thuật tốn Carlson thuật toán U-D 2.1 Thuật toán bậc hai tam giác Carlson Với mong muốn đạt ổn định đặc tính xác kỹ thuật ước lượng bậc hai cần thiết cho thuật