Giải quyết vấn đề
Giải pháp thực hiện
Chúng ta thường gặp các dạng hệ đánh giá thông qua các hướng sau :
1) Đánh giá qua điều kiện nghiệm của hệ
Thông thường hệ đánh giá được qua điều kiện nghiệm ta thường gặp các đánh giá cơ bản sau đây :
Yếu tố điều kiện có nghiệm của một phương trình bậc 2. Đưa về dạng
2) Đánh giá qua các bất đẳng thức cơ bản
Thông thường hệ được đánh giá thông qua các bất đẳng thức ta thường gặp các đánh giá sau :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức AM- GM (hay còn gọi là bất đẳng Cauchuy ).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức B.C.S ( bất đẳng thức Bunnhicopxki).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức B.C.S dạng phân số ( hay bất đẳng thức Sva xơ).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Một số bổ đề thường dùng.
Dấu đẳng thức xuất hiện trong cả hai bổ đề khi và chỉ khi có sự tương đồng nhất định Trong loại hệ phương trình được giải bằng phương pháp này, chúng ta thường gặp những bài toán liên quan đến việc đánh giá khả năng xảy ra trên một hoặc cả hai phương trình trong hệ, hoặc thông qua việc kết hợp cả hai phương trình Dưới đây là các ví dụ minh họa cho vấn đề này.
Phân tích hệ phương trình cho thấy chúng ta không thể bắt đầu từ phương trình thứ hai Phương trình đầu tiên là một phương trình bậc hai với hai ẩn, vì vậy cần tính delta của nó để xác định giới hạn nghiệm của hệ này.
Ta biến đổi phương trình thứ nhất thành :
Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi
Từ đây ta suy ra được Và tới đây việc còn lại là thử lại nghiệm là hệ đã được giải quyết.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Thế vào ta có kết quả luôn đúng. Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là
Cấu trúc bài toán yêu cầu chúng ta tập trung vào phương trình đầu tiên, vì nó mở ra nhiều hướng giải quyết như việc phân tích nhân tử và xác định miền nghiệm Thực tế, bài toán này sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình đầu tiên để tìm ra nghiệm cho hệ phương trình.
Phân tích cho thấy rằng trong hệ này, lựa chọn công phá từ phương trình thứ nhất là tối ưu nhất Điều này bởi vì phương trình chứa hai căn bậc lệch, và ngay cả khi áp dụng ẩn phụ hóa, cũng không tìm ra mối liên hệ nào có lợi để giải quyết hệ.
Ta biến đổi (1) về phương trình sau :
Tới đây ta hãy để ý đại lượng ngoài căn và không có bình phương : có liên quan đến đại lượng trong căn và đại lượng dưới mũ 2.
Thật vậy, ta có : có
Vậy ta sẽ tìm mối quan hệ :
Bằng cách đồng nhất hệ số của hai vế, chúng ta có thể xác định rằng hệ số điều chỉnh sẽ là bộ số thuận lợi nhất Do đó, ta có thể kết luận rằng hệ số này là tối ưu cho bài toán.
Và tới đây, ta chỉ cần thực hiện phép thế vào ta được phương trình :
Để giải quyết phương trình này, chúng ta nhận thấy rằng vế phải chưa được tích và mỗi thừa số đều có dạng nhất định, từ đó có thể áp dụng bất đẳng thức Hơn nữa, chúng ta có thể dự đoán nghiệm của phương trình.
Vậy nếu ta sử dụng dạng thì
Dấu đẳng thức xảy ra
Còn nếu thì Dấu đẳng thức xảy ra
Với việc củng cố niềm tin vào phương pháp đánh giá chính xác, chúng ta có thể giải quyết hệ phương trình này một cách hiệu quả.
Từ ta biến đổi thành phương trình sau:
Thế vào ta có phương trình :
Từ điều kiện , ta có
Suy ra : Vậy tổng hợp các điều kiện ta có : Áp dụng bất đẳng ta có :
Từ đây ta suy ra :
Vậy ta cần chứng minh : ,
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( thỏa mãn ) Suy ra : Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là
Bài toán được giải bằng cách đánh giá từng phương trình trong hệ Đối với phương trình đầu tiên, chúng ta áp dụng hằng đẳng thức và tính chất tổng các số không âm Trong khi đó, phương trình thứ hai được giải quyết bằng bất đẳng thức cơ bản Một câu hỏi mà học sinh có thể thắc mắc là lý do chúng ta không thực hiện biến đổi nào Đây là một thắc mắc hợp lý, và qua phân tích, chúng ta nhận ra rằng có những bộ số "không có lợi" cho việc biến đổi.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
(Thi thử Yên Phong Bắc Ninh 2015)
Phân tích hệ phương trình cho thấy phương trình thứ hai là một phương trình đối xứng với hai biến, nhưng không thể phân tích thành nhân tử Đối với phương trình thứ nhất, chúng ta có thể áp dụng ý tưởng đặt ẩn phụ để đơn giản hóa quá trình giải.
Mặt khác từ phương trình thứ nhất ta có :
Khi đó phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi trở thành phương trình :
Mặt khác ta lại có :
Vậy ta sẽ có : , do đó từ ta có :
Và tới đây bài toán đã được giải quyết.
Lời giải : Điều kiện : Đặt
Mặt khác từ phương trình thứ nhất ta có :
Khi đó phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi trở thành phương trình :
Mặt khác ta lại có :
Vậy ta sẽ có : , do đó từ ta có :
Thay vào phương trình thứ hai, ta nhận được phương trình mới Đặt một biến số mới, phương trình chuyển thành dạng khác Dựa trên điều kiện đã cho, nghiệm của hệ phương trình được xác định.
Bài toán này thực sự thú vị và đầy thách thức cho học sinh, đòi hỏi sự khéo léo trong việc đánh giá và kết hợp các phương pháp một cách tinh tế Nếu không nắm vững những yếu tố này, việc tìm ra lời giải sẽ gặp nhiều khó khăn.
Và nếu sử dụng đánh giá không khéo cũng sẽ dẫn đến những đánh giá rất khó chịu.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
Phân tích hệ phương trình cho thấy cả hai phương trình đều có hai đại lượng chung, dẫn đến việc sử dụng ẩn phụ hóa Tuy nhiên, việc này tạo ra một hệ mới với bậc cao, khiến phương án này không khả thi.
Với các kinh nghiệm đã có ta có thể nhận định được nếu cho hai căn thức bằng nhau và làm phép thử xem có được điều gì ?
Ta có : Thử ngay với ta thấy hệ hoàn toàn đúng Vậy đây chính là mối quan hệ giữa trong hệ này
Trong phương trình đầu tiên của hệ, các biến có thể được tách rời, điều này cho thấy khả năng xác định hàm số đại diện là khá cao Do đó, chúng ta sẽ tiến hành tách các biến để xem xét.
Mặc dù các biến trong phương trình được cô lập, nhưng không thể xác định hàm đại diện, dẫn đến sự thất bại của ý tưởng này Tuy nhiên, khi quan sát phương trình mới, ta nhận thấy chỉ cần điều chỉnh một chút là có thể tách được đại lượng, vì vậy chúng ta tiến hành tách như sau:
Từ phương trình cuối, chúng ta có thể đánh giá hệ thống qua miền giá trị Điều này càng được củng cố bởi hai nhận xét đối với phương trình thứ hai trong hệ.
Cố định và xét hàm số ,
Ta có : Vậy hàm số đồng biến.
Cố định và xét hàm số
Ta có : Vậy hàm số đồng biến.
Với hai nhận xét này ta sẽ luôn có những đánh giá thuận chiều Vậy xem như đường hướng giải quyết bài toán đã có.
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi lại thành phương trình :
Vì ta luôn có : nên từ
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Thử lại ta thấy ta thấy thỏa mãn hê Vậy hệ phương trình nghiệm
Kết quả ứng dụng đề tài …
Với vai trò giảng dạy các lớp chọn và đội tuyển, tôi đã có nhiều cơ hội thực hiện đề tài, đặc biệt là với các học sinh trong đội tuyển toán Các em rất thích thú với nội dung đề tài, đặc biệt là những học sinh có mục tiêu đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên, tôi chỉ áp dụng đề tài này cho các em đội tuyển và những học sinh ôn luyện thi, trong khi đó không sử dụng cho các lớp thường.
Cụ thể: Ôn luyện đội tuyển năm học 2017 -2018 và ôn tập cho 15 em học sinh nằm trong các đội tuyển: Toán, lý, hóa, sinh của nhà trường.
1 Về kết quả đội tuyển
Giải Nhất Nhì Ba KK Đội tuyển
2 Về kết quả ôn THPTQG Điểm cao Trên 9 điểm Trên 8 điểm Ghi chú
Sau khi áp dụng đề tài dạy ôn tập hệ phương trình cho nhóm học sinh giỏi và ôn thi đội tuyển, tôi nhận thấy các em đã cải thiện khả năng tư duy và phán đoán một cách nhanh nhẹn Điều này đặc biệt mang lại hiệu quả rõ rệt trong các kỳ thi quan trọng.
Mặc dù còn hạn chế về năng lực và tính ứng dụng, tôi tin rằng yếu tố quyết định sự tồn tại và phát triển mạnh mẽ của một nhà trường chính là khâu mũi nhọn Do đó, đề tài này đóng góp quan trọng vào thành công trong sự nghiệp giáo dục của tôi cũng như sự phát triển chung của trường THPTNCI.
Có thể nói SKKN : “ GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ” bước đầu đã thành công theo đúng mục đích của cá nhân tôi.
Hệ phương trình là một lĩnh vực rộng lớn và phức tạp Mặc dù đã nỗ lực rất nhiều, vẫn có thể xuất hiện một số điểm bất hợp lý trong nội dung Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành từ đồng nghiệp, học sinh và những người đam mê hệ phương trình để cải thiện và hoàn thiện đề tài này hơn nữa.