Microsoft Word cd1 docx VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022 2023 Địa chỉ truy cập click vào đây https vungocthanh1984 blogspot com � Trang 1 � Căn bậc hai Câu 1 (chuyên An Giang 2022 2023)Cho ( ) ( ) 2 2 4 2 3 10 1 3A x x x= + + + − + + a) Tính giá trị biểu thức A khi 2 2x = b) Tìm x biết 9A = − Lời giải Điều kiện 3 0 3x x+ ≥ ⇔ ≥ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 2 4 2 3 10 1 3 1 3 10 1 3 1 3 10 1 3 A x x x x x x x = + + + − + + = + + −.
VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 Chuyên đề Câu Căn bậc hai ( (chuyên An Giang 2022-2023)Cho A = + x + + x a) Tính giá trị biểu thức A x = 2 b) Tìm x biết A = −9 ) 2 ( − 10 + + x ) Lời giải Điều kiện : + x ≥ ⇔ x ≥ −3 ( A= 4+x +2 3+x = 1+ 3+x ) ( ( = 1+ 3+x ) ) 2 ( − 10 + + x − 10 + + x ( ( − 10 + + x ) ) ) 2 ( a) Với x = 2 + x = + 2 = + ( Do + ) ) 3+x =1+ = + A = (6 + 2)(−4 + 2) = + b) Đặt t = + + x (t ≥ 1) Biểu thức A trở thành t − 10t t t 2 Do A = −9 ⇔ t − 10t + = ⇔ (t − 1)(t − 9) = ⇔ t t =1 = −1 =3 = −3 Do điều kiện t ≥ nên ta nhận t = 1, t = Với t = ⇔ + + x = ⇔ x = −3(n ) Với t = ⇔ + + x = ⇔ x = 1(n ) Vậy với A = −9 x = −3, x = Câu (chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 2022-2023) Rút gọn biểu thức P= x −2 ( )( x −1 − ) ( x +1 x + x −1 : với x ≥ 0, x ≠ 2 x − ( ) x +1 ( ) ) Lời giải P= ( x −2 )( ( ) ( x + 2)( x − 1)( x + 1) x +1 − 2 x − ( x − 1) −2 x ( x − 1) ⋅ = = − x 2 x −1 x − x + ) ( ( ) ( Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ ) )( ) Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên Câu TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 (chuyên Bình Phước 2022-2023)Cho biểu thức P = x + x x − x2 + x với + − x x− x x x +x x > 0, x ≠ a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Lời giải a) Rút gọn biểu thức x + x x − x2 + x P= + − x x− x x x +x = 2x + + x ( )( x( ) − x( )( x −1 x + x +1 ) ) x +1 x − x +1 x −1 x ( ) x +1 2x + x + x + x − x + 2x + x + + − = x x x x b) Tìm giá trị nhỏ P 3 P=2 x+ + ≥ 2 x +2 =2 6+2 x x = Vậy GTNN P = + x = Câu 3 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) x x +3 36 x − x + (chuyên Bắc Giang 2022-2023)Cho biểu thức A = + − với : x + − x x − x + x −3 x ≥ 0; x ≠ 1, x ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất giá trị x để A ≥ Lời giải x +3 36 A= + + x −3 x +3 x −3 x +3 x + 12 x + 27 x −1 = : x −3 x −3 x +3 ( ( ( = ( = )( x + )( x − 3)( ) x + 3) ⋅ x + 3) )( : ) ( ( ) x −1 )( x −1 x −3 ) x −3 x −1 x +9 x −1 Vậy A = x +9 với x ≥ 0; x ≠ 1, x ≠ x −1 x +9 < : không thỏa mãn x −1 + Với x < ta có A = + V ới x > ta có: A ≥ ⇔ x + ≥ ( ) x −1 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên x≤ ⇔ TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 13 169 ⇔ x≤ Kết hợp với điều kiện x ta kết cần tìm < x ≤ Câu 169 , x ≠ 9 15 x − 11 x − 2 x + − − x + x −3 x −1 x +3 (chuyên Bắc Kạn 2022-2023)Cho biểu thức A = Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị x để A = − 13 Lời giải Rút gọn biểu thức A Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ ( ) ( ( x − 1)( x + 3) 15 x − 11 − x − A= )( x +3 − x +3 ) x −1 −5 x + x − = ( ( = ( )( x + 3) x − 1)( − x ) − x = x +3 x − 1)( x + 3) x −1 Tìm giá trị x để A = − 13 2−5 x 13 = − ⇔ x − = 13 x +3 ⇔ 17 x = 51 ⇔ x =3 ⇔ x = (TM) ( Vậy x = A = − Câu )( ) ( x +3 ) 13 (chuyên Hà Nam 2022-2023)Cho biểu thức: x −2 x −3 9− x A= + − ( x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 4) : x +3 2− x x+ x −6 x+2 x −3 Rút gọn biểu thức A Tìm tất giá trị x để A > −2 Lời giải (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức A A= = = ( x − 2) − ( x − 3)( x + 3) − + x : ( x + 3)( x − 2) ( x − 2)2 − ( x − 9) − + x : ( x + 3)( x − 2) ( x − 2) : ( x + 3)( x − 2) ( x +3 )( ) x −1 ( x +3 )( ) x −1 ( x +3 )( ) x −1 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 x −2 x +3 ( x + 3) ( x − 1) = ( x − )( x − 1) = x − x + = ( 0,5 điểm) Tìm tất giá trị x để A > −2 A = x − x + > −2 (∀x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1) 3 ⇔ x − x + > ⇔ x − + > (∀x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 1) 2 Vậy A > −2 với ∀x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Câu x+2 x : + (chuyên Hưng Yên 2022-2023)Cho biểu thức A = x + x − x − x x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A = Lời giải x+2 x : A = + ĐKXĐ: x + x − x − x x −1 x ≥ x ≠ a) Rút gọn biểu thức A x+2 x : A = + = x + x − x − x x −1 x = + x x −1 x −1 ( ) ( ) x −1 = x ( ( ) x +2 )( x+2 x ) x +2 ( ) x −1 x −1 ( + x ) x −1 = x −1 ( ) ( ) x −1 x+2 x x+2 với x ≥ x ≠ x b) Tìm giá trị x để A = x+2 Để A = =3 x Vậy A = ⇒ x+2 =3 x x −1 = x =1 x = (lo¹i ) ⇔ ⇒ x − = x = x = (chän ) ⇔ x − x + = ⇔ ( x −1)( x − 2) = ⇔ Câu Vậy với x = A = (chuyên Hải Dương 2022-2023) x x +2 x +3 x +2 −5 + + a So sánh biểu thức A = 1 − : với x +1 x − x + x − 3− x x 2024 ( x + 1) − x 2023 + x + 1 b Tính giá trị biểu thức B = x = − 2 x + 3x −1 + Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 x ≥ a Điều kiện: x ≠ x ≠ Khi đó, ta có: x +1− x x +2 x +3 x +2 A = : + − x + x − x − x −2 x −3 x −3 − x + x −2 x +2+ x +3 A= : x + x −2 x −3 x + + ( x − 9) − ( x − 4) A= : x −2 x −3 x +1 x −3 = : = x −2 A= : x +1 x − x +1 x −2 x −3 x +1 ( )( ( ) )( ) ( ( ( ( A+ = )( )( )( )( ) ) ) ) x −2 x −4+5 x +5 x +1 + = = >0 x +1 2 x +1 x +1 ( Do A > − ) ( ) 8−4 b Ta có x = − ⇔ x= ⇔x= 3−2 3+2 ( ) −1 ⇔ x= −1 ⇔ 2x = − ⇔ 2x + = 2x2 + x − = 2023 x 2024 ( x + 1) − x 2023 + x + x ( x + x − 1) + x + x + B= = = x + 3x x +1 ( x2 + x − 1) + x + ( Câu ) 3 −1 3 = = = 3− −1 +1 +1 x + x x − x − x x + x − 16 (chuyên Hải Phòng 2022-2023)Cho biểu thức A = + + ( với x x−2 x x−x x x > 0; x ≠ ) Do B = Lời giải Ta có: Ta có: x x −8 = x−2 x )( x( x −2 x+2 x +4 x −2 ) x − x x + x − 16 x x = x−x x ( − x−2 +4 = ( x Do A = ( ) = x+2 x +4 x ) ( x −2 +8 x −2 x (4 − x) )=( )( x + )( x − + 4) x ( + x )( − x ) x −2 ) ( ) x+4 x+2 x +4 − x−2 +4 x+4 x +4 + + = = x+ +4 x x x x x Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên Theo Bất đẳng thức Cauchy: Dấu xảy TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 x+ +4≥2 x x + = x ⇔ x = (loại) x x= Vậy A > Câu 10 (chuyên Hậu Giang 2022-2023) Tìm điều kiện x để biểu thức A = x − có nghĩa Tính giá trị A x = − 2.Tìm a để giá trị lớn biểu thức B = (với x > ) 2022 x− x +a Lời giải 1 Biểu thức A có nghĩa x − ≥ ⇔ x ≥ ( ) Khi x = − 5, ta có A = − − = − = ( 5−2 ) = − 2 1 3 y = x− x +a = x − +a+ ≥ a+ 2 4 Ta có y =a+ x= 1 ⇔x= giá trị nhỏ Suy ymin = a + Ta có Bmax ⇔ ymin Vậy Bmax = 2022 ⇔ a + 3031 = ⇔a=− 2022 4044 Câu 11 (chuyên Kon Tum 2022-2023)Rút gọn biểu thức A= 1 x − − v ới x − x x + x x −1 x > 0, x ≠ Lời giải A= x = ( =− x −1 x ( − ) ( x +1 x )( x −1 ) x +1 x + − x + − x x x = ) − ( )( x −1 ) x +1 − 2x x ( x − 1) x Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 a −1 a + a a + Câu 12 (chuyên Lai Châu 2022-2023)Cho biểu thức: A = 1 + : với a − a − a a − a a > 0, a ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị a A = Lời giải a)Rút gọn biểu thức a −1 a + a a A = 1 + + : a − a a −1 a − a a a +1 a −1 a A = 1+ : + a a −1 a + a −1 a a −1 ( ( A= a +1 a −1 a a +1 A= a −1 a ) ( Với a > 0, a ≠ A = ) )( ) ( ) a −1 a a −1 16 ⇔ = a −4 = a ⇔ a = ⇔ a = 4 a b)Khi 16 Vậy A = a = Câu 13 (chuyên Lào Cai 2022-2023) (TM ) A= 1 x −2 6x a) Cho biểu thức P = − − Với x > 0, x ≠ 1, x ≠ Tìm x −1 x + 9x x − 6x + x x −1 số nguyên x để P nhận giá trị nguyên b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=12 Chứng minh (12 + y )(12 + z ) + y (12 + x )(12 + z ) + y (12 + x )(12 + y ) = 24 x 12 + x 2 2 12 + y 2 12 + z Lời giải a) Với x > 0, x ≠ 1, x ≠ Ta có Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 1 x −2 6x − − P= x −1 x + x x − x + x x −1 = x − ( x + 1) − ( x − 1) 2(3 x − 1) ( x − 1)( x + 1) x (3 x − 1) = 6x − x −1 − x + ( x − 1)( x + 1) x (3 x − 1) x (3 x − 1) ( x − 1)( x + 1) x (3 x − 1) 4 = = ( x − 1)( x + 1) x − = Do x ∈ Z nên để P ∈ Z ⇔ x − ∈ Ư(4)= {±1; ±2; ±4} Do x > x − > x − 1∈ {1; 2; 4} x ∈ {2;3;5} thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 12 ⇔ 12 + x = x + xy + yz + zx ⇔ 12 + x = x( x + y ) + z ( x + y ) b) Ta có ⇔ 12 + x = ( x + y )( x + z ) Tương tự ta có 12 + y = ( x + y)( y + z );12 + z = ( z + y )( x + z ) (12 + y )(12 + z ) + y (12 + x )(12 + z ) + z (12 + y )(12 + x ) x 2 12 + x 2 12 + y 12 + z = x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( y + x)2 = x( y + z ) + y ( x + z ) + z ( y + x) = 2( xy + yz + zx) = 2.12 = 24 Câu 14 (chuyên Lạng Sơn 2022-2023)Cho biểu thức A = x2 + x + x x −1 x− x + x2 − x x + x − x−x x , (với x > 0, x ≠ ) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Lời giải a) Với x > 0, x ≠ , ta có: A= = x2 + x2 + + x = x2 + + x = + x x2 + x x x −1 + x2 − x x + x − x− x ( )( x( ) x −1 − ( x + x +1 x − )( x( (x − ) x −1 x ( x − 1) x +1 x − x +1 x = ) ( x −1 + )( ) x − 1)( x + 1) x + 1) x −1 x + ) − x x( x −1 x + x +1 x + x +1 = x−x x x +1+ x + x +1− x + x −1 x = x2 + x + x Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 x2 + x + với x > 0, x ≠ x b) Với x > 0, x ≠ , ta có : Vậy A = A= x2 + x + x = x x +2+ =x x+ + 1 + x x +2 1 ≥ 4 x x +2=4 +2 3 x x x x x Vậy MinA = 3 + x x = ⇔x= 3 x Câu 15 (chuyên Nam Định 2022-2023)Tìm điều kiện xác định biểu thức A = 2x −1 3x − + Lời giải 3x − ≥ Biểu thức A xác định ⇔ x≥ 3x − + ≠ { Câu 16 (chuyên Ninh Bình 2022-2023)Cho biểu thức x +3 x +2 x +2 x−2 A = − + − 1 với x > 0; x ≠ 4; x ≠ : x −3 x −5 x + x − x −2 x −2 Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A x = − 2 Lời giải Đặt a = x , ta có: a + a2 − a+3 a+2 A= − + − 1 : a − a − a − 5a + a − a − a = a2 − − ( a2 − 4) + a + a2 − a − ⋅ a ( a − )( a − 3) = ( a − )( a + 1) = a + = a −3 ⋅ a a ( a − )( a − 3) Với x = − 2 = ( ) x +1 x 2 − Khi giá trị biểu thức A x = − −1 + = 2 −1 Câu 17 (chuyên Quảng Bình 2022-2023)Cho biểu thức P = ( ) +1 = + 3x + x − 11 ( )( x −1 x +2 ) − x −2 + −1 x −1 x +2 (với ≤ x ≠ ) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P chia hết cho Lời giải a) Với ≤ x ≠ ta có: Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 ( 3x + x −1 )( x + 2) + ( x − 1) − ( ( x − 1)( x + ) (3x + x − 11) − ( x − 4) + ( x − 1) − ( x + x − ) = ( x − 1)( x + 2) x − 1)( x + ) ( x+6 x −7 x +7 = = = ( x − 1)( x + ) ( x − 1)( x + ) x + P= Vậy P = ) ( x − 11 − x −2 )( x +2 ) x +7 với ≤ x ≠ x +2 b) Ta có: P = x +7 =1+ x+2 5 < P ≤ + = với ≤ x ≠ 2 x +2 x +7 =3 x +2 1 ⇔ x +7=3 x +6⇔ x = ⇔ x= Vậy x = Biểu thức P chia hết cho ⇔ P = ⇔ Câu 18 (chuyên Quảng Nam 2022-2023)Khơng dùng máy tính bỏ túi, rút gọn biếu thức A= 507 + 13 − 48 − 25 Lời giải ( ) Ta có 13 − 48 = 13 − = −1 507 = 13 Như A = 13 + −1 − 25 = 15 − 26 = ( 3−2 ) = 3−2 Câu 19 (chuyên Quảng Ngãi 2022-2023) x− x +2 x x −1 − với x > 0, x ≠ 1, x ≠ : x− x −2 x−2 x x −2 Rút gọn biểu thức P = Tìm m để ba đường thẳng (d1 ) : y = x + 1, (d ) : y = − x + (d3 ) : y = mx + m − đồng quy Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 10 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 Tứ giác ABDM nội tiếp A D M = A B M (góc nội tiếp chắn cung AM ) Kết hợp với (1) suy ABN = ABM = ACN MKN = MBN = ACN Ta có MON = ACN = MBN ( 2) ( 3) Từ ( ) ( 3) suy điểm M , N , O , K , B thuộc đường tròn b) Gọi ( I ) đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao điểm AE HD; F giao điểm BH với ( I ) ( F khác H ); Q giao điểm CF với BP Chứng minh BP = BQ Xét tứ giác ACFE có hai đường chéo CE ⊥ AF trung điểm Ta có D C M = B H D (cùng phụ với C D H ) Mà D C M = D C F (2) B CE (1 ) BHD = DCF (góc nội tiếp chắn DF ) Từ (1) (2) suy ACFE hình thoi Xét hai ∆BPE ∆ BQC có BEP = BCQ (so le trong), BE = BC, EBP = CBQ (đối đỉnh) Suy ∆ BPE = ∆ BQC (g-c-g) BP = BQ (đpcm) c) Chứng minh IB P = ° Gọi S , T giao điểm BQ ( I ) (như hình vẽ) Xét tứ giác ADEH có AED = AHD (cùng ACE ), suy tứ giác ADEH nội tiếp PD.PH = PA.PE = PT.PS Từ ∆ BPE = ∆ BQC PE = QC PA = QF PA PE = QF QC = QS QT Vậy Q S Q T = P T P S ⇔ Q S ( P Q + P T ) = P T ( P Q + Q S ) ⇔ QS PQ + QS PT = PT PQ + PT QS ⇔ QS PQ = PT PQ ⇔ QS = PT B trung điểm ST IB ⊥ ST IB P = 90 ° (đpcm) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 64 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 Câu 47 (chuyên Quảng Nam 2022-2023)Cho tam giác nhọn ABC cân A có tâm đường trịn ngoại tiếp O Lấy điểm D bên tam giác ABC cho B D C = B A C ( AD khơng vng góc với BC ) a) Chứng minh bốn điểm B ; C ; D ; O nằm đường tròn b) Chứng minh OD đường phân giác B D C tổng BD + CD hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD Lời giải a Ta có BOC=2BAC (góc tâm góc nội tiếp chắn BC ) BDC=2BAC (gt) →BOC=BDC Xét tứ giác BODC có BOC=BDC, mà góc liền kề → tứ giác BODC nội tiếp → bốn điểm B,O,D,C thuộc đường tròn b +)Gọi DM phân giác tam giác BDC ( M ∈ BC ) AO kéo dài cắt BC H → AH ⊥ BC (do tam giác ABC cân A) Tứ giác BODC nội tiếp nên DM phân giác ODB=OCB BDCnên BDM = 1 BDC= BOC=HOC (OB=OC nên tam giác OBC cân 2 O, OH vừa đường cao vừa đường phân giác) 0 Mà OCB+HOC=90 (doAH ⊥ BC) → ODM = ODB+BDM=90 OD ⊥ DM OD đường phân giác tam giác BDC +)Kéo dài BD cắt đường tròn (O) N Dựng AI vng góc với OD I Ta có BDC=BOC=sdBC BDC=DNC+DCN ( góc ngồi tam giác DNC) DNC= sd BC (góc nội tiếp chắn BC ) DNC=DCN = sd BC tam giác DNC cân D DN=DC DB+DC=DB+DN=BN Dựng đường kính BK đường trịn (O) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 65 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên 2 TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 Có BKN = sdBN = sdBC+ sdCN AOI=HOD=HOC+COD= 1 BOC+CBD= sdBC+ sdCN 2 BKN=AOI AIO=900 ( AI ⊥ OD ), BNK=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AIO=BNK Xét tam giác AOI tam giác BKN có BKN=AOI AIO=BNK Nên ΔAOI~ΔBKN BN BK 2R = = =2 BN=2AI BD+CD=2AI (dpcm) AI AO R P/S: Một hướng khác chứng minh ΔAOI~ΔBKN Kéo dài DM cắt AO P Chứng minh tứ giác BODP nội tiếp ( BOP=BDP ) KBN=OBD=OPD=OAI (AI//PD vng góc với OD) Câu 48 (chuyên Thái Nguyên 2022-2023)Cho ba điểm A , B , C phân biệt theo thứ tự nằm đường thẳng Qua điểm B kẻ đường thẳng d vng góc với đường thẳng AC ; D điểm di động đường thẳng d ( D ≠ B) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt đường thẳng d điểm E khác D Gọi P , Q hình chiếu vng góc điểm B đường thẳng AD AE Gọi R giao điểm hai đường thẳng B Q C D , S giao điểm hai đường thẳng BP CE Chứng minh: a) Tứ giác P Q SR nội tiếp; b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác P Q SR ln thuộc đường thẳng cố định điểm D di động đường thẳng d Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 66 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 D L R M I P N A C B Q S E a) Do tứ giác ADCE nội tiếp nên ADE = ACE , từ SBC = ABP = ACE Suy SB = SC Tương tự, ta có SEB = SBE nên SC = SE , suy S trung điểm CE Chứng minh tương tự, ta có R trung điểm CD Do RB = RC , SB = SC nên ∆SRB = ∆SRC (c.c.c ) BSR = CSR = BEC = BAP = BQP Do tứ giác P Q SR nội tiếp b) Gọi ( I ) đường tròn ngoại tiếp tứ giác P Q SR Gọi L trung điểm AD Ta có RL // AC RS // DE , LRS = 90° Suy LS đường kính đường tròn ( I ) Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng DE AC Khi N điểm cố định Lại có ML // AE , NS // AE ML = NS = AE nên tứ giác MNLS hình bình hành, suy I trung điềm MN Mà MBN = 90° nên IN = IB Vậy I thuộc đường trung trực đoan thằng BN cố định Câu 49 (chuyên Tây Ninh 2022-2023)Cho đường trịn ( O) có đường kính BC, A điểm nằm ( O) ( AB < AC , A khác B) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO cắt đoạn thẳng AC điểm thứ Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 67 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 hai K Đường thẳng BK cắt ( O) điểm thứ hai L Các đường thẳng C L , O K cắt I Chứng minh ba điểm A , B , I thẳng hàng Lời giải Hình vẽ Ta có: B A C = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy B A K = 0 nên B O K = 0 ( OBAK tứ giác nội tiếp) Suy IO ⊥ BC Ta lại có: B L C = 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy BL ⊥ CI Do K trực tâm tam giác IBC Suy CK ⊥ BI (1) Mặt khác: B A C = 0 nên CK ⊥ BA (2) Từ (1) (2) suy BA, BI nằm đường thẳng hay ba điểm A , B , I thẳng hàng Câu 50 (chun Vĩnh Long 2022-2023)Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , dây cung DC lấy điểm E cho DC = 3DE , đường thẳng AE cắt cung nhỏ DC M Gọi I giao điểm BM DC , vẽ OH vng góc với DM H Tính độ dài đoạn thẳng AE DI theo R Lời giải B A O E D I H C M ⊕ Tính AE Ta có: ABCD hình vng nội tiếp ( O ; R ) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 68 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 Nên: A D = R Suy ra: DE = R 2R , CE = 3 Xét ∆ADE vng D Ta có: AE = AD + AE (định lý Pi-ta-go) Hay: AE = R + 2R 2R = (đvđ) ⊕ Tính DI Xét ∆DOM cân O ( OD = OM = R ) có OH ⊥ DM Nên OH đường phân giác Suy ra: HOD = DOM = sd DM 2 Lại có: DAM = sd DM (góc nội tiếp chắn DM ) Suy ra: HOD = DAM Xét ∆OHD ∆ADE Ta có: HOD = DAM (cmt) OHD = ADE (cùng 90° ) Nên: ∆OHD ∽ ∆ADE (g.g) Suy ra: DH DE = OD AE R R⋅ OD.DE = R 10 DH = = AE 10 2R DM = R 10 Xét ∆DEM ∆AEC Ta có: DEM = AEC (hai góc đối đỉnh) DME = ACE (góc nội tiếp chắn AD ) Nên: ∆DEM ∽ ∆AEC (g.g) Suy ra: ME DE MD = = CE AE AC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 69 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 ME DE MD2 ⋅ = AE CE AC2 R 10 ME ⋅ = Hay: AE 2 R + R ME = AE 10 ME ME = = ME + AE + AM Xét ∆MAB có EI // AB Ta có: Hay: EI ME = AB AM EI R = EI = R Khi đó: DI = DE + EI Hay: DI = R R R + = (đvđ) Câu 51 (chuyên Đồng Tháp 2022-2023)Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC Ba đường cao A D , B E , C Q cắt H (với D ∈ B C , E ∈ A C , Q ∈ AB ) Gọi a) Chứng minh M trung điểm BC , T giao EQ với BC AEDB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tứ giác EQDM nội tiếp T D T M = T B T C c) Chứng minh H trực tâm tam giác ATM Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 70 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên a) Chứng minh Vì TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 AEDB tứ giác nội tiếp AEB = 900 ADB = 900 Mà D , E hai đỉnh liền kề Do đó, tứ giác AEDB AEDB nội tiếp b) Chứng minh tứ giác EQDM nội tiếp T D T M = T B T C Vì tứ giác Q H D B , EQBC nội tiếp nên QDH = QBH = ECQ Hơn nữa, HDCE nội tiếp nên HDE = ECQ Suy QDE = ECH = EMQ Do EQDM nội tiếp Vì tam giác TBQ đồng dạng với tam giác TEC nên TE TQ = TB TC Tương tự, T Q TE = T D T M Vậy T D T M = T B T C c) Chứng minh Gọi H trực tâm tam giác ATM K giao điểm lại TA với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác TKB đồng dạng với tam giác TCA nên TB TC = TK TA Kết hợp với TB TC = TE TQ (trong câu (b)) Suy TE TQ = TK TA Suy tam giác TKQ đồng dạng với tam giác Mà A Q H E tứ giác nội tiếp Do TEA Dẫn đến tứ giác AKQE tứ giác nội tiếp AKHE nội tiếp Suy AKH = 900 Kẻ đường kính AN đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Khi AKN = 90 Suy K , H , N thẳng hàng Hơn nữa, BHCN hình bình hành nên H , N , M thẳng hàng Tóm lại, MK vng góc AT Do đó, H trực tâm tam giác ATM Câu 52 (chun Đắk Nơng 2022-2023)Cho đường trịn ( O) điểm M nằm ngồi đường trịn ( O) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến ( O) ( A, B tiếp điểm) Kẻ cát tuyến MNP ( MN < MP ) K trung điểm NP a) Chứng minh điểm A , K , O , B thuộc đường trịn xác định tâm đường trịn b) BA cắt OK E MP cắt AB F Chứng minh KF phân giác A K B từ suy EA.FB = EB.FA c) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm tam giác ANP ln thuộc đường tròn cố định Lời giải Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 71 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 E A P F K N M O B a) Chứng minh điểm A , K , O , B thuộc đường trịn xác định tâm đường trịn Xét đường trịn ( O) có K trung điểm dây NP (gt) OK ⊥ NP (quan hệ vuông góc đường kính dây) MKO = 90° Mặt khác, MAO = MBO = 90° ( MA, MB tiếp tuyến ( O) ) MKO = MAO = MBO = 90° điểm M , A, K , O , B thuộc đường tròn đường kính MO điểm A , K , O , B thuộc đường trịn đường kính MO b) BA cắt OK E MP cắt AB F Chứng minh KF phân giác A K B từ suy EA.FB = EB.FA Xét đường trịn đường kính MO có: AKM = 1 sñ MA BKM = sñ MB (góc nội tiếp).(chuyên 2022-2023) 2 Mặt khác, MA = MB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) MA = MB (chuyên 2022-2023) Từ (1), (2) suy A K M = B K M KF phân giác A K B (chuyên 2022-2023) Mà KE ⊥ KF ( OK ⊥ NP) KE phân giác A K B (chuyên 2022-2023) FA EA KA = Từ (3), (4) suy = (tính chất phân giác phân giác ∆KAB FB EB KB ) EA.FB = EB.FA c) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm tam giác ANP ln thuộc đường trịn cố định Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 72 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 A G P K N M I C O D Q B Gọi G trọng tâm ∆ANP AG = AK Gọi C , D giao điểm MO với ( O) ( MC < MD ) Gọi I thuộc đoạn AO cho AI = AG = AK AI = Xét ∆ABO có: AO Xét ∆AKO có: 2 AO ; Q thuộc đoạn AB cho AQ = AB 3 AI = GI // OK (định lí đảo Ta – lét)(5) AO AQ = IQ // OB (định lí đảo Ta – lét)(6) AB Từ (5), (6) suy GIQ = KOB (hai góc có cạnh tương ứng song song) KOB + KAB =180° (tứ giác AKOB nội tiếp) GIQ + KAB = 180° Tứ giác A G IQ nội tiếp Mà Mà đỉnh A, I , Q cố định Trọng tâm tam giác ANP thuộc đường tròn qua đỉnh A, I , Q cố định Cách 2: A G K T P N M J O B Gọi J trung điểm OM , G trọng tâm tam giác ANP T thuộc AJ cho AT = AJ Ta có M , O , A cố định nên J , T cố định Ta có AG AT GT = GT // KJ = AK AJ KJ Ta có KJ đường trung tuyến tam giác vuông OKM Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 73 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 nên KJ = OM suy GT = OM Suy G thuộc đường trịn cố định tâm T bán kính OM Câu 53 (chuyên Đắk Lắk 2022-2023)Cho đường tròn ( O; R ) hai điểm P , Q nằm ngồi ( O ) cho góc PO Q vuông, P Q không cắt ( O ) Kẻ hai tiếp tuyến P A , P B với đường tròn ( O ) ( A , B hai tiếp điểm; tia PA nằm hai tia P Q PO ) Hai cát tuyến PDC , QEC thay đổi ( O ) qua C ( D nằm P C ; E nằm Q C ) Tia PE cắt đường tròn tịa điểm thứ hai F ( F ≠ E ) H giao điểm AB OP Chứng minh rằng: 1) Tích PE.PF khơng đổi 2) AH E = AHF 3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PDF qua điểm cố định Lời giải 1) Có P A F = P E A ∆PAF ∼ ∆PEA( g.g ) PA = PF PE PF = PA PE PA ∆OAP vuông A PA = OP − OA = OP − R PE PF = OP − R : không đổi 2) Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 74 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 ∆OAP vuông A , AH đường cao PA = PH PO Do PE.PF = PH PO ∆PHF ∼ ∆PEO ( c.g.c ) PHF = PEO OHFE tứ giác nội tiếp PHF = OEF = OFE = OHE Mà AH ⊥ OP nên AH E = AHF 3) Gọi Q ' giao điểm P Q đường tròn ngoại tiếp ∆ QEF ∆PFQ′ ∼ ∆PQE ( g.g ) PQ′.PQ = PE.PF = OP2 − R2 PQ′ = OP2 − R2 : không đổi Q ′ cố định PQ ∆PFD ∼ ∆PCE ( g.g ) PC.PD = PE.PF PC PD = PQ.PQ′ ∆PQ′D ∼ ∆PCQ ( c.g c ) PQ′D = C Mà P F D = C nên PFD = PQ′D PDFQ′ tứ giác nội tiếp hay đường trịn ngoại tiếp ∆PDF ln qua điểm Q ′ cố định Câu 54 (chun Bắc Ninh 2022-2023)Cho hình vng ABCD có diện tích S Tứ giác MNPQ có bốn đỉnh M, N, P, Q thuộc AB, BC, CD, DA đỉnh nàykhơng trùng đỉnh hình vng Chứng minh S ≤ AC MN + NP + PQ + QM Lời giải Ta có S ≤ AC MN + NP + PQ + QM ⇔ 4.AB2 ≤ 2AB.(MN + NP + PQ + QM ) ⇔ AB + BC + CD + DA ≤ 2.(MN + NP + PQ + QM ) ( AM + AQ) Dễ có MQ = AM + AQ ≥ 2 Hay 2MQ = AM + AQ Tương tự 2M N = BM + BN Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 75 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 2PN = CP + CN 2PQ = DQ + DP Cộng vế với vế ta đpcm Câu 55 (chuyên Tây Ninh 2022-2023)Cho tam giác ABC cạnh a, đường cao AH ( H thuộc B C ), M điểm cạnh BC , vẽ ME vng góc với AB E MF vng góc AC F Gọi O trung điểm đoạn thẳng AM a) (1,0 điểm) Tứ giác OEHF hình gì? b) (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác OEHF theo a M di động cạnh BC Lời giải Hình vẽ Do A H M = A E M = A F M = 0 nên điểm A , E , H , M , F nằm đường tròn đường kính AM Mà O trung điểm AM nên OE = OF = AM = R (với R bán kính đường trịn đường kính AM ) Ta có: E A H = F A H = 30 Suy sđ EH = sđ F H = 0 Do EH = FH = R ( EH , FH đóng vai trị cạnh lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AM ) Suy OE = OF = EH = EF = R Vậy tứ giác OEHF hình thoi b) Ta có E H F = 0 − E A F = 0 suy EF cạnh tam giác nội tiếp Do S OEHF = 1 OH EF = R 2 Khi đó: S O E H F nhỏ R nhỏ Mà: R = 1 a AM ≥ AH = (dấu “=” xảy M ≡ H ) 2 Suy SOEHF 1a 3 ≥ 2 3a 3a 3= ; SOEHF = M ≡ H 32 32 Vậy giá trị nhỏ diện tích tứ giác OEHF 3a2 32 Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 76 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên Câu TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 (chuyên chuyên 3,0 điểm 2022-2023 2022-2023)Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp đường tròn tâm O có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi I , J trung điểm AH BC a) Chứng minh IJ vng góc với EF IJ song song với OA b) Gọi K , Q giao điểm EF với BC AD Chứng minh QE KE = QF KF c) Đường thẳng chứa tia phân giác FHB cắt AB, AC M N Tia phân giác CAB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN điểm P khác A Chứng minh ba điểm H , P, J thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh IJ vng góc với EF IJ song song với OA JE = JF = 1 BC ; IE = IF = AH IJ đường trung trực EF IJ ⊥ EF 2 Kẻ đường kính AT (O) BHCT hình bình hành I trung điểm HT IJ //AT b) Gọi K , Q giao điểm EF với BC AD Chứng minh QE KE = QF KF Các tứ giác BDHF , CDHE, BCEF tứ giác nội tiếp nên ta có EDH = HCE = HBF = HDF HD ⊥ HK DQ, DK phân giác phân giác ngồi ∆DEF Theo tính chất đường phân giác QE KE DE = = QF KF DF c) Chứng minh ba điểm H , P, J thẳng hàng Ta có AMH = MBH + MHB = NCH + NHC = HNA Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 77 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022-2023 ∆AMN cân A AP đường kính ( AMN ) PM //HC , PN //HB Gọi G giao điểm PM , HB L giao điểm PN , HC Khi tứ giác HGPL hình bình hành nên HP qua trung điểm R GL Áp dụng định lý Talet tính chất đường phân giác ta GH MF HF LH NE HE = = ; = = GB MB HB LC NC HC Mặt khác ∆HFB đồng dạng ∆HEC nên HF HE GH LH = = GL //BC HB HC GB LC Giả sử HR cắt BC J ' Áp dụng định lý Talet ta có Câu RG AR RL = = J ' B = J 'C J ' ≡ J J ' B AJ ' J ' C Vậy ba điểm H , P, J thẳng hàng (chuyên chuyên 1,0 điểm 2022-2023 2022-2023)Cho tam giác ABC cố định có diện tích S Đường thẳng d thay đổi qua trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M , N Gọi S1 , S diện tích tam giác ABN ACM Tìm giá trị nhỏ S1 + S2 Lời giải Gọi D trung điểm BC G trọng tâm ∆ABC Ta có: AM AN S AMN S AMG + S ANG S AMG S ANG ⋅ = = = ⋅ + ⋅ AB AC S S S ABD S ACD AM AG AN AG AM AN = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + AB AD AC AD AB AC AB AC S +S S + S ACM AN AM + = Mà = ABN = + AM AN S S ABC AC AB 3⋅ S1 + S2 AN AM AB AC = + + ≥ S1 + S2 ≥ S S AC AB AM AN Đẳng thức xãy ⇔ AM AN = ⇔ d //BC AB AC Vậy giá trị nhỏ biểu thức S1 + S S , đạt d //BC Địa truy cập click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 78 ... click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang 16 VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022- 2023 Chuyên đề Câu Câu Hàm số (chuyên Bắc Ninh 2022- 2023) Trong... click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022- 2023 Chuyên đề Câu Phương trình (chuyên Phú Thọ 2022- 2023) Cho... click vào https://vungocthanh1984.blogspot.com/ Trang VŨ NGỌC THÀNH tách từ 44 đề ts chuyên TUYỂN TẬP ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 – NĂM 2022- 2023 a −1 a + a a + Câu 12 (chuyên Lai Châu 2022- 2023) Cho