Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giải TRR1 ĐH Bách Khoa TPHCM
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 7 Xác suất rời rạc 1 Dẫn nhập Trong chương bài tập này, chúng ta sẽ luyện tập với bài tập cơ bản về Xác suất rời rạc. Sinh viên cần ôn lại lý thuyết của chương 7 trước khi làm bài tập bên dưới. 2 Bài tập mẫu Câu 1. Xác suất để chúng ta có được 4 mặt số khi thảy đồng xu cân bằng 5 lần là bao nhiêu, nếu lần thảy đầu tiên cho ra mặt số? Lời giải. Đây là một dạng bài toán tìm xác suất có điều kiện. Gọi F là sự kiện lần thảy đầu tiên xuất hiện mặt số, E là sự kiện có 4 mặt số sau tổng cộng 5 lần thảy. Sau khi đã thảy lần đầu tiên được mặt số, 4 lần thảy tiếp theo để thành công phải là một trong các trường hợp {SSSH, SSHS, SHSS, HSSS}, trong số 2 4 khả năng xảy ra. Vậy xác suất cần tìm là 4 2 4 = 1 4 . ✷ Câu 2. Một thùng sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính phẩm và 5 phế phẩm. Trong quá trình vận chuyển bị mất 2 sản phẩm không rõ chất lượng, ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong 18 sản phẩm còn lại. a) Tìm xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm b) Biết 2 sản phẩm lấy ra là chính phẩm, tìm xác suất để 2 sản phẩm bị mất có một chính phẩm và một phế phẩm Lời giải. a) Gọi A i là biến cố sản phẩm bị mất có i chính phẩm, i=(0,1,2) P (A 0 ) = C 2 5 C 2 20 = 10 190 = 1 19 . Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 1/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính P (A 1 ) = C 1 15 × C 1 5 C 2 20 = 75 190 = 15 38 . P (A 2 ) = C 2 15 C 2 20 = 105 190 = 21 38 . Gọi A là biến cố 2 sản phẩm lấy ra là chính phẩm, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: P (A) = P (A 0 ) × P (A|A 0 ) + P (A 1 ) × P (A|A 1 ) + P (A 2 ) × P (A|A 2 ) P (A|A 0 ) = C 2 15 C 2 18 = 105 153 . P (A|A 1 ) = C 2 14 C 2 18 = 91 153 P (A|A 2 ) = C 2 13 C 2 18 = 78 105 T hus P (A) = 1 19 . 105 153 + 15 38 . 91 153 + 21 38 78 105 b) Áp dụng công thức Bayes ta có: P (A 1 |A) = P (A|A 1 ) × P (A 1 ) P (A) = 105 190 = 21 38 ✷ Câu 3. Một cung thủ thi đấu Olympic có xác suất bắn trúng hồng tâm là 80%.Giả sử mỗi lần bắn là độc lập với nhau. Nếu cung thủ này bắn 6 mũi tên, xác suất trong các trường hợp sau sẽ như thế nào? a) Cú trúng hồng tâm đầu tiên là phát bắn thứ 3. b) Cung thủ bắn hụt hồng tâm ít nhất một lần. c) Phát trúng hồng tâm đầu tiên là phát thứ 4 hoặc thứ 5. d) Cung thủ bắn được chính xác 4 phát trúng hồng tâm. Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 2/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính e) Cung thủ bắn được ít nhất 4 phát trúng hồng tâm. f) Cung thủ bắn được nhiều nhất 4 phát trúng hồng tâm. Lời giải. Sự kiện bắn trúng hồng tâm hay không của cung thủ có thể xem là một phép thử Bernoulli. a) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình hình học. p(X = 3) = (1 − 0.8) 3−1 0.8 = 0.032 b) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức. Xác suất để bắn trúng hồng tâm cả 6 phát là: 6 6 0.8 6 0.2 0 = 0.262144 Vậy xác suất để bắn hụt ít nhất một lần là: 1 − 0.262144 = 0.737856 c) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình hình học. p = p(X = 4) + p(X = 5) = (1 − 0.8) 4−1 0.8 + (1 − 0.8) 5−1 0.8 = 0.00768 d) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức. p = 6 4 0.8 4 0.2 2 = 0.24576 e) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức. p = 6 4 0.8 4 0.2 2 + 6 5 0.8 5 0.2 1 + 6 6 0.8 6 0.2 0 = 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 0.90112 f) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình nhị thức. Xác suất để bắn được nhiều nhất 4 phát là bù của bắn trúng 5 hoặc 6 phát. p = 1 − 0.393216 − 0.262144 = 0.34464 ✷ 3 Bài tập cần giải Câu 4. Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh và 3 bi vàng. 1. Rút ngẫu nhiên ra 1 bi. Tính xác suất nhận được bi xanh. 2. Rút ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất cả 3 bi nhận được cùng màu. 3. Rút ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác xuất có ít nhất 1 bi đỏ 4. Rút ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính xác suất 3 bi nhận được có 3 màu khác nhau. Lời giải. Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 3/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính 1. Xác suất bóng nhận được có màu xanh là P = #E #S = 4 6 + 4 + 3 = 4 13 . 2. • Gọi E là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu." • Gọi E 1 là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu đỏ." • Gọi E 2 là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu xanh." • Gọi E 3 là sự kiện "cả 3 bi nhận được cùng màu vàng." P (E) = P (E 1 ) + P (E 2 ) + P (E 3 ) = #E 1 #S + #E 2 #S + #E 3 #S = C 3 6 C 3 13 + C 3 4 C 3 13 + C 3 3 C 3 13 . 3. Gọi E là sự kiện 3 bi lấy ra có ít nhất một bi đỏ Gọi E i là sự kiện 3 bi lấy ra có i bi đỏ (i = 1,2,3), khi đó ta có E = E 1 E 2 E 3 . Các biến cố E 1 , E 2 , E 3 xung khắc từng đôi nên P (E) = P (E 1 E 2 E 3 ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) + P (E 3 ) Trong đó P (E 1 ) = C 1 6 × C 2 4 C 3 13 + C 1 6 × C 2 3 C 3 13 + C 1 6 × C 1 4 × C 1 3 C 3 13 . P (E 2 ) = C 2 6 × C 1 4 C 3 13 + C 2 6 × C 1 3 C 3 13 . P (E 3 ) = C 3 6 C 3 13 . P (E) = P (E 1 ) + P (E 2 ) + P (E 3 ) 4. Xác suất 3 bóng nhận được có 3 màu khác nhau là P (E) = #E #S = C 1 6 × C 1 4 × C 1 3 C 3 13 . ✷ Câu 5. Trong một kho chứa tivi có các số liệu: Hiêu \ Inches 21 35 45 Sony 8 7 5 LG 5 8 9 Samsung 6 7 3 Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 4/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Chọn ngẫu nhiên một tivi (TV) để kiểm tra. Tìm xác suất để TV chọn ra là TV Sony hoặc TV 45 inches. Lời giải. Gọi A là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV Sony Gọi B là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV 45 inches Gọi C là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV Sony hoặc TV 45 inches Khi đó C = A B, do đó P (C) = P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A.B) Từ bảng số liệu ta có: P (A) = 20 18 , P (B) = 17 18 , P (A.B) = 5 18 Vậy P (C) = 20 18 + 17 18 − 5 18 = 35 18 ✷ Câu 6. Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy lần lượt từng bi một cho đến khi được 2 bi xanh thì thôi. Tìm xác suất để lấy đến viên thứ 3 thì thôi. Lời giải. Gọi A i là biến cố lấy được bi xanh ở lần thứ i (i=1,2,3) Gọi A i là biến cố đối lập với biến cố A i (i=1,2,3) Gọi A là biến cố lấy đến viên thứ 3 thì thôi. Khi đó A = A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 Hai biến cố A 1 A 2 A 3 và A 1 A 2 A 3 xung khắc nên P (A) = P (A 1 A 2 A 3 ) + P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) × P (A 2 |A 1 ) × P (A 3 |A 2 A 1 ) = 3 5 × 2 4 × 1 3 = 1 10 P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) × P (A 2 |A 1 ) × P (A 3 |A 2 A 1 ) = 2 5 × 3 4 × 1 3 = 1 10 Vậy P (A) = 1 10 + 1 10 = 0.2 ✷ Câu 7. Giả sử 34% số người trưởng thành hút thuốc lá. Một cuộc điều tra cho thấy 67% người hút thuốc lá và 17% người không hút thuốc lá bị bệnh phổi trước 60 tuổi. a) Giải thích tại sao những con số trên cho thấy việc bị bệnh phổi và hút thuốc lá không độc lập với nhau? b) Xác suất để lựa chọn ngẫu nhiên một người trưởng thành mắc bệnh phổi là bao nhiêu? Lời giải. Gọi E là biến cố hút thuốc lá. Gọi F là biến cố bị bệnh lao phổi. Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 5/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Theo đề bài, ta có: p(E) = 0.34 p(F |E) = 0.67 và p(F |E) = 0.17 a) Nếu hai sự kiện hút thuốc lá và bị lao phổi là độc lập với nhau thì: p(F |E) = p(F ) = p(F |E) Tuy nhiên, sự thật p(F |E) = p(F |E) nên chúng không thể độc lập với nhau được. b) Ta có xác suất để bị bệnh phổi trong cộng đồng là: p(F ) = p(F ∩ E) + p(F ∩ E) = p(F |E) × p(E) + p(F |E) × p(E) = 0.67 × 0.34 + 0.17 × (1 − 0.34) = 0.34 ✷ Câu 8. Một sinh viên muốn đến được trường phải đi qua 5 ngã tư có đèn giao thông, và phải dừng lại nếu có đèn đỏ. Sinh viên này ước lượng mô hình xác suất cho số đèn đỏ mà người này gặp phải, như sau. X = số đèn đỏ 0 1 2 3 4 5 P (X = x) 0.03 0.27 0.14 0.36 0.05 0.15 a) Sinh viên này nên kỳ vọng sẽ gặp bao nhiêu đèn đỏ mỗi ngày? b) Độ lệch chuẩn là bao nhiêu? Lời giải. a) E(X) = 0 × 0.03 + 1 × 0.27 + 2 × 0.14 + 3 × 0.36 + 4 × 0.05 + 5 × 0.15 = 2.58 Vậy người này kỳ vọng sẽ gặp 2.25 đèn đỏ mỗi ngày b) V (X) = (0 − 2.58) 2 × 0.03 + (1 − 2.58) 2 × 0.27 + (2 − 2.58) 2 × 0.36 + (3 − 2.58) 2 × 0.14 + (4 − 2.58) 2 × 0.05 + (5 − 2.58) 2 × 0.15 = ✷ Câu 9. Ta có thể sử dụng mô hình xác suất dựa trên phép thử Bernoulli cho các tình huống được hay không? Giải thích. a) Thảy 50 con xúc xắc để tìm phân bố số dấu chấm trên mặt Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 6/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính b) Khi kiểm tra 120 người thì khả năng đa số có nhóm máu A là bao nhiêu, nếu ta biết nhóm máu A chiếm 43% trong dân số? c) Chia 5 lá từ bộ bài và nhận được toàn bộ là cơ. Khả năng thế nào? d) Ta muốn dự đoán kết quả bỏ phiếu về chính sách mới của trường, bằng cách chọn 500 trong tổng số 3000 sinh viên để xem có bao nhiêu người ủng hộ. e) Một công ty nhận thấy có 10% gói hàng không được niêm phong đúng quy chuẩn. Nếu lấy ra 24 gói hàng, có khả năng có hơn 3 gói chưa được niêm phong không? Lời giải. a) Không. Vì việc kết quả của việc thảy xúc xắc có đến 6 khả năng xảy ra, không chỉ là 2 khả năng như phép thử Bernoulli yêu cầu. b) Không. Vì các lần thử không độc lập với nhau. Nhóm máu có tính di truyền, do đó giả sử ta kiểm tra người cha có nhóm máu A, người mẹ có nhóm máu A, thì dẫn đến xác suất có nhóm máu A của con là rất cao. c) Không. Tuy một lần chia bài có 2 kết quả cơ hoặc không có cơ. Xác suất có cơ qua mỗi lần chia bài thay đổi và việc chia lá trước có cơ hay không ảnh hưởng đến xác suất lần chia lá sau đó. d) Không. Tuy thoạt nhìn ta có thể nghĩ đó là phép thử Bernoulli, trên thực tế có một nguyên tắc trong thống kê: “Nếu ta lấy mẫu với số lượng dưới 10% quần thể, thì khi đó mới có thể xem mẫu tuân theo phép thử Bernoulli”. Trong trường hợp này, số lượng mẫu chiếm đến 1/6 nên mẫu không được xem là thỏa mãn phép thử Bernoulli. (Tham khảo thêm tại trang số 9 của http://www.docstoc.com/docs/27673823/STAT-100-Lecture- 10-Bernoulli-Trials-and-the-Binomial) e) Được. Với hai kết quả của một thí nghiệm, các lần kiểm tra là hoàn toàn độc lập và có cùng xác suất không đổi, sự kiện mở hộp kiểm tra hoàn toàn phù hợp với phép thử Bernoulli. ✷ Câu 10. Một đề thi trắc nghiệm có 20 câu, trong đó mỗi câu có 5 cách trả lời và chỉ có 1 cách đúng. Sinh viên A không học bài nên làm bài một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất sinh viên A làm đúng 12 câu. Lời giải. Xác suất để sinh viên làm đúng 1 câu là P = 1 5 Bài toán thỏa mãn giả thiết định lý Bernoulli vớn n = 20, P = 0.2. Xác suất để sinh viên Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 7/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính làm đúng 12 câu là: P (20) 12 = C 20 12 P 12 (1 − P ) 20−12 = C 20 12 0.2 12 0.8 8 = 0.00009 ✷ Câu 11. Một giá súng có 10 cây súng, trong đó có 6 cây loại 1 và 4 cây loại 2. Xạ thủ bắn trúng đích ở mỗi phát súng loại 1 và loại 2 tương ứng là 0.8 và 0.6. Xạ thủ A chọn ngẫu nhiên 1 cây và bắn 5 phát. Tính xác suất có đúng 3 phát trúng. Lời giải. Gọi A i là biến cố xạ thủ chọn súng loại i (i=1,2) P (A 1 ) = 6 10 = 0.6; P (A 2 ) = 4 10 = 0.4. Ta có 2 biến cố A 1 , A 2 là một hệ đầy đủ Gọi A là biến cố xạ thủ bắn năm phát trúng 3 phát. Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: P (A) = P (A 1 )P (A|A 1 ) + P (A 2 )P (A|A 2 ) Nếu xạ thủ chọn súng loại 1, ta có lược đồ Bernoulli n=5, p=0.8 P (A|A 1 ) = C 3 5 0.8 3 0.2 2 Nếu xạ thủ chọn súng loại 1, ta có lược đồ Bernoulli n=5, p=0.6 P (A|A 2 ) = C 3 5 0.6 3 0.4 2 Vậy P (A) = C 3 5 0.8 3 0.2 2 + C 3 5 0.6 3 0.4 2 ✷ Câu 12. Giả sử rằng A và B là các sự kiện xung khắc với P (A) = 0.4 và P (B) = 0.5. Tính xác suất của các sự kiện sau 1. Cả A và B xảy ra đồng thời. 2. Ít nhất một trong hai sự kiện xảy ra. 3. A xảy ra nhưng B không xảy ra. Lời giải. 1. P (A B) = 0. (vì A và B xung khắc nên A B = Ø.) 2. P (A B) = P (A) + P (B) = 0.4 + 0.5 = 0.9. (vì A và B xung khắc) 3. P (A) = P (A B) + P (A \B ) = P (A \B ) . Vậy P (A \B ) = 0.4. ✷ Câu 13. Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả đã sử dụng Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 8/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính + Lần 1 lấy ngẫu nhiên 1 quả thi đấu xong bỏ lại + Lần 2 lấy ngẫu nhiên 2 quả thi đấu Tìm xác suất 2 quả lấy ra đều mới Lời giải. Gọi A 1 là biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu là quả mới A 1 là biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu là quả đã sử dụng P (A 1 ) = C 1 6 C 1 10 = 3 5 P (A 1 ) = C 1 4 C 1 10 = 2 5 Gọi A là biến cố 2 quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 2 là quả mới. Áp dụng công thức XS toàn phần ta có: P (A) = P (A 1 )P (A|A 1 ) + P (A 1 )P (A|A 1 ), trong đó P (A|A 1 ) = C 2 5 C 2 10 = 10 45 = 2 9 P (A|A 1 ) = C 2 6 C 2 10 = 15 45 = 1 3 Vậy P (A) = 3 5 × 2 9 + 2 5 × 1 3 = 4 15 ✷ Câu 14. Hai chiếc hộp hình thức giống nhau + Hộp 1 có 7 bi đỏ và 3 bi xanh + Hộp 2 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ra 2 bi. Tìm xác suất a) 2 bi lấy ra là 2 bi đỏ b) Biết 2 bi lầy ra là 2 bi đỏ, tìm xác suất để 2 bi đó thuộc hộp 1 Lời giải. a) Gọi A i là biến cố hộp lấy ra là hộp i (i=1,2) P (A 1 ) = 1 2 = 0.5; P (A 2 ) = 1 2 = 0.5. Ta có 2 biến cố A 1 , A 2 tạo thành hệ đầy đủ Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra là đỏ. Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: P (A) = P (A 1 )P (A|A 1 ) + P (A 2 )P (A|A 2 ) P (A|A 1 ) = C 2 7 C 2 10 = 21 45 = 7 15 P (A|A 2 ) = C 2 6 C 2 10 = 15 45 = 1 3 Vậy P (A) = 1 2 . 7 15 + 1 2 . 1 3 = 12 30 Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 9/14 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính b) Áp dụng công thức Bayes ta có: P (A 1 |A) = P (A|A 1 ) × P (A 1 ) P (A) = 1 2 . 7 15 . 30 12 = 7 12 ✷ Câu 15. Một thiết bị có 2 bộ phận hoạt động độc lập. Xác suất hỏng của bộ phận thứ i là 0,i (XS hỏng 0.1 cho bộ phận 1, 0.2 cho bộ phận 2). Nếu có đúng một bộ phận hỏng thì xác suất thiết bị đó bị hỏng là 0.6. Nếu cà 2 bộ phận bị hỏng thì thiết bị chắc chắn hỏng. a) Tìm XS để thiết bị hỏng b) Tìm XS có ít nhất một bộ phận bị hỏng Lời giải. a) Gọi A i là biến cố bộ phận thứ i bị hỏng (i=1,2) A i là biến cố đối lập với biến cố A i P (A 1 ) = 0.1, P (A 2 ) = 0.2 P (A 1 ) = 0.9, P (A 2 ) = 0.8 Gọi B i là biến cố trong 2 bộ phận có i bộ phận bị hỏng (i=1,2) B 0 = A 1 .A 2 , vì A 1 .A 2 là hai biến cố độc lập nên P (B 0 ) = P (A 1 .A 2 ) = P (A 1 ).P (A 2 ) = 0.9 × 0.8 = 0.72 B 1 = A 1 A 2 A 1 A 2 , hai biến cố A 1 A 2 và A 1 A 2 xung khắc nên P (B 1 ) = P (A 1 A 2 A 1 A 2 ) = P (A 1 A 2 ) + P (A 1 A 2 ) Các biến cố A 1 và A 2 độc lập, A 1 và A 2 độc lập nên P (B 1 ) = P (A 1 ) × P (A 2 ) + P (A 1 ) × P (A 2 ) = 0.1 × 0.8 + 0.9 × 0.2 = 0.26 B 2 = A 1 .A 2 , vì A 1 .A 2 là hai biến cố độc lập nên P (B 0 ) = P (A 1 .A 2 ) = P (A 1 ).P (A 2 ) = 0.1 × 0.2 = 0.02 Các biến cố B 0 , B 1 , B 2 là một hệ đầy đủ Gọi A là biến cố thiết bị bị hỏng, áp dụng công thức XS toàn phần ta có: P (A) = P (B 0 )P (A|B 0 ) + P (B 1 )P (A|B 1 ) + P (B 2 )P (A|B 2 ) P (A|B 0 ) = 0 P (A|B 1 ) = 0.6 P (A|B 2 ) = 1 Vậy P (A) = 0.72 × 0 + 0.26 × 0.6 + 0.02 × 1 = 0.176 b) Gọi B là biến cố có ít nhất một bộ phận hỏng B là biến cố đối lập với biến cố B, tức là biến cố 2 bộ phận không hỏng. B = A 1 .A 2 , vì A 1 .A 2 là hai biến cố độc lập nên Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 10/14