Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giải TRR1 ĐH bách khoa TPHCM
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 8 Lý thuyết đồ thị 1 Dẫn nhập Trong phần bài tập này, chúng ta sẽ làm quen với các khái niệm và định nghĩa trong lý thuyết đồ thị. Sinh viên cần ôn lại lý thuyết của chương 8 trước khi làm các bài tập bên dưới. 2 Bài tập mẫu Câu 1. a) Liệt kê bậc các đỉnh trong đồ thị số 1 b) Có bao nhiêu bậc vào và bậc ra của mỗi đỉnh trong đồ thị có hướng số 2? 1 2 3 4 5 A B C DE F G Lời giải. a) • deg(1) = 5, deg(2) = 6, deg(3) = 2, deg(4) = 4, deg(5) = 0 • b) • indeg(A) = 0, indeg(B) = 2, indeg(C) = 1, indeg(D ) = 2, indeg(E) = 1, indeg(F ) = 2, indeg(G) = 4 Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 1/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính • outdeg(A) = 4, outdeg(B) = 1, outdeg(C) = 3, outdeg(D) = 1, outdeg(E) = 3, outdeg(F ) = 0, outdeg(G) = 0. ✷ Câu 2. a) Giả sử G = G(V,E) có 5 đỉnh. Tìm số cạnh e tối đa trong E nếu + G là một đơn đồ thị + G là một đa đồ thị b) Có bao nhiêu cạnh trong một đồ thị vô hướng có 6 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc bằng 4? Lời giải. a) + Đơn đồ thị: Có C 2 5 = 10 cách chọn 2 đỉnh từ V, do đó e = 10. + Đa đồ thị: Vì đa đồ thị có thể có nhiều cạnh giữa 2 đỉnh, G có thể có bất kỳ số cạnh và vòng hữu hạn hay vô hạn, do đó không tồn tại số cạnh e tối đa. b) Vì tổng các bậc của đồ thị là 6 × 4 = 24, nên 2e=24. Do đó, số cạnh trong đồ thị là e=12. Đồ thị có thể được vẽ như hình bên dưới đây: A B C DE F ✷ Câu 3. Liệu có tồn tại một đồ thị đơn gồm các đỉnh mà có bậc lần lượt là : a) 1,1,2,2? b) 1,1,2,2,3,3,3? Nếu có hãy vẽ đồ thị đó. Lời giải. Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 2/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính a) Có tồn tại đồ thị đơn gồm 4 đỉnh mà có bậc lần lượt là 1, 1, 2, và 2. Đồ thị này được vẽ như sau: A B C D b) Không tồn tại đồ thị đơn gồm 7 đỉnh mà có bậc lần lượt là 1,1,2,2,3,3, và 3 vì tổng số bậc của tất cả các đỉnh là một số lẻ. ✷ 3 Bài tập cần giải Câu 4. Đếm số cạnh của các đồ thị đặc biệt sau: a) K n b) C n c) K m,n d) W n e) Q n Lời giải. a) n(n−1) 2 b) n c) mn d) 2n e) n2 n−1 ✷ Câu 5. Liệu có tồn tại một đơn đồ thị và một giả đồ thị gồm các đỉnh mà có bậc lần lượt là : Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 3/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính a) 7,2,3,0? b) 2,3,3,2? c) 1,2,3,4,5,6,6? Nếu có hãy vẽ đồ thị đó. Lời giải. a) Không tồn tại đồ thị đơn gồm 4 đỉnh mà có bậc lần lượt là 1, 2, 3, và 4 vì trong đồ thị đơn gồm n đỉnh, bậc của mọi đỉnh phải nhỏ n. Nhưng tồn tại giả đồ thị như hình sau: A B C D b) Có tồn tại đồ thị đơn và giả đồ thị gồm 4 đỉnh mà các đỉnh đều có bậc lần lượt là 2,3,3,2. 1)Đơn đồ thị: A B C D 2)Giả đồ thị: A B C D c) Không tồn tại đồ thị đơn gồm 7 đỉnh cũng như không tồn tại một giả đồ thị 7 đỉnh mà có bậc lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6, và 6 vì tổng số bậc của tất cả các đỉnh là một số lẻ. Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 4/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính ✷ Câu 6. Hãy vẽ các đồ thị sau: K 7 , K 3,3 , K 2,5 , W 8 , đồ thị 3 đều 6 đỉnh, đồ thị 3 đều 8 đỉnh, Q 3 Lời giải. a) K 7 b)K 3,3 c) K 2,5 d)W 8 e) f) g) ✷ Câu 7. Hãy xác định danh sách liền kề, ma trận liền kề và ma trận liên thuộc của đồ thị sau và của 2 đồ thị trong bài tập mẫu câu 1. Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 5/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính A B C DE F G Lời giải. a) • Danh sách liền kề • Ma trận liền kề A B C D E F A 0 0 1 1 0 0 B 0 0 1 0 1 1 C 1 1 0 1 1 0 D 1 0 1 0 1 0 E 0 1 1 1 0 0 F 0 1 0 0 0 0 • Ma trận liên thuộc AC AD BC BE BF CD CE DE A 1 1 0 0 0 0 0 0 B 0 0 1 1 1 0 0 0 C 1 0 1 0 0 1 1 1 D 0 1 0 0 0 1 0 0 E 0 0 0 1 0 0 1 1 F 0 0 0 0 1 0 0 0 Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 6/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính b) • Đồ thị câu 1a) Danh sách liền kề • Ma trận liền kề 1 2 3 4 5 1 1 2 0 1 0 2 2 1 2 0 0 3 0 2 0 0 0 4 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 • Ma trận liên thuộc C 11 C 12 C 14 C 22] C 23 1 1 2 1 0 0 2 0 2 0 1 2 3 0 0 0 0 2 4 0 0 1 0 0 5 0 0 0 0 0 c) • Đồ thị câu 1b) Danh sách liền kề Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 7/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính • Ma trận liền kề A B C D E F G A 0 1 0 0 1 1 1 B 0 0 1 0 0 0 0 C 0 0 0 1 0 0 1 D 0 0 0 0 0 0 1 E 0 0 0 1 0 1 1 F 0 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 0 0 • Ma trận liên thuộc AB AE AF AG BC CB CD CG DG ED EF EG A 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 B −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 0 −1 1 1 1 0 0 0 0 D 0 0 0 0 0 0 −1 0 1 −1 0 0 E 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 F 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 G 0 0 0 −1 0 0 0 −1 −1 0 0 −1 ✷ Câu 8. • Hãy xác định danh sách liền kề, ma trận liền kề và ma trận liên thuộc của đồ thị sau: A B C D E F • Hãy cho biết đồ thị này có phải là đồ thị phân đôi không. Nếu có, hãy vẽ lại dưới dạng một đồ thị phân đôi. • Hãy cho biết đồ thị này có phải là đồ thị phẳng không. Nếu có, hãy vẽ lại dưới dạng một đồ thị phẳng. Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 8/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Lời giải. a) Danh sách liền kề b) Ma trận liền kề A B C D E F A 0 1 0 1 0 0 B 1 0 1 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 D 1 0 1 0 0 1 E 0 1 0 0 0 1 F 0 1 1 1 1 0 c) Ma trận liên thuộc AB AD BC BE BF CD CF DF EF A 1 1 0 0 0 0 0 0 0 B 1 0 1 1 1 0 0 0 0 C 0 0 1 0 0 1 1 0 0 D 0 1 0 0 0 1 0 1 0 E 0 0 0 1 0 0 0 0 1 F 0 0 0 0 1 0 1 1 1 d) Đồ thị không phải đồ thị phân đôi e) Đồ thị là đồ thị phẳng. Vẽ lại (vẽ lại đỉnh A, D nằm bên phải C) A B C D E F Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 9/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính ✷ Câu 9. Vẽ đồ thị G có ma trận A gần kề là a) A = 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 (1) b) A = 0 1 2 0 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0 1 (2) c) A = 1 1 2 0 1 2 1 3 2 1 0 1 0 3 1 0 (3) Lời giải. a) A C ED B b) C A B D c) C A B D ✷ Câu 10. Tìm các thành phần liên thông của đồ thị a) Giáo trình Toán Rời Rạc 1 Trang 10/15
