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UNIVERSITE NATIONALE DU VIETNAM, HANOI INSTITUT FRANCOPHONE INTERNATIONAL NGUYỄN THỊ SANG MISE EN OEUVRE DE TECHNIQUES D’OPTIMISATION, DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE ET DE PROGRAMMATION MATHÉMATIQUES VIA L’UTILISATION DE SOLVEURS NUMÉRIQUES COMMERCIAUX THIẾT ĐẶT CÁC KỸ THUẬT TỐI ƯU, VẬN TRÙ HỌC VÀ LẬP TRÌNH TỐN HỌC BẰNG CÁC BỘ GIẢI SỐ THƯƠNG MẠI MEMOIRE DE FIN D’ETUDES DU MASTER INFORMATIQUE HANOI - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com UNIVERSITE NATIONALE DU VIETNAM, HANOI INSTITUT FRANCOPHONE INTERNATIONAL NGUYỄN THỊ SANG MISE EN OEUVRE DE TECHNIQUES D’OPTIMISATION, DE RECHERCHE OPÉRATIONNELLE ET DE PROGRAMMATION MATHÉMATIQUES VIA L’UTILISATION DE SOLVEURS NUMÉRIQUES COMMERCIAUX THIẾT ĐẶT CÁC KỸ THUẬT TỐI ƯU, VẬN TRÙ HỌC VÀ LẬP TRÌNH TỐN HỌC BẰNG CÁC BỘ GIẢI SỐ THƯƠNG MẠI Spécialité : Réseaux et Systèmes communicants Code : Programme pilote MEMOIRE DE FIN D’ETUDES DU MASTER INFORMATIQUE Sous la direction de : Doctor Zacharie ALES HANOI - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ATTESTATION SUR L’HONNEUR J’atteste sur l’honneur que ce mémoire a été réalisé par moi-même et que les données et les résultats qui y sont présentés sont exacts et n’ont jamais été publiés ailleurs La source des informations citées dans ce mémoire a été bien précisée LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu Luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Các thơng tin trích dẫn Luận văn c ch rừ ngun gc Fait Hanoă, le 03 Décembre 2016 Hà Nội, ngày 03 tháng 12 năm 2016 Etudiant (Sinh viên) Nguyễn Thị Sang TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Table des matières Table des figures Liste des tableaux Remerciements Résumé Introduction Problème 10 1.1 Formulation de précédence 10 1.2 Formulation d’affectation 11 Re-formulation du problème 2.1 Théories de la dualité 2.1.1 Problème primal et problème dual 2.1.2 Théorèmes de dualité 2.2 Problème de robuste optimisation sous un ensemble incertitude polyédrique 2.2.1 Formulation de précédence 2.2.2 Formulation d’affectation 2.3 Problème de robuste optimisation sous un ensemble incertitude ellipsoădal 2.4 Comparaison des coˆuts de robustesse 12 12 13 14 18 18 20 22 25 Méthode des Plans Coupants TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 26 3.1 3.2 3.3 3.4 Méthode des plans coupants pour le problème Robuste Optimisation linéaire (RLO) Méthode des plans coupants pour le problème Robuste Optimisation linéaire en nombres entiers (RMIO) Méthode des plans coupants pour l’ensemble incertain polyédrique Mộthode des plans coupants pour lensemble incertain ellipsoădal Rộsultats numộriques 4.1 Outils utilisés 4.2 Instances 4.3 Résultats 4.3.1 Pour la formulation de précédence sous l’ensemble d’incertitude U Γ 4.3.2 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux formulations sous l’ensemble d’incertitude U Γ 4.3.3 Pour la formulation de précédence sous l’ensemble d’incertitude U Ω 4.3.4 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux méthodes 26 27 28 28 30 30 32 33 33 35 36 37 Conclusions Bibliographie TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 39 41 Table des figures 2.1 Représentation graphique des deux problème (2.7) et (2.8) 17 4.1 4.2 Julia, un langage haut-niveau et haute performance [1] 31 Gurobi, un paquet d’optimisation commerciale prenant en charge une variété de langages de programmation et de systèmes d’opérationnel[2] 31 JuMP, un langage de modélisation spécifique [3] 32 4.3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Liste des tableaux 2.1 2.2 2.3 Tableau de correspondance des contraintes d’inégalité 14 Tableau de correspondance des contraintes d’égalité 14 Tableau de correspondance 15 4.1 Résultats numérique obtenus pour la formulation de précédence et l’ensemble d’incertitude U Γ 33 Résultats numérique obtenus pour la formulation de précédence et l’ensemble d’incertitude U Γ dans le cas Γ = 34 Comparaisons des résultats numérique obtenus pour deux formulations (2.12) et (2.9) sous l’ensemble d’incertitude U Γ dans le cas Γ = 34 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux formulations lorsque l’ensemble d’incertitude U Γ est considéré 35 Résultats numérique obtenus pour la formulation de précédence et l’ensemble d’incertitude U Ω 36 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux formulations lorsque deux ensembles d’incertitude U Γ ,U Ω sont considérés 36 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux méthodes lorsque l’ensemble d’incertitude U Γ 37 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux méthodes lorsque l’ensemble d’incertitude U Ω 38 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com REMERCIEMENTS Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au Laboratoire d’Informatique d’Avignon (LIA) A ce titre, je tiens remercier Messieurs Michael POSS et Zacharie ALES qui m’ont encadré pour la réalisation des recherches Qu’il trouve ici l’expression de ma profonde gratitude et ma haute reconnaissance pour la collaboration active et fructueuse que nous avons eu Grâce sa patience, sa disponibilité pendant mes séjours au LIA, ainsi qu’à ses encouragements, ce mémoire a pu être concrétisé et mené terme Mes remerciements s’adressent ensuite Messieurs Teva MERLIN et Yann FERNANDEZ, du LIA, qui m’a aidé pouvoir accéder aux ressources du laboratoire et aux collègues dans le bureau RC4 et aussi dans le LIA Ils m’aident travailler dans un environnement le plus favorable possible Je voudrais remercier Monsieur NGUYEN Hong Quang, responsable de l’option Réseaux et Systèmes Communicants, les professeurs et les employés de l’IFI qui ont m’aider beaucoup pour que je puisse compléter mes études l’IFI Finalement, mes remerciements s’adressent ma famille et aux amis qui m’appuient toujours pendant trois années dernières TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com RÉSUMÉ L’ordonnancement consiste organiser dans le temps l’exécution d’un ensemble de tâches au moyen d’un ensemble de ressources tout en satisfaisant un ensemble de contraintes et en optimisant un ou plusieurs objectifs Cette problématique joue un rôle important et peut être rencontrée dans de nombreux domaines De très nombreuses études se sont portées sur la résolution de problèmes déterministes Dans ce mémoire, nous considérons un problème d’ordonnancement robuste d’une machine unique dans lequel le traitement de certaines des tâches peut être retardé selon un ensemble d’incertitude Nous considérons un ensemble dincertitude polyộdrique et un ensemble dincertitude ellipsoădale Nous reformulons par dualité la composante robuste des deux formulations, nous permettant ainsi d’obtenir deux programmes linéaires en remplac¸ant les contraintes incertaines par des variables et des contraintes déterministes Ensuite, nous comparons les performances de la méthode de reformulation celles d’un algorithme de plans coupants Mots clés : Programmation entière, Optimisation robuste, Algorithme de branch et coupant, Dualité TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com INTRODUCTION L’ordonnancement consiste organiser dans le temps l’exécution d’un ensemble de tâches au moyen d’un ensemble de ressources tout en satisfaisant un ensemble de contraintes et en optimisant un ou plusieurs objectifs Cette problématique joue un rôle important et peut être rencontrée dans de nombreux domaines : les systèmes industriels de production (gestion de production, gestion de projets), les systèmes informatiques (ordonnancement de processus), les systèmes administratifs (gestion hospitalière), etc Dans le cas où les ressources sont disjonctives (machines), un problème d’ordonnancement est un problème d’optimisation combinatoire dont la solution caractérise pour chaque ressource, une séquence de tâches De très nombreuses études se sont portées sur la résolution de problèmes déterministes Pourtant l’hypothèse du déterminisme des problèmes d’ordonnancement est souvent jugée trop restrictive depuis quelques dizaines d’années En effet, en pratique, les données du problème ne sont pas toujours connues l’avance De plus, de nouvelles informations apparaissent durant l’exécution du programme prévisionnel susceptibles de rendre sa mise en oeuvre caduque Ce constat sur la réalité de l’environnement d’application de l’ordonnancement, la fois non déterministe et incertain, a poussé plusieurs chercheurs poser la problématique de l’ordonnancement avec gestion des incertitudes afin que les travaux théoriques en ordonnancement puissent être mis en oeuvre en pratique De manière générale, cela a conduit l’émergence d’une nouvelle thématique de recherche appelée ordonnancement robuste Dans ce travail, nous étudions un cas spécial d’ordonnancement robuste où les données incertaines sont caractérisées par deux types ensembles : un ensemble polyédrique U et un ensemble ellipsoădal U Le présent document vise un double objectif Premièrement, nous montrons la complexitộ du problốme dordonnancement sous un ensemble incertain ellipsoădal U Ω Deuxièmement, nous résolvons des problèmes d’ordonnancement robustes en utilisant TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 27 (b) Si ∑ni=1 ∑nj=1 p˜i w j xi∗j > t + ε, ajouter la contrainte ∑ni=1 ∑nj=1 p˜i w j xi j ≤ t au problème maˆıtre Si aucune contrainte n’est ajoutée, x∗ est la solution optimale 3.2 Méthode des plans coupants pour le problème Robuste Optimisation linéaire en nombres entiers (RMIO) La méthode des plans coupants pour RMIO est plus compliquée que dans le cas de RLO La difficulté est qu’on doit choisir le meilleur moment pour ajouter un plan coupant afin d’assurer que la solution finale est vraiment bonne Nous continuons utiliser un algorithme de [9] : Comme pour RLO, on initialise le problème maˆıtre dans lequel tous les pi sont remplacés par p¯i Appliquer la méthode des plans coupants la racine de la relaxation fractionnaire du problème maˆıtre RMIO jusqu’à ce que la solution fractionnaire ne viole plus aucune contraintes incertaines (ceci peut entraˆıner des plans sécants inutiles pour la solution finale) Résoudre le problème maˆıtre en utilisant l’algorithme de branch-andbound : (a) Lorsqu’on trouve une solution entière, on va examiner toutes les contraintes incertaines pour trouver une contrainte violée qui est ajoutée la modèle Si aucune contrainte n’est violée, on accepte la solution actuelle (b) Si la solution trouvée viole une des contraintes, nous allons appliquer la technique heuristique (qui est présentée ci dessous) pour essayer d’obtenir une solution entière réalisable Nous constatons que le solveur peut trouver beaucoup de solutions entières du problème maˆıtre Pour chaque solution, nous allons vérifier s’il existe une violation Si une contrainte est violée, cette solution est infaisable Il faut la laisser et chercher une autre solution Cependant, on a parfois abandonné une solution faisable cause du changement des variables continues Cela entraˆıne perdre plus de temps pour retrouver cette solution dans les boucles suivantes TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 28 Donc, nous introduisons un algorithme dans [9] pour réparer une solution entière infaisable : Entrer une solution entière que le problème maˆıtre viole une ou des contrainte d’incertitude Créer une copie du problème maˆıtre (sous-problème) Fixer les valeurs de toutes les variables entières du sous-problème par x∗ Le sous-problème se transforme problème RLO Résoudre le sous-problème en utilisant la méthode plans coupants Si une solution est trouvée, elle est une solution valide pour le problème original et elle satisfait toutes les contraintes Si aucune solution n’est trouvée, nous ne faisons rien Donner la conclusion qu’on doit changer les valeurs des variables entières 3.3 Méthode des plans coupants pour l’ensemble incertain polyédrique Nous considérons l’ensemble incertain U Γ Dans la section précédente, on a remplacé les contraintes incertaines par un ensemble de nouvelles contraintes déterminées en utilisant la dualité Maintenant, on peut aussi générer une nouvelle contrainte en modifiant un algorithme de [9] : Utiliser la solution actuelle du problème maˆıtre x∗ pour calculer zi = ∑ j pˆi w j xi∗j Trier zi du plus grand au plus petit Calculer ztotal = ∑Γi zi Si ztotal > t − ∑ni ∑nj p¯i w j xi∗j + ε, on ajoute une nouvelle contrainte 3.4 Mộthode des plans coupants pour lensemble incertain ellipsoădal Nous utilisons l’ensemble incertain U Ω La méthode des plans coupants permet de générer une nouvelle contrainte en cherchant la valeur maximale d’une fonction dans un ballon qui est une solution de forme fermée TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 29 En envisageant les conditions de Karush-Kuhn-Tucker pour le problème des plans coupants, on peut ajouter une nouvelle contrainte en utilisant : n n p˜ = arg max ∑ ∑ pi w j xi∗j p∈U Ω i j Si ∑ni=1 ∑nj=1 p˜i w j xi∗j > t + ε, on peut ajouter une contrainte Nous donnons des résultats testés dans les tableaux (4.7) et (4.8) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 30 Chapitre Résultats numériques Dans les sections précédentes, nous avons développé des formulations du problème robuste Nous avons lancé des tests sur un moderne solveur commercial Pour donner nos résultats, tout d’abord, nous présentons le solveur utilisé Ensuite, nous parlons de la structure de donnés testées Et enfin, ce sont nos résultats qui composent des résultats de chaque formulation et des comparaisons entre des modèles ou des méthodes 4.1 Outils utilisés Chaque outil de calcul qu’on peut utiliser pour optimiser des problèmes de taille pratique comprend trois éléments : — un solveur : le moteur qui fait l’optimisation — une langue de modélisation : l’interface qui nous permet de communiquer le modèle au solveur — un environnement de développement : des éditeurs et autres logiciels qui nous permet de créer le modèle que le solveur va lire Dans le contexte de calcul numérique, on peut trouver deux classes de langues : les plus efficaces langues bas-niveau (comme C, C++, Fortran) et les plus expressifs langues haut-niveau (par exemple Python, R, Matlab, etc.) Dans notre projet, nous utilisons Julia [1] pour des raisons suivantes : — Julia est un langage haut-niveau — Julia permet d’implémenter des algorithmes d’optimisation en vitesse TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 31 FIGURE 4.1 – Julia, un langage haut-niveau et haute performance [1] En effet, en utilisant Julia, nous avons combiné JuMP [3] et Gurobi [2] pour résoudre notre problème FIGURE 4.2 – Gurobi, un paquet d’optimisation commerciale prenant en charge une variété de langages de programmation et de systèmes d’opérationnel[2] Gurobi est un des grands paquets d’optimisation commerciale Le logiciel est rapide, stable et décemment flexible La société fournit des interfaces officielles dans une variété de langages de programmation et de systèmes d’opérationnel JuMP (“Julia for Mathematical Programming”) construit une interface commune pour une variété de forfaits de résolution de mathématiques, y compris TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 32 Gurobi, autres solveurs commerciaux, et une variété de solveurs open-source FIGURE 4.3 – JuMP, un langage de modélisation spécifique [3] Cette combinaison nous permet de modéliser facilement et de résoudre rapidement les formules 4.2 Instances Les expériences ont été effectuées sur un groupe d’ordinateurs avec 2,67 GHz processeur et 125 Go de mémoire Pour ces tests, nous avons utilisé les essais instances qui ont été générés en utilisant le schéma suivant : Durée du temps p, ¯ p, ˆ Poid w ont été générées de manière uniforme dans les intervalles de manière correspondante : [1, 2n], [1, n] and [1, n] La paramètre n prend les valeurs de l’ensemble {10, 20, 30, , 200} √ Pour deux paramètres Γ, Ω, nous choisissons Γ = Ω n afin des bornes de probabilité de la violation dans [8] sont même pour deux modèles Tous nos tests sont limités pendant 30 minutes TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 33 4.3 Résultats Dans cette section, nous vous donnons des résultats numériques des cas de tests 4.3.1 Pour la formulation de précédence sous l’ensemble d’incertitude U Γ TABLE 4.1: Résultats numérique obtenus pour la formulation de précédence et l’ensemble d’incertitude U Γ n Γ Problème d’Origine Relaxation du Problème Gap fmin time(s) fmin time(s) % 10 1060 0.0078 1054.4286 0.0033 0.5256 20 13.41 31406.02 0.0651 31403.53 0.0323 0.0079 30 16.43 194858.56 0.2864 194836.7818 0.1727 0.0112 30 17 146278 0.3224 1460002 0.1678 0.1886 40 24.65 785180.4 1.6742 784851.4163 0.5537 0.5537 50 35.36 1.48211312e6 1.7433 71.4820281867e6 1.3626 0.0057 60 47.73 2.68251699e6 3.8287 2.6822380159e6 2.8083 0.0104 70 54 3.762517e6 9.3724 3.7621292448e6 4.7973 0.0103 80 56 9.654994e6 13.5237 9.6541322329e6 9.3283 0.0089 90 56 1.6199088e7 16.7169 1.6197646314e6 17.5426 0.0088 100 60 2.5127599e7 189.4780 2.51200321757e7 21.3615 0.0301 150 75.37 1.3048749832e8 1800 1.304204106662e8 144.8274 0.0514 200 97.57 3.0007753505e8 1800 2.999692999243e8 537.8637 0.0361 Nous pouvons voir que cette formulation permet de résoudre tous les problèmes de taille inférieure ou égale 100 dans la limite de temps fixée Nous constatons que la relaxation linéaire est bonne puisqu’elle fournit une solution proche de la valeur optimale TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 34 TABLE 4.2: Résultats numérique obtenus pour la formulation de précédence et l’ensemble d’incertitude U Γ dans le cas Γ = n Γ Formulation MILP (2.12) Relaxation du Formulation MILP (2.12) fmin time(s) fmin time(s) Gap 10 1474 0.0257 1466.8333 0.0039 0.4862 20 23369 0.1652 23244.2579 0.0297 0.5337 30 111304 0.2895 111252.51237 0.2915 0.04625 40 412395 0.7767 412320.4415 0.3813 0.0180 50 890356 1.4875 890260.8871 0.8098 0.0106 60 1.981785e6 4.2065 1.9811350142e6 1.4831 0.0327 70 4.775435e6 4.8566 4.7749456778e6 2.3505 0.0102 80 7.47489e6 7.8117 7.474484560020e6 4.2537 0.0054 90 8.064749e6 12.6072 8.0639378583e6 6.4438 0.0101 100 1.1895819e7 15.9684 1.18947912152e7 9.2177 0.0086 110 2.2826732e7 21.4139 2.28262830958e7 28.7213 0.0019 120 2.5860255e7 86.2200 2.58567830912e7 49.7782 0.0134 130 3.8975893e7 105.2286 3.89723466563e7 58.8987 0.0091 140 5.1069282e7 108.4707 5.10651381527e7 69.3304 0.0081 150 6.6686946e7 151.8876 6.66850461050e7 72.4665 0.0028 200 2.2000566e8 391.2708 2.199864956568e8 226.1577 0.0087 Ci dessous, on a des résultats pour montrer la précision de développement dans ce cas Γ = en utilisant la formulation (2.12) qui est obtenu par la reformulation générale TABLE 4.3: Comparaisons des résultats numérique obtenus pour deux formulations (2.12) et (2.9) sous l’ensemble d’incertitude U Γ dans le cas Γ = n Γ Formulation MILP (2.12) Formulation MILP (2.9) fmin time(s) fmin time(s) 10 1474 0.0257 1474 0.0141 20 23369 0.1652 23369 0.2736 30 111304 0.2895 111304 0.3445 TABLE 4.3 – suite de la page précédente n Γ Formulation MILP (2.12) Formulation MILP (2.9) fmin time(s) fmin time(s) Suite la page suivante TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 35 40 412395 0.7767 412395 0.8806 50 890356 1.4875 890356 1.9134 60 1.981785e6 4.2065 1.981785e6 4.7277 70 4.775435e6 4.8566 4.775435e6 6.2750 80 7.47489e6 7.8117 7.47489e6 8.5009 90 8.064749e6 12.6072 8.064749e6 12.0198 100 1.5386541e7 16.2030 1.5386541e7 10.9900 110 2.2826732e7 21.4139 2.2826732e7 17.2193 120 2.5860255e7 86.2200 2.5860255e7 57.8955 130 3.8975893e7 105.2286 3.8975893e7 67.7548 140 5.1069282e7 108.4707 5.1069282e7 91.6427 150 6.6686946e7 151.8876 6.6686946e7 157.2395 200 2.2000566e8 391.2708 2.2000566e8 171.2591 Nous trouvons que les résultats obtenus dans le tableau (4.3) ne sont pas différents entre deux Cela peut montrer l’exactitude pour les deux formules 4.3.2 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux formulations sous l’ensemble d’incertitude U Γ TABLE 4.4 – Comparaisons des résultats obtenus avec les deux formulations lorsque l’ensemble d’incertitude U Γ est considéré n Formation de précédence Γ Formation d’affectation fmin time(s) fmin time(s) Gap fmin time(s) fmin time(s) Gap 2.12 232.56 0.004 232.56 0.0004 232.56 0.7285 0.0056 100 10 5.225 2746.275 0.0975 2745.4375 0.0102 0.0304 2746.275 289.1935 0.2680 100 15 12927.0 0.0231 12916.12 0.0219 0.0008 12966.0(NO) 1800 0.0057 100 20 12 43000 0.1209 43000 0.0309 0.0012 43645.0(NO) 1800 0.1231 100 En observant le tableau (4.4), nous constatons que les solutions optimales sont obtenues par les deux formulations pour n égal et 10 Pourtant, le temps pour résoudre la formulation d’affection augmente très rapidement et il devient significativement plus élevé que celui de la formulation de précedence En effet, partir de n égal 15, nous n’obtenons plus la solution optimale TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 36 4.3.3 Pour la formulation de précédence sous l’ensemble d’incertitude U Ω Dans le tableau (4.5), nous obtenons des résultats testés du modele 1||U pΩ | ∑ j w jC j Ces résultats ne sont pas vraiment bons car il nous semble qu’on n’a pas de solution exacte pour les instances grandes TABLE 4.5 – Résultats numérique obtenus pour la formulation de précédence et l’ensemble d’incertitude U Ω n Model 1||U pΩ | ∑ j w jC j Ω Problème d’origine fmin time(s) Relaxation du Problème Gap fmin time(s) % 10 2630.8408 0.1430 2630.6266 0.0211 0.0081 20 41316.9608 2.4487 41308.2191 2.4566 0.0211 30 3.62 214569.2349 24.1322 214551.3720 11.8403 0.0083 40 562233.5625 260.5446 562208.2520 80.7099 0.0045 50 1.4972714942e6 1375.4452 1.497215411e6 639.3502 0.0037 60 2.027276e6(BB) 1800 3.2827280424e6 1800 NaN 70 2.336831e6(BB) 1800 NaN 1800 NaN 200 13.64 NaN 1800 NaN 1800 NaN TABLE 4.6 – Comparaisons des résultats obtenus avec les deux formulations lorsque deux ensembles d’incertitude U Γ ,U Ω sont considérés n Γ Model 1||U pΓ | ∑ j w jC j fmin time(s) Ω Model 1||U pΩ | ∑ j w jC j fmin time(s) 10 6.32 2755.7978 0.0251 2630.8408 0.1430 20 13.41 41979.6793 0.2362 41316.9608 2.4487 30 19.82 221097.8877 2.6241 3.62 214569.2349 24.1322 40 25.29 572447.0128 1.8775 562233.5625 260.5446 50 35.36 1.5071349978e6 2.1227 1.4972714942e6 1375.4452 60 46.47 3.3306999781e6 3.8498 2.027276e6(BB) 1800 70 58.56 4.3430835187 6.1018 2.336831e6(BB) 1800 200 191.48 3.925369898342e8 542.9134 13.63 NaN 1800 En observant le tableau (4.6), nous trouvons que les résultats du modèle 1||U pΩ | ∑ j w jC j sont toujours plus petits que ceux de 1||U pΓ | ∑ j w jC j Cependant, le temps d’exécution est plus élevé Pour les grandes instances, les meilleures bornes (BB) obtenues de ce modèle ne sont pas des solutions optimales TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 37 4.3.4 Comparaisons des résultats obtenus avec les deux méthodes TABLE 4.7 – Comparaisons des résultats obtenus avec les deux méthodes lorsque l’ensemble d’incertitude U Γ Model 1||U pΓ | ∑ j w jC j n Γ Méthode de la Refor- Méthode des plans sécants mulation fmin time(s) fmin time(s) 10 6.32 2755.7978 0.0251 2755.7978 0.2282 20 13.41 41979.6793 0.2362 41978.6793 0.5925 30 19.82 221097.8877 2.6241 221097.8877 4.4936 40 25.29 572447.0128 1.8775 572447.0128 5.1149 50 35.35 1.8305736188e6 2.1541 1.8306314111e6 1.8888 60 46.47 3.3306999781e6 3.8498 3.3306936885 8.2020 70 58.57 4.3430835187e6 6.1018 4.3433174629 13.7086 80 67.43 8.3819113497e6 10.5234 8.3823026454e6 25.1051 90 75.89 1.655455515e7 23.1847 1.65544883606e7 175.8344 100 86.7 2.018048e7 21.5818 2.0181072e7 90.7584 110 94.3927 3.51728249509e7 33.1948 3.51749740884e7 153.8273 120 102.53 5.18785330606e7 46.9315 5.18827431063e7 247.8843 130 114.02 6.38126143246e7 61.1475 6.38144503771e7 331.1503 150 134.72 1.278308262462e8 117.0502 1.278348121844e8 746.5677 200 191.48 3.925369898342e8 542.9134 NaN 1800 En basant sur deux tableaux (4.7) et (4.8), on peut voir que les deux méthodes donnent les mêmes résultats ou l’incertitude de mesure entre deux n’est pas haut Pour le modèle 1||U pΓ | ∑ j w jC j , il semble que la méthode de reformulation soit plus efficace car le temps de traitement est toujours plus rapide (voir le Tableau (4.7)) Par contre, la méthode des plans sécants est assez efficace dans le traitement du modèle 1||U pΩ | ∑ j w jC j (voir le Tableau (4.8)) Nous pouvons obtenir les solutions optimales pour de grandes instances telles que n = 150 dans la limite de temps considéré lorsque les solutions obtenues par la méthode de reformulation sont toujours seulement les meilleures bornes (BB) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 38 TABLE 4.8 – Comparaisons des résultats obtenus avec les deux méthodes lorsque l’ensemble d’incertitude U Ω Model 1||U pΩ | ∑ j w jC j n Ω Méthode de la Refor- Méthode des plans sécants mulation fmin time(s) fmin time(s) 10 2630.8408 0.1430 2630.8408 0.4657 20 41316.9608 2.4487 41317.2754 0.9406 30 3.62 214569.2349 24.1322 214560.7618 4.3133 40 562233.5625 260.5446 562237.3862 3.0842 50 1.4972714942e6 1375.4453 1.4972514942e6 3.5866 60 2.027276e6(BB) 1800 3.2827497038e6 21.9481 70 2.336831e6(BB) 1800 4.3190109990e6 12.5882 80 7.54 5.038801e6(BB) 1800 8.3318385839e6 35.2913 90 9.968274e6(BB) 1800 1.64683366252e7 58.7308 100 8.67 1.2504e7(BB) 1800 2.01294145121e7 93.4420 110 2.2861655e7(BB) 1800 3.50043238895e7 247.3603 120 9.36 3.1160685e7(BB) 1800 5.16449126387e7 247.6580 130 10 3.966163e7(BB) 1800 6.36470184635e7 722.4299 150 11 - 1800 1.276170552780e8 1432.9116 200 13.64 - 1800 NaN 1800 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 39 Chapitre Conclusions Dans ce mémoire, nous avons présenté une partie de nos travaux de recherche concernant un cas spécial de problème d’ordonnancement robuste Premièrement, en se basant sur les théories de la dualité, nous avons reformulé la formulation de précédence Nous obtenons une “mixed-integer program" formulation sous l’ensemble d’incertitude U Γ et une “second-order cone program" formulation sous l’ensemble d’incertitude U Ω En plus, nous avons examiné la complexité du deuxième cas qui est NP-difficile En même temps, nous donnons des résultats de tests en utilisant le solveur de Gurobi [2] et les autres logiques implémentées sous Julia [1] Ces résultats nous permettent de comparer les valeurs optimales et le temps d’exécution des deux formulations Deuxièmement, nous considérons et testons une formule d’affectation Cette formulation s’est avérée très peu efficace cause de la taille du programme linéaire correspondant, comme le montre la table (4.4), ce qui rend impossible la résolution de grandes instances C’est la raison pour lequel nous approfondissons nos recherches en considérant la formulation de précédence Troisièmement, nous nous somme aussi intéressés la résolution du problème d’ordonnancement en utilisant un algorithme de “branch-and-cut" En ajoutant une lazy contrainte et en utilisant une méthode callback, nous appliquons un algorithme de type "branch-and-bound" pour résoudre le problème Les résultats obtenus nous permettent de constater que la méthode de “branchand-cut" est plus efficace que la méthode de reformulation sous lensemble dincertitude ellipsoădal En revanche, pour lensemble d’incertitude polyédrique, la méthode de reformulation est meilleure Pour conclure, ces travaux ont montré qu’il est possible de définir et formu- TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 40 ler sous la forme de programmes linéaires en nombres entiers des problématiques d’ordonnancement robuste et que la définition d’une méthode de résolution spécifique l’ensemble d’incertitude considéré peut améliorer significativement les performances en terme de temps de calcul TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 41 Bibliographie [1] “Julia documentation manual,” URL http ://julialang.org, (2016) [2] G O Inc., “Gurobi optimizer http ://www.gurobi.com, (2016) reference manual,” URL [3] “Modeling language for mathematical optimization,” URL https ://github.com/JuliaOpt/JuMP.jl, (2016) [4] D P Bertsekas, “Nonlinear programming,” (1999) [5] J Dombrowski, “Mccormick envelopes,” URL https ://optimization.mccormick.northwestern.edu, 2016 [6] M S Dimitris Bertimas, “Robust discrete optimization under ellipsoidal uncertainty set,” (2004) [7] G Y Panos Kouvelis, “Robust discrete optimization and its applications,” vol 14, (1997) [8] M S Dimitris Bertimas, “The price of robustness,” Operations research, pp 35–53, (2004) [9] M L Dimitris Bertimas, Iain Dunning, “Reformulation versus cuttingplanes for robust optimization,” Computational Management Science, pp 195–217, (2016) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... 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Ngày đăng: 03/07/2022, 08:42
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