(LUẬN VĂN THẠC SĨ) Planification de trajectoires pour engins agricoles cas des champs polygonaux non convexes

Laboratoire d’Analyse et d’Achitecture des Systèmes Institut de la Francophonie pour l’Informatique RAPPORT DE STAGE DE FIN D’ETUDES Sujet Planification de trajectoires pour engins agricoles : cas des champs polygonaux non convexes Etudiant : Responsables : Tran Minh Tuan, IFI Michel Taïx, LAAS Philippe Souères, LAAS Toulouse, avril - septembre 2004 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Remerciements Je tiens remercier particulièrement Monsieur Malik Ghallab, directeur du Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes (LAAS) du CNRS, de m’avoir accueilli au sein de son établissement Je tiens remercier sincèrement Monsieur Charles Durand, directeur de l’Institut de la Francophonie pour l’Informatique (IFI), d’avoir préparé mon stage Je remercie aussi vivement Monsieur Raja Chatila, responsable du groupe de Robotique et Intelligence Artificielle (RIA), qui ma reỗu au sein de son ộquipe Je tiens exprimer toute ma reconnaissance Michel Taïx et Philippe Souères, enseignant-chercheur et chercheur du LAAS-CNRS qui m’ont bien encadré pendant toute la durée de mon stage Enfin un grand merci toutes les personnes du LAAS-CNRS et de l’IFI, notamment les stagiaires de RIA qui m’ont porté leur amitié TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Résumé Notre travail a été mené dans le cadre d’une collaboration entre Renault Agriculture et le LAAS-CNRS visant développer des algorithmes de navigation autonome pour engins agricoles sur la base de données GPS Dans ce rapport, nous proposons une méthode de planification de trajectoire pour engins agricoles, en considérant plus particulièrement le cas de champs polygonaux non convexes sans obstacles Le processus de traitement consiste d’abord découper automatiquement un champ polygonal non convexe en plusieurs sous-régions convexes puis rechercher une stratégie optimale de déplacement permettant de travailler les différentes régions Sur cette base, l’algorithme détermine ensuite la trajectoire de recouvrement complète partir des différentes trajectoires locales Nous proposons deux méthodes de découpage automatique basées sur la notion de direction de travail La méthode complète, très coûteuse en temps de calcul, peut être couplée une méthode heuristique qui permet de déterminer une solution sousoptimale de bonne qualité pouvant être réalisée en un temps beaucoup plus court L’analyse d’un grand nombre de résultats permet d’illustrer notre raisonnement et de valider notre approche Mots-clefs : Planification de trajectoires, couverture de surface, décomposition en cellules convexes, chemin de type Hamiltonien (H-like), Robotique agricole TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Abstract Our work has been done in the context of a collaboration between Renault Agriculture and the LAAS-CNRS which aims at developing navigation strategies for agricultural machines on the base of GPS data We propose a trajectory planning algorithm for field covering In particular, the case of non convex polygonal fields without obstacles is considered The first step of the algorithm consists in cutting the field into convex cells Then, a sequencing strategy is proposed to cover the successive regions Finally, a complete trajectory is synthesized on the basis of the local ones We present two methods of automatic decomposition based on the notion of working direction This approach which is high time-consuming can be associated to a heuristic method which allows to determine good quality suboptimal solutions in much shorter time The description and the analysis of a large number of simulation results allow to illustrate the reasoning and validate the approach Keywords: Trajectory planning, surface coverage, convex cell decomposition, Hamiltonian graph (H-like), agricultural robotics TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Table des matières Remerciements Résumé Abstract Table des matières Liste des figures Liste des tableaux Chapitre Introduction 1.1 Contexte du travail 1.2 Définitions 1.3 Problématique 11 Chapitre Résultats antérieurs 12 2.1 Publications 12 2.2 Travail de Sébastien Fabre 12 2.3 Travail d’Hélène Frayssinet 13 Chapitre Champs polygonaux convexes 14 3.1 Direction de travail et côtés d’un champ convexe polygonal 14 3.2 Détermination de la direction de travail optimale 15 Chapitre Champs polygonaux non convexes 17 4.1 Différents types de coupe 17 4.2 Recherche exhaustive de découpage optimal 18 4.3 Complexité de l’algorithme exhaustif 18 4.4 Méthode heuristique 19 4.5 Enchnement entre sous-régions 20 4.6 Trajectoire complète 23 4.7 Fusion de régions 25 Chapitre Simulation 26 5.1 Programme 26 5.2 Environnement et données de test 28 5.3 Résultats principaux 28 Chapitre Conclusion 40 Annexe : Algorithme exhaustif 41 Annexe : Algorithme heuristique 42 Annexe : Algorithme de recherche de chemin H-like 43 Références 44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Liste des figures Figure 1.1 Système de contrôle de tracteur base de GPS Figure 1.2 Champ, direction de travail et zones 10 Figure 1.3 Champ concave simple 10 Figure 3.1 Trois cas de touche 14 Figure 3.2 Direction de travail optimale 16 Figure 4.1 Des coupes dans un champ non convexe 17 Figure 4.2 Les deux pires cas 19 Figure 4.3 Méthode heuristique 20 Figure 4.4 Graphe représentatif des régions 20 Figure 4.5 Quatre cas dans la recherche de chemin H-like 22 Figure 4.6 Chemin H-like optimal 22 Figure 4.7 Points topologiques 23 Figure 4.8 Trajectoire dans un champ convexe 24 Figure 4.9 Passage entre deux régions 25 Figure 4.10 Fusion des régions 25 Figure 5.1 Interface Homme-Machine du programme 27 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Liste des tableaux Tableau 4.1 Evaluation de l’algorithme exhaustif 19 Tableau 5.1 Résultats sur les champs simples 30 Tableau 5.2 Résultats sur les champs normaux 35 Tableau 5.3 Résultats sur les champs complexes 36 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chapitre Introduction 1.1 Contexte du travail RENAULT Agriculture (http://www.renault-agriculture.com) est une entreprise qui fabrique des tracteurs depuis 1918 Grâce au progrès des systèmes de localisation par satellites basés sur les données GPS (Global Positionning System), il est possible d’asservir automatiquement le mouvement des véhicules agricoles le long de trajectoires de référence A cette fin, il est nécessaire de doter les tracteurs de calculateurs capables de planifier une trajectoire dans un champ et d’en assurer l’exécution Le développement de tels systèmes permettra de soulager l’agriculteur de la tâche pénible de suivi de trace Il pourra alors porter toute son attention sur la supervision du travail devant être réalisé En principe, un système de contrôle de tracteur base de GPS est composé des unités suivantes [3,4,10] : - Le capteur: Il délivre des informations en temps réel sur la base de données GPS Sa haute précision, selon les trois dimensions (σ < cm), et sa faible latence (tlatence < 0.2 s) permettent son utilisation pour la commande - Le tracteur contrôler : Il est nécessaire de disposer d’un système de commande électro-hydraulique Il peut être dirigé soit par le conducteur soit par l’ordinateur de bord - Le contrôleur : Il est implémenté sur l’ordinateur embarqué Le système est capable de suivre des traces courbes ou droites avec une précision inférieure 10 cm - Le planificateur de trajectoire : Il calcule la trajectoire de référence globale permettant de réaliser la tâche agricole souhaitée Chemin de référence Règles de contrôle erreur angle de conduite GPS Figure 1.1 Système de contrôle de tracteur base de GPS Le développement des trois premières unités a fait l’objet d’autres projets de recherche Le travail considéré ici concerne l’élaboration d’un planificateur de trajectoires Comme ce problème déjà été abordé précédemment au LAAS-CNRS, (voir chapitre 2), nous nous sommes concentrés, dans le cadre de ce stage, sur le problème de planification de trajectoires dans des champs non convexes Plus TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com précisément, l’objet du stage était d’élaborer une méthode permettant de découper de manière pertinente un champ polygonal non convexe en sous-régions convexes, puis d’enchner de manière optimale le recouvrement ce chacune de ces régions afin de minimiser le coût global de la trajectoire Le stage s’est déroulé au sein du groupe RIA (Robotique et Intelligence Artificielle), du LAAS-CNRS, Toulouse sur une durée de cinq mois 1.2 Définitions Comme nous venons de l’expliquer, l’objectif recherché est de parcourir un champ pour effectuer un type de travail agricole tel que : le labour, l’épandage, ou la moisson, en minimisant un critère de coût qui sera défini plus loin A ce stade, il est nécessaire de définir plus précisément un ensemble de notions relatives au champ et au véhicule Le champ Le champ est un terrain plan sur lequel on peut effectuer un ensemble de travaux agricoles Il peut être de forme plus ou moins complexe, convexe ou non, et bords droits ou courbes Pour travailler un champ convexe, on choisit une direction de travail Le travail sera alors effectué en suivant des traces parallốles cette direction Cette faỗon de travailler est généralement celle qui est traditionnellement employée par les agriculteurs On définit ainsi : - La trace : Segment de travail entre deux extrémités du champ - La direction de travail : direction destinée guider les traces parallèles du tracteur - La zone de travail : La zone dans laquelle le tracteur effectue son travail en exécutant des traces rectilignes et parallèles la direction de travail - La zone de fourrière : La zone dans laquelle le tracteur exécute des demi-tours ou des manœuvres La largeur de cette zone dépend des caractéristiques du tracteur ainsi que de l’outil La zone de fourrière doit également être travaillée, mais l’ordre de travail n’est pas toujours le même Par exemple, pour le labour, elle n’est travaillée qu’après que la zone de travail ait été travaillée Par contre, lors de la moisson, cet ordre est inversé La zone de fourrière peut être sous forme d’un U, d’un O, ou éventuellement de deux I s’il y a côtés du champ parallèles la direction de travail L’illustration ci-dessous montre une zone de fourrière de type U - La zone d’entrée : c’est zone où le tracteur avec son outil entre dans le champ - La zone de sortie : c’est la zone où le tracteur sort du champ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com zone d’entrée zone de travail zone de fourrière direction de travail trace zone de sortie Figure 1.2 Champ, direction de travail et zones Dans le cas des champs non convexes, cependant, le suivi d’une seule direction de travail peut induire un nombre manœuvres très élevé et donc un effort et un temps d’exécution plus grands C’est pourquoi il est nécessaire de réaliser un découpage automatique avant de travailler le champ Par exemple, le champ représenté la figure suivante peut être découpé en deux sous-champs, chacun ayant sa propre direction de travail R1 R2 Figure 1.3 Champ concave simple Le tracteur Chaque tracteur déplace un outil de travail La largeur de l’outil est déterminée en fonction du type de travail Par exemple, la taille moyenne d’un outil utilisé pour le labour est de 40 cm mètres, celle d’un outil en épandage de 12 30 mètres et celle de l’outil de moisson de mètres Les paramètres pratiques du tracteur reliés chaque type de travail peuvent être retrouvés dans [11] En réalité, le mouvement du tracteur est limité par les contraintes non holonomes de roulement sans glissement des roues sur le sol Ses roues avant sont également soumises une contrainte de giration qui pour effet de limiter le rayon de braquage lors des manœuvres Une rotation sur place de 180o est par exemple impossible 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Totalité de manoeuvres = 117 Temps de calcul = 0.52 s Totalité de manoeuvres = 126 (7.7% d’erreur) Temps de calcul = 0.36 s Totalité de manoeuvres = 120 Temps de calcul = 1.42 s Totalité de manoeuvres = 120 (0.0% d’erreur) Temps de calcul = 0.49 s Tableau 5.1 Résultats sur les champs simples Taux d’erreur moyen sur ces champs simples = 2.06 % 5.3.2 Champs normaux Si le temps de calcul dans le cas de champs simples (tableaux précédents) semble peu variable, les différences sont considérables pour les champs normaux Le résultat est détaillé ci-dessous : 30 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Méthode exhaustive Méthode heuristique Totalité de manoeuvres = 107 Temps de calcul = 2.00 s Totalité de manoeuvres = 107 (0.0% d’erreur) Temps de calcul = 0.58 s Totalité de manoeuvres = 110 Temps de calcul = 2.36 s Totalité de manoeuvres = 112 (1.8% d’erreur) Temps de calcul = 0.47 s Totalité de manoeuvres = 156 Temps de calcul = 7.80 s Totalité de manoeuvres = 159 (1.9% d’erreur) Temps de calcul = 0.67 s 31 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Totalité de manoeuvres = 132 Temps de calcul = 11.81 s Totalité de manoeuvres = 132 (0.0% d’erreur) Temps de calcul = 0.70 s Totalité de manoeuvres = 143 Temps de calcul = 3.70 s Totalité de manoeuvres = 146 (2.1% d’erreur) Temps de calcul = 0.50 s Totalité de manoeuvres = 138 Temps de calcul = 20.27 s Totalité de manoeuvres = 138 (0.0% d’erreur) Temps de calcul = 0.83 s 32 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Totalité de manoeuvres = 134 Temps de calcul = 49.27 s Totalité de manoeuvres = 150 (11.9% d’erreur) Temps de calcul = 0.81 s Totalité de manoeuvres = 164 Temps de calcul = 15.50 s Totalité de manoeuvres = 164 (0.0% d’erreur) Temps de calcul = 0.53 s Totalité de manoeuvres = 129 Temps de calcul = 121.11 s Totalité de manoeuvres = 143 (10.9% d’erreur) Temps de calcul = 0.70 s 33 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Totalité de manoeuvres = 118 Temps de calcul = 95.61 s Totalité de manoeuvres = 138 (16.9% d’erreur) Temps de calcul = 0.94 s Totalité de manoeuvres = 106 Temps de calcul = 10.19 s Totalité de manoeuvres = 119 (12.3% d’erreur) Temps de calcul = 0.66 s Totalité de manoeuvres = 140 Temps de calcul = 229.83 s Totalité de manoeuvres = 141 (0.7% d’erreur) Temps de calcul = 0.80 s 34 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Totalité de manoeuvres = 178 Temps de calcul = 11.89 s Totalité de manoeuvres = 190 (6.7% d’erreur) Temps de calcul = 0.72 s Tableau 5.2 Résultats sur les champs normaux L’erreur moyenne de la méthode heuristique par rapport la méthode exhaustive dans le cas de ces champs normaux est alors : Taux d’erreur moyen = 5.02 % 5.3.3 Champs complexes Sur les champs complexes, la méthode exhaustive exige énormément de temps de calcul alors que la méthode heuristique en demande beaucoup moins Quelques expérimentations sur ce groupe sont montrées dans le tableau 5.3 Méthode exhaustive Totalité de manoeuvres = 104 Temps de calcul = 423.13 s Méthode heuristique Totalité de manoeuvres = 105 (1.0% d’erreur) Temps de calcul = 1.58 s 35 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Totalité de manoeuvres = 131 Temps de calcul = 550.60 s Totalité de manoeuvres = 134 (2.3% d’erreur) Temps de calcul = 0.83 s Totalité de manoeuvres = 148 Temps de calcul = 216.46 s Totalité de manoeuvres = 164 (10.8% d’erreur) Temps de calcul = 1.17 s Totalité de manoeuvres = 186 Temps de calcul = 1359.07 s Totalité de manoeuvres = 192 (3.2% d’erreur) Temps de calcul = 1.16 s Tableau 5.3 Résultats sur les champs complexes 36 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Taux d’erreur moyen sur ces champs complexes = 4.33 % En conclusion, on peut dire que l’erreur moyenne dans les trois cas de champs est autour de 3.8 % La méthode heuristique fournit une bonne approximation en un faible temps de calcul Par contre, la méthode exhaustive se montre coûteuse, notamment pour les champs complexes 5.3.4 Influence de la largeur de l’outil La largeur de l’outil influence le découpage Par exemple, pour le champ suivant, on obtient deux découpages différents en fonction de la largeur de l’outil (calculé par méthode heuristique) Largeur de l’outil = 15 m Largeur de l’outil = 12 m 5.3.5 Fusion de régions L’exemple suivant montre l’effet de fusion de régions Non-fusion Fusion 37 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 5.3.6 Influence de l’entrée et la sortie Le changement de position de l’entrée et de la sortie du champ entrne le changement de l’enchnement H-like entre sous-champs L’exemple suivant démontre illustre cela : Travailler et passer Travailler et passer Travailler et sortir Travailler et passer Passer directement de Travailler et passer Travailler et passer Sortir 5.3.7 Longueur de la trajectoire La longueur de la trajectoire obtenue par la méthode exhaustive n’est pas toujours plus courte que par la méthode heuristique Dans l’exemple qui suit, la trajectoire construite par la méthode exhaustive est plus longue car la région possède deux zones de fourrière, tandis que la région correspondante construite par la méthode heuristique en contient une 38 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Méthode exhaustive Manoeuvres = 74 Temps de travail total = 10.08 h Longueur parcourue = 53.44 km Méthode heuristique Manoeuvres = 76 Temps de travail total = 10.06 h Longueur parcourue = 53.20 km En fait, le temps total est un bon critère ajouter pour juger de la meilleure trajectoire Mais dans tous les cas, le nombre de manoeuvres est aussi un critère important parce que les manoeuvres exigent une plus forte de consommation d’énergie et ralentissent le travail 5.3.8 Deux types de virage Pour certaines applications, le tracteur doit faire un virage circulaire pour passer d’une trace une autre Dans le cas il est capable de reculer, il peut alors effectuer un virage de type queue-de-poisson Ciculaire Queue de poisson 39 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chapitre Conclusion Nous avons présenté notre contribution sur la planification de trajectoires pour engins agricoles dans des champs polygonaux non convexes sans obstacles En se basant sur le résultat que la direction de travail permettant de minimiser le nombre de manœuvres est toujours parallèle l’un des côtés du champ, nous avons introduit différentes stratégies de coupes et développé deux méthodes de calcul de découpage optimal En comparaison avec la méthode exhaustive, la méthode heuristique que nous avons proposée s’est avérée efficace Nous avons également introduit la notion de chemin Hlike et démontré un résultat permettant de rechercher efficacement de tels chemins Enfin, nous avons combiné les différentes étapes du raisonnement pour élaborer une méthode complète qui permet de générer une trajectoire pour un champ polygonal non convexe Néanmoins, la résolution du problème dans sa globalité nécessite un temps de travail supérieur un stage de mois En particulier, les points suivants restent examiner : - L’extension des champs bords courbes - La prise en compte des obstacles - Le calcul de coûts par multicritères - L’extension a des surfaces non planes Notre travail constitue une brique de base pour cette étude Finalement, les méthodes de planification de trajectoire en général et celle que nous avons présentée en particulier sont applicables dans le domaine agricole mais également dans d’autres domaines Par exemple elles peuvent servir inspecter un terrain miné, rechercher des personnes disparues dans une zone, ou encore la peinture de pièces planes 40 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Annexe : Algorithme exhaustif Entrée : champ concave Sortie : régions du découpage optimal et le coût total Algorithme en pseudo-code : function [cout_optimal, régions_optimal] = découpage_optimal(champ) cout_optimal = realmax ; régions_optimal = [] ; découper([], {champ}) ; end; function découper(régions_découpées, régions_en_cours) if régions_en_cours sont vides cout_courant = cout de régions_découpées ; if cout_courant < cout_optimal cout_optimal = cout ; régions_ optimal = régions_découpées ; end; else regs_faites = régions_découpées ; regs_feront = régions_en_cours ; reg = première région de regs_feront ; déterminer toutes les coupes possibles dans reg ; for chaque coupe uk découper reg selon uk et obtenir sous-champs région_1 et région_2; regs_feront = regs_feront \ reg; if région_1 est convexe regs_faites = regs_faites ∪ région_1; else regs_feront = regs_feront ∪ région_1; end ; if région_2 est convexe regs_faites = regs_faites ∪ région_2; else regs_feront = regs_feront ∪ région_2; end ; end; end ; end; 41 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Annexe : Algorithme heuristique Entrée : champ concave Sortie : régions du découpage heuristique et le coût total Algorithme en pseudo-code : function [cout_optimal, régions_optimal] = découpage_heuristique(champ) régions_optimal = [] ; cout_optimal = 0; découper(champ) ; end ; function découper(région) efficacité_max = 0; région_eff_max1 = []; région_eff_max2 = []; déterminer toutes les coupes possibles dans région; for chaque coupe uk découper région selon uk et obtenir sous-champs région_1 et région_2 ; if région_1 est concave et région_2 est convave then continue ; else cout_total = Σ (cout de travail de région_k); k ∈{1,2} et région_k est convexe super_total = Σ (superficie de région_m); m ∈{1,2} et région_m est convexe efficacité = cout_total/super_total; if efficacité > efficacité_max then efficacité_max = efficacité ; région_eff_max1 = région_1 ; région_eff_max2 = région_2 ; end; end; end; if région_eff_max1 est convexe then régions_optimal = régions_optimal ∪ région_eff_max1; cout_optimal = cout_optimal + cout de travail de région_eff_max1 ; else découper(région_eff_max1) ; end; if région_eff_max2 est convexe then régions_optimal = régions_optimal ∪ région_eff_max2; cout_optimal = cout_optimal + cout de travail de région_eff_max2; else découper(région_eff_max2) ; end; end ; 42 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Annexe : Algorithme de recherche de chemin H-like Entrée : Indices de la région contenant l’entrée et la sortie du champ, matrice adjacente dont l’élément (i, j) est égal (2 passages au maximum) s’il y a un segment commun entre la région i et j Sortie : Chemin H-like optimal décrivant l’enchnement entre régions Algorithme en pseudo-code : function chemin_optimal = chercher_hlike(reg_entrée, reg_sortie, passage) chemin_optimal = []; acheminer(reg_entrée, reg_sortie); end ; function acheminer(reg_actuel, reg_sortie) if reg_actuel == sortie & toutes les autres régions sont travaillées if reg_sortie est travaillée then chemin_actuel = chemin_actuel ∪ [‘sortir’]; else chemin_actuel = chemin_actuel ∪ [‘travailler reg_sortie et sortir’]; end; if chemin_actuel est plus long que chemin_optimal then chemin_optimal = chemin_actuel; end; else % recursion if chemin_actuel est plus long que chemin_optimal then return; end; if reg_actuel est déjà travaillée then return; end ; for chaque région voisine reg_voisin de reg_actuel if passage(reg_actuel, reg_voisin) then chemin_actuel = chemin_actuel ∪ [‘passer directement reg_voisin’]; chemin(reg_voisin, sortie); reprendre les anciennes valeurs; end; end; end; end; 43 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Références [1] H Choset and P Pignon, “Coverage Path Planning: The Boutrophedon Cellular Decomposition”, International Conference on Field and Service Robotics, 1997 [2] W H Huang, “Optimal Line-sweep-based Decompositions for Coverage Algorithms”, International Conference on Robotics and Automation, 2001 [3] S Fabre, P Souères, M Taïx and L Cordesses, “Farmwork path planning for field coverage with minimum overlapping”, International Conference on Emerging Technologies and Factory Automation, 2001 [4] M Taïx, P Souères, H Frayssinet and L Cordesses, “Path Planning for Complete Coverage with Agricultural Machines”, International Conference on Field and Service Robotics, 2003 [5] J S Oh, Y H Choi, J B Park and Y F Zheng, “Navigation of Cleaning Robots Using Triangular-Cell Map for Complete Coverage”, International Conference on Robotics and Automation, 2003 [6] E González, M Alarcón, P Aristizábal and C Parra, “BSA: A Coverage 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44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... permet de déterminer des zones de fourrière moins grandes De plus, ce mode de travail est conforme aux habitudes des agriculteurs 3.2 Détermination de la direction de travail optimale A partir de. .. développer des algorithmes de navigation autonome pour engins agricoles sur la base de données GPS Dans ce rapport, nous proposons une méthode de planification de trajectoire pour engins agricoles, ... contribution sur la planification de trajectoires pour engins agricoles dans des champs polygonaux non convexes sans obstacles En se basant sur le résultat que la direction de travail permettant de minimiser