TuhocOnline edu vn SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC Môn thi TOÁN LỚP 9 BẢNG A Thời gian làm bài 150 phút Câu 1 (4,5 điểm) a) Cho hàm số Tính tại b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình Câu 2 (4,5 điểm) a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 3 (3,0 điểm) Cho x; y; z là các số thực dương thoả mãn xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Câu 4 (5,5 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Từ một điểm C thay đổi trê[.]
Đề thức TuhocOnline.edu.vn SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC Môn thi: TOÁN LỚP - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f (x) (x 12x 31) 2010 Tính f (a) a 16 16 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x xy y ) 7(x 2y) Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: x x x x x 1 1 x y z b) Giải hệ phương trình: 4 xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 x y3 y3 z3 z x Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - A TuhocOnline.edu.vn Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm 04 trang ) Mơn: TỐN - BẢNG A Câu Ý Nội dung Điểm a 16 16 a 32 3 (16 5)(16 5).( 16 16 ) a 32 3.(4).a a) (2,0đ) a 32 12a a 12a 32 a 12a 31 f (a ) 12010 5( x xy y ) 7( x y ) 7( x y ) M5 1, (4,5đ) 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) 0,25 ( x y )M5 (t Z ) Đặt x y 5t (2) (1) trở thành x xy y 7t (3) Từ (2) x 5t y thay vào (3) ta y 15ty 25t 7t (*) b) 84t 75t (2,5đ) Để (*) có nghiệm 84t 75t 0t 28 25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì t Z t t Thay vào (*) Với t y1 x1 y2 x2 1 y3 x3 Với t 2, a) ĐK x x (4,5đ) (2,5đ) Với x thỗ mãn phương trình Với x Ta có x3 x x ( x 1) ( x x 1) 0,25 0,25 0,5 TuhocOnline.edu.vn x x 1( x x) ( x x 1) x3 x x x x x x Dấu "=" Xẩy x x x x x x Vô lý x x 0,25 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x 0,25 0,25 0,25 1 1 x y z (1) (I ) ĐK x; y; z (2) xy z 1 2 Từ (1) x y z xy xz yz 0,25 Thế vào (2) ta được: 0,25 1 1 2 2 2 2 xy z x y z xy xz yz 1 2 b) x y z xz yz (2,0đ) 1 ( 2)( 2) 0 x xz z y yz z 0,25 0,25 0,25 1 1 1 x z y z 1 x z x y z 1 0 y z 0,25 Thay vào hệ (I) ta được: ( x; y; z ) ( ; ; ) (TM ) 0,25 Ta có (x y) x; y 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 2 3, (3,0đ) 0,5 x xy y xy Mà x; y > =>x+y>0 Ta có: x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) x3 + y3 ≥ (x + y)xy x3 + y3 +1 = x3 + y3 +xyz ≥ (x + y)xy + xyz x3 + y3 + ≥ xy(x + y + z) > Tương tự: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > 1 A xy(x y z) yz(x y z) xz(x y z) TuhocOnline.edu.vn x yz xyz(x y z) 1 A xyz Vậy giá trị lớn A x = y = z = 0,25 A 4, (5,5đ ) 0,25 0,25 C M A D Q O E K O' H I B N · · Ta có: BDE (cùng chắn cung BE đường tròn tâm O) BAE · · (cùng chắn cung BN đường tròn tâm O') BAE BMN · · BDE BMN · · hay BDI BDMI tứ giác nội tiếp BMN · · MDI (cùng chắn cung MI) MBI a) · · (cùng chắn cung AE đường tròn tâm O) ABE (3,0đ) mà MDI · · ABE MBI · · mặt khác BMI (chứng minh trên) BAE MBI ~ ABE (g.g) MI BI MI.BE = BI.AE AE BE b) Gọi Q giao điểm CO DE OC DE Q (2,5đ) OCD vuông D có DQ đường cao OQ.OC = OD2 = R2 (1) 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,50 TuhocOnline.edu.vn Gọi K giao điểm hai đường thẳng OO' DE; H giao điểm AB OO' OO' AB H µ H µ 900 ;O µ chung Xét KQO CHO có Q KQO ~ CHO (g.g) KO OQ OC.OQ KO.OH (2) CO OH R2 Từ (1) (2) KO.OH R OK OH Vì OH cố định R không đổi OK không đổi K cố định 5, (2,5đ ) 0,50 0,50 0,50 0,50 A H' N P O M B D H C E ABC vuông cân A AD phân giác góc A AD BC D (O; AB/2) Ta có ANMP hình vng (hình chữ nhật có AM phân giác) tứ giác ANMP nội tiếp đường trịn đường kính NP · mà NHP 900 H thuộc đường trịn đường kính NP · · AHN AMN 450 (1) Kẻ Bx AB cắt đường thẳng PD E tứ giác BNHE nội tiếp đường trịn đường kính NE Mặt khác BED = CDP (g.c.g) BE = PC mà PC = BN BN = BE BNE vuông cân B · · · NEB (cùng chắn cung BN) 450 mà NHB NEB · NHB 450 (2) 0,25 0,50 0,25 0,50 TuhocOnline.edu.vn · Từ (1) (2) suy AHB 900 H (O; AB/2) gọi H' hình chiếu H AB HH '.AB SAHB SAHB lớn HH' lớn mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D thuộc đường trịn đường kính AB OD AB) Dấu "=" xẩy H D M D Lưu ý: - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi tổng điểm không làm trịn 0,50 0,50 TuhocOnline.edu.vn PHỊNG GD&ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC Mơn thi: Tốn (Thời gian làm bài: 150 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức A 15 10 15 Tìm điều kiện xác định biểu thức sau: M 2018 N x2 2x 2019 x 2x Câu (3,0 điểm) Cho số a, b,c khác 0, thỏa mãn a + b+ c = Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 2 a b c a b c Tính giá trị biểu thức: B = 1 1 1 12 22 2 32 20182 20192 Câu (4,5 điểm) Cho đa thức f(x), tìm dư phép chia f(x) cho (x-1)(x+2) Biết f(x) chia cho x - dư f(x) chia cho x + dư Giải phương trình: x3 - 3x + x + = Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5x2 + y2 = 17 – 2xy Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c 2 bc ca ab 1 ; ; b) độ dài cạnh tam giác ab bc ca a) Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AI Tính HI, IM; biết AC= 4/3AB diện tích tam giác ABC 24 cm2 Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác Đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC, BC E D; đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AB AC M N; đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB BC F H Biết diện tích tam giác ODH, ONE, OMF a2, b2, c2 a) Tính diện tích S tam giác ABC theo a, b, c b) Chứng minh S 3(a2 + b2 +c2) Hết - Họ tên học sinh:…………………………………………………SBD:………… (Cán coi thi khơng giải thích thêm, học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi ) SƠ LƯỢC GIẢI TuhocOnline.edu.vn Đề thi chọn HSG cấp huyện năm học Mơn: TỐN 2 10 15 Ta có A 15 A 15.1 A 5 Đáp án 15 15 5 15 15 10 5 5 =5-3=2 Điều kiện xác định M x x ( x 1)( x x 1 x 1 x x x x 1 2 x x x (*) Điều kiện xác định N x x x (**) x2 2x x2 2x x 1 Từ (*) (**) ta x điều kiện xác định M 1 1 1 1 2 a b c a b c ab bc bc Ta có: 1 a b 1 2( a b c) 1 c 2 2 2 2 2 a b c b c abc a b c abc abc abc a Vậy 1 1 1 2 a b c a b c Theo câu a) Ta có 1 1 1 1 2 (*) a b c a b c a b ab Áp dụng (*) ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 (2) 1 (2) 1 1 (Vì ) 1 1 1 ;… 32 42 1 1 1 2 2018 2019 2018 2019 4076360 Suy B 2019 2019 2019 3 x - 3x + x + = Û (x+1)(x2 - 4x + 6) = Û x + = (1) x2 – 4x + = (2) Tượng tự 1 1 ; 2 32 1 TuhocOnline.edu.vn (1) Û x =- (2) Û (x- 2)2 + = Do (x- 2)2 + ¹ " x nên pt vô nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { - 1} Vì (x- 1)(x + 2) = x2 + x- đa thức bậc nên f(x) : ( x 1)( x 2) có đa thức dư dạng ax + b Đặt f ( x) ( x 1)( x 2).q( x) ax b Theo đề f(x) : (x - 1) dư f (1) a b (1) f(x) : (x + 2) dư f (2) 2a b (2) Từ (1) (2) a = b = Vậy f(x) : [ (x- 1)( x + 2)] dư 2x + 5x2 + y2 = 17 – 2xy 4x2 + (x + y)2 = 17 17 x2 số phương nên x2 = 0; 1; x 17 x Nếu x = (x + y)2 = 17 (loại) Nếu x2 = (x + y)2 = 13 (loại) Nếu x2 = x = x = - x = (2 + y)2 = y = - y = - x = -2 (-2 + y)2 = y = y = Vậy phương trình có nghiệm : (x; y) = (2; -3), (2; -1), (-2; 3), (-2; 1) Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên b + c > a a (b c) a a (b c ) ab ac a ab ac a 2a 2a(b c) a(a b c) bc abc b 2b c 2c Tượng tự ta có: ; ca abc ba abc a b c 2a 2b 2c (dpcm) Suy ra: bc c a ab a bc bca a bc Ta có a + b > c 1 1 2 b c c a b c a c a b a b c (a b ) ( a b ) a b Chứng minh tương tự ta có Vậy 1 1 1 ; ca a b bc ab bc c a 1 ; ; độ dài cạnh tam giác (Đpcm) ab bc ca Do AC= ¾ AB (gt) AB.AC = 2S = 48, suy AC = (cm); AB = 8(cm) Áp dụng định lí Pitago tam giác vng ABC ta tính BC = 10 cm, suy AM = (cm) (1) Áp dụng tính chất canh đường cao tam giác vng ABC ta tính BH AB2 3,6(cm) (2) BC TuhocOnline.edu.vn Áp dụng tính chất đường phân giác cua tam giác ta có IB AB IB AB IB 30 IB cm (3) IC AC IB IC AB AC 10 Từ (1), (2) (3), ta có I nằm B M; H nằm B I 4,8 Vậy: HI = BI - BH cm MI = BM - BI cm Ta có tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với tam giác ABC Đặt SABC = d2 SODH a DH a DH Ta có: ; S ABC d BC d BC 2 S EON b ON b HC HC ; Tương tự S ABC d BC BC d BC c BD d BC a b c DH HC DB 1 d a b c Suy ra: d BC Vậy S d (a b c) Áp dụng BĐT Cosy, ta có: a b 2ab; b c 2bc; a c 2ac S (a b c) a b c 2ab 2bc 2ca S a b2 c (a b ) (b2 c ) (c a ) 3(a b c ) Dấu “=” xẩy a = b =c, hay O trọng tâm tam giác ABC Lưu ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa; Điểm tồn quy trịn đến 0,5 TuhocOnline.edu.vn TuhocOnline.edu.vn PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ THANH HÓA NĂM HỌC Mơn Tốn: Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: (5,0 điểm) x2 x x 1 Cho biểu thức: P Với x 0, x : x x x x 1 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) So sánh: P 2P Bài 2: (4,0 điểm) a) Tìm x, y Z thỏa mãn: y x x y x y xy b) Cho a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện: 1 1 1 b c a b c a Chứng minh rằng: a b3 c3 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình sau: x 20 x 25 x x 10 x 20 b) Cho x, y số thực thoả mãn: x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: A = x + y + Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh: CM vng góc với EF b) Chứng minh: NB.DE = a2 B, D, M thẳng hàng c) Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c ab bc ca bc ca ab Hết -Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay TuhocOnline.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Bài Câu a Nội dung Điều kiện: x 0, x x2 P x x x x2 x 1 x b Điểm 0,5 x x 1 : x 1 1 x x x 1 : x 1 x 1 x x ( x 1) ( x x 1) x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 : x 1 2 x 1 0,5 0,5 0,5 x x 1 Với x 0, x Ta có: P 0,5 2 x x 1 1,0 x x 1 0,25 x x 60 ( x 2)( x 3) Vì x nên Vậy P = x = x x (t/m) 0,25 TuhocOnline.edu.vn c Vì x x x 2 x x 1 0P2 P ( P 2) 0,25 0 0,25 P2 2P P2 2P Dấu “=” xảy P = x = Vậy P 2P 0,25 0,25 2 a y x x y x y xy y x x y x y xy x 1 (2 y y x) 1 0,5 0,25 Vì x, y Z nên x - 1 Ư(-1) = 1; 1 +) Nếu x – = x = 0,5 Khi 2y - y – = - y = (t/m) y = 1 Z (loại) +) Nếu x – = -1 x = 0,5 Khi 2y - y = y = (t/m) y = x x ; y 1 y 1 Vậy 1 Z (loại) 0,25 TuhocOnline.edu.vn b a) Từ giả thiết 0,5 1 1 1 ( )2 a b c a b c 1 2( ) ab bc ca 0,5 Vì a, b, c nên a + b + c = a b c a b c 3 a b 3ab(a b) c 3 0,25 a b c 3abc 3 0,5 0,25 3 3 Vậy a b c M với a, b, c Z Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng đẳng thức x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) a mà khơng chứng minh trừ 0,5 điểm Đkxđ: x R 0,25 x 20 x 25 x x 10 x 20 Vì x 20 x 25 x x với x 10x – 20 x 0,5 Ta có: x 20 x 25 x x 10 x 20 0,5 x x 10 x 20 x x 10 x 20 x 28 x 4(t / m) Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5 0,25 TuhocOnline.edu.vn b x2 + 2y2 + 2xy + 7x + 7y + 10 = 0,5 x y 7( x y ) 10 y 2 ( x y 2)( x y 5) y 0,5 4 x y 1 * x + y + = - x = - 5; y = 0,5 * x + y + = - x = - 2; y = Vậy Amin = - x= - 5; y = 0,5 Amax = - x = -2; y = a E M A N B F 1,0 D C · · · Ta có: ECD (cùng phụ với ECB ) BCF Chứng minh được: EDC = FBC (cạnh góc vng – góc nhọn) CE = CF ECF cân C Mà CM đường trung tuyến nên CM EF 1,0 TuhocOnline.edu.vn b * Vì EDC = FBC ED = FB 0,5 NCF vuông C Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: BC2 = NB.BF a2 = NB.DE (đpcm) 0,5 * CEF vuông C có CM đường trung tuyến nên CM AEF vng A có AM đường trung tuyến nên AM EF EF 0,5 CM = AM M thuộc đường trung trực AC Vì ABCD hình vng nên B, D thuộc đường trung trực AC 0,5 B, D, M thẳng hàng thuộc đường trung trực AC c (đpcm) Đặt DE = x (x > 0) BF = x SACFE = SACF + SAEF = AF AE CB (AB BF) AE AD (a x).DE (a x)x SACFE = 3.SABCD 0,5 0,25 0,5 (a x)x 3a 6a ax x (2a x)(3a x) Do x > 0; a > 3a + x > 2a x x = 2a 0,5 A trung điểm DE AE = a Vì AE //BC nên AN AE 1 NB BC 0,25 N trung điểm AB Vậy với N trung điểm AB SACFE = 3.SABCD * Vì a, b, c > nên Tương tự: a a ac 1 ab ab abc b ba ; bc abc c cb ca abc 0,5 TuhocOnline.edu.vn a b c (1) ab bc ca * Ta có: a a bc a (b c) Vì a, b, c > nên theo bất đẳng thức Cơ- si ta có: a (b c) a (b c ) 2 abc a (b c ) 2a a 2a a abc abc bc a (b c ) Tương tự: 2b b ; abc ac 2c c abc ba a b c 2 bc ca ab Dấu ‘ =” xảy a = b + c; b = c + a; c = a +b tức a = b = c (vô lý) a b c (2) bc ca ab Từ (1) (2) ta có đpcm 0,5 TuhocOnline.edu.vn TuhocOnline.edu.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ CẤP THCS NĂM HỌC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 12/4/2017 (Đề thi gồm 01 trang) Bài (2,0 điểm) a) Cho x 10 ( 1) 62 Tính giá trị P 12x + 4x – 55 2017 a a a 1 a a a a 1 a a a a a a b) Cho biểu thức với a > 0, a Với giá trị a biểu thức N nhận giá trị nguyên? M M Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình: x 2mx m m (m tham số) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm x1 x cho x1 x ? 2 2 x y 2x y x y 2xy 3x b) Cho hệ phương trình 2017 y x y 3m Tìm giá trị m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; y1 x ; y thỏa mãn điều kiện x y x y1 Bài (2,0 điểm) a) Tìm tất số nguyên dương a, b cho a + b chia hết cho a b b) Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng: a3 a3 b c b3 b3 c a c3 c3 a b Bài (3,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (điểm B nằm điểm A điểm C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua điểm B điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M N tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN điểm K Đường thẳng AO cắt MN điểm H cắt đường tròn điểm P điểm Q (P nằm A Q) a) Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi b) Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Bài (1,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 21 phần tử số nguyên khác thỏa mãn tổng 11 phần tử lớn tổng 10 phần tử lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm tất phần tử tập hợp A -Hết - TuhocOnline.edu.vn (Cán coi thi khơng giải thích thêm) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học MƠN: Tốn (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa Tổng điểm thi: 10 điểm Bài Bài (2 điểm) Đáp án Điểm 1a) (1,0 điểm) Ta có : 10 ( 1) 3 0,25 1 ( 1) x ( 1)3 ( 1) ( 1) 0,25 ( 1)( 1) 2 1 0,25 Thay giá trị x vào P ta được: P 12.22 2 55 2017 1b) (1,0 điểm) Với điều kiện a 0; a thì: M M a 1 a a a 1 a a a 1 M a a 1 a 1 a Do N a 1 a 1 a a 1 a 1 a 1 0,25 a 0 Ta thấy với a a a a a 1 a 1 a 1 a a 1 a a a a Khi N 0,25 12017 a a 1 Để N có giá trị nguyên N = 0,25 2 0,25 TuhocOnline.edu.vn a 1 a a a a 1 a 32 a ( tháa m· n) a 2 3 a a ( tháa m· n) 0,25 Vậy a 2a) (1,0 điểm) Phương trình: x 2mx m m có hai nghiệm thì: ' m m m m m 6 Theo hệ thức Vi-ét ta có: 0,25 x1 x 2m x1x m m Ta có: x1 x x12 x 2 x1x 64 Bài (2 điểm) x1 x 0,25 2x1x x1x 64 (1) Trường hợp 1: Nếu x1 x dấu thì: m 6 x1x m m m m 3 6 m 2 (*) m 0,25 Khi (1) x1 x 64 4m 64 m 4 (thỏa mãn (*)) Trường hợp 2: Nếu x1 x trái dấu thì: x1x m m m m 3 2 m (**) 2 Khi (1) x1 x 4x1x 64 4m m m 64 m 16 m 10 (không thỏa mãn điều kiện (**) Kết luận: m 0,25 2b) (1,0 điểm) x y 2x y x y 2xy 3x (1) 2017 y 3m (2) y x Ta có (1) x y x y 2x y 2xy 3x x xy 1 V« lý (x 1) x y 2xy 0,25 TuhocOnline.edu.vn Thay x = vào phương trình (2) ta y y 3m (3) Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì: 3m 1 12m m Theo đề bài: x y x y1 y1 y y1y (4) x1 x theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có : y1 y2 thay vào (4) ta có: 3m m (thỏa mãn) y y 3m 0,25 0,25 Với m Kết luận: m = 3a) (1,0 điểm) Ta có (a + b2) (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k * a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với m ka – b ¥ * m + b = ka2 (2) Từ (1) (2) suy ra: mb m b a k ka (m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + – ka) (3) 0,25 0,25 * Do m, b ¥ m – 1 b – 1 Vì từ (3) suy ra: (a + 1)(k + – ka) Lại a > nên suy ra: k + – ka k(a – 1) ¥ Vì a – 0, k > nên k a – 1 vµ k a –1 a k(a 1) a k(a 1) k 0,25 Với a = Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = Bài (2 điểm) m b k.a a b m b k.a a b 0,25 Vậy, trường hợp ta hai cặp a = 1; b = a = 1; b = b Với a = k = Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = m Khi b = 1, ta được: a = 2, b = Khi m = 1: từ (1) suy a + k = b b = Khi đó: a = 2, b = Vậy có cặp số (a; b) thỏa mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1) 3b) (1,0 điểm) 0,25 TuhocOnline.edu.vn Với x số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x 1 x2 x 1 x2 x x 1 x x 2 (*) x 1 x 0,25 Dấu “ =” xảy x = Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: a3 a3 b c 3 bc 1 a a3 Suy ra: a3 b c 2 bc 2 a 2a b c 2a 0,25 2a a2 (1) 2 2 b c 2a a b c Tương tự ta có: b3 b3 a c c 3 c3 a b b2 (2) a b2 c2 0,25 c (3) a b2 c2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 a3 b c Bài (3 điểm) b3 b3 a c Dấu “=” xảy a = b = c Hình vẽ: 4a) (1,5 điểm) c3 c3 a b 1 0,25 TuhocOnline.edu.vn Gọi I trung điểm BC suy IO BC · · · ABN đồng dạng với ANC (Vì ANB , CAN chung) ACN AB AN AB.AC = AN2 AN AC ANO vuông N, đường cao NH nên AH.AO = AN2 AB.AC = AH.AO (1) AHK đồng dạng với AIO (g.g) Nên AH AK AI AK AH AO (2) AI AO Từ (1) (2) suy AI.AK AB.AC AK AB AC AI ME MH MQ DQ MP MH MH PMH đồng dạng MQH (g.g) MQ QH 2DQ MP ME ME = MP P trung điểm ME MQ MQ Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) 0,25 0,5 Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK không đổi Mà A cố định, K giao điểm BC MN nên K thuộc tia AB K cố định (đpcm) 4b) (1,5 điểm) Bài (1,0 điềm) 0,50 0,25 0,50 0,50 0,50 Giả sử A = a1;a ;a 3; ;a 21 với a1; a ; a 3; ; a 21 ¢ Bài (1 điểm) a1 a a a 21 Theo giả thiết ta có a1 a a a11 a12 a13 a 21 a1 a12 a a13 a a 21 a11 (1) Mặt khác với x; y Z y x y x a12 a 10, a13 a 10, ,a 21 a11 10 (2) Nên từ (1) suy a1 10 + 10 + +10 = 100 mà a1 nhỏ 101 A a1 =101 Ta có 101 a12 a a13 a a 21 a 11 100 a12 a a13 a a 21 a11 100 0,25 0,25 Kết hợp với (2) a12 a a13 a a 21 a11 10 (3) 10 a12 a (a12 a11 ) (a11 a10 ) (a a ) 10 a12 a11 a11 a10 a a (4) Ta có a1 =101 mà 102 A a 102 Kết hợp với (3) (4) suy A = 101;102;103; ;121 - Hết 0,25 0,25 ... ·NMF TuhocOnline.edu.vn PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: Mơn: Tốn Ngày thi: (Thời gianlàm bài: 150 phút - Đề thi có 01 trang) Bài 1(3 điểm): a) Tìm nghiệm tự... 4 198 9 n 27 Vì A 227 số phương nên 4 198 9 4n 27 số phương Ta có 4 198 9 4n27 > 4n 27 (2 n 27 ) *mà 4 198 9 4n27 số phương nên ta có 0,5 n 27 1 2n 27 2 397 7 ... TuhocOnline.edu.vn (Cán coi thi không giải thích thêm) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Năm học MƠN: Tốn (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: - Thí sinh