PAGE Giaovienvietnam 500 BÀI TOÁN LỚP 5 CHỌN LỌC Bài 1 Số có 1995 chữ số 7 khi chia cho 15 thì phần thập phân của thương là bao nhiêu? Giải Gọi số có 1995 chữ số 7 là A Ta có Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 Tổng các chữ số của A là 1995 x 7 Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995 x 7 chia hết cho 3 Do đó A = 777 77777 chia hết cho 3 1995 chữ số 7 Một số hoặc chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 cho số dư là 1 hoặc 2 Chữ số tận cùng của A là 7 không chia hết cho 3, nhưng A ch[.]
Giaovienvietnam 500 BÀI TOÁN LỚP CHỌN LỌC Bài 1: Số có 1995 chữ số chia cho 15 phần thập phân thương bao nhiêu? A A A A = × = × 0,2 Giải: Gọi số có 1995 chữ số A Ta có: 15 Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho Tổng chữ số A 1995 x Vì 1995 chia hết 1995 x chia hết cho Do A = 777 77777 chia hết cho 1995 chữ số Một số chia hết cho chia cho cho số dư Chữ số tận A không chia hết cho 3, A chia hết phép chia A cho số cuối chia cho phải 27 Vậy chữ số tận thương phép chia A cho 9, mà x = 18, số A/3 x 0,2 số có phần thập phân Vì chia A = 777 77777 cho 15 thương có phần thập phân 1995 chữ số Nhận xét : Điều mấu chốt lời giải toán việc biến đổi A/15 = A/3 x 0,2 Sau chứng minh A chia hết cho tìm chữ số tận thương phép chia A cho Ta mở rộng toán tới toán sau : Bài (1* ): Tìm phần thập phân thương phép chia số A cho 15 biết số A gồm n chữ số a A chia hết cho ? Nếu kí hiệu A = aaa aaaa giả thiết A chia hết cho (tức n x a chia hết cho 3), n chữ số a tương tự cách giải tốn ta tìm phần thập phân thương chia A cho 15 sau : - Với a = phần thập phân (A = 111 1111 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 222 2222 , với n chia hết cho 3) Giaovienvietnam n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 333 3333 , với n tùy ý) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 444 4444 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 555 5555 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 666 6666 , với n tùy ý) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 777 7777 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 888 8888 , với n chia hết cho 3) n chữ số - Với a = phần thập phân (A = 999 9999 , với n tùy ý) n chữ số Trong tốn (1*) số chia 15 Bây ta xét tiếp ví dụ mà số chia khơng phải 15 Bài Tìm phần thập phân thương phép chia số 111 1111 cho 36? 2007 chữ số Giải Đặt A = 111 1111 2007 chữ số Ta có: A A A = × = × 0,25 36 9 Vì 0,25 có hai chữ số phần thập phân nên ta tìm hai chữ số tận thương phép chia A cho Một số chia hết cho tổng chữ số số chia hết cho Tổng chữ số A 2007 x = 2007 Vì 2007 chia hết A = 111 1111 chia hết cho 2007 chữ số Giaovienvietnam Một số chia hết cho chia cho cho số dư số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Chữ số tận A không chia hết cho 9, A chia hết phép chia A cho 9, bước cuối (ta gọi bước k) : số chia cho phải 81 Vậy chữ số tận thương phép chia A cho Cũng phép chia A cho 9, trước bước cuối (bước k - 1) : số chia cho cho số dư 71 thương ta số giáp số cuối Vậy hai chữ số tận thương phép chia A cho 79 A × 0,25 Do số = 79 X 0,25 = ,75 số có phần thập phân 75 Nhận xét: a) Vì số 0,25 có phần thập phân số có hai chữ số, nên ta tìm chữ số tận thương phép chia A cho sau nhân chữ số cuối với 0,25 kết khơng b) Cũng biến đổi 36 = 12 x 36 = x 6, nhiên việc tính tốn phức tạp nhiều trường hợp khơng thực Vận dụng: Tìm phần thập phân thương phép chia : a) Số 111 1111 cho 12 ? 2001 ch÷ sè b) Số 888 8888 cho 45 ? 2007 ch÷ sè c) Số 333 3333 cho 24 ? 1000000 ch÷ sè Bài 4: Cho mảnh bìa hình vng ABCD Hãy cắt từ mảnh bìa hình vng cho diện tích cịn lại diện tích mảnh bìa cho Giaovienvietnam Hướng dẫn giải tập Toán 4: Theo đầu hình vng ABCD ghép hình vng nhỏ tam giác (trong có tam giác to, tam giác con) Ta thấy ghép tam giác để tam giác to đồng thời ghép tam giác để hình vng nhỏ Vậy diện tích hình vng ABCD diện tích + x + x = 18 (tam giác con) Do diện tích hình vng ABCD : 18 x (10 x 10) / = 900 (cm2) Bài 5: Tuổi ông tuổi cháu 66 năm Biết tuổi ông năm tuổi cháu nhiêu tháng tính tuổi ơng tuổi cháu (tương tự Tính tuổi - thi Giải tốn qua thư TTT số 1) Giải Giả sử cháu tuổi (tức 12 tháng) ơng 12 tuổi Lúc ơng cháu : 12 - = 11 (tuổi) Nhưng thực ông cháu 66 tuổi, tức gấp lần 11 tuổi (66:11=6) Do thực tuổi ơng : 12 x = 72 (tuổi) Còn tuổi cháu : x = (tuổi) thử lại tuổi = 72 tháng ; 72 - = 66 (tuổi) Đáp số :Ông : 72 tuổi Cháu : tuổi Bài 6: Một vị phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo : "Thưa thầy, lớp có học sinh ?" Thầy cười trả lưòi :" Nếu có thêm số trẻ em số có thêm nửa số đó, lại thêm 1/4 số đó, thêm quý vị (một lần nữa) vừa trịn 100" Hỏi lơp có học sinh ? Giải: Theo đầu tổng tất số HS tất số HS 1/2 số HS 1/4 số HS lớp : 100 - = 99 (em) Để tìm số HS lớp ta tìm trước 1/4 số HS lớp Giả sử 1/4 số HS lớp em lớp có HS Vậy : 1/4 số HS lứop : : = (em) Suy tổng nói : + + + = 11 9em) Giaovienvietnam Nhưng thực tế tổng phải 99 em, gấp lần 11 em (99 : 11 = 9) Suy số HS lớp : x = 36 (em) Thử lại: 36 + 36 = 36/2 + 36/4 + = 100 Đáp số: 36 học sinh Bài 7: Tham gia hội khoẻ Phù Đổng huyện có tất 222 cầu thủ thi đấu hai mơn: Bóng đá bóng chuyền Mỗi đội bóng đá có 11 người Mỗi đội bóng chuyền có người Biết có thảy 27 đội bóng, tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền Giải Giả sử có đội bóng đá, số đội bóng chuyền là: 27 - = 20 (đội bóng chuyền) Lúc tổng số cầu thủ là: x 11 + 20 x = 197 (người) Nhưng thực tế có tới 222 người nên ta phải tìm cách tăng thêm: 222 - 197 = 25 (người), mà tổng số dội không đổi Ta thấy thay dội bóng chuyền đội bóng đá tổng số đội không thay đổi tổng số người tăng thêm: 11 - = (người) Vậy muốn cho tổng số người tăng thêm 25 số dội bống chuyền phải thay đọi bóng đá là: 25 : = (đội) Do đó, số đội bóng chuyền là: 20 - = 15 (đội) Còn số đội bống đá là: + = 12 (đội) Đáp số: 12 đội bóng đá, 15 đội bóng chuyền Bài 8: Số gà nhiều số thỏ 28 Số chân gà nhiều số chân thỏ 40 chân Hỏi có gà, thỏ? Giải Giả sử có 10 thỏ, có: 10 + 28 = 38 (con) Số chân gà là: 38 x = 76 (chân) Số chân thỏ là: 10 x = 40 (chân) Hiệu số chân gà thỏ là: 76 - 40 = 36 (chân) Vì thực tế số chân gà số chân thỏ tới 40 chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu trên: 40 - 36 = (chân) Giaovienvietnam Ta thấy bớt thỏ gà hiệu số gà thỏ không thay đổi song hiệu số chân gà thỏ tăng thêm: - = (chân) Để hiệu số chân tăng thêm số thỏ gà phải bớt : : = (con) Vậy số thỏ là: 10 - = (con thỏ) Số gà là: 38 - = 36 (con gà) Đáp số : 36 gà thỏ Bài 9: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ Sau từ B A với vận tốc 45 km/giờ Tính quãng đường AB biết thời gian từ B A thời gian từ A đến B 40 phút Giải : Tỉ số vận tốc vận tốc quãng đường AB : 30 : 45 = 2/3 Vì quãng đường nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số thời gian thời gian 3/2 Ta có sơ đồ : Thời gian từ A đến B : 40 x = 120 (phút) Đổi 120 phút = Quãng đường AB dài : 30 x = 60 (km) Bài 10: Tích sau có tận chữ số nào? Bài giải Tích bốn thừa số x x x = 16 2003 : = 500 (dư 3) nên ta viết tích 2003 thừa số dạng tích 500 nhóm (mỗi nhóm tích bốn thừa số 2) tích ba thừa số cịn lại Vì tích thừa số có tận là số có tận nên tích 500 nhóm có tận Do x x = nên nhân số có tận với ta số có tận (vì x = 48) Vậy tích 2003 thừa số số có tận Giaovienvietnam Bài 11: Một người mang cam đổi lấy táo lê Cứ cam đổi táo lê, táo đổi lê Nếu người đổi hết số cam mang 17 táo 13 lê Hỏi người mang cam ? Bài giải cam đổi táo lê nên 18 cam đổi táo lê Vì táo đổi lê nên 18 cam đổi : + = (quả táo) Do cam đổi táo Cứ táo đổi lê nên 10 cam đổi lê Vậy cam đổi lê Số cam người mang để đổi 17 táo 13 lê : x 17 + x 13 = 99 (quả) Bài 12 : Tìm số tự nhiên cho lấy 1/3 số chia cho 1/17 số có dư 100 Bài giải Vì 17 x = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên cần tìm chia thành 51 phần Khi 1/3 số 51 : = 17 (phần) ; 1/17 số 51 : 17 = (phần) Vì 17 : = (dư 2) nên phần số có giá trị 100 suy số : 100 : x 51 = 2550 Bài 13 : Tuổi 1/2 hiệu tuổi bố tuổi Bốn năm trước, tuổi 1/3 hiệu tuổi bố tuổi Hỏi tuổi 1/4 hiệu tuổi bố tuổi tuổi người bao nhiêu? Bài giải Hiệu số tuổi bố không đổi Trước năm tuổi 1/3 hiệu này, năm : 1/2 - 1/3 = 1/6 (hiệu số tuổi bố con) Số tuổi bố : : 1/6 = 24 (tuổi) Khi tuổi 1/4 hiệu số tuổi bố tuổi là: 24 x 1/4 = (tuổi) Lúc tuổi bố : + 24 = 30 (tuổi) Bài 14 : Hoa có sợi dây dài 16 mét Bây Hoa cần cắt đoạn dây để có đoạn dây dài 10 mét mà tay Hoa có kéo Các bạn có biết Hoa Giaovienvietnam cắt không ? Bài giải Cách : Gập đôi sợi dây liên tiếp lần, sợi dây chia thành phần Độ dài phần chia : 16 : = (m) Cắt phần cịn lại phần Khi độ dài đoạn dây lại : x = 10 (m) Cách 2: Gập đôi sợi dây liên tiếp lần, sợi dây chia thành phần Độ dài phần chia : 16 : = (m) Đánh dấu phần chia đầu dây, phần đoạn dây cịn lại gập đơi lại, cắt phần đầu bên độ dài đoạn dây cắt : (16 - 4) : = (m) Do độ dài đoạn dây cịn lại : 16 - = 10 (m) Bài 15: Một ruộng hình chữ nhật chia thành mảnh, mảnh nhỏ trồng rau mảnh lại trồng ngơ (hình vẽ) Diện tích mảnh trồng ngơ gấp lần diện tích mảnh trồng rau Chu vi mảnh trồng ngô gấp lần chu vi mảnh trồng rau Tính diện tích ruộng ban đầu, biết chiều rộng mét Bài giải Diện tích mảnh trồng ngơ gấp lần diện tích mảnh trồng rau mà hai mảnh có chung cạnh nên cạnh cịn lại mảnh trồng ngơ gấp lần cạnh lại mảnh trồng rau Gọi cạnh lại mảnh trồng rau a cạnh cịn lại mảnh trồng ngơ a x Vì chu vi mảnh trồng ngô (P1) gấp lần chu vi mảnh trồng rau (P2) nên nửa chu vi mảnh trồng ngô gấp lần nửa chu vi mảnh trồng rau Nửa chu vi mảnh trồng ngô nửa chu vi mảnh trồng rau : a x + - (a + 5) = x a Giaovienvietnam Ta có sơ đồ : Độ dài cạnh cịn lại mảnh trồng rau : x : (5 x a - x a) = 7,5 (m) Độ dài cạnh cịn lại mảnh trồng ngơ : 7,5 x = 45 (m) Diện tích ruộng ban đầu : (7,5 + 4,5) x = 262,5 (m2) Bài 16: Tôi từ trường nhà với vận tốc km/giờ Về đến nhà đạp xe đến bưu điện với vận tốc 15 km/giờ Biết quãng đường từ nhà tới trường ngắn quãng đường từ nhà đến bưu điện km Tổng thời gian từ trường nhà từ nhà đến bưu điện 32 phút Bạn tính qng đường từ nhà tơi đến trường Bài giải Thời gian để km xe đạp : : 15 = 0,2 (giờ) Đổi : 0,2 = 12 phút Nếu bớt km quãng đường từ nhà đến bưu điện thời gian hai quãng đường từ nhà đến trường từ nhà đến bưu điện (đã bớt km) : 32 phút - 12 phút = 20 phút = 80 phút Vận tốc xe đạp gấp vận tốc : 15 : = (lần) Khi quãng đường không đổi, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên thời gian từ nhà đến trường gấp lần thời gian từ nhà đến thư viện (khi bớt km) Vậy : Thời gian từ nhà đến trường : 80 : (1 + 3) x = 60 (phút); 60 phút = Quãng đường từ nhà đến trường : x = (km) Bài 17 : Cho phân số : a) Có thể xóa tử số mẫu số số mà giá trị phân số không thay đổi không ? b) Nếu ta thêm số 2004 vào mẫu số phải thêm số tự nhiên vào tử số Giaovienvietnam để phân số không đổi ? Bài giải = 45 / 270 = 1/6 a) Để giá trị phân số không đổi ta phải xóa số mẫu mà tổng gấp lần tổng số xóa tử Khi tổng số cịn lại mẫu gấp lần tổng số cịn lại tử Vì đổi vai trị số bị xóa với số cịn lại tử mẫu ta có thêm phương án xóa Có nhiều cách xóa, ví dụ: Số số bị xóa mẫu tăng dần tổng chia hết cho 6: mẫu xóa 12 tử xóa ; mẫu xóa 18 tử xóa xóa 1, ; mẫu xóa 24 xóa 11, 13 tử xóa xóa 1, ; mẫu xóa 12, 18 13, 17 14, 16 tử xóa 2, 1, ; mẫu xóa 12, 24 11, 25 13, 23 14, 22 15, 21 16, 20 17, 19 tử xóa 1, 2, 1, 2, ; mẫu xóa 18, 24 17, 25 19, 23 20, 22 11, 13, 18 12, 13, 17 11, 14, 17 11, 15, 16 12, 14, 16 13, 14, 15 tử xóa 1, 2, 3, 1, 2, ; b) Để giá trị phân số không đổi, ta thêm số vào tử 1/6 số thêm vào mẫu Vậy thêm 2004 vào mẫu số phải thêm vào tử : 2004 : = 334 Bài 18 : Người ta lấy tích số tự nhiên liên tiếp từ đến 30 để chia cho 1000000 Bạn cho biết : 1) Phép chia có dư khơng ? 2) Thương số tự nhiên có chữ số tận ? Bài giải : Xét tích A = x x x x 29 x 30, thừa số chia hết cho 5, 10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = x coi có thừa số chia hết cho Mỗi thừa số nhân với số chẵn cho ta số có tận số Trong tích A có thừa số số chẵn không chia hết cho : 2, 4, 6, 8, 12, , 26, 28 (có 12 số) Như vật tích A có cặp số có tích tận 0, tích A có tận chữ số 10 Giaovienvietnam Bài giải : Ta chia bìa thành vng nhỏ hình vẽ sau : Nhìn hình vẽ ta thấy tổng số ô vuông nhỏ 18 Do chia bìa thành phần giống hệt hình dạng phần có số : 18 : = (ơ) hình dạng phần phải có dạng hình chữ L Ta có cách chia sau : (cắt theo đường màu) Bài 144 : Cho dãy số chẵn liên tiếp : ; ; ; ; ; 998 ; 1000 Sau điền thêm dấu + dấu - vào số theo ý mình, bạn Bình thực phép tính kết 2002 ; bạn Minh thực phép tính kết 2006 Ai tính ? Bài giải : Từ đến 1000 có : (1000 - 2) : + = 500 (số chẵn) Tổng số : N = (1000 + 2) x 500 : = 250500 Số chia hết cho Khi thay + a thành - a N bị giảm a x số chia hết cho Do kết cuối phải số chia hết cho Bình tính 2002, Minh tính 2006 số khơng chia hết cho Vậy hai bạn tính sai Bài 145 : Trường Tiểu học Xuân Đỉnh tham gia hội khỏe Phù Đổng, có 11 học sinh đoạt giải, có em giành giải, có em giành giải có em giành người giải Hỏi trường giành giải ? Bài giải : Có 11 em đoạt giải, có em giành giải nên số học sinh giành em giải : 11 - = (em) Có em giành giải, có em giành 81 Giaovienvietnam giải nên số em giành em giải : - = (em) Có em giành giải có có em giành em giải nên số em giành em giải : - = (em) Số em giành từ đến giải : + + + = 11 (em) Do khơng có em giành nhiều giải Vậy số giải mà trường giành : x + x + x + x = 23 (giải) Bài 146 : Tính nhanh tổng sau : Bài giải : Đặt tổng A ta có : Bài 147 : Tìm số tự nhiên a để biểu thức : A = 4010 - 2005 : (2006 - a) có giá trị nhỏ Bài giải : Để A có giá trị nhỏ số trừ 2005 : (2006 - a) có giá trị lớn không vượt 4010 Để 2005 : (2006 - a) có giá trị lớn số chia (2006 - a) có giá trị nhỏ lớn Vậy 2006 - a = a = 2006 - a = 2005 82 Giaovienvietnam Bài 148 : Một lớp có 29 học sinh Trong lần kiểm tra tả bạn Xn mắc lỗi, cịn bạn lớp mắc lỗi Chứng minh : Trong lớp có bạn có số lỗi (kể trường hợp số lỗi 0) Bài giải : Vì bạn lớp có lỗi Xn, nên bạn có số lỗi từ đến Trừ Xuân số bạn lại : 29 - = 28 (bạn) Nếu chia bạn lại thành nhóm theo số lỗi tối đa có nhóm Nếu nhóm có khơng q bạn nhóm có khơng q x = 27 (bạn) Điều mâu thuẫn với số bạn lại 28 bạn Chứng tỏ phải có nhóm có bạn tức lớp có có bạn có số lỗi Bài 149 : Hợp tác xã Hịa Bình dự định xây dựng khu vui chơi cho trẻ em xã Vì họ mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để diện tích gấp ba lần diện tích ban đầu Chiều rộng mảnh đất tăng lên gấp đôi nên phải mở rộng thêm chiều dài Khi mảnh đất trở thành hình vng Hãy tính diện tích khu vui chơi Biết chu vi mảnh đất ban đầu 56 m Bài giải : Gọi mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu ABCD, mở rộng mảnh đất hình chữ nhật để mảnh đất hình vng APMN có cạnh hình vng gấp lần chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật ABCD diện tích gấp lần diện tích mảnh đất hình chữ nhật Khi diện tích mảnh đất hình chữ nhật ABCD, DCHN, BPMH Mảnh đất hình chữ nhật BPMH có độ dài cạnh BH gấp lần độ dài cạnh AD nên 83 Giaovienvietnam Nửa chu vi mảnh đất ban đầu 56 m nên AD + AB = 56 : = 28 (m) Ta có : Chiều rộng mảnh đất ban đầu (AD) : 28 : (3 + 4) x = 12 (m) Cạnh hình vng APMN : 12 x = 24 (m) Diện tích khu vui chơi : 24 x 24 = 576 (m2) Bài 150 : Cho (1), (2), (3), (4) hình thang vng có kích thước Biết PQ = cm Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Bài giải : Vì hình thang vng PQMA, QMBC, QPNC, PNDA nên : MQ = NP = QP = cm CN = AD Mặt khác AD = NP + QM = + = (cm) Do : CN = AD = cm Diện tích hình thang vng PQCN : (CN + PQ) x NP : = (8 + 4) x : = 24 (cm2) Suy : Diện tích hình chữ nhật ABCD : 24 x = 96 (cm2) Bài 151 : Một ô tô dự định từ C đến D Do thời tiết xấu nên vận tốc ô tơ giảm 14 km/giờ đến D muộn so với thời gian dự định Tính quãng đường CD 84 Giaovienvietnam Giải : Thời gian ô tô thực quãng đường CD : + = (giờ) Tỉ số thời gian dự định thời gian thực : = 3/4 Vì qng đường CD khơng đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số vận tốc dự định (vdự định) vận tốc thực (vthực đi) 4/3 Nếu vdự định vthực tính theo đơn vị km/giờ ta có sơ đồ sau : Vận tốc dự định quãng đường CD : 14 x = 56 (km/giờ) Quãng đường CD dài : 56 x = 168 (km) Bài 152 : Một ca nơ xi dịng từ A đến B hết ngược dòng từ B A hết Tính khoảng cách AB biết vận tốc dịng nước km/giờ Phân tích : Đây tốn chuyển động dịng nước Ngồi giả thiết mà toán cho, cần biết thêm kiến thức chuyển động dòng nước sau : Vận tốc xi dịng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dịng nước Từ ta có : Vận tốc xi dịng - Vận tốc ngược dịng = x Vận tốc dịng nước Bài tốn cho biết vận tốc dịng nước nên ta tính hiệu vận tốc xi dịng ngược dịng Biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng ta dựa vào tìm tỉ số vận tốc đưa dạng tốn tìm số biết hiệu tỉ Giải : Hiệu vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng lần vận tốc dịng nước nên hiệu : x = (km/giờ) Tỉ số thời gian xi dịng thời gian ngược dịng : = 5/6 Vì qng đường không đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Do tỉ số vận tốc xi dịng ngược dịng 6/5 85 Giaovienvietnam Ta có sơ đồ : Vận tốc xi dịng : x = 36 (km/giờ) Quãng đường AB : 36 x = 180 (km) Bài 153 : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm AB CD Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác) Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC) Suy dt (DCM) = x dt (AMD) Gọi CH AE chiều cao tam giác DCM DAM xuống đáy DM, CH = x AE Nhưng CH AE chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC Do AI = IK = KC Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích Bài 154: Cho tam giác ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho : AB = x AM, AC = x AN Gọi I điểm cạnh BC a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN b) Chứng tỏ đoạn thẳng BN, CM, AI cắt điểm 86 Giaovienvietnam Giải : a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B) Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN) Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN) Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I) Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO) Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO) Do dt (BAO) = dt (CAO) Hai tam giác BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai tam giác BOK COK có chung đáy OK, dt (BOK) = dt (COK) Mà hai tam giác BOK tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O 87 Giaovienvietnam Bài 155: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua vua ban thưởng cho cam vườn thượng uyển, phải tự vào vườn hái Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ơng vào lúc ông phải biếu ta nửa số cam, thêm nửa quả” Qua cổng thứ hai thứ ba lính canh giao hẹn Hỏi để có cam mang viên quan phải hái cam vườn? Giải: Số cam viên quan cịn lại sau cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là: Số cam viên quan cịn lại sau cho lính gác cổng thứ ba (cổng cùng) là: Số cam viên quan phải hái vườn là: Vậy để có cam mang viên quan phải hái 15 vườn Đáp số: 15 cam Bài 156: Có giống bèo ngày lại nở tăng gấp đôi Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ bèo 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ Vậy ban đầu cho vào 16 bèo ngày sau bèo phủ kín mặt hồ? Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số bèo mặt hồ: 88 Giaovienvietnam Nhìn vào bảng ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 bèo ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ Bài 157 : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 ; lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng cây? Phân tích : Bài tốn cho số lớp 4D khơng trung bình cộng số c lớp mà trung bình cộng số bốn lớp Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có : Tổng số lớp 4A ; 4B ; 4C thêm lần trung bình cộng số lớp Từ ta tìm số lớp 4D Giải : Theo ta có sơ đồ: Nhìn vào sơ đồ ta có trung bình cộng số lớp : (21 + 22 + 29 + 3) : = 25 (cây) Số lớp 4D trồng : 25 + = 28 (cây) Nhận xét : Nếu có số a ; b ; c số chưa biết x mà x lớn trung bình cộng 89 Giaovienvietnam số a ; b ; c ; x n đơn vị trung bình cộng bốn số là: (a + b + c + n) : hay (a + b + c + x) : = (a + b + c + n) : (Vận dụng giải tập sau: Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 Lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng cây?) Bài 158 : Hưng xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12 km/giờ Sau trở với vận tốc 10 km/giờ Tính quãng đường từ nhà lên huyện biết thời gian lúc lâu lúc 10 phút Giải Nhận xét : Ta thấy Hưng đoạn đường từ nhà lên huyện Do thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc lúc vận tốc lúc tỉ số vận tốc lúc lúc 12/10 = 6/5 Vậy tỉ số thời gian thời gian 5/6 Mà thời gian lúc lâu lúc 10 phút hay nhiều 10 phút Từ ta có sơ đồ : Thời gian lúc hết :10 : (6 - 5) x = 60 (phút) Đổi : 60 phút = Quãng đường từ nhà lên huyện : 10 x = 10 (km) Đáp số : 10 km Bài 159 : Cho tam giác ABC có diện tích 75 cm2 Trên BC lấy M cho BM = 2/3 BC Tính diện tích tam giác ABM Nhận xét : Ta thấy tam giác ABM tam giác ABC có chiều cao AH ; hai đáy tương ứng BM BC Do đáy diện tích hai đại lượng tỉ lệ thuận với tỉ số hai đáy : BM/BC = 2/3 Vậy tỉ số diện tích hai tam giácABM ABC 2/3 Vì diện tích tam giác ABC 75 cm2, nên diện tích tam giác ABM : 90 Giaovienvietnam 75 : x = 50 (cm2) Đáp số : 50 cm2 Bài 160: Cô giáo xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp 4A Nếu xếp bàn bạn thiếu bàn Nếu xếp bàn bạn thừa bàn Hỏi lớp có bàn, học sinh ? Nhận xét : Số học sinh không đổi nên số bàn số học sinh xếp bàn hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Số bàn cần có để xếp bạn bàn nhiều số bàn cần có để xếp bạn bàn : + = (bàn) Ở tỉ số số bạn xếp bàn bạn bàn bạn Do tỉ số số bàn xếp bàn bạn bàn bạn Vậy ta có sơ đồ : Số bàn cần đủ để xếp bạn bàn : : (5 - 4) x = 10 (bàn) Số bàn lớp 4A : 10 - = (bàn) Số học sinh lớp 4A : x + = 40 (học sinh) Đáp số : bàn ; 40 học sinh Bài 161: “Bạn Yến có bó hoa hồng đem tặng bạn lớp Lần đầu Yến tặng nửa số hồng thêm Lần thứ hai Yến tặng nửa số bơng hồng cịn lại thêm Lần thứ ba Yến tặng nửa số bơng hồng cịn lại thêm bơng Cuối Yến cịn lại bơng hồng dành cho Hỏi Yến tặng hồng ?” Bài giải *Cách : Ta có sơ đồ số bơng hồng : Số bơng hồng cịn lại sau Yến tặng lần thứ hai : (1 + 3) x = (bơng) Số bơng hồng cịn lại sau Yến tặng lần thứ : ( + 2) x = 20 (bông) Số bơng hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông) 91 Giaovienvietnam Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông) Đáp số : 41 hồng *Cách : Gọi số hồng lúc đầu Yến có a Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ : a : - (bơng hồng) Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ hai : (a : - 1) : - (bông hồng) Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ ba : ((a : - 1) : - 2) : (bông hồng) Theo đề ta có : ((a : - 1) : - 2) : - = (bông hồng) ((a : - 1) : - 2) : = + (bông hồng) ((a : - 1) : - 2) : = (bông hồng) (a : - 1) : - = x (bông hồng) (a : - 1) : - = (bông hồng) (a : - 1) : = + (bông hồng) (a : - 1) : = 10 (bông hồng) a : - = 10 x (bông hồng) a : - = 20 (bông hồng) a : = 20 + (bông hồng) a : = 21 (bông hồng) a = 21 x (bông hồng) a = 42 (bông hồng) Số hồng mà Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng) Đáp số : 41 hồng *Cách : Biểu thị : A số hồng lúc đầu Yến có B số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ C số hồng lại sau cho lần thứ hai Ta có lưu đồ sau : 92 Giaovienvietnam Số bơng hồng lại sau Yến cho lần thứ : (1 + 3) x = (bông hồng) Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho lần thứ : (8 + 2) x = 20 (bơng hồng) Số bơng hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông hồng) Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng) Đáp số : 41 hồng Nhận xét : Cách giải cách giải thông thường mà học sinh tiểu học lựa chọn để giải Mục đích việc vẽ sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy mối liên hệ toán Tuy nhiên, em học sinh giỏi việc vẽ sơ đồ không cần thiết em thành thạo Đối với cách giải 2, nhiều người cho rằng, giải cách không vừa sức học sinh tiểu học Điều khơng đúng, thực học sinh cần vận dụng kiến thức học chương trình tiểu học tìm thành phần chưa biết phép tính vào kiện cho để đưa lời giải Ví dụ bước 1, học sinh thực tìm số bị trừ biết số trừ hiệu, bước học sinh thực tìm số bị chia biết thương số chia v.v Ở cách giải 3, thấy cho nửa số bơng hồng Yến có cịn lại nửa số bơng hồng Sau lại cho thêm bơng hồng nữa, nghĩa số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ nửa số hồng lúc đầu bớt Tương tự số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai nửa số bơng hồng sau cho lần thứ bớt bơng hồng dành cho Yến nửa số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai bớt bơng Tới đây, muốn tìm C ta lấy (1 + 3) x Tương tự, ta tìm số bơng hồng lúc đầu Yến có (A) Bài 162: Hãy cho biết 2/7 75 bao nhiêu? Giải :Ta có sơ đồ: 2/5 75 : 75 : x = 30 hay 75 x 2/5 = 30 93 Giaovienvietnam Bài 163 : Tìm 3/4 5/6 Giải : Ta có sơ đồ : 3/4 5/6 : 5/6 : x = 5/8 hay 5/6 x 3/4 = 5/8 Bài 164 : Biết 2/3 số 20 Hãy tìm số Giải : Ta có sơ đồ : Số cần tìm : 20 : x = 30 hay 20 : 2/3 = 30 Bài 165: Biết 8/9 số 2/3 Tìm số Giải : Ta có sơ đồ : Số cần tìm : 2/3 : x = 3/4 hay 2/3 : 8/9 = 3/4 Bài 166 : Có tất 720 kg gạo gồm loại : 1/6 số gạo gạo thơm, 3/8 số gạo gạo nếp, lại gạo tẻ Tính số kg gạo loại Giải : 1/6 số gạo gạo thơm, nên khối lượng gạo thơm :720 x 1/6 = 120 (kg) 3/8 số gạo gạo nếp, nên khối lượng gạo nếp : 720 x 3/8 = 270 (kg) Khối lượng gạo tẻ : 720 - (120 + 270) = 330 (kg) Đáp số : 120 kg, 270 kg, 330 kg Bài 167 : Một người bán cam,buổi sáng bán 3/5 số cam mang đi, buổi chiều bán thêm 52 số cam lại 1/8 số cam bán Tính số cam mà người mang bán Giải : Số cam lại 1/8 số cam bán, hay 1/9 số cam mà người mang bán Số cam buổi chiều người bán - (3/5 + 1/9) = 13/45 số cam mang Số cam buổi chiều người bán 52 nên số cam người mang chợ : 52 : 13/45 = 180 (quả) 94 Giaovienvietnam Bài 168 : Ba người chia số tiền Người thứ (NT1) lấy 1/4 số tiền bớt lại 50000 đồng, người thứ hai (NT2) lấy 3/5 số tiền lại bớt lại 40000 đồng Người thứ ba lấy 240000 đồng vừa hết Số tiền đem chia ? Giải : Ta có sơ đồ sau : 2/5 số tiền lại sau người thứ lấy : 240000 - 40000 = 200000 (đồng) Số tiền lại sau người thứ lấy : 200000 : 2/5 = 500000 (đồng) 3/4 tổng số tiền : 500000 - 50000 = 450000 (đồng) Tổng số tiền : 450000 : 3/4 = 600000(đồng) Đáp số : 600000 đồng 95 ... + 0) x = 5x 2-4 +3+0=9 45 : - - = (9 + - 3) x = 40 (4 + 5) : + + = : - ( - + 2) = - : (4 + 5) - = : (4 + 5) + + = (9 + 5) : - + = + : (5 - 2) + = 5+ 2-9 : 3-0 =4 (9 : + 0) + - = (9 + 3) : + + = ... 12300 - (3 456 + 654 3) = 2301 (loại, số có chữ số khác với 3, 4, 5, 6) - Nếu a = số thứ 456 7, số thứ hai 7 654 Số thứ ba là: 12300 - ( 456 7 + 7 654 ) = 79 (loại) Vậy số mà cu Tí viết : 23 45, 54 32, 452 3... tỉ số 45/ 1 35 = ( 45 - k)/(1 35 - kx3)(k số tự nhiên nhỏ 45) Do tử số M bớt ; ; tương ứng mẫu số phải bớt 12 ; 15 ; 18 Bài 55 : Chỉ có ca Đựng đầy vừa lít Bạn mau cho biết Đong nửa lít ? Bài giải