CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC Giaovienvietnam com CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1) Khái niệm Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói[.]
Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ TÌM GTLN, GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói 2) Phương pháp a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần: + Chứng minh A k với k số + Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần: + Chứng minh A k với k số + Chỉ dấ “=” xẩy với giá trị biến Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A B.Các tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x + Giải a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – - A = - x = 4 9 x) + = - 5(x2 + 2.x + ) + = - 5(x + )2 5 25 5 5 max B = x = 5 b) B = - 5(x2 + b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > b) Tìm max P a < b x) + c = a(x + a b b2 Đặt c = k Do (x + ) nên: 2a 4a b a) Nếu a > a(x + ) P 2a b b) Nếu a < a(x + ) P 2a Giải Ta có: P = a(x2 + b b2 ) + (c ) 2a 4a b 2a b k max P = k x = 2a k P = k x = - II Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = (3x – 1)2 – 3x - + đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 + A = y = b) B = x - + x - x = 3x - = 3x - = x = - 3x = Giaovienvietnam.com B= x-2 + x-3 =B= x-2 + 3-x x-2 +3-x =1 B = (x – 2)(3 – x) x 2 2) Ví dụ 2: Tìm GTNN C = x - x + x - x - 2 2 2 Ta có C = x - x + x - x - = x - x + + x - x x - x + + + x - x = C = (x2 – x + 1)(2 + x – x2) + x – x2 x2 – x – (x + 1)(x – 2) - x 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) Và x x x x x x = (2) Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| + = Ta có từ (1) Dấu xảy x (2) Dấu xảy x Vậy T có giá trị nhỏ x III.Dạng 3: Đa thức bậc cao 1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36 Min A = - 36 y = x2 – 7x + = (x – 1)(x – 6) = x = x = b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + x - y = x=y=1 x - = = (x – y)2 + (x – 1)2 + c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta có C + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Đặt x – = a; y – = b b b 3b b2 3b C + = a + b + ab = (a + 2.a + ) + = (a + ) + 2 4 Min (C + 3) = hay C = - a = b = x = y = 2 2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Đặt x + = y C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 + A = y = x = - b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 D = x = IV Dạng phân thức: Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN -2 2 2 = 9x - 6x + (3x - 1) 6x - - 9x 1 2 2 Vì (3x – 1)2 (3x – 1)2 + (3x - 1) (3x - 1) A Ví dụ : Tìm GTNN A = Giaovienvietnam.com A = - 1 3x – = x = Phân thức có mẫu bình phương nhị thức a) Ví dụ 1: Tìm GTNN A = 3x - 8x + x - 2x + +) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu 3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 = 3 A= Thì 2 Đặt y = x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) x-1 A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + A = y = =1 x=2 x-1 +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)2 = 2 x - 2x + (x - 1)2 (x - 1)2 A = x – = x = x b) Ví dụ 2: Tìm GTLN B = x 20x + 100 x x 1 x = 10 Ta có B = x 20x + 100 (x + 10)2 Đặt y = y x + 10 1 1 1 2 B = ( y 10 ).y = - 10y + y = - 10(y – 2.y y + )+ = - 10 y - + 20 400 40 40 40 10 1 y x = 10 Max B = =0 y= 40 10 10 x + y2 c) Ví dụ 3: Tìm GTNN C = x + 2xy + y (x + y)2 (x - y)2 2 x + y 1 (x - y) A = x = y Ta có: C = x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y) 2 A= Các phân thức có dạng khác a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A = - 4x x2 1 - 4x (4x 4x 4) (x 1) (x - 2) 1 A = - x = x2 1 x2 1 x 1 - 4x (4x 4) (4x + 4x + 1) (2x 1) max A = x = Ta lại có: A = 2 x 1 x 1 x 1 Ta có: A = C Tìm GTNN, GTLN biểu thức biết quan hệ biến 1) Ví dụ 1: Cho x + y = Tìm GTNN A = x3 + y3 + xy Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai Từ x + y = x = – y nên A = (1 – y)2 + y2 = 2(y2 – y) + 1 1 1 1 A = 2(y – 2.y + ) + = y - + Vậy A = x = y = 2 2 2 b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A Giaovienvietnam.com Từ x + y = x + 2xy + y = 1(1) Mặt khác (x – y) x – 2xy + y2 (2) 2 Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có: 2(x2 + y2) x2+y2 1 A= x= y = 2 2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz Giải: Từ Cho x + y + z = Cho (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1) Ta có x + y + z - xy – yz – zx = ( x + y + z - xy – yz – zx) 2 2 = ( x y) ( x z ) ( y z ) x + y + z xy+ yz + zx (2) Đẳng thức xẩy x = y = z a) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 A = x = y = z = b) Từ (1) (2) suy = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) xy+ yz + zx max B = x = y = z = 3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x + y + z = 1 Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Cơsi ta có: x+ y + z 3 xyz xyz xyz 27 áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y y z z x 3 x y y z x z 3 x y y z z x 8 S 27 27 729 Vậy S có giá trị lớn x = y = z = 729 Dấu xảy x = y = z = 4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z) 2 Ta có xy yz zx x y z x y z (1) x4 y z áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) (1,1,1) Ta có ( x y z )2 (12 12 12 )( x y z ) ( x y z )2 3( x y z ) Từ (1) (2) 3( x y z ) x y z Vậy x y z có giá trị nhỏ 3 x= y = z = 3 D Một số ý: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến Ví dụ : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2… Giaovienvietnam.com 2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị: +) -A lớn A nhỏ ; +) +) C lớn C2 lớn Ví dụ: Tìm cực trị A = lớn B nhỏ (với B > 0) B x4 + x + 1 lớn nhất, ta có A 2 1 x + 1 2x 1 A = x = max A = x = A x +1 x +1 2 b) Ta có (x – 1) x4 - 2x2 + x4 + 2x2 (Dấu xẩy x2 = 1) 2x 2x 1 max Vì x4 + > = x2 = A x +1 x +1 A = x= 1 a) Ta có A > nên A nhỏ 3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị để để tìm GTNN, GTLN tồn tập xác định biến y Ví dụ: Tìm GTLN B = - (x + y) a) xét x + y - Nếu x = A = - Nếu y A - Nếu y = x = A = b) xét x + y A So sánh giá trị A, ta thấy max A = x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 2x + 3y 26 x y 3x 3x x2 + y2 = x2 + = 52 13x2 = 52.4 x = Max A = 26 = y = Vậy: Ma x A = 26 x = 4; y = x = - 4; y = - 5) Hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn chúng Hai số có tích khơng đổi tổng chúng lớn chúng a)Ví dụ 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 không đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = x = x = - Khi A = 11 11 = 121 Max A = 121 x = x = - b) Ví dụ 2: Tìm GTNN B = (x + 4)(x + 9) x Giaovienvietnam.com (x + 4)(x + 9) x 13x + 36 36 x+ 13 x x x 36 36 36 36 x=6 Vì số x có tích x = 36 khơng đổi nên x + nhỏ x = x x x x 36 A= x+ 13 nhỏ A = 25 x = x Ta có: B = 6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức không cần giá trị để xẩy đẳng thức m n Ví dụ: Tìm GTNN A = 11 Ta thấy 11m tận 1, 5n tận Nếu 11m > 5n A tận 6, 11m < 5n A tận m = 2; n = thÌ A = 121 124 = A = 4, chẳng hạn m = 2, n = Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN - PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa dạng tổng Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có biểu thức chứa ẩn viết dạng tổng bình phương - Biến đổi phương trình dạng vế tổng bình phương biểu thức chứa ẩn; vế cịn lại tổng bình phương số nguyên (số số hạng hai vế nhau) Các ví dụ minh hoạ: - Ví dụ 1: Tìm x; y Z thoả mãn: x xy y 169 (1) x y x 144 25 (1) x xy y x 144 25 169 2 x y x 169 2 Từ (I) ta có: (II) Tương tự từ (II) ta có: x y 122 x y 132 x 5 x 5 x ; x 52 x y m2 y m22 y 13 x y 52 x y x 13 x 12 x 12 ; 2 y m 19 y m 29 y 26 x 12 x 13 5; 2 ; 5; 22 ; 5; ; 5; 22 ; 12; 19 ; 12; 29 Vậy x, y 12;19 ; 12; 29 ; 0;13 ; 0; 13 ; 13; 26 ; 13; 26 Ví dụ 2: Tìm x; y Z thoả mãn: x y x y (2) (2) x x y y 32 x x y y 34 x 1 y 1 52 32 x 1 32 x 2; x 1 y 1 52 y 3; y 2 x 1 52 x 3; x 2 y 1 32 y 2; y 1 Vậy x; y 2;3 ; 2; 2 ; 1;3 ; 1; 2 ; 3; ; 3; 1 ; 2;2 ; 2; 1 Ví dụ 3: Tìm x; y Z thoả mãn: x3 y 91 (1) 2 2 (1) x y x xy y 91.1 13.7 (Vì x xy y ) x y x xy y x y x x 5 ; 2 x xy y 91 y y 6 91.1 x y 91 x xy y VN Ví dụ 4: Tìm x; y Z thoả mãn: x x y (2) Giaovienvietnam.com x x y x x y x 1 y x y 1 x xy 1 2 2 x y x x y y 2 x y 1 x 1 2 x y 1 y Vậy: x; y 0;0 ; 1;0 - PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp cực hạn Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình đối xứng - Vì phương trình đối xứng nên x; y; z có vai trị bình đẳng Do đó; ta giả thiết x y z ; tìm điều kiện nghiệm; loại trừ dần ẩn để có phương trình đơn giản Giải phương trình; dùng phép hoán vị để suy nghiệm Ta thường giả thiết x y z Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm x; y; z Z thoả mãn: x y z x y.z (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy phương trình đối xứng Giả sử x y z Khi đó: (1) x y.z x y z 3z x y (Vì x; y; z Z ) x y 1; 2;3 * Nếu: x y x y z z (vơ lí) * Nếu: x y x 1; y 2; z * Nếu: x y x 1; y z y (vơ lí) Vậy: x; y; z hoán vị 1; 2;3 1 Ví dụ 2: Tìm x; y; z Z thoả mãn: x y z (2) Nhận xét – Tìm hướng giải: Đây phương trình đối xứng Giả sử x y z Khi đó: 1 3 (2) x y z x x x 1 Với: x y z y y y 1; 2 z y z2 Nếu: Vậy: x; y; z hoán vị 1; 2; Nếu: y (vơ lí) - PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết Các ví dụ minh hoạ: x2 x Ví dụ 1: Tìm x; y Z để: A x x 1 nhận giá trị nguyên Giaovienvietnam.com x x x x 11 1 Khi đó: x x 1 x x 1 x x 1 Để A nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên x x 1 1M x x 1 x x 1 U 1 1;1 Ta có: A 2 x x 1 Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: x x 1 Ví dụ 2: Tìm x; y Z thoả mãn: y x x y x y x y (2) y x 1 x x 1 y x 1 * 2 Vì : x x 1 0; x ¢ x x Với: x 1; * x khơng phải ngiệm phương trình Nên: y2 x y ** x 1 x ¢ x 1 U (1) 1; 1 x 1 x Ví dụ 3: Tìm x; y Z thoả mãn: 3x y 1 (3) Phương trình có nghiệm ngun Ta có: (3) 3x y 1 y y 3x số lẻ y; y y; y y; y luỹ thừa 3, nên: hai số lẻ liên tiếp y 3m * m n x 3m 3n m n n y ** Với: m 0; n y 1; x y M3 y; y ( vô lí) y M3 Với: m 1; n Từ * ; ** x y 1 Phương trình có nghiệm ngun: - PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình mà hai vế đa thức có tính biến thiên khác - Áp dụng bất đẳng thức thường gặp: *Bất đẳng thức Cô – si: Cho n số không âm: a1 ; a2 ; a3 ; ; an Khi đó: a1 a2 a3 an n a1.a2 a3 .an Dấu “=” xảy a1 a2 a3 an n * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho 2n số thực: a1 ; a2 ; a3 ; ; an b1 ; b2 ; b3 ; ; bn Khi đó: a1.b1 a2 b2 a3 b3 an bn a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn Dấu “=” xảy kbi i 1; n Giaovienvietnam.com *Bất đẳng thứcgiá trị tuyết đối: a b a.b a b a b a.b Các ví dụ minh hoạ: x y y z z x Ví dụ 1: Tìm x; y Z thoả: z x y (1) Áp dụng BĐT Cô – si Ta có: x y y.z z.x x y y.z z.x 3 3 x y.z z x y z x y x y.z x y.z x y z Vậy nghiệm phương trình là: x y z Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình: x y 1 x y 1 (2) (Toán Tuổi thơ 2) Theo Bunhiacơpxki,ta có: x y 1 12 12 12 x y 1 x y 1 x y x y 1 1 Vậy nghiệm phương trình là: x y Ví dụ 3: Tìm tất số nguyên x thoả mãn: Dấu “=” xảy x x 10 x 101 x 990 x 1000 2004 (3) Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta nhận thấy: 2104 = + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 a a Ta có:(3) x 10 x x 101 x 990 x 1000 2004 3 x 3 x 10 x 10 x Mà a a x 101 x 101 2004 x 101 2003 x 101 x 990 x 990 x 1000 x 1000 Do đó: 1 x 101 x 101 1;0;1 x 102; 101; 100 Với x 101 2004 2003 (vơ lí) Vậy nghiệm phương trình là: x 102; 100 1) Tìm số nguyên x,y,z thoả mãn: x y z xy y z Vì x,y,z số nguyên nên x y z xy y z y2 3y2 x y z xy y z x xy y z z 2 y y x z 1 2 2 2 y y (*) Mà x z 1 2 2 x, y R Giaovienvietnam.com y x x 1 2 y y y x z 1 y 2 2 2 z 1 z 1 x 1 Các số x,y,z phải tìm y z 1 PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp lựa chọn Phương pháp: Phương pháp sử dụng với phương trình mà ta nhẩm (phát dể dàng) vài giá trị nghiệm - Trên sở giá trị nghiệm biết Áp dụng tính chất chia hết; số dư; số phương; chữ số tận … ta chứng tỏ với giá trị khác phương trình vơ nghiệm Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm x; y Z thoả mãn: x x3 y Nhận xét – Tìm hướng giải: Ta thấy với x 0; y 1 phương trình nghiệm Ta cần chứng minh phương trình vơ nghiệm với x + Với x 0; y 1 phương trình nghiệm + Với x Khi đó: 2 x x3 x6 3x3 x6 x3 x3 1 y x3 (*) Vì x 1 ; x hai số nguyên liên tiếp nên khơng có giá trị y thoả (*) Vậy x 0; y 1 nghiệm phương trình Ví dụ 2: Tìm x; y Z thoả: x x 32 y 1 (2) (Tạp chí Tốn học tuổi trẻ ) Gọi b chữ số tận x ( Với b 0;1; 2; ;9 Khi đó: x x 1 có chữ số tận là: 1, (*) y1 Mặt khác: luỹ thừa bậc lẻ nên có tận (**) Từ (*) (**) suy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: Tìm x; y Z thoả mãn: x xy 13 y 100 (3) 3 y 2 x 25 y (3) 2 25 y n n ¥ Do đó: y 5; 4; 3;0;3; 4;5 x 3;9;11;13 Phương trình có nghiệm nguyên: x; y 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3 PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang) Phương pháp: Phương pháp thường sử dụng với phương trình có (n – 1) ẩn mà hệ số có ước chung khác - Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) số tự do, để có phương trình đơn giản - Sử dụng linh hoạt phương pháp để giải phương trình Các ví dụ minh hoạ: Giaovienvietnam.com Ví dụ 1: Giải phương trình: x y z (1) Nhận xét – Tìm hướng giải: 3 3 3 3 Ta thấy x y z x y z M3 mà 3 y z M3 nên x3 M3 3 3 3 Ta có: (1) x y z M3 x M3 x M3 x 3x1 3 3 3 Khi đó: (1) 27 x1 y z M3 x1 y 3z M3 y M3 y M3 y y1 x13 27 y13 3z M3 z M z M3 y 3z1 * Tiếp tục biểu diễn gọi x0 ; y0 ; z0 nghiệm (1) U x ; y ; z x0 ; y0 ; z0 Thực thử chọn ta được: x0 y0 z0 Vậy nghiệm phương trình là: x0 y0 z0 0 0 ...Giaovienvietnam.com B= x-2 + x-3 =B= x-2 + 3-x x-2 +3-x =1 B = (x – 2)(3 – x) x 2 2) Ví dụ 2: Tìm GTNN C = x - x + x - x - 2 2 2 Ta có C = x - x + x - x - = x - x + + x - x x - x... GTNN mẫu đạt GTLN -2 2 2 = 9x - 6x + (3x - 1) 6x - - 9x 1 2 2 Vì (3x – 1)2 (3x – 1)2 + (3x - 1) (3x - 1) A Ví dụ : Tìm GTNN A = Giaovienvietnam.com A = - 1 3x – =... y = x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) x-1 A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + A = y = =1 x=2 x-1 +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm 3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x