www thuvienhoclieu com Giaovienvietnam com TRẮC NGHIỆM NHỊ THỨC NIU TƠN CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI I KIẾN THỨC 1 Nhị thức Niu‐tơn 2 Hệ quả Với , ta có Với , ta có 3 Chú ý Trong biểu thức ở vế phải của khai triển Số các hạng tử là ; Các hạng tử có số mũ của giảm dần từ đến ; số mũ của tăng dần từ đến , nhưng tổng các số mũ của và trong mỗi hạng tử luôn bằng (quy ước ; Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối đều bằng nhau II TRẮC NGHIỆM Câu 1 Tìm hệ số của trong khai triển A B C[.]
Giaovienvietnam.com TRẮC NGHIỆM NHỊ THỨC NIU-TƠN CÓ ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI I KIẾN THỨC Nhị thức Niu‐tơn ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b +…+ Cnn−1ab n −1 + Cnnb n n = ∑ a n−k bk k =0 Hệ Với Với a = b =1 , ta có a = 1; b = −1 2n = Cn0 + C +…+ Cnn‐1 + Cnn 0n = Cn0 − C1 + L + ( −1) Cnk + L + ( −1) Cnn k , ta có n Chú ý Trong biểu thức vế phải khai triển n Số hạng tử n +1 Các hạng tử có số mũ đến n a , tổng số mũ a = b0 = 1) n ; n n ( a + b) giảm dần từ a b n đến ; số mũ b hạng tử tăng dần từ n (quy ước ; Các hệ số cặp hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối II TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm C108 A hệ số x12 ( 2x − x ) khai triển C102 28 B 10 C102 C −C102 28 D Câu 2: Khai triển đa thức P ( x ) = ( x − 1) Giaovienvietnam.com 2007 ta P ( x ) = a2007 x 2007 + a2006 x 2006 +…+ a1 x + a0 Mệnh đề sau đúng? a2000 = −C2007 57 A Câu 3: Đa thức a2000 = C2007 57 B C 2000 2000 a2000 = −C2007 P ( x ) = 32 x − 80 x + 80 x − 40 x + 10 x − D a2000 = C2007 57 khai triển nhị thức đây? ( − 2x ) A Câu 4: Tìm số hạng chứa −C134 x A Câu 5: Tìm A − số hạng chứa A x khai triển (x + khai triển B (x + khai triển 37 31 C40 x B Câu 7: Tìm số hạng khơng chứa 22 C62 A 24 C B C 31 x D D C93 x D 40 ) x2 31 C40 x C khai triển 31 C40 x D ( x + )6 x −24 C64 C C133 x ) 2x −C93 x3 ( x − )13 x C ( x − 1) C −C133 x 3 C9 x x B số hạng chứa 37 31 −C40 x x ( x − 1) B −C133 3 C9 x Câu 6: Tìm ( + 2x ) −22 C64 D Câu 8: Tìm 70 y khai triển 60 y A x số hạng không chứa ( xy − 50 y B x y số hạng chứa khai triển 3x y 10x y B D ( xy + )5 y 5x3 y A 40 y C Câu 9: Tìm Giaovienvietnam.com ) xy x3 y C D n +1 Câu 10: Tìm hệ số dương thỏa mãn 210x A thỏa mãn 120x B hệ số ( 3) x khai triển −C189 ( 3) B số nguyên dương thỏa mãn 12 −C16 24.312 Câu 13: Tìm , biết n C 120 Tìm số hạng khơng chứa A x≠0 với số nguyên (1− 3x ) D 210 2n n , biết số nguyên dương 14 + 3= Cn 3Cn n A Câu 12: khai triển 3Cn2+1 + nP2 = An2 Câu 11: Tìm −C189 x6 1 3 +x ÷ x hệ số B x x9 C189 ( 3) x9 C189 C (2 x − khai triển ( 3) D 2n ) x với x≠0 , biết Cn3 + 2n = An2+1 C160 216 x khai triển 12 12 C16 C (3 x − ) n x với x≠0 16 C16 D , biết hệ số số n Giaovienvietnam.com hạng thứ ba khai triển 1080 A 1080 Câu 14: B −810 n Tìm số tự nhiên khai triển ( x − )n A 11 41 11 C21 x y C Câu 16: Tính S =1 Câu 17: C số hạng đứng khai triển 10 40 10 C21 x y (x D + xy ) 21 10 43 10 C21 x y B 10 43 10 11 41 11 C21 x y C21 x y tổng 810 , biết hệ số số hạng thứ theo số mũ giảm dần B 17 Câu 15: Tìm D A A C 810 ; D S tất hệ số khai triển S = −1 B Khai triển đa thức P ( x ) = ( x − 1) C ( 3x − ) S =0 17 D S = 8192 1000 ta P ( x ) = a1000 x1000 + a999 x 999 +…+ a1 x + a0 Mệnh đề sau đúng? a1000 + a999 +…+ a1 = 2n A C a1000 + a999 +…+ a1 = 2n − B a1000 + a999 +…+ a1 = Câu 18: Tìm A 80 hệ số x5 D a1000 + a999 +…+ a1 = P ( x ) = x ( − x ) + x ( + 3x ) khai triển B 3240 C 3320 10 D 259200 x Giaovienvietnam.com Câu 19: Tìm x10 hệ số chứa khai triển tự nhiên thỏa mãn hệ thức 25 C1910 B Câu 20: Tìm hệ số thỏa mãn hệ thức B 840 hệ số x A hệ số A 630 A B ) n với C 480 khai triển (1+ x + x B 50 Câu 22: Tìm D ( khai triển 10 Câu 23: C 29 C 19 x10 n số tự nhiên Cnn‐ + 6n + = An2+1 A 210 Câu 21: Tìm số 10 29 C1910 P ( x ) = − x − 3x3 x4 n với An3 + Cnn − = 14n 10 10 25 C19 x A 3n 1 f ( x ) = x + x + 1÷ ( x + ) 4 x5 + x3 D 270 ) C 101 D 105 P ( x ) = ( + x ) + ( + x ) +…+ ( + x ) khai triển B 635 C 636 D 637 Mệnh đề sau đúng? n n +1 n+2 2n C2n +C2n + +C2 n = C2 n +C2 n + +C2 n C2n +C2n +…+ c2nn−1 = c2nn+1 + c2nn+ + +C22nn C20n + C21n + + C2nn−2 = C2nn+1 + C2nn+ + + C22nn C D n +1 n +1 n+2 2n C2n +C2n + +C2 n = C2 n +C2 n + +C2 n Câu 24: Tính A tổng S = 2n − S = Cn0 + Cn1 + Cn2 +…+ Cnn B S = 2n C S = 2n‐1 D S = 2n + Câu 25: Tính A S = 22 n Câu 26: Tìm A n =8 A B Câu 29: tổng C128 28 A C thỏa mãn C thỏa mãn D S = 22 n + C21n +1 + C22n +1 +…+ C2nn +1 = 20 − n n=9 S = 2n n = 10 D n = 11 C21n +1 + C23n +1 +…+ C22nn++11 = 1024 C n = 10 D n = S = Cn0 + 3Cn1 + 32 Cn3 +…+ 3n Cnn B Khai triển đa thức ( ≤ k ≤ 12 ) n n=9 số nguyên dương S = 3n S = 22 n − số nguyên dương B Câu 28: Tính A B Câu 27: Tìm n=5 tổng Giaovienvietnam.com S = C20n + C21n + C22n +…+ C22nn S = 2n P ( x ) = ( 1+ 2x) C 12 S = 3.2n = a0 + a1 x +…+ a12 x12 D S = n Tìm hệ số ak lớn khai triển C129 29 B 10 10 C12 C + C128 28 D 10 Câu 30: ak Khai triển đa thức ( ≤ k ≤ 10 ) 1+ A 27 C10 310 1 P ( x ) = + x ÷ = a0 + a1 x +…+ a9 x + a10 x10 3 Tìm hệ số lớn khai triển 27 C10 310 B 26 C10 310 C ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI Câu Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 28 C10 310 D ( x − x2 ) 10 10 = ∑C10k ( x ) 10‐ k k =0 10 10 k =0 k =0 = ∑C10k ( ) x1 = ∑C10k ( ) Hệ số x12 hệ số cần tìm 10‐ k Giaovienvietnam.com k x10+ k 10 + k = 12 ⇔ k = → ứng với C102 28 ( − x2 ) ChọnB Câu 2.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có ( x − 1) 2007 2017 k = ∑C2017 ( 5x ) k =0 2017 k = ∑C2017 ( 5) 2017‐ k k =0 Hệ số → 2017‐ k x 2000 ( −1) ( −1) x 2017‐ k k ứng với hệ số cần tìm 2017 − k = 2000 ⇔ k = 7 −C2017 ( 5) 2000 Câu Lời giải Nhận thấy Hệ số x5 k 2000 2000 = −C2007 Chọn C P ( x) có dấu đan xen nên loại đáp án B 32 nên loại đáp án D lại hai đáp án A phù hợp (vì khai triển số hạng đáp án C 32 x C có ) Chọn C Câu 4.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 13 k 13 1 1 k 13‐ k x − = ÷ ∑C13 x − ÷ x x k =0 13 = ∑C13k ( −1) x13‐ k k k =0 Hệ số x7 ứng với 13 − 2k = ⇔ k = → số hạng cần tìm Câu 5.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có −C133 x Chọn C C Giaovienvietnam.com k k 9‐ k x + = ÷ ∑C9 x ÷ x k =0 2x k 1 = ∑C ÷ x9‐ k 2 k =0 k x Hệ số − 2k = ⇔ k = → ứng với số hạng cần tìm 3 C9 x Chọn B Câu 6.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 40 k 40 k 40‐ k x + ÷ = ∑C40 x ÷ x x k =0 40 k = ∑C40 x 40‐ 3k k =0 x 31 Hệ số ứng với 40 − 3k = 31 ⇔ k = → số hạng cần tìm Câu 7.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 2 k 6− k k x + ÷ = ∑C6 ( x ) ÷ x k =0 x = ∑C6k ( ) x12‐ 3k k k =0 Số hạng khơng chứa → số hạng cần tìm x 12 − 3k = ⇔ k = ứng với C64 = 24 C62 Chọn A Câu 8.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 8 k xy − = ÷ ∑C8 xy xy k =0 ( = ∑C8k ( −1) x 8‐ k y16‐ 3k k =0 k ) 8‐ k k − ÷ xy 37 31 C40 x Chọn B x Số hạng khơng chứa → số hạng cần tìm ứng với C84 y = 70 y − 2k = ⇔ k = Giaovienvietnam.com ChọnA Câu 9.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có k 1 5‐ k k xy + = ÷ ∑C5 ( xy ) ÷ y k =0 y = ∑C5k x5‐ k y 5‐ k k =0 5 − k = ⇔k =2→ 5 − 2k = x y Hệ số ứng với số hạng cần tìm Chọn C Câu 10.Lời giải Từ phương trình 3n +1 n=3 1 3 +x ÷ x , ta có 3Cn2+1 + nP2 = An2 → n = 10 1 = + x3 ÷ = x Với 10‐ k 1 C ÷ ∑ x k =0 10 k 10 Hệ số → ( x x6 10 ) = ∑C k x k‐10 k =0 ứng với hệ số cần tìm k 10 4k − 10 = ⇔ k = C104 = 210 Chọn D Câu 11.Lời giải Từ phương trình n=9 Với , ta có ( 1− 3x ) 2n ( = − 3x 14 + = → n = Cn 3Cn n ) 18 = C52 x y = 10 x y ( 18 ∑C18k − 3x k =0 Hệ số ) x k ( 18 ) Giaovienvietnam.com k = ∑C18k − x k k =0 −C189 k =9→ ứng với hệ số cần tìm Câu 12.Lời giải Từ phương trình Với n=8 ( 3) Chọn A Cn3 + 2n = An2+1 → n = , ta có 2n 16 2x − ÷ = 2x − ÷ x x 16 = ∑C ( x ) k 16 k 16‐ k k =0 16 = ∑C k =0 k 16 16‐ k − ÷ x ( −3) x k 16 − 4k Số hạng không chứa → số hạng cần tìm A 1080 B −810 x 16 − ứng với 12 12 C16 4k = ⇔ k = 12 Chọn C C 810 D 1080 Câu 13.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có n k n n‐ k 2 2 k x − ÷ = ∑Cn ( x ) − ÷ x x k =0 n = ∑Cnk 3n‐ k ( −2 ) x n‐ 3k k k =0 Số hạng thứ ứng với k =2 , kết hợp với giả thiết ta có Cn2 3n‐ 2.4 = 1080 ⇔ n ( n − 1) 3n = 4.5.35 ⇔ n = Hệ số → x7 ứng với hệ số cần tìm Giaovienvietnam.com 2n − 3k = ⇔ 10 − 3k = ⇔ k = C51 34 ( −2 ) = −810 Chọn B Câu 14.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có n 1 n‐1 n 1 x − ÷ = Cn x + C n − ÷ x 3 3 n 1 1 +C − ÷ x n‐ +…+ Cnn − ÷ 3 3 n → số hạng thứ theo số mũ giảm dần x 1 Cn2 − ÷ x n‐ 3 1 ⇔ C − ÷ = 3 n Yêu cầu toán ⇔ n! =4→n =9 2!( n − ) ! n∈N Do nên ta chọn n=9 thỏa mãn Chọn C Câu 15.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có (x + xy ) 21 21 ( ) k = ∑C21 x3 k =0 21− k ( xy ) k 21 k = ∑C21 x 63‐ k y k k =0 Suy khai triển thứ 11 (ứng với (x + xy ) k = 10 21 có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng số hạng ) số hạng thứ 12 (ứng với Vậy hai số hạng đứng cần tìm k = 11 10 43 10 11 41 11 C21 x y C21 x y ; ) Chọn D Câu 16.Lời giải Tính tổng hệ số khai triển Khi S = ( 3.1 − ) 17 Cho Mặt khác ta cho Giaovienvietnam.com x = = −1 Chọn B Câu 17.Lời giải Ta có x =1 → P ( x ) = a1000 x1000 + a999 x999 +…+ a1 x + a0 P ( 1) = a1000 + a999 +…+ a1 + a0 P ( x ) = ( x − 1) 1000 → P ( 1) = ( 2.1 − 1) 1000 = a1000 + a999 +…+ a1 + a0 = Từ suy → a1000 + a999 +…+ a1 = − a0 Mà số hạng không chứa 1000 a0 = C1000 ( 2x ) Vậy ( −1) 1000 x khai triển P ( x ) = ( x − 1) 1000 = C1000 = a1000 + a999 +…+ a1 = Chọn D Câu 18.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có x ( − x ) = x.∑C5k ( −2 x ) 5− k k =0 = ∑C5k ( −2 ) 5− k x 6− k k =0 → số hạng chứa x5 tương ứng với x2 ( + 3x ) Tương tự, ta có 10 10 − k = ⇔ k = = x ∑C10l ( x ) l =0 10‐ l 1000 nên Giaovienvietnam.com 10 = ∑C10l 310‐ l.x12‐ l l =0 → x5 số hạng chứa Vậy hệ số x5 12 − l = ⇔ l = tương ứng với cần tìm P ( x) C51 ( ) + C107 33 = 3320 Chọn C An3 + Cnn‐ = 14n → n = Câu 19.Lời giải Từ phương trình n=5 3n 1 f ( x ) = x + x + 1÷ ( x + ) 4 , ta có Với = 1 15 19 ( x + 2) ( x + 2) = ( x + 2) 16 16 f ( x) = Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có Số hạng chứa x10 1 19 19 ( x + ) = ∑C19k 2k.x19‐ k 16 16 k =0 khai triển tương ứng với 19 − k = 10 ⇔ k = 10 Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển Câu 20.Lời giải Từ phương trình Với n = 10 Cnn‐ + 6n + = An2+1 → n = 10 P ( x ) = ( − x − 3x3 ) = ( − x − 3x3 ) n , 10 C19 = 25 C1910 16 10 Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có ( P ( x ) = − x − 3x 10 = ∑C k =0 k 10 ( −1) k ) 10 x ( + 3x k ( ( = − x + 3x 10 )) k 10 10 = ∑C10k ( −1) k =0 ) = ∑C ∑C ( −1) k k =0 k 10 l =0 l k k 3l x k +2l k ( x + 3x ) k Chọn A Số hạng chứa x4 khai triển tương ứng với Vậy hệ số số hạng chứa x4 Giaovienvietnam.com k + 2l = 0 ≤ k ≤ 10 ⇔ ( k ; l ) = { ( 4;0 ) , ( 2;1) } 0 ≤ l ≤ k khai triển C104 C40 + C102 C21 = 480 ChọnC Câu 21.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có ( 1+ x + x + x3 5 k =0 l =0 ) = ( 1+ x) ( 1+ x ) 5 ( ) = ∑C5k x k ∑C5l x Số hạng chứa x10 l 5 k =0 l =0 = ∑C5k ∑C5l x k + 2l khai triển tương ứng với k + 2l = 10 ⇔ k = 10 − 2l k + 2l = 10 ⇔ ≤ k ≤ 5, ≤ l ≤ k , l ∈ N Kết hợp với điều kiện ta có hệ ⇔ ( k ; l ) = { ( 0;5 ) , ( 2; ) , ( 4;3 ) } Vậy hệ số cần tìm C50 C55 + C52 C54 + C54 C53 = 101 Câu 22.Lời giải Các biểu thức Chọn C ( + x ) ( + x ) , , ( + x ) , không chứa số hạng chứa x5 Hệ số số hạng chứa Hệ số số hạng chứa Hệ số số hạng chứa Hệ số số hạng chứa x5 x5 x5 x5 khai triển khai triển khai triển khai triển ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ x) là là 5C55 6C65 7C75 8C85 Vậy hệ số x5 khai triển P ( x) Câu 23.Lời giải Áp dụng công thức 5C55 + 6C65 + 7C75 + 8C8Giaovienvietnam.com = 636 Chọn C Cnk = Cnn‐ k , ta có C20n = C22nn n‐1 C2 n = C2 n … C2nn1 = C2nn+1 C20n + C21 n +…+ C2nn‐1 = Cộng vế theo vế, ta C2nn+1 + C2nn+ +…+ C22nn Chọn B Câu 24 Lời giải Khai triển nhị thức Niu‐tơn ( 1+ x) Cho n Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = ( + 1) = 2n 2n , ta = C20n + C21n x + C22n x + + C22nn x 2n x =1 Cho 2n C20n + C21n + C22n + + C22nn = , ta = 22 n Chọn A Câu 26.Lời giải Ta có , ta có n Câu 25.Lời giải Khai triển nhị thức Niu‐tơn ( + 1) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n x =1 ( 1+ x) ( 1+ x) ( + 1) Lại có n +1 = C20n +1 + C21n +1 +…+ C22nn++11 C20n +1 = C22nn++11 C21n +1 = C22nn+1 ; C22n +1 = C22nn+‐11 … C2nn +1 = C2nn++11 ; ; ; (2) ( 11) Chọn B ( 1+ x) 2n , ta có C20n +1 + C21n +1 +…+ C2nn +1 = Từ ( 1) (2) , suy Giaovienvietnam.com 22 n +1 ⇔ C21n +1 +…+ C2nn+1 = 22 n − ⇔ 220 − = 2 n − ⇔ n = 10 Vậy n = 10 thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Câu 27.Lời giải Xét khai triển Cho Cho x =1 , ta x = −1 ( x + 1) n +1 = C20n +1 x n +1 + C21n +1 x n +…+ C22nn++11 22 n +1 = C20n +1 + C21n +1 +…+ C22nn++11 , ta = −C20n +1 + C21 n +1 −…+ C22nn++11 ( 11) (2) Cộng ( 1) (2) vế theo vế, ta 22 n +1 = ( C21n +1 + C23n +1 +…+ C22nn++11 ) ⇔ 22 n +1 = 2.1024 ⇔ n = Câu 28.Lời giải Khai triển nhị thức Niu‐tơn ( 1+ x) Cho n Cn0 + 3Cn1 + 32 Cn3 +…+ 3n Cnn = ( + 3) = 4n 12 , ta , ta có 12 k 12 k =0 ak = C12k 2k lớn Chọn D ( + 2x ) = ∑C12k ( x ) = ∑C12k 2k x k k =0 ak Hệ số n n Câu 29.Lời giải Khai triển nhị thức Niu‐tơn Suy ( 1+ x) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n x=3 ( + 2x ) Chọn A 2k.c12k ≥ 2k +1 C12k +1 ak ≥ ak +1 ⇔ k k k ‐1 k ‐1 ak ≥ ak‐1 2 c12 ≥ C12 12 , ta có Giaovienvietnam.com ≥ 12 − k k + 23 26 ⇔ ⇔ ≤k≤ 3 2 ≥ k 12 − k + ≤ k ≤ 12 ⇒k =8 k ∈¥ Vậy hệ số lớn a8 = C128 28 Chọn B 10 Câu 30 Lời giải Khai triển nhị thức Niu‐tơn 10‐ k 10 10 1 k 1 + x = ÷ ∑C10 ÷ 3 3 k =0 10‐ k 1 = ∑C ÷ 3 k =0 10 k 10 k 2 k ÷ x 3 10‐ k Suy 1 ak = C10k ÷ 3 ak Giả sử k 2 x÷ 3 k 2 ÷ 3 hệ số lớn nhất, ak ≥ ak +1 ak ≥ ak‐1 10 − ( k +1) k +1 k 10−k k 2 k +1 C 10 ÷ ÷ ≥ C 10 ÷ ÷ 3 3 3 3 10 − k k 10 −( k −1) k −1 2 k ≥ k −1 ÷ C 10 ÷ ÷ C 10 ÷ 3 3 3 19 k ≥ ⇔ k ≤ 22 0≤ k ≤10 →k = kƠ + xữ 3 , ta có a7 = Vậy hệ số lớn 27 C10 310 Giaovienvietnam.com Chọn B ... ( x) có dấu đan xen nên loại đáp án B 32 nên loại đáp án D lại hai đáp án A phù hợp (vì khai triển số hạng đáp án C 32 x C có ) Chọn C Câu 4.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có 13... n Chọn A Câu 26.Lời giải Ta có , ta có n Câu 25.Lời giải Khai triển nhị thức Niu‐tơn ( + 1) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n x =1 ( 1+ x) ( 1+ x) ( + 1) Lại có n +1 = C20n +1 + C21n +1 +…+... với 13 − 2k = ⇔ k = → số hạng cần tìm Câu 5.Lời giải Theo khai triển nhị thức Niu‐tơn, ta có −C133 x Chọn C C Giaovienvietnam.com k k 9‐ k x + = ÷ ∑C9 x ÷ x k =0 2x k 1