BO GIAO DUE VA DAO TAO
NHA XUAT BAN GIAO DUC
DUONG DAY NONG VE SACH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 7
Trang 2NIỀM VUI TỚI NHỮNG MAI TRUONG + *
Nhân dịp kỷ niệm 113 năm ngày sinh của Chủ tịch Hồ Chí Minh, Nhà xuất bản Giáo dục đã trao tặng sách cho Nhà lưu niệm Bác Hồ và trường THOS Kim Liên, Nam Đàn, Nghệ An
Ngoài số sách trị giá 50 triệu đồng gồm : 140 tên sách giáo khoa (1.872 cuốn), 820 tên sách tham khảo (2.781 in) va cc loai ban đồ, tranh ảnh o duc, Nhà xuất bản Giáo dục còn hỗ tợ thư viện trường THOS Kim Liên 16 triệu đồng để trang bị thêm giá sách, tủ phích và bàn ghế phục vụ bạn đọc
Hưởng ứng Chương trình kiên cố hóa trường học, Nhà xuất bản Giáo dục (đóng góp 50%) cùng Công ty Thiết bị Giáo dục | và Viện Nghiên cứu Thiết kế trường học tặng trường THCS Phú Đình, Định Hóa, Thái Nguyên 10 phòng học kiên cố | 'Nếu tôi là một hòn đá mà bị mang đi | xây nhà tù thì thật là điều bất hạnh, nhưng tôi được mang xây trường học thì đó là một hạnh phúc tuyệt vời"
Trích từ bài phát biểu của
Giám đốc Ngô Trần Ái tại Lễ Khởi công
xây dựng 10 phòng học trường THCS Phú Đình, Định Hóa, Thái Nguyên
CHIU TRÁCH NHIỆM XUẤT BAN
'Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP TẠP CHÍ TOÁN TUỔI THƠ ‘Téng biên tap VU DUONG THUY Ẻ G
Tổng biên tập : PQS 1S NGUT Vũ Dương Thụy
Phó tổng biên tập : TS Lê Thống Nhất
ty ti Hội ne Diên tập Tin 7 ˆ Biên tập: Anh Quan, Phan Hương, ° Mithuật : Ngọc Yến
Gà 2kieciiroSIs f0 kairos 0 chu 0n 8 W0 pm rel
Trai Tế Ngấn Vải trú IPSS: tSfYp Nho 151 cm na na
Trinh Thi Hal Yn, ThS Nguyén Khắc Minh, Ong Pham + Địa chi lên lạo : 57 Giang Vo, Hà Nội
Binh Hiến, PGS TS Ngô Hữu Ding, TS Tran Đình Chau, ĐT: 04.51426850 Fax: 04.57142648
Ị 'Đình Hòa, TS Nguyễn Minh Đức, TS Lê Quốc Hán, Ông _ Giấy pháp xuất bản : 31/GP-BVHTT ngày 29/1/2003 - NGND, Vũ Hữu Bình, TS: Nguyễn Minh Hà, TSKH Vũ ° Đường dày nóng (24 giờngày): 0303436757, iguyén Minh ợ Giấy phép xuất
'Đào Ngọc Nam, Ông Nguyễn Đức Tấn, TS Nguyễn Đăng Bộ Văn hóa và Thông tín
‘Quang, TS Trần Phương Dung, TS Ngô Ánh Tuyết, Ong “In tal : Nha in Sach giáo khoa Đông Anh
Tờ “Công Thành — a Nộp lưu chiều tháng 7 năm 2003
Ị Giá : 2500 đ'
Trang 3
Trên mặt phẳng đã cho một
cường tròn và tâm của đường
tron nay Chi bang compa ban
thử chia đường tròn thành bốn phần bằng nhau
“na CHE Ml Có 12 bãi biển trong ô chữ Bạn nay phát hiện ra nhé ! Ngoài ra,
bạn còn biết tên cáẻ bãi biển nào của đất nước mình không 2
© Ket gud : THU Th TOAN (TTT2 số 3)
poe P CE B Hình 1
'® Đề ra kỳ này quả thật là không khó vì
đã có rất nhiều bạn gửi đáp án về tòa soạn và
đều nêu được cách dựng đúng Xin nêu ra hai
cách dựng để các bạn tham khảo :
+ Trước hết ta có nhận xét : BC > EF ; khoảng
cách từ A đến BC nhỏ hơn khoảng cách từ D
đến EF Gọi đường thẳng qua B, €, E, F là d
+ Cách 1 : (đa số các bạn thực hiện theo cách
này) Dựng AMNP = ADEF, có đáy NP nằm trên
d, có đường cao hạ từ đỉnh M nằm trên đường,
thẳng đi qua A vuông góc với d Đường thang qua hai giao điểm AB x MN, AC x MP là đường thẳng phải dựng (hình 1)
+ Cách 2 : (của bạn Nguyễn Thị Thanh Thảy)
Qua A kẻ đường thang song song với d, cắt DE
tại P Trên tia đối của tia EB, lấy điểm Q sao
cho EQ = B€ Nối PQ cắt DF tại K Đường
thẳng d' qua K song song với d là đường thẳng A l2 m | Š G Hình 2 phải dựng (hình 2) '® Đề nghị các bạn tự chứng minh và nhận
xét xem hai cách dựng trên có áp dụng được trong trường hợp ABC và DEF là các tam giác thường không 2
@ Cac ban được thưởng kì này : Nguyễn Thị
Thanh Thủy, 8B, THCS Vĩnh Niệm, Lê Chân; Nhóm ©VA-5C (Nguyễn Tiến Trường, Phạm
Gia Khánh Đức, Nguyễn Huy Hoàng, Phạm
Ngọc Hưng, Trần Cao Sơn), 8l, THCS Chu Văn
An, Ngơ Quyền; Đồn Hữu Trường, 8A;, THCS
Hồng Bàng, Hải Phòng; Vữ Thị Thu Huong,
7A, THCS Ngô Gia Tự, Hải Dương; Đỗ /iều Bích Ngọo, 83,THCS Nguyễn Bình Khiêm, Biên Hòa, Đồng Nai
Trang 4
Trước tiên, các bạn xem các bài toán sau: Bài toán 1 : Cho sáu số vô tỉ Chứng minh rằng có thể chọn ra được ba số a, b, c trong sáu số đã cho để a + b, b+c,c+a cũng là các số vô tỉ
Bài toán 2 : Cho sáu điểm khác nhau
trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm
nào thẳng hàng Với mỗi đoạn thẳng nối
hai trong sáu điểm đã cho, ta tô màu xanh
hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam
giác có ba cạnh cùng màu
Bài toán 3 : Chứng minh rng trong sáu người bất kỳ luôn tìm được ba người đôi một quen nhau hoặc đôi một khơng quen nhau (bài tốn Ram - Say)
Bài toán 4 : Chia các số 1, 2, 3, 4, 5
thành hai nhóm Chứng minh rằng có một
nhóm chứa các số a, b, c (có thể các số
này trùng nhau) sao cho a + b = c
Bài toán 8 : Cho sáu điểm khác nhau
trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm
nào thắng hàng Ngoài ra độ dài các đoạn
thẳng nối hai trong sáu điểm trên cũng khác
nhau Chứng minh rằng tồn tại một đoạn
thẳng là cạnh lớn nhất của một tam ¡giác có
đỉnh là ba trong sáu điểm đã cho đồng thời
cũng là cạnh nhỏ nhất của một tam giác
khác có đỉnh là ba trong sáu điểm đã cho
Bài toán 6 : Sáu nhà khoa học từ sáu nước khác nhau viết thư trao đổi với nhau
về một trong hai đề tài Chứng minh rằng
có ba nhà khoa học viết thư trao đổi với
nhau về cùng một đề tài
Bài toán 7 : Năm nhà du hành vũ trụ
của hai nước cùng bay vào trạm không gian
QUANG NẤM (ĐHKHTN, ĐHQG TP Hồ Chí Minh)
quốc tế Các số hiệu 1, 2, 3, 4, 5 được gán
ngẫu nhiên cho từng người Chứng minh
rằng có ba nhà du hành vũ trụ có cùng một
quốc tịch sao cho hiệu của số hiệu của hai người này là số hiệu của người kia
Nếu các bạn bỏ công ra giải tất cả các
bài toán trên thì thật đáng khen nhưng đó không phải là điều tôi muốn trình bày trong
bài này Điều tôi muốn nói là bẩy bài toán trên thật ra là một Tuy có cách phát biểu khác nhau, số liệu khác nhau nhưng về
bản chất thì như nhau Bạn chưa tin ư ? Ta
hãy xem nhé Bảy bài toán trên thật ra là
các cách phát biểu khác nhau hay tương
đương với bài toán 2 Bây giờ ta xem như
bài toán 2 đã được giải Chứng minh hoàn chỉnh của nó sẽ được trình bày sau
Ở bài toán 3, ta “col” moi người như là một điểm của mặt phẳng Nếu hai người
quen nhau thì đoạn thẳng nối hai điểm
tương ứng với họ được tô màu xanh, ngược
lại ta tô màu đỏ Theo bài toán 2, có một tam giác T có ba cạnh cùng màu Nếu T có các cạnh màu xanh thì sẽ có ba người
tương ứng (với các đỉnh của T) đôi một
quen nhau Nếu T có các cạnh màu đỏ thì
sẽ có ba người đôi một không quen nhau,
Bài toán 6 cũng là bài toán 2 và có cách
giải tương tự như cách giải bài toán 3
Bài toán 5 tuy có cách phát biểu thật dài
nhưng cũng chỉ là biến thể của bài toán 2 Ở bài toán 2, quá trình tô màu là ngẫu
nhiên Do vậy, để giải bài toán 5, ta dùng
một cách tô màu đặc biệt Cụ thể, với môi
tam giác có đỉnh là ba trong sáu đỉnh đã cho, ta tô màu đổ cạnh lớn nhất, tô màu
Trang 5xanh hai cạnh còn lại Do vậy, theo bài toán 2, có một tam giác T có ba cạnh cùng
màu Vì cạnh lớn nhất của T có màu đỏ
nên các cạnh của T đều có màu đỏ Do
cạnh nhỏ nhất của T có màu đồ nên nó là cạnh lớn nhất của một tam giác khác Từ
đây ta suy ra điều cẩn n chứng mình
Ở bài toán 1, coi mỗi ¡ số vô tỉ đã cho như
là một điểm của mặt phẳng Hai số có tổng
là một số vô tỉ thì đoạn thẳng nối hai điểm
tương ứng được tô màu đồ, ngược lại thì tô
màu xanh Vì có một tam giác T có ba cạnh
cùng màu nên có ba số vô tỉ a, b, c (ứng với
ba đỉnh của T) sao cho a + b, b+c,c+a
đều là số vô tÏ (nếu các cạnh của T có màu
đổ) hoặc a+b, Brg + ade 25 fs
chứng ¿ng hợp Thật vậy, nếu x =
y=b+c,z=c+a đều là số hữu ti thi a+b,
Ễ là số hữu tỉ Điều này vô lí do
a là số vơ ti
Các bài tốn 1, 3, 5, 6 đều liên quan
đến số 6 như bài toán 2 Trong khi đó, các
bài 4, 7 lại liên quan đến con số 5 mà lại có
bản chất như bài toán 2 mới lạ chứ ! Dễ
thấy, hai bài toán 4, 7 là một nên ta chỉ
trình bày cánh giải bài tốn 4 mà thơi
Trên mặt phẳng lấy 6 điểm và kí hiệu 6
điểm này bởi các chữ số : 1 ; 2; 3 ;4; 5 ; 6
Khi đó nếu'i, j là hai điểm khác nhau thì
li - j| nhận giá trị từ 1 đến 5 Cạnh nối hai
điểm ¡, j được tô màu đỏ nếu |i - j| thuộc
nhóm thứ nhất và được tô màu xanh nếu
li - j thuộc nhóm thứ hai Vì có một tam
giác có ba cạnh cùng màu nên tổn tại các
điểm có kí eee egal ah
li - kị thuộc cùng một nhóm, chẳng hạn là
nhóm thứ at Ta gia st i<j<k ue ee
a=|i-jl =|k-jJ=K-j,e sic kị= đều thuộc Thôn thứ nhất và có a + b = c
Các bạn thấy thế nào ? Tất cả đều là bài toán 2 Nhiệm vụ cuối cùng của chúng
ta là chứng minh bài toán 2 Chứng minh
khá đơn giản như sau :
Xét một điểm A trong sáu điểm đã cho Năm đoạn thẳng xuất phát từ A được tô
một trong hai màu nên theo nguyên lí
Đi-rích-lê, tổn tại ba đoạn thẳng có cùng màu Giả sử các đoạn thẳng AB, AC, AD được tô màu xanh Nếu các đoạn thẳng BC,
CD, DB đều có màu đồ thì tam giác BCD có
ba cạnh cùng đỏ Ngược lại, có một đoạn
thẳng, BC chẳng hạn, có màu xanh thì tam
giác ABC có ba cạnh cùng màu xanh Vậy
trong mọi trường hợp ta đều tìm được một
tam giác có ba cạnh cùng màu
Từ một bài toán, các bạn phát triển
thành nhiều bài toán, đó là một cách học tốt
Nhưng để nhìn bảy bài toán khác nhau trở
thành giống nhau cũng phải rèn luyện không hề dễ dàng, có phải không các bạn ?
BẠN BIẾT Gì VỀ CÁC DANH NHÂN ?
DAC-UIN
Một lần, Sdc-Io Dac-uyn dude mot nguéi e
bạn thân mời đến dự tiệc Ngồi cùng bàn ®
với ơng là một phụ nữ rất trẻ và đẹp Cô ta ø
quay sang hỏi nhà bác học ;
- Thưa ngài, ngài cho rằng tất cả lo:
người chúng ta xuất thân từ loài khi ° câu trả lời như sau :
MAC TUEN
Một lần, Mác Tuên nhận được bức thư
‘© khơng có chữ kí của người gửi Trong thư
e chỉ ghì : 'Đồ ngốc” Hôm sau, nhà văn đã cho in trong tờ báo do mình phụ trách một “Thông thường, tôi
Chẳng lẽ tôi cũng có quan hệ ruột thịt với s ® hay nhận được những bức thư không có
một con khỉ nào đó ?
- Tại sao lại là “nào đó” 2 - Đác-uyn mỉm s Š chữ kí Hôm qua, lần đầu tiên tôi nhận
cười - Con kh ấy là con kh xinh đẹp nhất ø s được một chữ kí mà không eó bức thư.”
Trang 6SAI Ở ĐÂU? SỬA CHO ĐÚNG
có hai nghiém x,, x, théa man : 3x, - 4x, = 11" nhu sau : Phương trình (*) là phương trình bậc hai có : ,b=2m-1vàc=m- 1 4m? - 12m +9 Vậy phương trình có hai nghĩ Vậy có duy nhất giá trị Các bạn thấy liệu đã đủ các giá trị của m ch 2 - 4ac = (2m - 1)? = = 33 thda man 8 ) Wank he
NGUYEN ANH HOÀNG °
(GV trường THCS Nguyễn Du, quận I, TP Hồ Chí Minh) ‡ 8(m - 1) © Ket qua TẠI SAO THIẾU NGHIỆM ? œrzs2) Rất nhiều bạn phát hiện ở đề ra in thiếu một từ quan trọng và đều sửa lại ngay, đó là : “Tìm tất
cả các số không âm x, y thỏa
mãn (x2 + y2) (x2 + 1) = 4x2”
Tuy nhiên cũng nhiều bạn chưa phát hiện ra một cách “đích đáng” sai lâm của lời giải Có
bạn nói : "Vì thiếu nghiệm nên
lời giải sai !” Nhưng yêu cầu ở đây lại là : “Tại sao thiếu nghiệm ?” cơ mà Ta lưu ý rằng : “Nếu a>b.> 0 và c>d> 0 thì ao > bd" Nhưng không thể lập luận rằng ac = bd' © |2~P, bởi nếu a=b=0, c=d thì đâu cần e = d nữa | Cải sai của lời giải chính là “mất xích" này Lập luận đúng phải là : ac = bd a=b=0 e=d=0 ° a=b re Từ đó ta có thêm nghiệm X =y = 0 và phương trình chỉ có 2 nghiệm không âm mà thôi Xin giới thiệu một cách giải khác : Có thể vếtphương tình về dạng: (2+ Ay 42y 3202 + 1)= Ta co Aly = 4x4 - 2x? + 1)? = (x2 - 1)? < 0 véi moi x Do đó x, y (hỏa mãn phương trình 1 i
Như vậy ta đã tìm được tất cả
các nghiệm của phương trình Xin tao tặng phẩm cho các “bác sĩ gõi : Nguyễn Xuân Thảo, 8A, THCS Tran Hung Dao, TX Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Nguyễn Thanh Huyền, 8A, THCS bán công Hương Khê, Hà Tĩnh ; Nguyễn Hữu Thắng, 8A2, THCS Lê Quý Đôn, Ý Yên, Nam Định ; Nguyễn Thị Minh Hằng, 7A, TH©S Nguyễn Trường Tộ, Đống 'Đa, Hà Nội ; Lẻ Việt Hà, 26B Lam Sơn, Lê Chân, Hải Phòng ; Nguyễn Văn Nguyên, 7O, THCS Nguyễn Cao, Quế Võ, Bắc Ninh
Trang 7
Bài 1:
Do một số bàn màu trắng, mọi bàn đều bằng gỗ nên mọi bàn màu trắng đều bằng gỗ
hiển nhiên là đúng (câu a đúng)
Mọi bàn đều bằng gỗ nên không thể có một số bàn ghế màu đồ bằng nhựa (câu b sai)
Mọi ghế đều bằng nhựa nên không thể có một số ghế bằng gỗ (câu c sai) ; cũng không
thể có một số bàn ghế màu đỏ bằng gỗ (câu d sai) Bài 2:
Nhận thấy : 2 x4 = 8 ; 3 x4 = 12; 6 x 4 = 20 Như vậy đáp số là 4 Nếu ta biểu diễn
lại như hình vẽ sau thì sẽ thấy rõ ngay
TTT THƯỞNG CHO CÁC BẠN : Võ Thái Thông, lớp 7!4, THCS Ngô Gia Tự, Cam
Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Đảo Thị Thêu, 8B, THCS Bình Định, Lương Tài, Bắc
Ninh ; Phạm Lê Hoài Phương, lớp 71, THCS Nguyễn Du, TP Pleiku, Gia Lai ; Dương Đức
Tiến, 7A, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Trần Anh Quang, 8A, THCS Bán công Hương Khê,
Hương Khê, Hà Tĩnh
Ngoài ra cũng có những em khác có bài giải đúng : Trần Nữ Hà My, lớp 712 ; Nguyễn
Kiều Oanh, lớp 7!4 ; Trân Thị Cẩm Vân, lớp 8I2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà
Tĩnh ; Huỳnh Ái Vân, 31 Trần Phú, thị trấn Bình Định, Bình Định ; Bừi Thanh Thủy, 6A,
THCS Thị trấn Núi Đôi, Kiến Thụy, Hải Phòng Hoan nghênh các bạn
Trang 8* pháp thường sử dị
thức
quen thuộc như đặt
Phân tích thành nhân tử là một trong những kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS Kĩ năng này được sử
dụng khi giải các bài toán : biến đổi đồng nhất các biểu thức toán
học, giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức và giải các bài
| toán cực trị Sách giáo khoa lớp 8 đã giới thiệu nhiều phương pháp phân tích thành nhân tử Sau đây tôi xin nêu một phương
vào việc kết hợp các phương pháp
chung, nhóm số hạng, hằng đẳng
PHUCNG PHAP 0N VỊ LỒN QUANH
Phương pháp này dựa vào một số nhận
xét sau đây :
1/ Giả sử phải phân tích biểu thức
F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c
có vai trò như nhau trong biểu thức đó
Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thi F(a, b, c)
sẽ chứa các nhân tử a - b, b - c và c - a
Bài toán 1 : Phân tích thành nhân tử :
F(a, b, c) = a%(b - c) + b%(c - a) + c%(a - b)
Nhận xét : Khi a = b ta có :
F(a, b, c) = a%(a-c) + a%(c- a) = 0, do
đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b
Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử
b-c,c- a Vì F(a, b, c) là biểu thức bậc ba,
do đó F(a, b, c) = k.(a - b)(b - c)(c - a)
Choa=1,b= 0, c = -1 ta có :
1+1=k.1.14-2)=k=-1
Vậy : F(a, b, e) = -(a - b)(b - c)(c - a) Bài toán 2 : Phân tích thành nhân tử :
F(a, b, c) = a%(b - c) + bŸ(c - a) + c2(a - b)
Nhận xét : Tương tự như bài toán 1, ta
thấy F(a, b, c) phải chứa các nhân tử a - b, b-c,c - a Nhưng ở đây F(a, b, c) là biểu thức bậc bốn, trong khi đó (a - b)(b - c)(c - a)
bậc ba, vì vậy F(a, b, c) phải có một thừa số
bậc nhất của a, b, c Do vai trò a, b, c như nhau nên thừa số này có dạng k(a + b + c) Do đó : F(a, b, c) = k(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c) LÊ QUỐC HÁN (9# Vĩnh) So Choa=0;b=1;c= 2 suy ra k =-1 Vậy :
F(a, b, c) = -{a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c)
2l Trong một số bài toán, nếu F(a, b, c)
là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng
F(a, b, c) #0 khi a = b thì ta thử xem khi
a = -b, F(a, b, c) có triệt tiêu không, nếu
thỏa mãn thì F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, và từ đó chứa các nhân tử b + c, cra Bài toán 3 : Chứng minh rang: với mọi số nguyên lề n Nhận xét : pulp yee A y Zz x+y+z (xy + xz + yz)(k+y+z)-xyz=0 () Do đó ta thử phân tích biểu thức F(x, y, 2) = (xy + xz + yz)(x + y + 2) - xyz thành nhân tử Chú ý rằng khi x = - y thì F(x, y, z)
=- y2z + yˆz = 0 nên F(x, y, z) chứa nhân tử
Trang 9có F(x, y, Z) = (x + y)(y + Z)(x + Z) Do đó (*) trổ thành : (x+ y)(y + 2) + z) =0 x+y=0 ely+z=0 =0 Néuxty= lena fav thi X=~y aldo n lễ nên x" = (-y)" = z+ Vậy : BI 2 gui eg, Vd
ZNN bO2 dure VE HELO ZZ”
Tương tự cho các trường hợp còn lại, ta
có đpcm
€6 những khi ta phải linh hoạt hơn trong
tình huống mà hai nguyên tắc trên không
thỏa mãn :
Bài toán 4 :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
F(x, y, 2) = x9 + yÖ + Z2 - 3xyz
Nhận xét : Ta thấy rằng khi x = y hay x = -y thi F(x, y, z) # 0 Nhưng nếu thay
= +(y +z) thi F(x, y, z) = 0 nén F(x, y, 2) 66 nhân tử x + y +z Chia F(x, y, z) cho x + y + Z,
ta được thương x2 + yˆ + z2 - xy - yz-zx và dư là 0 Do đó : FO Yi 2) = + y +2)0Ể + y2 + Z2 xy ~ yZ - ZX) Ta có thể thêm bớt vào F(x, y, z) một lượng 3x2y + 3xy? để nhân được kết quả này Các bạn hãy dùng các phương pháp và kết quả nêu trên để giải các bài tập sau đây Bài toán 5 : Tính tổng : at b* & có Sóc ee ay CT (a-b(a-e) (b-a)(b-c) (-a)(e-b) trong đó k = 1, 2, 3, 4 Bài toán 6 :
Chứng minh rằng (a-b)Š + (b- c)Š + (c -a)5
chia hết cho 5(a - b)(b - c)(c - a) © ©° e ° ° e ° © e © © © ° ° ° e e © ° © ° ° ° ° ° ° e ° © © — HỘTPHƯỜNPHÍP - TÌM!II6tIỆIï DƯƠNG ĐỘC BAO PHẠM ĐÌNH THỰC (TP Hồ Chí Minh) Bằng kiến thức hình học lớp 6 ta có thể giải được các phương trình bậc hai một ẩn
được không 2 Câu trả lời là ở trường hợp
tổng quát thì không được, nhưng trong rất
nhiều trường hợp ta vẫn có thể tìm được nghiệm dương Ví dụ : Tìm nghiệm dương của phương trình x2 + 10x = 39 Lời giải : Ta có : x2 + 10x = 39 x? +25.x= 39
Từ biến đổi trên, ta hình dung x là cạnh của
một hình vuông thì diện tích của hình vuông
đó là x2 Kéo dài mỗi cạnh của hình vuông
thêm 5 đơn vị (như hình vẽ), ta dễ thấy : x aE Hình vuông to có độ dài cạnh là x + 5 sẽ tích là 64 Do đó : (x+5)2=64=82©x+5=8©x= 3 Vậy phương trình có nghiệm dương là x=3
Phương pháp này đã được nhà toán học
Italia nổi tiếng Jerôm Cacđanô (1501 -
Trang 10
Winconsin Mathematics Science & Engineering Talent Search la ki thi chon tài năng toán hoc duge Giao su Laurence Chisholm
Young (1905 - 2000) khởi xướng từ năm 1963 Các giám đốc đầu
tiên của chương trình này là các giáo sư Michael Bleicher, Lawrence Levy và Rod Smart, với sự tham gia của nhiều thành 'viên khác thuộc Khoa Toán, trường Đại học Winconsin - Madison
Theo lệ thường, hằng năm, Ban Tổ chức sẽ phổ biến các bài
toán thành năm đợt, mỗi đợt 5 bài, cho các trường trung học thuộc
bang Winconsin của nước Mỹ, cũng như cho khắp thế giới bằng
thư hoặc bằng Internet Một học sinh khá giỏi THCS ở nước ta có
thể giải được những bài toán đó Để nhận được các bài toán
Tuyển chọn Tài năng này, các học sinh trên thế giới có thể gửi mail về địa chỉ Ƒ0 1G edu
GiÚi THIÊU KÌ Th
ThS NGUYÊN VĂN NHO
ThS NGUYÊN VĂN NHO (NXBGD)
Các bài toán sau đây được trích từ các loạt bài trong năm học 2000 - 2001
Bài 1 : Tìm tất cả các số nguyên dương
n sao cho n' + nŠ + 1 là số chính phương
Bài 2 : Ta nói ABCDE là ngữ giác đặc
biệt nếu mỗi đường chéo song song với một cạnh tương ứng Nói cách khac, EB // DC, AC // ED, BD // AE, CE // BA và DA // CB Gọi X, Y, Z, V, W là giao điểm của các
đường chéo như hình vẽ Chứng minh rằng
nếu ABCDE là ngũ giác đặc biệt thì 5 tam giác AXY, BYZ, CZV, DVW và EWX có diện tích bằng nhau, và bản thân ngũ giác
XYZWW cũng là ngữ mt dac biét
Sen Bội hp vấn:
CHON WINCONSHN Bai 3 : Goi A là tổng của 10 số thực
dương, còn B là tổng của 10 số nghịch đảo của chúng Tìm giá trị nhỏ nhất của AB
Bài 4 : Tìm các cặp số nguyên không
âm x, y thỏa mãn y2(x+1) = 1576 + x2
Bài 5 : Với mỗi số nguyên n, ta định
Trang 11HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI KÌ TRƯỚC
(THỊ CHỌN TÀI NĂNG TOÁN HỌC NDSU)
Bài 1 : Cứ mỗi lần rút ra hai viên là một
lần bỏ lại một viên, do đó, cuối cùng phải
còn lại một viên trong bao
Dé ý rằng sau mỗi lượt bốc ra rồi bỏ lại,
thì hoặc là số bi trắng trong bao không đổi
(nếu anh ta bốc được ít nhất một hòn đen)
hoặc là số bi trắng trong bao giảm đi 2
(nếu anh ta bốc được cả hai viên trắng)
Vậy số bi trắng giảm đi trong tất cả các lần là một số chẵn Vì có 76 viên trắng (số lẻ)
nên viên còn lại là màu trắng
Bài 2 : Gọi x là tổng số học sinh giải
được cả hai bài 3 và 4 ; x chính là số cần tìm Trong số 100 học sinh tham gia thi,
chỉ có 60 học sinh giải được bài 4 và 70
học sinh giải được bài 3 Nếu ta giả sử
trong 100 người thi, mỗi người đều giải
được ít nhất một trong hai bài 3 và 4, thì sẽ
có 60 + 70 - 100 = 30 học sinh giải được cả hai bài 3 và 4 Dĩ nhiên, nếu không phải
ai cũng giải được ít nhất một trong hai bài
này, thì số người giải được cả hai bài phải
nhiều hơn thế Nói cách khác, ta phải có 30 <x Gọi y là tổng số học sinh giải được cả ba bài 2, 3 và 4 thì y > x - 20 Sau cùng, gọi z là tổng số học sinh gi được cả bốn bài 1, 2, 3 và 4 thì z > y - 10
Nhưng theo giả thiết, không ai giải
được cả bốn bài nên y - 10 < z = 0
Kết hợp tất cả các điều kiện trên, ta có :
x- 20 <y <10, suy ra x < 30
Từ đó, đáp số cho bài toán là x = 30
Bài 4 : Nếu đến lượt mình đi sau cùng,
chỉ còn từ 1 đến 3 cây kẹo thì hiển nhiên
Winnie thang cuộc Tuy nhiên, nếu còn lại
4, thì rõ ràng Rabbit sẽ thắng Do vậy, nếu
đến lượt Winnie đi mà trong bao còn 5, 6
hoặc 7 cây kẹo, anh ta sẽ để lại được 4
cây sau lượt mình và chắc chắn thắng
cuộc Nếu đến lượt Winnie đi mà trong bao
ThS NGUYEN VĂN NHO (NXBGD)
còn lại 8, thì rõ ràng Rabbit sẽ đủ khôn để
thắng Theo lí luận này, suy ra rằng nếu
'Winnie muốn thắng, cứ mỗi lượt di, anh ta không được phép để lại số kẹo là một bội
số của 4
Bây giờ, 1999 không phải bội của 4, nén Winnie phai nan ni doi đi trước cho
được và dễ thấy anh ta luôn để lại số kẹo
là một bội số của 4 sau lượt mình ới Cụ
thể chiến lược của Winnie Ia : lượt đầu
tiên, bốc 3 cây kẹo ; từ đó, sau khi Rabbit
bốc n cây kẹo (n e (1, 2, 3}), Winnie sẽ bốc đi 4 - n cây kẹo
Bài 5 : Không thể Thật vậy, giả sử Bi!
Gates có A tờ $1, B tờ $10, C tờ $100 và
D tờ §1000 Nếu tổng số các giấy bạc này của Bill Gates có thể tạo thành số tiền một triệu đô-la thì ta có : A + 10B + 100C + 1000D = 1000000 (1) Theo giả thiết : A+B+C+D = 500000 (2) Từ (1) và (2) ta được : 9B + 99C + 999D = 500000
Vế trái của phương trình trên là một bội
số của 9 Tuy nhiên, vế phải không phải là
Trang 12ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI LỨP 9 QUAN 10 - TP HO CHÍ MINH NAM HOC 2002 - 2003 ®@ Mơn thi : Toán —_e@ Thdi gian : 150 phut Bài 1 : (3 điểm) Giải phương trình : |x? - 4] + x? - 4] = x? - 2x + 4 Bài 2 : (3 điểm) Chứng minh đẳng thức : -P=Ê =-2—P_„ với a, b trái dấu Bài 3 : (3 điểm) a op b Rút gọn : (12-843), m5 Sp ane V3 +4) +2N4+28 Bài 4 : (3 điểm) Trong các hình chữ nhật có chu vi là p, hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tính diện tích đó Bài 5 : (4 điểm)
Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ
tiếp tuyến AM, AN ; đường thẳng chứa đường kính, song song với
MN cất AM, AN lần lượt tại B và C Chứng minh : a) Tứ giác MNCB là hình thang cân b) MA MB = R2 ©) K thuộc cung nhỏ MN Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần ng 1 thô BC? lượt tại P và Q Chứng minh : BP.CQ =——— Bài 6 : (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O và đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O) Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến
NM (M thuộc (O))
a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB
Trang 13Ket qua ; THI GIAL TOAN QUA THU Bài 1 (3) : Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x, y) sao cho : x - y = x2 + xy + y
Lời giải :
Giả sử có cặp số nguyên không âm (x, y) thỏa mãn hệ thức x - y = x2 + xyty? (1)
Từ đó dễ dàng suy ra rang x>x-y=x? + xy+y?>3xy (2)
- Néu x = 0, ti (1) tac -y = y? > y=0
- Néu x # 0, thay x = 1 vao (2) > 12 3y > y=0, thay y = 0 vao (1) > x=x? > x=1
Tom Iai: Có hai cặp số (0, 0); (1, 0) thỏa mãn để bài
Nhận xét : Hầu hết các bạn không đánh giá được bất đẳng thức (2) nên lời giải còn
dài Một số bạn sử dụng điều kiện để phương trình bậc hai (ẩn x) có nghiệm cũng cho đáp
số đúng Hoan nghênh các bạn sau có lời giải gọn hơn cả : Nguyễn Tung Lam, 9A, THCS
Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh ; Đảo Thái Duy, 6A„o, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội ; Nguyễn Huy Hoang, 81, THCS Chu Văn An, Hải Phòng ; Vũ Thị Thu Hương, 7A, THCS Ngô Gia Tự, Hải Dương ; Nguyễn Phương Anh, 7D ; Hoàng Văn Hà, 7G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Dương Thị Nga, 9A;, THCS Lê Văn Thiêm, Hà Tĩnh ;
Võ Thái Thông, 714, THCS Ngô Gia Tự, Cam Ranh, Khánh Hòa ; Phan Hồ Anh Thư, 9/6, THCS Lé Quý Đôn, Quảng Nam ví
NGUYỄN VĂN MẠNH Bài 2 (3) : Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng :
4(xy + yz + x2) < \(x + y)( +)(Z + x)(JxX+y +jy+Z + Vx+z)
Lời giải :
Cách 1 : Gọi vế trái là A và vế phải là B Ta có :
B=(x+y)j(y + z)(z + x) +(y+Zz)j(z+x)(x+y) +(z+x)\(x+Y)(y+z)
Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski ta được : Vy +z)(Z+x) > ý xy +z)? =JXy+z
Tuong ty : (2+ x+y) = ily +x? = (2y+x: JX+wJW+2) > | +VÊ =+y
Do d6: Bz (x+y)(yxy +z)+(y+Z)(\ÿZ+x)+(z+x)(VZX +y)
= (x+y) xy +(y+z)\yz + (2+ xW2x +2(xy +yz+2x) — ()
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cé-si ta có :
(x+y)>2xy ; (y+z)> 242 s(z+x) 2 2Vzx , do đó kết hợp với (*) ta nhận được :
B > 2 xy Jay +2.[yzÿZ +2\ÍZxZX +2(Xy +yZ+ZX) = 4(xy + yz +zx) = A (dpem)
Dễ thấy đẳng thức xây ra © x = y = z
Cách 2: Đặt \jx+y =a;jÿy+z =b;Z+x =c thì a, b, c > 0 Khi đó bất đẳng thức
cần chứng minh tương đương với : abc > (a + b - c)(b + c - a)(C + a - b) Ca)
Trong 3 thừa số ở vế phải không có quá một thừa số âm, chẳng hạn nếu a + b - c < 0
và b + c - a < 0 thì cộng từng vế dẫn đến 2b < 0 vô lí - Nếu đúng một thừa số âm thì (**) đúng
Trang 14Nhân từng vế của ba bất đẳng thức ta có
bất đẳng thức (**)
Nhận xét : Các bạn tham gia giải bài này đã nêu được nhiều cách giải đúng
Các bạn có lời giải tốt : Doãn Thị Kim
Huế, 9C, THCS Phạm Huy Thông, An Thi, Hưng Yên ; Vũ Xuân Dương, 8E, THCS
Bình Minh ; Nguyễn Đức Đôn, 9A;, THCS
Chu Van An, Thanh Hà, Hải Dương ; Phan
Danh Hà, 6D, THCS Yên Lạc, Yên Lạc,
Vĩnh Phúc ; Nguyễn Sĩ May, 8B, THCS
Yén Phong, Bac Ninh ; Duong Thi Nga, 9,,
THCS Lé Van Thiém, TX Ha Tinh ; Phuong Minh Chau, 8A,, THCS Binh An, Can Lộc, Hà Tĩnh (một bạn có lời giải tốt nhất nhưng
không điền tên và địa chỉ trên bài)
NGUYEN ANH QUAN
Bai 3 (3) : Trên một bàn cờ hình vuông
gồm 9 ô vuông nhỏ có 2 con mã trắng đứng
ở hai góc bên trên và 2 con mã đen đứng ở
hai góc bên dưới (xem hình bên) Hỏi rằng
có thể đổi chỗ 2 con mã đen lên vị trí 2 con
mã trắng nhưng một cách tương ứng : con
mã đen góc trái lên vị trí trên góc trái và con
mã đen góc phải lên vị trí trên góc phải, còn 2 con mã trắng thì xuống
vị trí tương ứng ở bên
dưới hay không ? Biết
rằng chỉ được dẫn các
con mã đi theo luật đi
được quy định của bàn
cờ mà thôi Lời giải : Không thể được
Nếu chúng ta đem biểu diễn mỗi ô
vuông là một điểm trên mặt phẳng và hai
điểm được nối bởi một cạnh nếu như hai ô
tương ứng với chúng có thể đi tới nhau bởi
một bước đi của một con mã thì ta thu được
hình như biểu diễn trong hình dưới đây (được gọi là đồ thị hoặc graph) AlE|B A ——¬ G B G D c F IF[ c | Gọi các con mã ở các ô A, B, C, D lần lượt là M¿, Mạ, Mạ, Mạ Mỗi con mã chỉ di chuyển từng bước một từ một đỉnh đến đỉnh chung cạnh của đồ thị và không ăn nhau
nên cũng không đi qua đầu nhau Vì vậy thứ
tự của bốn con mã sẽ không thay đổi khi
chúng di chuyển Nếu M, tới được C mà
không qua đầu M„, M; thì Mạ phải đi ngược
chiều kim đồng hồ Khi đó M„ muốn tới
được A mà không qua dau M,, M, thi My phải đi theo chiều kim đồng hồ Chứng tỏ
M, va M, không thể cùng di chuyển nên chúng không thể đổi chỗ cho nhau
Tóm lại là yêu cầu đầu bài không thực
hiện được
'Với cách lí luận trên thì hai con mã bất kì
trong bốn con mã không thể đổi chỗ ban đầu cho nhau và điều đó vẫn đúng nếu ban đầu cho ba con mã
Nhận xét : Nhiều bạn đi đến kết luận sai
là có thể chuyển được Các bạn Trần Văn
Ngọc Tân, tổ 6, thôn Phong Thử I, Điện
Ngọc, Điện Bàn, Quảng Nam ; Phí Đình
Nam, 192 Nguyễn Chí Thanh, TX Quảng Ngãi, tỉnh Quảng Ngãi ; Nguyễn Thị Hạnh,
8C THCS Lợi Yên, Hương Khê ; Mai Hoàng
Anh, 7A THCS bán công Thị Trấn Hương
Khê, Hà Tĩnh có kết luận đúng nhưng lập luận chưa được thật chính xác
VŨ ĐÌNH HÒA
Bài 4 (3) : Cho tam giác ABC Một đường
tròn đi qua A, tiếp xúc với đường thẳng BC tại
một điểm T thuộc đoạn BC cắt AB, AC theo
thứ tự tại E, F Chứng minh rằng :
EF _ TETF
BC TBTC
Lời giải: (của bạn Nguyễn Thị Việt Lê)
Vì tứ giác AETF nội tiếp nên
ẾTF =180° ~BAC = ABC + ACB
= trên đoạn EF tồn tại điểm D sao cho :
STE-FET
DTF =E8T
Trang 15fe = ETB (cling chén cung ET) @
DET =FTC (cing chén cung ET) Từ (1), (2) suy ra : ADTE œ AFCT ee ŒAEBT DE_FT (DE 1 Te CT_ |TeTF TC DF _ET DF 1 TF BT |TETE T8 DE+DE_ 1 1 TETF 1B TC Liệu 10020112) TETF _ 'TB.TC EF _ BC _EF TETF TETF TBTC BC TBIC
Nhận xét : Đây là bài tốn khó nhưng khơng q khó Lời giải trên hoàn toàn
tương tự cách chứng minh một định lí nổi
tiếng, định lí Ptôlêmê Tuy nhiên, chỉ có 43
bạn tham gia giải bài toán này
Có một bạn giải sai, một bạn hiểu sai
đề, một bạn cho lời giải bằng các phép biến đổi lượng giác, các bạn sau đây có lời giải tốt : Nguyễn Thị Việt Lê, xóm Đông Hà, xã Kỳ Lâm, Kỳ Anh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Văn Tuấn, 8A, THCS Phước Mỹ, Tuy Phước, Bình Định ; Nguyễn Tiến Cường, Phạm Gia Khánh Đức, Nguyễn Huy Hoàng, Phạm Ngọc Hưng, Trần Cao Sơn, 8I, THCS Chu
'Văn An, quận Ngô Quyền, TP Hải Phòng ; Nguyễn Trọng Kiên, 9A, THCS Tân Việt, Thanh Hà ; Đỉnh Khánh Thiện, mẹ là Tran Thị Khánh, phòng Hành Chính, cảng Cống Câu, phường Hải Tân, TX Hải Dương, TP Hải Dương P NGUYEN MINH HA Bài 5 (3) : Giải hé phuong trinh : A cy Seana ies Say) Be aE ies ks ae Lời : (của bạn Doãn Thị Kim Huế và một số bạn khác) Điều kiện để các phân thức có nghĩa : x#0,y#0,z#0 1 ay —-ese'y Đặt Ce, at SE Như vậy k = 0 Từ đó suy ra xy = yz = zx = 1 Bởi vậy (xyz)? = xy yz Do dé xyz € (-1, 1) Néu xyz = 1 thì x Vay hé phuong trình có hai nghiệm : x= 1;x=y=z=-1
ậ lột số bạn chi dua ra được
nghiệm x = y = z = 1, một số bạn biến đổi
dài dòng Lưu ý đặc biệt, có nhiều bạn quên đưa ra điều kiện để các phân thức có nghĩa Các bạn sau có lời giải tốt : Doãn Thị Kim Huế, 9C, THCS Phạm Huy Thông,
Hưng Yên ; Nguyễn Thị Thùy Dung, Đặng
Trang 16
-Hưng Yên ; Nguyễn Thị Thùy Dung, Đặng
Thị Xuân, 8A, THCS Yên Phong ; Nguyễn
Tùng Lâm, 9A, THCS Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh ; Đỗ Đình Khanh, Trần Trung
Nam, 8A, THCS Yên Lạc ; Nguyễn Thị Hậu,
8D, THCS Vĩnh Tường ; Đỗ Lê Việt Thắng,
Đặng Trần Sơn, 8C, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc ; Vũ Xuân Dương, 8E, THCS Bình Minh ; Nguyễn Thành Luân, 8B, THCS Phú
Thái, Hải Dương ; Phương Minh Chau, 8A,
THCS Bình An; Nguyễn Thanh Loan, 8A,
THCS bán công Hương Khê, Hương Khê,
Hà Tĩnh ; Mai Diệu Linh, 7G, THCS Đặng Thai Mai, Nghệ An
NGUYEN MINH BUC
CAC BAN BUUC THUONG Ki NAY
Nguyễn Thị Việt Lê, xóm Đông Hà, xã
Kỳ Lâm, Kỳ Anh, Hà Tĩnh; Doãn Thị Kim Huế, 9C, THCS Phạm Huy Thông, Ân
Thi, Hưng Yên; Nguyễn Tùng Lâm, 9A,
THCS Nguyễn Đăng Đạo, Bắc Ninh ;
Nguyễn Huy Hoang, 81, THCS Chu Văn
An, Hải Phòng; Vũ Xuân Dương, 8E,
THCS Binh Minh, Hai Duong ; Trần Văn
Ngọc Tân, tổ 6, thôn Phong Thé |, Điện
Ngọc, Điện Bàn, Quảng Nam ; Phí Đình
Nam, 192 Nguyễn Chí Thanh, TX Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Nguyễn Văn Tuấn,
8A;, THCS Phước Mỹ, Tuy Phước, Bình Định KHAI THAC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN 7 MỚI ia iP
Sách giáo khoa Toán 7 mới đã giới thiệu
về dãy tỉ số bằng nhau với nhiều tính chất
thú vị Ở phần lí thuyết, sách giáo khoa đã đưa ra tính chất : e© Từ Ê =Ê ta suy ra Ê = bd e_a+c bod es a-c “bed b-d (với b # d và b z -d) Từ đó áp dụng tính chất này cho dãy tỉ số bằng nhau : Lee e Từ dãy tỉ số bằng nhau Viết = df ac es a+c+e - a-c+e bd f beds b-d+f
Không dừng lại ở đó, phần bài tập đã
được bổ sung thêm các tính chất thú vị ta suy ra: NG TINH CHAT THU Vi TA MINH HIỂU (GV THCS Phạm Công Bình, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)
Bài toán 1 : (bài tập 73, trang 14, Sách
bai tap) Cho a, b, c, d z 0 Từ tỉ lệ thức
S28 hãy suy ra tỉ lệ thức ab ead bod a c ac Ta có —==< = be = ad bd = ac - bc = ac - ad = (a - b)c = (c - d)a -b_c-d a Ce Lời giải :
Chú ý : Có thể giải bài toán này tương tự
như cách chứng minh tính chất trong SGK :
Đặt 5 =k=a= kb và c = k.d Từ
đó ta có :
Trang 17= a+b = k(a - b) và e + d = kíc - d) ` =(1+k)b=(k-1)avà(1+k)d=(k- 1)c Với k #1 thì b z 0 và d z 0, ta có : @) a_k+1_¢ b k-1 d°
Ngồi ra, có thể phát triển thêm nhiều bài
Ta có thể phát biểu và chứng minh bài _ toán để học sinh làm quen với các bài toán
toán tương tự loại này :
Bài toán 2 : Cho a, b, c, d 0 Từ tỉ lệ thức Bài toán 5: Chứng minh rằng từ f lệ thức
3 ~Ê hãy suy ra ứ lệ thức 3†B „ €+d ta có thể suy ra các tỉ lệ thức :
bd } : Se oe eS
Sau khi giải các bài toán trên, ta có thể Pa+qb_pc+qd pa+qb _pc+qd_
giải bài toán : a c 'pa-qb pc-qd
Bài toán 3 : (bai tập 63, trang 37, SGK Bài toán 6: Chứng minh rằng từ lệ thức Toán 7) Chứng minh rằng từ tỉ lệ thức Từ (1) và (2) suy ra = = ta có thể suy ra tỉ lệ thức : 2 (8 ~b 0 và € - d 0) ta có thể suy pa+qb _ pc+qd
tia Đúc a+b werd (Ð:5Q9 PGD dÓC
ratilệ thức TT =Cg- ma+nb_ me+nd
shih ac , Baitoan 7: Ching minh rằng từ lệ thức
Lời giải : Đặt —=—=k =a=kbvà a ¢ j ,
bd === tacé thé suy ra tỉ lệ thức :
c=kd.Via-b#0vàbz0=kb-bz0 dc
=b(k- 1) #0 = kz 1 Ta có : (S206 ABE DĐ QÓC ie
a+b _kb+b _b(k+1)_k#1 bs ma’ +nb" met +nd’
a-b kb-b b(k—1) k-1 6 Rất mong được các bạn trao đổi tiếp Từ (3) và (4) suy ra đpem Chú ý : Có thể biến đổi : Ê =Š = ad =bc 4 bd Do đó :
“pe-db b(e-d) e-dˆ
Điểm thú vị là ta có bài toán đảo của bài toán 3
Bài toán 4 : Chứng minh rằng từ lệ thức
Trang 18
VU TROM TAI NHA NGHI NGOAI 0 Phan-Ti-Xô
(Bạn của Sê-Lốc-Cốc)
Mặc dù còn ít phút nữa mới hết giờ làm việc nhưng vì cảm thấy hơi mệt nên thám tử Sê-Lốc-Cốc đã muốn nghỉ sớm
Ông bật đèn bàn, ngả mình trên ghế bành suy nghĩ : “Ngồi
trong căn phòng ấm áp, dưới ánh đèn vàng dễ chịu như thế
này mình có thể quên hết mùa đông giá lạnh ngoài kia Kể
ra mùa đông cũng có cái hay ! Tối đến ngồi bên lò sưởi, tay ôm chú chó nhỏ, bên cạnh là vợ, con Không khí mới đầm
ấm làm sao !"
Bỗng có tiếng chuông điện thoại reo, cắt ngang những
phút giây nghỉ ngơi hiếm có của người thám tử lành nghề.Trung úy Vet-xi báo cáo với thám tử về tình hình công việc được giao trong ngày và xin phép trở về nhà luôn, không quay lại văn phòng nữa Thám tử Sê-Lốc-Cốc vui vẻ đồng ý
ngay
Đặt ống nghe xuống, thám tử quay ra thu xếp giấy tờ, tài
liệu để chuẩn bị đi về Bất chợt có tiếng gõ cửa dồn dập rồi
một người đàn ông vội vã bước vào
- Xin lỗi thám tử ! Tôi có việc gấp nên không kịp đợi ông
mổ cửa
- Không sao ! May là tôi vẫn chưa về Có việc gì ông nói mau đi, biết đâu tôi có thể giúp chăng ? - Thám tử vui vẻ
~ Tôi tên là Vây-me Đêm qua, tại nhà nghỉ của tôi ở một vùng ngoại ô cách đây gần 100 km đã xảy ra vụ mất trộm
- Ông vừa từ đó về sao ? - Thám tử hỏi
~ Thưa không, tôi mới biết tin.Tôi muốn nhờ ông đến đó cùng tôi ngay bây giờ Tôi có làm phiền ông lắm không ?
- Ông đừng ngại! Tôi sẽ đi ngay cùng ông !
- Ông có thể đi xe của tôi
~ Tất nhiên Quãng đường gần trăm cây số cũng là quãng
Trang 19nhà một người bà con trở về thì nhận được điện
thoại của ơng Gơ-rin.Ơng Gơ-rin là hàng xóm
của Vây-me ở khu nhà nghỉ - nơi mới xảy ra vụ mất trộm Ông Gơ-rin nói rằng suốt từ sáng đã điện thoại cho Vây-me mấy lần mà không gặp được Rồi ông thông báo với Vây-me về vụ mất trộm xảy ra lúc gần sáng tại nhà nghỉ của Vây-
me Ông vừa lái xe, vừa kể một cách say sưa Thỉnh thoảng Sê-Lốc-Cốc mới ngắt lời để hỏi thêm một vài chỉ tiết nhỏ Kinh nghiệm lâu năm trong nghề thám tử đã cho ông thấy : mắt xích quan trọng để phá một vụ án nhiều khi lại nằm trong một mớ những câu chuyện không đầu
không cuối kiểu này Vây-me kể rằng trong thời
gian ở nhà nghỉ, ông đã làm quen với Gơ-rin, hai người đã đến chơi nhà nhau Kỳ nghỉ kết thúc, khi Vây-me tổ ý muốn tìm người trông coi ngôi nhà thì Gơ-rin nhận lời ngay
~ Chà ! Một nhà nghỉ quá lí tưởng ! Sê-Lốc- Cốc thốt lên như vậy khi ông Vây-me đột ngột phanh xe
~ Ta đi dạo xung quanh ngôi nhà một chút chứ ông Vây-me ? Tôi cũng phải tranh thủ tận hưởng bầu không khí tự nhiên ở khu nhà nghỉ của ông
Hai người chưa đi hết một vòng xung quanh
ngôi nhà thì một người đàn ông đã đuổi theo kịp
họ Đó chính là ông Gơ-rin Ông ta vội vàng vào ngay câu chuyện với một về rất lo lắng :
- Tôi thật là ân hận với ông Vây-me khi để xảy
ra vụ mất trộm này Lúc gần sáng, tôi nghe thấy
tiếng động rất khả nghĩ Mặc dù băng tuyết rơi dày, tôi văn vội mặc quần áo ấm để đến ngay nhà của Vây-me Nhìn qua cửa sổ không thấy gì cả, tôi bèn thổi hơi nóng lên lớp băng mỏng bám trên kính cửa sổ và soi đèn pin vào Trời ơi ! Căn phòng bị xáo trộn khủng khiếp ! Thế là tôi vội gọi điện báo cho chủ nhà
- Tôi đã rõ tất cả rồi ! - Thám tử Sê-Lốc-Cốc nói bằng một giọng lạnh lùng - Đề nghị ông theo tôi về đồn cảnh sát để làm rõ hơn một số việc,
ông Gơ-rin ạ !
Hai người đứng trước mặt Sê-Lốc-Cốc đều bất ngờ trước đề nghị của thám tử Ông Vây-me chỉ kịp hỏi một câu trước khi lên xe phóng nhanh tới đồn cảnh sát :
- Chẳng lẽ thám tử không cần vào xem xét
bên trong ngôi nhà hay sao 2
Sê-Lốc-Cốc chỉ trả lời ông bằng một nụ cười
khó hiểu
Đố các bạn biết, vì sao thám tử Sê-Lốc- Cốc lại có quyết định nhanh đến như vậy ? eeeooeeoeoooeoeeeoooooooeooooooeoooooeeooeooeoooeoooooeooooeoeoeeoooe oh Sy @ Két qua: Been 0 pee PRAANGUNGTHAN TUSE-LOC-CO6 (rrr sø 3) VỤ TRỘM KHONG DẤU VếT
Xin chào các Thám tử “Tuổi hồng” ! Sê-Lốc-Gốc tôi thật sự vui mừng, phấn khởi khí thấy hầu hết tất cả các bạn đều phá án rất chính xác và nhanh gọn
TThoạt nghe tên thì vụ án này có vẻ như rất mông lung, khó mà điều tra được “Thế nhưng, bằng khả năng quan sát tài tình và óc phán đoán nhanh nhạy của mình, các thám tử đã mau chóng tìm ra kề khả nghĩ Đó chính là người đàn ông cầm chiếc cần câu máy Bạn Nguyễn Thị Hồng Hạnh (Hà Nội) đã kết luận :
Cần câu có sẵn trong tay
Dấu vết chẳng để mảy may chút gì
Vụ án này có khó chỉ ? Quan sát thật kí, tức thì ra ngay
Vì số lượng giải thưởng có hạn,
Sê-Lốc-Cốc tôi đành phải chọn lựa 5 bạn trả lời chính xác, ngắn gọn ; hành văn mạch lạo, rõ ràng ; chữ viết sạch đẹp, không mắc lỗi chính tả và có ghí địa chỉ đây đủ vào bài thi để trao quà Nhân tiện, Sê-Lốc-Cốc tôi xin nhắc các bạn : Trong thời gian nghỉ hè, đề nghị
các bạn ghi địa chỉ gia đình vào bài dự thi để Tòa soạn tiện liên hệ
Danh sách các bạa được nhận quà kì này : Nguyễn Minh Ngọc, số 20 tổ 10, phường Phố Mới, TX Lào Cai, Lào Cai ; Nguyễn Thị Hồng Hạnh, số 4 ngõ 154, đường Trần Duy Hưng, Hà Nội ; Trần Thị Minh Châu, hẻm 234, Hùng Vương, thị xã Quảng Ngai, Quang Nagai ; Bui
Thị Mỹ Hạnh, số 97 Hàm Nghi, tổ 2,
phường Ngô Mây, TP Quy Nhơn, Bình Định ; Lé Nguyễn Bích Nga, số 17/7 quốc lộ 1, tổ 16, khu phố 2, phường 2,
TX Tuy Hoa, Phú Yên
Trang 20Lời tòa soạn : Đa thức
F(a, b, c) = a3 + bổ + cổ - 3abc chắc là rất có “duyên”
với các bạn Ngoài bài viết
của TS Lê Quốc Hán (xem trang 7), TTT2 nhận được 3 bài viết của nhà giáo Nguyễn Đức Tấn (TP.Hồ Chí Minh) và hai bạn Trần Đức Trung (9B, THCS
Nguyễn Đăng Đạo, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh), Nguyễn Thị
Thanh Thủy (881, THCS
Vĩnh Niệm, Lê Chân, TP Hải Phòng) khai thác các bài toán liên quan tới đa thức
này TTT2 xin được tổng hợp
lại và trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc ộc z UC QUEN THU » AC TU MOT DA TH z NHỮNG KHAl TH
Bài toán 1 : Phân tích đa thức sau thành
nhân tử ; aŠ + bŠ + cŠ - 3abc
Lời giải : Ta oó aŠ + bŠ + cŠ - 3abe
= (a + b) - 3a?b - 3ab2 + cŠ - 3abo
= [(@ + b) + cŸ] - 3ab(a + b + c)
=(a+b + G)[(a + b)Ÿ - (a + b)c + c2 - 3ab]
= (a+b +0) (a2 +b? + c?- ab -ac- bo) =S(e+b+o(a-bj2 +(b~@)” +(e=a)Ê |, Nhận xét : Nếu aŠ + bồ +? =3abethì a + bổ + c3 - 3abo=0 =“Ô +(e=aj° ]=0 [a+bxc=0 la=b=c Néu choa=x-y;b=y-z;c=z-xthi
a+b+c =0, ta có bài toán :
Bài toán 2 = (86 thi học sinh giỏi toán cấp 1, miên Bắc 1962) Phân tích đa thức (x - y)Š + (y - z)3 + (z -x)? thành nhân tử Lời giải : Từ nhận xét trên ta có ngay (-y + y-29 + @-»)9=3K- Vy - 2) -x)
e©Với a =xÊ + y;b =z2-x2;c= -y?-z2
Trang 21Bài toán 4: Cho -_+-_+ Lời giải : 0c xã Ta có : Vay P = 3
Bai toan 5 : Cho abe +0, a° + b? + c®
= 3abc Tính giá trị của Ae (:-‡J'-zJ('-‡} b c a Lời giải : Theo bài toán 1, a +b? +9 = Sabo atb+c=0 2 a=b=c + Nếu a + b + e =0 thì : + Nếu a =b = c thì : A=(+1)(1+1)(1+1)=2.2.2=8 hai giá trị là 8 và eVớia= yz;b=zx;e=xy thi: aŠ + bỀ + cŠ = 3abo © 322 + z2xổ + x9y? = 3x2y222,
‘Ti đó hình thành bài toán :
Bài toán 6 ; Cho xyz z 0 thỏa mãn
x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2, Tính giá trị biểu thức `
Lời giải : Theo cách đặt nêu trên, dễ dàng đưa bài toán 6 về bài toán 5 Kết quả M = ~1 hoặc M = 8 a+b+c=f†1 Bài toán 7 : Giải hệ 4a? +bŸ +? =1 a? +b? +0° =4 (Thi học sinh giỏi TP Hồ Chí Minh, 1986-1987) Lời giải : Theo bài 1, ta có : aŠ + bŠ + cŸ- 3abc = (a + b + ©)(@2 + bề + c2 - ab ~ be - ca) ©1- 3abc = 1 - ab - bo - ca ©> 3abc = ab + be + ca (1) Mặt khác (a + b + c)? = 1 @ a2 + bỂ + c2 + 2(ab.+ be + ca) = © ab +bc + ca = 0 (2) Từ (1) và (2) => abe = 0 > Từ đây lần lượt suy ra các nghiệm của a b=0,c=1 hệ là : |a=0, b=1,c=0 a=1b=0,c=0 a+b+c=1 Bai ton 8: Cho 4a? +b? +c? =1 ao +b? +08 21 Tính giá trị của biểu thức : P= 92002 + p2003 ¿2004, Lời giải : Áp dụng bài 7, ta có kết quả duy nhất P = 1
Bài toán 9 : (Thỉ vào lớp 10 chuyên toán THPT Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí
Minh, 1998)
Cho AABC có ba cạnh a, b, ¢ théa mãn :
a3 + bề + c3 = 3abc Hồi AABC là tam giác
gì?
Trang 22av a+b+e =0 (không xây ra vì a, b, c > 0) =c © AABC là tam giác đều Xty+z=a x? 4y? 42? =b? dị: S1”, wel = = x y zee Tính xổ + yŠ + z3 theo a, b, c Bài toán 10 : Cho : Áp dụng bài 1: xổ + yŸ + z3
-3xyZ= (x+y +z)(X2 + y2 +z2-xy-yz-zx)
x8 + y3 + 29 = Sxyz + alb? - (xy + yz + 2x) (1) Mặt khác, a2 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + 22 + Qny + yz + 2x) Lời giải a2=(X2+ý2+z2) 2 (2) => XY +YZ+2X= at =b? 2 To ee ies 5Š W z £ xyz i c <= xyz = ¢(xy + yz + Zx) 2 2 a © XYZ =C (theo (2)) (9) Thay (2) ; (3) vào (1) ta có : 2 b2 ane xâ+y3+z3=4oS = “be _ 3e(aˆ ~bˆ)+a(3b? - a) 2 ax+by =c Bài toán 11 : Biét {bx+cy=a €x+ay =b:
Chứng minh rằng aŠ + bề + c3 = 3abo,
Lời giải : Từ giả thiết ta suy ra : 8X + by + bx + cy + cX+ay=a+b+ec ôâ(a+b+c)\(x+y- 1)=0 a : +b+c=0 x+y-1=0 + Với a+b +c = 0, theo bài toán 1 = đpcm
+ Với x+y- 1= 0= y = 1- x, thay vào
hệ, sau một số biến đổi dẫn đến a = b = c,
theo bài toán 1 = đpcm
Chắc chắn vấn còn nhiều tìm tòi khám
phá xung quanh đa thức F(a, b, c)
= a3 + bŸ + c - 3abc Sau đây là một số
bài toán cùng dạng của nhà giáo
Nguyễn Đức Tấn, TP Hồ Chí Minh, gửi
tới các bạn, xem như bài tập :
Bài toán 12 : Giải phương trình : (3x-2)3-œ- 3) = (2x+ 1) Bài toán 13 : Giải phương trình nghiệm nguyên : + y)Š = (x- 2) + (y + 2)° + 6 Bài toán 14 : Phân tích thành nhân tử : (x+y+z)°-x°-y° - z3 Bai toán 15 : Phân tích thành nhân tử : &x+y+2#-(œ&+y-z)-(œ-y+z)° -(x+y+z)Ề Bài toán 16 : Cho abc + 0, a + b + c = 0 Bài toán 17 : Choa+b+ + d= 0 Chứng minh rằng : aŠ + bổ + cổ + dŠ = 3(c + d)(ab - cd)
Bài toán 18: Cho x, y thỏa mãn x2 +y2= 1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức xŠ + yÊ
Trang 23ĐỂ THI TUYEN SINH VAO LOP 10 THPT tinh Bdc Ninh Mơn : Tốn _ e Khóa thi: 2002 - 2003 e Thời gian : 150 phút Bài 1 : (2,6 điểm) Cho biểu thức : b-(Ê-, | (#n-#n) 22x) \jx+1 vK-1 1) Rút gọn B 2) Tìm các giá trị của x để B > 0 3) Tìm các giá tri của x để B = Bài 2 : (2,5 điểm) Cho phương trình : x? - (m+5)x ~ m + 6 = 0 (1)
1) Giải phương trình với m = 1
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một
nghiệm x = ~2
3) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
Xị ¡ x; thỏa mãn : S= xỶ +xổ =13
Bài 3 : (2 điểm)
Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các
dãy có số chỗ ngồi bằng nhau Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia
thành bao nhiêu dãy Bài 4 : (3 điểm)
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Đường kính AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') tại điểm thứ
hai E Đường kính AD của đường tròn (O') cắt đường tròn (O)
tại điểm thứ hai F
3) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
2) Chứng minh C, B, D thẳng hàng và tứ giác OO'EF nội
tiếp
3) Với điều kiện và vị trí nào của hai đường tròn (O) và
Trang 24BAT DAU TUY TUONG CUA A A nhóm bài mới với độ bền vững và đặc sắc không kém gì nhóm các BT1, 2, 3 Nhở chúng, nhóm các BT1, 2, 3 không còn là một độc
chiêu khi người ta muốn nói tới ý tưởng của Hê Rông
TS NGUYEN MINH HA (ĐHSP Hà Nội)
Các BT1, 2, 3 tạo thành một nhóm bài "bền vững và đặc sắc” trong hệ thống các bài toán bất đẳng thức và cực trị hình học có liên quan đến phép đối xứng trục Nói đến một trong ba bài của nhóm, người ta lập tức nghĩ đến ngay tới hai bài còn lại Cho đến đầu những năm 90 của thế kỉ trước, nhóm bài “bền vững và đặc sắc" này vẫn là một độc chiêu khi người ta muốn giới thiệu ý tưởng của Hê Rông với những ai quan tâm tối hình học sơ cấp Tuy nhiên, trong mười năm trở lại đây,
tình hình đã thay đổi Trong hệ thống các bài toán bất đẳng thức và
cực trị hình học có liên quan tới phép đối xứng trục đã xuất hiện hai
(tiếp theo kì trước)
Kì này, xin giới thiệu với bạn đọc về nhóm bài thứ nhất trong hai nhóm bài này
Bài toán 4 : Cho góc xOy va điểm M nằm trong góc đó Các điểm A, B theo thứ tự thuộc Ox, Oy
(A, B khác O) H, K là hình chiếu của M trên các đường thẳng chứa Ox, Oy Chứng minh rằng : P(MAB) > 2HK Lời giải : Goi M,, M, la các điểm đối xứng của M qua Ox, Oy Có hai trưởng hợp xảy ra Mã M;OM; < 1809 Vậy đoạn M,M, cắt các tia Ox, Oy Vậy P(MAB) > 2HK % (n.2p) Ma Trường hợp 1: XOy<90° (h7) Vì xOy<90° nên Đặt Ap = MẠM; ¬ Ox ; Bọ = MụM; © Oy (Ap, By khdc ©), Ta thay : P(MAB) = MA+ AB + BM = M,A+AB + BM, > M,M, = 2HK
Đẳng thức xây ra © A = Áo ; B = Bọ co O là tâm đường tròn
bàng tiếp đối diện với đỉnh M của AMAB
Trang 25Vì xOy>90° nên M;OM; >180°
Suy ra, hoặc đoạn M;M; đi qua O (h.2a) hoặc đoạn M;M; không đồng thời cắt các tia Ox, Oy (h.2b, h.2c) Vì vậy, mặc dù giống như trường hợp 1, ta vẫn có : P(MAB) > 2 HK Nhưng đẳng thức không xảy ra Suy ra P(MAB) > 2 HK
Tóm lại, trong cả hai trường hợp P(MAB) >2 HK Đẳng thức xây ra O là tâm đường tròn bàng
tiếp đối diện với đỉnh M của MAB
BT4 được đặt ra và chứng minh lần đầu tiên
bởi bạn Phạm Ngọc Huy, khi là học sinh lớp 12 Toán, trường PTNK, ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh Tuy nhiên cách chứng minh của bạn Huy
hơi dài và cẩn đến các kiến thức toán của
chương trình THPT Tiếp thu ý tưởng của Hê
Rông, tôi đã thay phép chứng minh của bạn Huy bởi chứng minh trên
Nhờ BT4, bạn Huy đã đưa ra một lời giải hết
sức độc đáo và ngắn gọn cho bài toán hay và
khó sau đây
Bài toán 5 : Cho tam giác ABC, M là điểm
nằm trong tam giác MA, MB, MC theo thứ tự cắt
BC, CA, AB tai Ay, B,, Cy Goi A,, By, C- lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB Chứng
minh rang : P(A,B,C,) = P(A,B,C,)
BT6 được đặt ra bởi nhà toán học Mĩ, Jack 'Garfuikel, sống cùng thời với chúng ta, vừa mới
mất cách đây một vài năm Ông là tác giả của
rất nhiều bất đẳng thức hình học hay và khó
Nhiều bất đẳng thức hình học do ông đặt ra đến
nay vẫn chưa được chứng minh BT5 lần đầu tiên được chứng minh cũng bởi một nhà toán học Mĩ, CS Gardner Tuy nhiên, chứng minh của CS Gardner quá dài và phức tạp Tôi đã
theo dõi chứng minh này một lần và đã tự nhủ
rằng, chỉ một lần mà thôi Ngay từ lúc đó, tôi đã đặt câu hỏi, liệu có thể, tìm cho BT5 một phép
chứng minh khác đơn giản và đẹp đẽ hơn phép
chứng minh của CS Gardner Tình cờ nhưng rất nhanh chóng, bạn Huy đã trả lời câu hỏi của tôi
bằng phép chứng minh tuyệt vời dưới đây
Trước hết, xin phát biểu không chứng minh một bổ đề quen thuộc mà tác giả của nó là nhà toán học Pháp, Gergaune x Bé dé 3 : Cho tam giác ABC M là một điểm nằm trong tam giác MA, MB, MC theo thứ tự cất BC, CA, AB tại Ay By Cy Khi đó : 23) MA, AA gana, MB, BB, et ating), A B Vana ề (1.4) Nhờ BĐ3 và BT4 bạn Huy đã chứng minh BT5 như sau :
Qua M kẻ các đường thẳng tương ứng song
song với các cạnh của tam giác A;, B,, Cy Chúng cắt các cạnh của tam giác ABC tại X, Y, Z,T, U, V (4) Dễ thấy các tam giác MUT, 'VMX, ZYM đồng dạng với tam giác AB,C, với các t số đổng dạng tương ứng là aa! BM | OM Ty Bb3, dé dang suy ra: BB,’ CC, AM BM CM AM M tủa 1 P(ABịC¡)+———P(ABịC¡) BB, CM +——P(AB,C¡) = CC, (A;BiC;) =>P(MUT) + P(VMX) + P(ZYM)=2P(A,B,C,) (1) Theo BT4, ta có : P(MUT) > 28,C, ; P(VMX) 2 2C,A, ; P(ZYM) > 2A,B, (2) Từ (1) và (2) suy ra : PONE Cas 2E 21862221 HP 2 => P(A,B,C;) 2 P(A;B„C2)
Đẳng thức xảy ra AABC nhon va A, B, Cla
tâm các đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh M
của các tam giác MTU, MVQ, MRZ AABC nhọn vaA, B, C là tâm các đường tròn bàng tiếp đối diện
với đỉnh A, Bị, Cạ của AA,B,C, <= AABC nhọn
và M là trực tâm của nó
Giống như các BT1, 2, 3, các BT1, 4, 5 cũng
tạo thành một nhóm b: “bền vững và đặc sắc”
trong hệ thống các bài toán bất đẳng thức và
Trang 26CHƯƠNG TAM GIÁC
CỦA SGK TOÁN ƒ
(MHC KEW THICC MIME BAY HAP DAN
NGND VŨ HỮU BÌNH (Tác giả SGK Toán 7)
ee âỐo.g 7-51,
Chương trình hình học lớp 7 có một tầm
quan | trong dac hoc sinh chuyển từ công n
sang chứng minh các sự kiện đó Chương
TAM GIAC - chương II phần Hình học của
SGK Toán 7 - bắt đầu làm công việc đi
Làm quen với một loại toán mới :
Toán chứng minh hình học
Học hình học cần biết vẽ hình, biết đo
đạc, biết diễn đạt các khái niệm hình học
bằng ngôn ngữ nhưng có lẽ không có gì thú vị bằng chứng minh hình học Ngay từ lúc học về tam giác ở lớp 6, chúng ta đã “cảm thấy" hình như có những tình chất Sau : ~ Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°
- Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì có hai góc bằng nhau
~ Tam giác có ba cạnh bằng nhau thì cả
ba góc đều bằng 60°
Ở chương TAM GIÁC, ta sẽ biết cách
dùng lập luận để chứng tỏ được những
khẳng định trên là đúng Đây thực sự là
một bước trưởng thành trong tư duy giải
toán: Người giải toán sẽ tự tin biết bao khi
biết sử dụng các kiến thức đã học và biết
dùng lập luận để khẳng định được nhiều hình học mà trước kia ta chỉ cảm nhận được thông qua đo đạc trên những hình vẽ cụ thể Các bài toán về chứng mình hình học trong chương TAM GIÁC chắc chắn sẽ mang đến cho chúng ta nhiều điều thú vị Những bài toán đơn giản mà không tầm thường
Đến đây có thể nhiều bạn băn khoăn sợ
trình độ của mình không đáp ứng được
những yêu cầu của loại toán chứng minh Bạn đừng lo, vì các bài toán trong SGK đã được sắp xếp vừa sức và nâng cao dần, giống như những bậc đá giúp bạn đi từ chân dốc lên đỉnh dốc mà không phải qua
những vách cao dựng đứng Các bài tập trong chương TAM GIÁC thường đơn giản
nhưng vẫn chứa đựng nhiều tình huống sư
phạm Chẳng hạn khi học về trường hợp
bằng nhau góc-cạnh-góc bạn gặp bai tap
37 : Trên mỗi hình một và hai có các tam
Trang 27Ở hình 2 các tam giác GHI và KLM có cùng các số đo 80°, 30°, 3 cm nhưng chúng lại không bằng nhau theo trường hợp góc-canh-‹ góc Bạn sẽ không khó khăn khi giải các b; ï toán trên, nhưng nếu hấp tấp thì lại dễ mắc sai lầm
Chúng ta gặp trong chương TAM GIÁC
rất nhiều bài tốn đơn giản mà khơng tầm
thường như những bài toán trên
Phương pháp tam giác bằng nhau,
một công cụ quả trong chứng minh
Chương TAM GIÁC giới thiệu ba trường
hợp bằng nhau cạnh-cạnh-cạnh, cạnh-
góc-cạnh, góc-cạnh-góc của hai tam giác,
các trường hợp bằng nhau về cạnh
huyền-góc nhọn và về cạnh huyền-‹
góc vuông của hai tam giác vuông Các
tam giác bằng nhau cho ta nhiều khả
năng mới trong chứng minh hình học A A € B D Hình 3 Hình 4
Chẳng hạn xét tam giác ABC ở hình 3
có AB = AC Bằng cách vẽ tia phân giác AD (hình 4) ta chứng minh được AADB
= AADC theo trường hợp cạnh-góc-cạnh,
suy ra B=C Thế là ta đã chứng minh
được : Nếu một tam giác có hai cạnh bang
nhau thì có hai góc bằng nhau
Phương pháp tam giác bằng nhau là
một eae cụ hữu hiệu để chứng minh các
đoạn thẳng bằng nhau, chứng minh các
góc bằng nhau
Định lí Py-ta-go dap ứng nhu cầu
hiểu biết của học sinh
Ở lớp dưới, nhiều bạn đã nghe nói rằng
nếu một tam giác vuông có hai cạnh góc
vuông bằng 3 và 4 thì cạnh huyền bằng 5
6
Đó chính là inh li Py-ta-go : Trong tam
giác Vuông, bình phương của cạnh huyền
bằng tổng bình phương của hai cạnh góc
vuông Định lí này được học trong chương
TAM GIÁC giúp chúng ta giải được nhiều
bài toán giàu tính thực tế :
- Tính được đường chéo của một hình
chữ nhật khi biết chiều dài và chiều rộng (bài 59)
- Biết chiểu dài của chiếc thang và khoảng cách từ chân thang đến tường,
tính được chiều cao của bức tường (bài 55)
~ Trong lúc anh Nam dựng tủ cho đứng
thẳng, tủ có vướng vào trần nhà hay
không 2 (bài 58)
- Con Cún có đến được bốn góc vườn để
bảo vệ khu vườn hay không 2 (bài 62)
Những bài tập thú vị sau cũng được giải
bằng định lí Py-ta-go (trích trong các cuốn
Nâng cao và phát triển Toán 7, Các bài toán về Hình học tổ hợp bậc THCS) : ~ Tính các độ dài x, y trên các hình 5, 6, 7 : L] x 8 Hinh 5 Hinh 6 (x=4,y=43) (x= 13) 2 1 2 x Hình 7 (x = 5) - B&n trong một hình chữ nhật có kích
thước 3 x 5 cho 5 điểm Chứng minh rang tồn tại 2 trong 5 điểm đó có khoảng cách
giữa chúng không quá 2,5
Hi vọng rằng các em học sinh sẽ thêm
yêu thích môn Hình học khi học theo sách
Trang 28
cuộc mm VUI HE BAU THIEN NIEN Ki - 2003
Đề thi vòng ba
Bài 1 : Các bạn Một, Hai, Ba, Bốn, Năm, Sáu, Bảy, Tám đã xếp thành một hang
dọc theo thứ tự từ trên xuống dưới như sau :
Ba, Bảy, Bốn, Hai, Một, Năm, Sáu, Tám
Nếu bạn Chín mà đến thì phải đứng ở vị trí nào ?
Bài 2 : Một bạn gửi bài thơ Đếm sao về và hỏi : Bài thơ này có phải là thơ tình cảm không ? Đọc kĩ, Vua Tếu nhận xét :
Thơ này không phải thơ tình
Nếu mà đọc Kĩ, giật mình biết ngay !
Bạn thử bình luận xem, bài thơ này là loại thơ gì thế 2 ĐẾM SAO Sao trời nhiều quá ! Em đếm mãi thôi Anh cùng đếm nhá ! Giữa muôn sao trời ! Anh đếm lâu rồi Mà sao chưa hết * * * Em cũng đã mệt
Sao cứ nháy hoài
Bài 3 : Chỉ sử dụng 10 chữ số 2, dấu các phép tính, các dấu ngoặc, bạn hãy biểu diễn số 2003 THÔNG BÁO
“TRƯỚC VÔNG CUỐI CÙNG !
Ba vòng thí đầu tiên của Cuộc thi Vui hè đầu thiên niên kỉ - 2003 đã được đông đảo bạn đọc từ già đến trẻ hưởng ứng sôi nổi Chỉ còn một vòng cuối cùng là cuộc
thi kết thúc Toán Tuổi thơ mong các bạn hãy “tăng tốc” để “về đích” thành công Kết quả se thì sẽ được công bố trong số tạp chí tháng 10 - nhân dịp Toán Tuổi thơ tròn 3 tuổi
Ban iổ chức lưu ý các bạn dv thi:
1 Không ghi lời giải của nhiều bài trên một tờ giấy
2 Ghí rõ họ tên, tuổi của từng thành viên trong gia đình nếu gia đình cùng dự thi
- tất nhiên phải ghi rõ địa chí của gia đình)
3, Các bạn học sinh ghỉ thêm địa chỉ lớp, trường, quận (huyện), thành phố, tỉnh theo năm học mới để Ban tổ chức dễ liên hệ
Trang 29
eeoooeoo
Anh Khoa ơi ! Trong t: thơ “Góc sân và khoảng trời", ở bài “Thơ vui" anh có đề “gửi bác Mạnh Sinh” Vậy bác Mạnh Sinh là ai ? Mối quan hệ của bác đối
với anh như thế nao ? HÀ HÃI YẾN (Trung tâm Sách dân tội và Miễn núi NXBGD)
TRAN BANG KHOA :
Bác Mạnh Sinh là một độc giả đáng kính của tôi Bác làm
nghề cắt tóc, ở số nhà 12 phố Đông Kinh, thị xã Lạng Sơn
Bác rất yêu thơ và làm nhiều thơ Mùa hè năm 1970, bác lặn ø lội đạp xe vượt hàng trăm cây số bom đạn từ thị xã Lạng e Sơn, về Quốc Tuấn, Nam Sách thăm tôi Bác ở nhà tơi mấy ®
ngày, rồi lại đạp xe về Lạng Sơn Trước khi đi, bác còn cắt s
cho tôi cái tóc làm kỉ niệm Năm 1972, chẳng biết nghe tin o đâu, bác tưởng tôi đã chết vì bệnh thiên đầu thống Bác gửi ®
cho bố mẹ tôi 10 đồng góp phần cùng bố mẹ tôi lo tang lễ 9
(lúc bấy giờ 10 đồng to lắm, bằng cả một tháng đi cắt tóc o
dạo của bác) Cùng với tiền, bác còn gửi cho bố mẹ tơi đơi ®
câu đối và năm bài thơ khóc rất cảm động Tôi đã trả lời bá:
bằng bài Thơ vui này Đây là bài thơ viết riêng cho bác Mạn| Sinh Sau này, khi làm tuyển tập thơ tôi ở Ty giáo dục Hải Hưng các thầy Phan Đăng Hùng và Lê Thường thấy bài th có ý nghĩa nên đưa cả vào tập Sau đó, bài thơ còn tiếp tụ
có mặt trong nhiều tuyển tập của tôi
Năm 1996, tôi mới có dịp đi công tác Lạng Sơn, và đi
cũng là lần đầu tiên, tôi biết Xứ Lạng Ngay đêm hôm đó, tôi đã đi tìm bác Mạnh Sinh của tôi Nhưng thị xã đã thay đổi
Phố Đông Kinh ngày xưa giờ đã thành cả khu Đông Kinh rộng lớn Không ai biết bác Mạnh Sinh ở đâu Tôi rất buồn
, tình cờ, trong buổi tiếp xúc với các thầy cô và các
em học sinh ở một trường Trung học phổ thông, tôi có kể về
bác Mạnh Sinh Không ngờ trong số những người nghe ấy,
có con dâu của bác Chị là một cô giáo dạy văn Ngay sau
cuộc tiếp xúc, tôi theo cô giáo về thăm gia đình rồi cùng cô
và gia đình viếng bác Mạnh Sinh Mộ bác nằm trên đồi cao lộng gió ở ngoại ô thị xã Bác mất đã lâu, vậy mà mãi đến
lúc ấy, tôi mới biết Người bác khóc năm xưa, giờ lại ngậm
Trang 30VAO THĂM VUON ANH
Trong ô chữ này là tên của tám con vật quen
thuộc Điều thú trong mỗi cái tên của chúng đều
có một chữ A Bạn hãy nhanh tay điền tiếp các chữ A
cai khac xem nao
NGUYEN VAN HIEU A
(80 đường Xuân 68, TP Huế)
S nnư na ®@999o6©sseeoeoooe eee
Ơ chữ của Vườn Anh lần trước cung cấp
cho các bạn tương đối đầy đủ các giới từ
“Tiếng Anh thông dụng, tất nhiên với điều kiện
các bạn phải điền được đúng từ vào các ô
trống (như kết quả hình bên)
Không giống như Tiếng Việt, giới từ Tiếng Anh biến đối rất phức tạp Cùng một từ nhưng
đặt trong các văn cảnh khác nhau lại biểu đạt
những ý nghĩa rất khác nhau Ví dụ Từ In khi là giới từ chỉ thời gian thì mang nghĩa vảo (úe,
đúng lúc, nhưng khi chỉ không gian lại mang
nghĩa bên trong, ở trong Cũng có một số giới từ mang cùng nghĩa nhưng không thể dùng,
thay thế nhau được Ví dụ: từ Between và
Among cùng mang nghĩa là ở giữa nhưng Among chỉ ở giữa từ 3 đối tượng trở lên, còn
Between biểu đạt nghĩa ở giữa 2 đối tượng
Chủ vườn chúc các bạn sử dụng thành
thạo giới từ, đúng ngữ pháp và đúng văn
cảnh Và đây là danh sách các bạn được nhận quà tặng lần này : Vo Thi Kim Thoa, Khối II, Thị trấn Hương Khê, Hà Tĩnh ; Øố Hải Hà, số nhà 20, 20/28, Phường Kim
Giang, Thanh Xuân, Hà Nội ; Nguyễn Ngọc Khánh, thôn Thai An, xã Quang Phục,
Tứ Kỳ, Hải Dương ; Đỗ Thu Hương, số 8, đường Hoàng Diệu, Phúc Yên, Mê Linh,
Trang 31Ket qua : HA CHIEN QUOC ED corr 28 eThinh chi: Ý BHẲNG CẨN vir 6c cone Ra LA NHI? |
hông aes h Mỗi bên năm anh
Không được chạy nhanh
ee fe mt Bước từng bước một
Chỉ tiến về trước
Nam, Bắc, Tây, Đông Không lời về sau
Trao năm phần thưởng : Bạn hãy đoán mau
Quế Anh, 129 B Mai Hắc Đế, Hà Nội ; Cái gì ? Lạ nhỉ 2
n Thị Thanh Tâm, 7B, THCS Nguyễn MIMOZA (Đà Lạt, Lâm Đồng) /
Trãi, Nghỉ Xuân, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Thanh ` ⁄
Thủy, 881, THCS Vĩnh Niệm, Lê Chân, Hải Phòng ; Nguyễn Đức Thông, 7C, THCS Hàn Thuyên, Lương Tài, Bắc Ninh ; Phùng Bảo Tam, Khu II, thơn Đồi, Thị trấn Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ẾU ees” đúng không ?
o Xét qué : CUT! WỮI DANH HÀI (rr 2 sẽ ›) 5
Ô chữ lần này rất đễ, nên các thảo dân tham dự a rất đông Nhưng mỗi người lại đoán ra một danh hài
khác nhau, người thì Minh Nhí, người thì Bảo Quốc, mì
có bạn lại cho rằng đó là Đức Hải Ai cũng thấy có í [a]u]Ã [NJ@[u|^ | ¡ R H A
cả, nhưng những thần dân được Vua Tếu ban Ủ|N|c|R|úlc
thưởng phải là người có đáp án giống như sau : Bi
Cột dọc là : Bảo Quốc NI:
Ban thưởng : Hoàng Mai Chị, số nhà 16, khu Tập
thể F361, An Dương, Q Tây Hồ, Hà Nội ; Trần Văn Ngọc Tân, con mẹ Trần Thị Ngọc
Dung, tổ 6, thôn Phong Thử I, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam ; Nguyễn Thị Hường,
Trang 32Thì thầm tất tật tâm tư
Thấy thêm thanh thân trong thư thì thầm »
Hồi : Em thích một bạn ¡
nhưng không dám nói ra
Anh có cách nào giúp em
với !
` Nhiều bạn yêu cầu
“ Đáp : Trời ơi ! Các em cứ tưởng anh giỏi lam day a?
Anh cũng đang trong trạng
thái của các em đây (cũng ›đang thích một người mà
cũng chẳng dám nói ra !) Vì sao các em biết không ?
Nếu anh nói ra thì thì
"lường sao cho hết “hậu quả
thẩm thương” ! Thôi nói ra !
làm gì Thà cứ đừng nói thì ¡
hơn Khi nào cẩm thấy hết
khó nói, thì tự khắc sẽ nói ra
thôi ! Không nên tìm cách
¡ ra Xin chào các em “cùng cảnh ngộ” !
Hỗi : Anh Phó Gõ là
người giỏi toán ?
Giải giùm em bài toán tình “iu”
Giả thiết cho tôi “iu” người đi Chứng minh rằng người đó “ju” toi! Anh nhớ trả lời bằng thơ nhé ! Hì hi tortoise142003@yahoo.com (Lớp 9, An Phú, An Giang) Đáp : Học trò sợ nhất vần “iu” Dinh vào quá sớm dễ "thịt cuộc đi
Giả thiết : em đã 'ïu” người
Nhưng chiêu ngược lại nhờ trời chứng minh ! Héi : Em có nước da không trắng lắm nên các bạn thường đặt biệt danh cho em là “Mai Hắc Đế”, *Bao Hắc Tử”, thậm chí là “Châu Phi” nữa chứ Anh có cách gì hay hay mách giùm em với ! _ PHAN HONG TRANG (6G, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh) p : Ngày xưa da anh ng lắm ! Các bạn cứ gi anh là “chàng Bạch Tuyết” cơ đấy ! Bây giờ da em không trắng lắm lại cũng bị “trêu” là các nhân vật tầm cỡ của "giới da mầu" Thị ì hai anh em mình
g - trừ' cho nhau vậy,
chứ biết làm sao Bây chừ
anh hát cho Trang nghe bài “Chim sáo ngày xưa” lời mới nhé ! “Ngày xưa da anh trăng trắng Rất thương Trang da lại nắng giòn Nhìn Trang đi ra bên ngõ Có ai trêu Trang chớ bận lòng Mình như Bao công oai quá ! Có sao đâu vẫn hô : thăng đường ! Còn hơn anh da trăng trắng Chỉ buồn với vui cùng mấy chú lùn ” Hỏi : Có một lần (và chỉ một lần thơi ), em chạy từ
ngồi lớp vào đâm sầm phải
“my ta’ Cả hai đứa ngã lăn quay trước sự "chứng kiến” của cả lớp Từ đó cả lớp cứ gán ghép chúng em Tại sao thế anh 22? Bạn trai thẹn thùng (7B, THCS Yên Phong, Bắc Ninh) Đáp : Còn tại ai nữa ? Thứ nhất : tại một vụ đâm Thứ hai : tại rất nhiều lần trong phim Xô xe, cãi vã rất kinh Ai ngờ đoạn cuối cm tình với nhau Xem phim trước, biết phim sau Hoan hô đạo diễn tài cao tuyệt vời ! Lớp em xem lắm phim rồi Cho nên bắt chước ghép đôi
thôi mà
Trang 33Hỏi : Một tên lớp trên viết †
thư đòi em phải kết bạn, | nếu không thì hắn sẽ tự tử I : Anh ơi ! Giúp em với kẻo : hắn tự tử thì em sợ lắm! ; Mây trắng : (8A,THCS Nghĩa Hồng, : Nghĩa Hưng, Nam Định) ! Đáp : Thôi thì em cứ kết bạn với hắn Nhưng chỉ kết bạn thôi đấy nhé ! Coi như mình chơi với Chí Phèo vậy ! Nếu Chí Phèo lại dọa tự tử đòi em phải nâng mức tình cảm gọi anh Anh sẽ đưa hắn đi điều tị ở Khoa Thần kinh của một bệnh viện nào đó ! Em đưa cho hắn đọc
vài câu của anh gửi hắn :
Làm trai cho đáng mặt trai Tu thân, tích đức, rèn tài giỗi
giang
Mến nhau kết bạn đàng hoàng Việc chỉ phải dọa cắt
ngang cuộc đời ?
Hỏi : Vừa rồi em cắt tóc
ngắn và tóc em lại quan nér
các bạn cứ gọi em là “ổ rơm"
Dap:
Chưa khao thi goi “6 rom’
Khao rồi gọi “mái tó
thương thôi m Làm gì ? Em chắc nghĩ ra
Hỏi : Em không có anh ei
trai nên muốn nhận một anl học đại học làm anh nuôi
nhưng em thấy ngượng quá
Em thấy bế tắc, khéng tim
lối thoát cho mình Mong ni
được lời khuyên của anh ! MICKY (9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương) Đáp : Em gi! Anh ay co! “nuôi” được em không mà : em định nhận làm "anh ; nuôi” Có phải cứ phải có †
anh trai thì mới trưởng ;
thành được đâu Nếu bế † tắc chuyện gì thì em cứ viết ! thư cho anh Phó Gỡ ! Anh ! Phó Gỡ mà là "anh nuôi” của em thì vừa hay lại vừa "an toàn" quá còn gì nữa 2 Nào “cô em gái thân yêu" đã có lối thoát chưa ? Hỏi : Một tên đọc trộm nhật ký của muội thì muội có nên đọc trộm nhật ký của hắn không ? Huynh nhớ trả ï nhé | : Thất tinh Bắc dau (6C, THCS Xuân Hòa, ! Mê Linh, Vĩnh Phúc) | Đáp : Nếu muội cũng đọc ! trộm nữa thì có nghĩa là "lấy ! độc trị độc" và khi đó muội ! ¡ hắn nên viết chung mi quyển nhật ký để đỡ phải đọc trộm của nhau
Hồi : Tiêu chuẩn viết thư
để được anh trả lời là gì ? TINH TINH ! (Xóm 13, xã Xuân Thủy, | Xuân Trường, Nam Định) : Gi) Đáp : Tiêu chuẩn quan trọng nhất là : anh trả lời
được ! Có câu hỏi vượt quá
“khả năng thực tế” của anh
thì anh đành nhắn các em "đi" hổi nơi khác Chẳng
hạn, có em bảo anh phải “truyền lại kinh nghiệm yêu đương thủa thiếu thời” thì anh “bia” ra làm sao được vì anh thiếu “thực tế" Nếu anh
chưa trả lò
cũng sẽ
trả lời được ! Khi nào trả lời được thì anh sẽ trả lời
Sinh ra Phó Gỡ trên đời Nhiệm vụ anh phải trả lời
các em
Tốt mồ hơi cũng bao phen
Chẳng may “hơi dở” khi
xem đừng cười !
Hỏi : Sắp tới sinh nhật của nhóm “Sư tử nhỏ" tụi em Chúng em rất muốn có thơ tặng trong ngày sinh nhật, nhưng chẳng ai biết làm thơ Nhóm có 2 bạn lớp 6 và 2 bạn lớp 7 Anh có tặng được "Sư tử nhỏ" một
bài thơ ngắn không? |
PHAM THI BAC
(7A, THCS Cao Đức,
Gia Bình, Bắc Ninh)
Đáp :
Làm thơ tặng Sư tử nh
Biết mình gặp khó rồi đây
Đọc thơ xin đừng nhăn nhỏ Chúc cho mãi mãi sum vây
Sư tử phải ra Sư tử
Học hành phải Chúa Sơn lâm
Qua bao nhiêu mùa thi cử
Điểm thi chớ có thăng trầm
Lớp trên giúp cho lớp dưới Tỉnh thần em yếu chị nâng Chúc nhóm nay thêm một tuổi
Thêm nồng ấm với tình thân
Trang 343€ Bài 1: Biết rằng : Ja + b + e|< 1; Je|< 1; Chứng minh : |a| + |b| + |c| < 17 | LÊ VÕ VIỆT KHANG (Hà Nội) Ì @eeeeeeeoede @eeeeee D € a eee a 42 | THỊ GIẢI TỐN QUA THU G 9oe©eeoeeoooeeoeo 3$ Bài 2: Phân sốAi Cập ° °
Biểu diễn phân số ; dưới dạng ®
eeoeeoeee tổng của 3 phân số dương có tử © số bằng 1 Có bao nhiêu cách ? ° NGUYÊN PHƯỚC ° (Trường THCS Kim Long, Huế) s ©Ồ©eeeeeoeeeeoeoe Je Je ° *3€ Bài 3 : So sánh A và B biết; | A= (20032002 + 29022002)2003 B = (20032008 + 29922008)2002 NGUYEN VAN HUYNH (Số nhà 159, tổ 47, phường
Quang Trung, Thái Bình)
3K Bai 4: Tam giác ABC có E là trung
điểm cạnh BC sao cho EAB =159,
EAC =30° Tinh géc C
NGUYEN XUAN BINH
(Nhà xuất bản Giáo dục)
3 Bai 5 : Cho hai tam giác đều ABC,
A,B,C, bang nhau và chồng lên nhau
Trang 35
Cháu và mưa
Cháu chọt hỏi bà :
“Ba oi | Mua rơi từ đâu ?”
Bà âu yếm : “Cháu ngoan
Tung giọt từng giọt chất chỉu Từ mồ hôi của bố
Từ tình yêu của mẹ
Từ điểm mười của cháu”
Rồi cháu lại hỏi :
*Bà ơi ! Thế khi nào mưa rơi ?" Bà cười xoa đầu cháu:
“Khi trời ngừng gió
Khi mây ngừng bay xa Khi nắng dịu dàng tắt Trên cao .”' 'Và khi bà kể chuyện Bất chợt, mưa rơi LÊ NGỌC YÊN HÀ (7% THCS Nguyễn Văn Cừ,
TP Pleiku, Gia Lai)
Bà hay ngồi nhớ quê
'Ở phố ồn ào quá ! !
Người đông mà xa la,
Nhà cửa đóng, then cài
Không ai dé mời trầu
Chè xanh mời ai uống ? Nhìn phố khuya đèn sáng, Bà nhớ hàng tre xanh Bà buồn chân, buồn tay Việc chẳng còn gì cả Cái tăm chẳng cần chẻ Nhà sạch chẳng cần lau
Ngày xưa bà đi ở
Vất vả nhiều muốn quên Bây giờ bà ở phố Sao mãi bà không quen ? VU BA VUONG (6B, THPT Ha N6i- Amsterdam) Một cánh phượng hồng nhỏ Ép giữa những dòng thơ Cô học trò ngẩn ngơ Lật từng trang lưu bút Một cánh phượng hồng nhỏ Báo hiệu sắp mùa thi Một cánh phượng hồng nhỏ Báo hiệu mùa chia li Nhìn mãi cánh phượng nhỏ
Đôi mắt bỗng tĩu buồn
Phượng hồng như muôn thủa
Sao mùa này vấn vương Cánh phượng nhìn cô bé Như nói khẽ một lời : Chỉ tạm xa nhau thôi Đừng buồn lâu, bạn nhé ! ĐỖ THANH THÚY (7B, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc) -” .Ơ Ắ Ắ TÀI TRỢ CHÍNH
30 TRIEU DONG GIAI THUONG
Gran prone erm
GUOC THI VU HE BAU THIEN MIEN Ki=2008 since 1250
Trang 36
gay? ` Nhe nhàng - Đẳm thắm 2 _Nhạc và lới:TRẦN ĐỨC, ¬ = = Khi té thay bạc lúc em E SS = vấn còn xánh Khi lóc thầy bạc trắngchúng em đã khôn lớn rồi Thời gian trôi mau Cầu Kiều thầy đưa qua _—=—= = 2 sông Tuổi Ấu thơ như hoa nỡ dưốc mal % =“=== trường Một con đò sang ngang Ôi lòng thầy mênh = cho em yêu ai hai sương một nắng để làm nên lúa 4 = =
‘vang.Balhoclamngubiem vẫn nhớ ghi,cBngcha nghfame on thầy,
Nhạo sĩ Tiền Đức, Hội viên Hội Nhạc sĩ Việt Nam, sinh năm 1987, qué quén tal Nama Dinh, Là nhà báo, đạo diễn truyền hình, bên cạnh những kịch bản âm nhạc, nhạc cho ca cảnh,
cho phim hoạt hình ông còn dành nhiều tình cảm để sáng tác bài hát cho tuổi thơ Một số -
bài hát của ông như Mùa xuân tình bạn, Những bông hồng, v.v đã được phổ biến rộng rãi, được tuổi thơ yêu thích và đã được trao tặng các giải thưởng Đặc biệt hai bài hát Maude ngay maivà Khi tóc thầy bạc trắng đã được tuyển chọn trong tập “50 bài hát thiếu nhi hay ce
Wer, :
_ Khi tóc thầy bạc trắng là sáng tác mà nhạc sĩ Trần Đức xin gửi tặng Toán Tuổi thơ2