ScanGate document GIỚI THIỆU CHUNG PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA Chủ đề 1 Căn bậc hai Chủ đề 2 Căn thức bậc hai và đường thẳng Chủ đề 3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai trương Chủ đề 4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương Chủ đề 5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai Chủ đề 6 Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai Chủ đề 7 Căn bậc Ba Căn bậc N Chủ đề 8 Bài đọc thêm Sơ lược về phương trình bất phương trình chứa căn bậc hai CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT Chủ đề 1 Nhắ[.]
Trang 1
NHA XUAT BAN BAL GIA HA NOI
Trang 3GIGI THIEU CHUNG
Xin tran ‘rong gidi thiộu toi bạn đọc cuốn sỏch
CAC DANG TOAN BIEN HèNH 9 - TẬP 1 Cuốn sỏch bao gồm 2 phần với 4 chương:
PHAN BAI SO
Chương | - CAN BAC HAI - CAN BAC BA
Chương II - HAMSO BAC NHAT
PHAN HINH HOC
Chuong | — HE THUPC LUQNG TRONG TAM GIÁC VUễNG
Chuong Il - DUONG TRON
Ở mỗi chương chứa đựng cỏc bài học (chủ dộ 1, chu dộ 2, .) theo nội dung chương trỡrh của sỏch giỏo khoa mới
Mỗi bài iờu được chia thành 4 mục: A
B G D
Túm tắt lớ thuyết: Trỡnh bày cú trật tự nội dung kiến thức liờn quan Phương phỏp giải toỏn (hoặc cỏc vớ dụ mẫu)
Gụn cỏc vớ dụ được tuyển chọn cú chọn lọc nhằm giỳp hoàn thiện kiến thức cơ bản và nõng cao kĩ năng giải Toỏn Bài tập luyện tập Hương dẫn - Đỏp số Như vậy, ở mỗi bài: ữ 8 3 4 Với việc trỡnh bày mục túm tắt lớ thuyết, sẽ giỳp cỏc em học sinh hiễu rằng cằn phả nắm vững những nội dung gỡ? d Tiếp đú, tới mục phương phỏp giải toỏn, sẽ giỳp cỏc em học sinh hoàn thiện kiến thức
Đặc biệt là nội dung của cỏc chỳ ý, nhận xột và yờu cõu sau mỗi vớ dụ sẽ
giỳr cỏc em học sinh củng cụ những thiết sút và cỏch nhỡn nhận, đỏnh giỏ cỏc
vỏn đề đặt ra
Ngài ra, cũn cú rất nhiều vớ dụ được giải bằng nhiờu cỏch khỏc nhau sẽ giỳp Cỏc học sinh trở nờn linh hoạt trong việc lựa chọn phương phỏp giải
Cuối cựng, cho dự đó rắt cụ gắng, nhưng thật khú trỏnh khỏi những thiếu sút bởi
những hiểu biết và kinh nghiệm cũn hạn chế, rất mong nhận được những ý kiến đúng
gúp quý beu của bạn đọc gắn xa
Mọi ý: kến đúng gúp xin liờn hệ tới:
~ Trung tam Sỏch giỏo dục Anpha
223C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp HCM - Cụng ti Sỏch - thiết bị giỏo dục ANPHA 5c Nguyễn Văn Săng, Quận Tõn Phỳ, TP HCM é”: 08.62676463, 38547464
Trang 4PHAN BAI SO CHUONG | - CAN BAC HAI, CAN BAC BA CHỦ ĐỀ! CXN BACHAI A TOM TAT Li THUYET 1 CĂN BẬC HAI CỦA MỘT
Định nghĩa: Căn bậc hai s
bỡnh phương của nú bằng a Tinh reno fe , Với a >0 hae Tổng quỏt trờn R;
1 'Mại 6 dug a 30 ol lap cin be ha là bỏi đối nhan: k lầm Sete M2
.* xa >0gọilà căn oe hai số học hay con | gọi là căn bậc hai dương
của a i
s —Ja <0 gi cin bach am ca
2 Số 0 o6'can bae Hill db nhất là 0í a
3 Số õm khụng cộ cin bac hai :
2 SO SANH CAC CAN BAC
Dinh li: Với hai số a, b khụng õm, | Núi, : < B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vớdụạl: Tớnh V16, 1,44, V(-8)2 4 Giải Ta cú ngay: V16 =4 vỡ 4>0 và 4? = l6 V144 = 1,2 vỡ 1,2>0 và (1,2 = 1,44 Vi-8)? = V64 =8 vỡ 8 >0 và 8?=64
WF Chit y: Rất nhiều học sinh nhầm lẫn cụng thức:
Trang 5Vớ dụ 2v Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: a 0,16 +4 25 b pt - 036 16 4S Giải 2 a Tac: 0,16 + = Ơ(0,4)? + (2) 2 =04+2 -2 + : w z b Tacộ: 32 - 036 = (3) (0,6 “TS: Vớidg 3E Trong cỏc số 3|(—3)2, In - NI vn 3? số nào là căn bậc hai số học của 9 4 Giải Cỏc số V(-3) , 3? là căn bậc hai số học của 9 bởi vỡ: V9 = (3)? =3>0và V9 = v3? =3>0 Vớ dụ 4i Tỡm x, biết: 1 16 a xX=— b x-1=— 9 : , 9 4Ê Giải 2 ọ ThuBbdm “am | de | ae ct 9 3 3 4 4 Vay, tap hợp nghiệm của phương trỡnh là S = Đ - +} 2 b Tassete~ tjt= 2 = sẻ ox~iee lego ioe set 9 3 3 3 3
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trỡnh là S = Đ: 2} š
@ Nhận xột: Như vậy, thụng qua vớ dụ trờn chỳng ta đó làm quen được với việc sử dụng khỏi niệm căn bậc hai để tỡm nghiệm của phương trỡnh Tuy nhiờn, chỳng ta mới chỉ bắt đầu với
phương trỡnh dạng x? = a” hoặc cần biến đổi đụi chỳt để cú
được dạng này hoặc sử dụng hằng đẳng thức, cụ thể:
io ex? -069(x-Z)(x+4 =0 ox=t _
9 9 3 3 3
Vớ dụ tiếp theo sẽ nõng mức tiếp cận cho chỳng ta
Trang 6a x =4-2V3 b (2x - 1)? =|1 - 2xl Giải a Ta biến đổi phương trỡnh: x'=4-243 =3~24/3 +1=(v3)°-2A3 +1=(43 - 1 ôx=+(A43 ~1)âsx= 43 - l hoặc x= 1 - 43
Vậy, tập hợp nghiệm của phương trỡnh làĐ=(A/3 —1;1- X3]
b Nhan xột rang (2x — 1)? =|1 — 2x), do dộ phuong trinh được viết dưới dạng: Jl —2x[ =|] — 2x] <> |1 2x|(I -2x|— =0 ji —2x|= I-2x=0 x=l/2 Ầâ â|I-2x=1 â|x=0 =5“ ÍĂ 2z [ent Vay, tap hop nghiệm của phương trỡnh là S ={0; 5 Ă1b Œ” Chỳ ý: Chỳng ta đó biột ring: a? > 0 va b? > 0 > a? + b?>0
điều đú cho thấy: a” + b?= 0â a =0 và b=0
đú chớnh là kết quả được sử dụng trong cõu b)
Vidm@s So sdnh cdc sộx =4V3 vay =3V4
.Ê Giải
Ta cú: x2= (42/3)?=16.3=48 và y°=(3A/4)?= 9.4=36
Nhận thấy x?> y?* mà x và y dương nờn x > y
Trang 7b Ta biến đổi: x? + 2x — 3 >0 â x?+2x + >4 â(x + I)*>2?
x+l>2 x>1
S eS ằ
x+1<-2 x<-3
Œ” Chỳ ý: Cỏc em học sinh cần than trọng khi giải dạng bài này vỡ cú thể
mắc phải sai lầm dẫn đến làm mất nghiệm x? > 4? â x >4 hoặc thừa nghiệm x? < 5? <> x <5
Vớ dụ 8o Tim gid tri của x, biết: a x?+2x-3>0 b 4x?-4x <8 4S Giải a Ta biến đổi: x?+2x—-3>0 âx?+2x+1>4ô@â(x+1)?>2? x+1>2 xo | = ° x+1<-2 x<-3 b Ta biến đổi: 4x?— 4x < 10 â 4x?— 4x + 1 <9 â (2x — I}?< 3? â-3<2x-l<3â-l<x<2 PF Chỳ ý: Từ định nghĩa về căn bậc hai, chỳng ta cú mở rộng: B20 VA =Bc Z3 A=B VA =VB @A=B20 Kết quả trờn sẽ được sử dụng nhiều trong bài toỏn giải phương trỡnh Vớ dụ? Giải cỏc phương trỡnh sau: a vx-l =3 b Vx?-3x+2 = V2x?-3x41, 4 Giải a Biến đổi tương đương phương trỡnh về dạng: (Xx—1}*=3? â x-l =9ô>x= I0 Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x = 10
Trang 8C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài l: Thực hiện phộp tớnh: ay 3° a (T5) [-;] b (-0, 25): (=) Bài 2: Tim x, biột: a x2=9, c 4x'+l=8—246 b xˆ=(-2} d x'+I=6-2V6 Bài 3: So sỏnh cỏc cặp số sau: a 0,3 va 0, 2(5) 6 Z4 vÄós/2, 1 | b 4 212D d 6,|— và7 |— [2 giới P2 3 3 7 6 Bài 4: Chứng minh cỏc bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi x a x+122x c XÁ4X)—l)>x?—l b 2x?4+2x-12 -15 d 9x?+ 6ax+a?+Đ >0, a là hằng số Bai 5: Tỡm giỏ trị của x biết: 8 X #25; <25 cc X-1<9;
b x'+2x—5>0; d x?+6ax + 9a? —4>0,a là hằng số
Bài 6: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thitc: A=8 + Vx> +3x-4
Bài 7: Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A = II — Vx? +7x+6
Trang 9b Tacú:x?=(—2)”âx=+l—2l= 42 Vậy, tập hợp nghiệm của phương trỡnh la S= {2 ; — 2] c Tacú: 4x2+1=8—246 â(x#=7—2v6 =6—246 +1=(V6 — lý â2x=+(/8 ~1)@œx=# 2/6 -1) Vay, tip hap nghiệm của phương tỡnh a S= (= (V6 ~Đ;=zQĐ ~Đ) d Tacú: 4+1=6-2V6 âx?=5—2A/6 =3—2A3.42 +2=(\/3 - J2 ÿ x=+(3 - 42) Vậy, tập hợp nghiệm của phương trỡnh là S= {x3 — v2; v2 —43 ) Bài 3: a 0,3>0,2(5) 2 2 b Tacộ: aft =the we-mlal| mat ô2; 2 2 3 9° 9 4 _ fi 1 Nhận thấy 4 <8, doasa ft > 2 [L 9 27° Y3 c Tacộ: (2V3)?=4.3 = 12 va (3V2 2 =9.2= 18 Nhận thấy 12 < 18, dod6 2V3 <342 2 2 d Tacú: sŠ i62 =2 và |7 7 =a 2-7" 7 7T 7 6 6 6 Nhận thấy “ 6 6 6 7 soase [2 ere 7 6 Bai 4: a Tac6:x?+122xx?-2x+1200(x-1)?20 Vậy, bất phương trỡnh cú nghiệm đỳng với mọi x b Tacú: 2x?+ 2x —12> —15 Â>2x?+2x-1+1520 â2x?+2x + 1420 2(x?+x+7)20
extez deat or_lsosaalp +Ã >0 ứ”W 4 5 4
Trang 11c Tacộ: Vx?-7x+6 20 vx?-7x+6 —252 -25 x Vay, ta duoc Anns nn = — 25, đạt được khi: x? — 7x + 6 =0 â x= : d Tacú: x?—6x+ I1=x?—2.3x+9+2=(x—3)+2>2 Vậy, ta được An = 2, đạt được khi (x — 3) = 0 â x = 3 Bài 9: a Tacú: Vx?-4x+13 >0(dox?— 4x + 13>0) 49 15— Vx?—4x+13 <0 Vậy, A khụng cú giỏ trị lớn nhất b Ta cú: —3x? + 6x — 15 = — 3(x? — 2x + 3) l =—3(x— I} +3.2 =—3(x— l)) +6<6 Vay, Bin anst = 6, dat được khi: (x — 1)?= 0 âx= I c Tacú: 12— jJx°—2x+l <12 Vay, Cron naar = 12, đạt được khi: Vx?—2x+l =0 €>x= 1 d Tacộ: 17+ 10x —x?= —(x—5)?+48 <48 Vay, Dign nnat = 48, đạt được khi: (x — 5)? = 0 â x =5 Bài 10: a Biộn đổi tương đương phương trỡnh về dạng: (V2x—1)*=1?â2x—-l=l€ââ2x=2âx= I
Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x = l
b Biến đổi tương đương phương trỡnh về dạng:
x+l>0 x2-1 x>-l
5 7°}, ; ° âx=2
xˆ+Đ=(x+]) x+Đ=x +2x+l 2x=4 Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x = 2
Trang 12cmU pe 2 CAN THUC BAC HAI VA HANG DANG THỨC ý^' =| A| A TểM TẮT LÍ THUYẾT 1 ĐIỂU KIỆN ĐỀ vA cú NA Vandel: PHA DAU TRI TUYET DOI Vidg hk Tinh |x — || BS Gia , x-1 nộux-120 |x-lnếux>l Tac): |x - 1] = „ = : -(x-1) nộux-1<0 |[1-x nộux <1 Vớ dụ Bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối và rỳt gọn biểu thức: = |x — I|+ 2|x + 2|+ 3 6 Giỏ Nhan xột rang: x-1=0@x=1 x+2=0@x=-2
do đú, đi bỏ được dấu giỏ trị tuyệt đối của C ta cần xột cỏc trường hợp:
Trường tợp l: Nếu x <~2, ta được: C= -(x — ]) — 2(x + 2) + 3 =-—3x
Trường tợp 2: Nếu -2 <x < 1, ta được: C = —(x — ]) + 2(x + 2) + 3 =x + 8 lela Nếu x > 1, ta được: C = (x - 1) + 2(x + 2) + 3 = 3x + 6 Taek Tỡm điều kiện của x để |— 2x +1 tồn tại? 7 BS Gid 1
Trang 134 Giải
a Để A cú nghĩa, điều kiện là: 5x + 10 >0 âx>~ 2
Vậy, với x >— 2 thỡ A cú nghĩa
ý 2x+120 “9
b Để B cú nghĩa, điều kiện là: 3x“ -5x+2#0 2 = x# lx vệ
Vay, voi x = -5 vàx#l;x# : thỡ B cú nghĩa
Vớdụ3? Tỡm cỏc giỏ trị của x để biểu thức sau cú nghĩa:
m Ă 3é Bể, bỡ HS dt 6n, -E, x-3
4 Giải
a Để A cú nghĩa, điều kiện là: x”— 36 >0 â x? >6? â | x| >6
Vậy, với | x | > 6 thỡ A cú nghĩa
Trang 154S Giải Ta cú: P= Jx—1+2AxX—1+1 +Jx—1—2/x—1+l =v@ỏX=1+1)# +Q%X=1=é#= ýK=T +1 +|Wz=1-I| — ÍNx=1+1+xx=1—1nếuíx=1—1>0 en = [ae needa tet NE en 2 nếu J~x—1 <1 2 nếu 0<x—1<1 a yet nộu #22 apo 2nộulsx<2 2 “dụ 4i Cho biểu thức A = x? — oe a Từm tập xỏc định của A b Rỳt gọn biểu thức A
c Tinh giỏ trị của A tạix=l d Tỡm giỏ trị của x đểA = :
Trang 16ee Trườnghợp 2: Nếu: 3x +1 3 es 1 agec we ae 3 3 Vậy với a es oÊ 2 , 3 3 3 e Tard: [3x -1] ố<0œ — <0 qd) 9x° =1 3x-1#0 4 1 1 1 > 3 â9%x-I1<0 â|x|<-ôâ-~<x<- 9x* -1<0 3 3 3 Vậy với~ 2<x< 2 thỡ A <0 FT cn y: Ở cõu này ta cú thể làm cỏch khỏc nhanh hơn nhờ việc đỏnh giỏ 1 được: |3x-1|>0 (TXĐ:xz + 3 Do đú (1) â 9x? -1<0đỏ|<S eo Sexes
Vid is a Chimg minh bất đẳng thức va? + vb? > y(atb)? b Tim giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= Ơ(2006-x)? + J(2005-x)? Ê Giỏ
a Xộtbất đẳng thức, vỡ hai vế khụng õm nờn bỡnh phương hai vế ta được:
¿+bề+2Ja? JVb2 > (a + b} e> 2la.bl >2ab, luụn đỳng
Vậy bất đẳng thức được chứng minh và dấu " = " xảy ra khi: 1b >0, tức là khi a và b cựng dấu b Taiiết: A=a/(2006—x)” ++j(x— 2005)? >3j(2006 —x+x—2005)2 = Vậy ta đượcA„Ă„ = 1, đạt được khi: C ~ x)(2005 — x) > 0 <> 2005 < x < 2006
| ĐẠI HỌC QUỐC GIA HA NOI
| TRUNG TAM THONG TIN THU VIEN 17
Le / 3049
C TI
Trang 17Œđ” Nhận xột: Trong cõu a), chỳng ta đó sử dụng phộp bỡnh phương để khử
căn, rồi từ đú nhận được bất đẳng thức đỳng Tuy nhiờn, ta cũng cú thể chứng minh bằng cỏch biến đổi:
4a? +Ab? > yla+b)? â la| + |b|> |a+ bị
Ta thấy ngay, bất đẳng thức trờn luụn đỳng (vỡ đó được chứng minh trong phần bất đắng thức chứa dấu trị tuyệt đối) Vớ dụ li: Timx, : a y(x+1)? =9 b Ơ(x-3)? =3-x 4S Giải a Ta biộn dội về dạng: x+1=9 nộux+120 x=8 nộu x>-1 |x+l1|=9â , = x+1)=9 nộux+1<0 Vậy, ta nhận được hai giỏ tri x = 8 vax = — 10 b Tacộ: Ơ(x-3)? =3-xo|[k-3[/=3-xox-3506xS83 Vậy, nghiệm của phương trỡnh là x < 3
Œđ” Chỳ ý: Trong lời giải cõu b), chỳng ta đó sử dụng tớnh chat: la=—aôâ>a<0 Vớ dụ 2t Tỡm x, biết: x= -10 nộu x<-1 a vƠx-2 +2=x b vx-1 +1<x 4S Giải
a Diộu kiộn cộ nghia: x - 2 >0 â x >2 (*)
Biến đổi phương trỡnh về dạng:
Jx~2 =x- 2â Jx~2 =(Jx-2Ÿœ Vx—2 (WƠx-2-1)=0
HN c -[j
Jx-2-I1=0_ |Nx-2=I
Vậy, phương trỡnh cú hai nghiệm x = 2 và x = 3
b Điều kiện cú nghĩa: x - l >0 â x > l (*)
Trang 18C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bai 1: Tỡm tập xỏc định của cỏc biểu thức a A=VJ5x+40 2x+4 & Co———_ x -6x+9 n4 d p=_#1L_, vx? +123 C= Bài 2: Rỳt gọn biểu thức: Vx? +2V3x +3 (x-4)° [Oe ee 3x+l b B= x —5x +6 d D= ign ` , Vox? 46x41, Bài 3: Giải phương trỡnh: a /x+2Vx4+1 =3 € vx -2vx + = Vx-1 b /4x?-4x+1 =1-2x d Ơx—-2Vx-2-1=Vx-2-1 Bài 4: Cho biểu thitc A = 6x — 1 + Ơx?-4x +4 a _ Fỳt gọn biểu thức A
Tớnh giỏ trị biểu thức A với x = 5 c Tỡm giỏ trị của x để biểu thức A = I
Bài 5: Cho biểu thức A =x +8— Jx”-6x+9 a Rỳt gọn biểu thức A
Tớnh giỏ trị biểu thức A với x = — I
Trang 20d TXD: vx € R\{-1/3} (do 9x? + 6x + 1 =(3x + 1)? 20) Tae: Dex 6é, „2K? Vox?+6x+1 JGx4t? [3x41] “Ta xột hai trường hợp: Trường hợp !: Nếu 3x+ 1 >0 €>x> - 3x +1 Ta duoc: D = =1 3x +1 2 1
Trường hợp 2: Nếu 3x + l <0 <>x< “oF Ta dugc: D= eel cu,
—(3x +1) Bai 3:
a Biộn doi phuong trinh vộ dang:
VWx +I? =3elVx +1l=30 Vx +153 o Vk s2ex=4
Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x = 4 b Biến đổi phương trỡnh về dạng:
VQ@x =? = 1-2x & |2x-1] =1-2x 1-2x<0ex2 >
Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x > > c Biộn dội phuong trỡnh về dạng:
Vx -12 = Vx -1e | vx-1] = Vx-lo Vx-1200 Vk 21exel
Trang 21DEA =1, taco:
Truong hop 1: V6i x 22 thi Tx ~3= 1 eo x = , khụng thoả món Trường hợp 2: Với x < 2 thỡ 5x + I = I â x =0, thoả món
Vậy, x = 0 thoả món điều kiện đầu bài Bai 5: a Điều kiện: x? — 6x + 9 >0, luụn đỳng Ta cú: A=x+8— Jx?—6x+9 =x+8—.J(x~—3)) =x+8—lx— 3l Ta xột hai trường hợp: Trường hợp !: Nếu x — 3 >0 âx >3 Ta được: A =x +8 — (x—3) = II Trường hợp 2: Nếu x — 3< 0 âx<3 Ta được: À =x + 8 - (3 - x) = 2x + 5 Với x = 3, ta được A = I] Dộ A =Ov6ix<3,tacộ: 2x +5=0cox=- 2 Vay, x =—- : thoả món điều kiện đầu bài Bài 6: a Điều kiện cú nghĩa: 2x - l >0 âx > — (*) Nil Biến đổi phương trỡnh về dạng: V2x-1 =2x-1 <> V2x-1 =(V2x-1)?< V2x-1(Vx-2-1)=0 {|0 [rl=0 S x=5 — , thoa man 7 VƠ2x-1-1=0 v2x-1=1 x=l Vậy, phương trỡnh cú hai nghiệm x = ; vàx=l
Trang 22Bai 7:
a Taco thộ lua chon một trong hai cỏch trỡnh bày sau: Cỏch 1: Giải theo kiểu đặt diộu kiện cú nghĩa rồi biến đổi 2 5 7 Điều kiện: Vx eRdox'~=5K+8=- + >0 ==== x=1 Ta cú: jx°-5x+8=2 c> vx)—5x+8=2œx)—5x+8=4œ xX
Vay, phuong trinh co hai nghiộm x = 1 vax = 4 Cỏch 2: Giải theo kiểu biến đổi tương đương x vỡn 5+4 eS 8+4=0 x=4 Vay, phuong trinh cộ hai nghiộm x = 1 va x = 4 x+120 b Diộu kien: 4* 2-x20 & -1<x<2 Taco: Vx +1 -V2-x =00 Vx41 = J2-x coxtla2-xeok=lex= 5 1 Vậy, phương trỡnh cú một nghiệm x = ri Cỏch 2: Giải theo kiểu biến đổi tương đương
lz Sy
Savi = VI exe ta 2-xz0e {** : x+1l=2-x oe x=1/2°
Vậy, phương trỡnh cú một nghiệm x = 7 Bai 8:
a _ Ta cú thể lựa chọn một trong hai cỏch trỡnh bay sau:
Cỏch 1: Giải theo kiểu đặt điều kiện cú nghĩa rồi biến đổi 3
Điều kiện Vx € R do: Wont lax) +5 >0
Tacú: VX'—x+l=x+lâx—x+l=(Œ&x+1#
ô3 x'=x+l=x?+2x+l€ââ3x=0<âx=0 Vậy, phương trỡnh cú một nghiệm x = 0
Trang 23b Ta cú thể lựa chọn một trong hai cỏch trỡnh bày sau: Cỏch 1: Giải theo kiểu đặt điờu kiện cú nghĩa rồi biến đổi
Diộu kiộn Vx € R do x?— 2x +3 =(x — 1)? +220 Ta cú: Jx?—2x+3 =x + 5 ✠x?— 2x + 3 = (X + 5)”
cox Ix +3 = x74 10x +25 co l2 =~22 Cú =—C.,
Vậy, phương trỡnh cú một nghiệm x = =-
Cỏch 2: Giải theo kiểu biến đổi tương đương
x+5>0 x2-5 II
° âx=-—
x?~2x+3=(x+5) 12x =-22 6
Vậy, phương trỡnh cú một nghiệm x = =:
Bài 9: Để nghị cỏc em học sinh giải theo hai cỏch đó biết: Cỏch 1: Giải theo kiểu đặt điờu kiện cú nghĩa rồi biến đổi
Cỏch 2: Giải theo kiểu biến đổi tương đương
Ở đõy trỡnh bày theo cỏch đặt ẩn phụ để cỏc em làm quen
a Điều kiện cú nghĩa: x - 2 >0 â x >2 Viết lại phương trỡnh đưới dang:
x-2-5Vx—-2+4=00(Vx-2)'-5vx-2+4=0 (1)
Dat t= Jx—2, diộu kign t > 0 Khi dộ phuong trỡnh (1) cú dạng:
P54 4=0600-I6-4)=08| 7) ai Hỗ si
t=4 ~ | J/x-2=4 ‘
Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x = 3 và x = 18 b Điều kiện cú nghĩa: 2x— l >0 â>x> >
Trang 24caUBE3 = † TấN HỆ GIỮA PHẫP NHÂN VÀ PHẫP KHAI PHƯƠNG A TểM TẮT LÍ THUYẾT 1 ĐỊNHLÍ Với A >0, B20th VAB VRB 2 KHAIPHƯƠNG MỘT TÍCH ` :
Quy tắc khai phương một tớch Muốn Khai efits một tớch cỏc biểu thức
khụng õm, ta cú thể khai phương từng biểu thức rồi nhõn kết quả với nhau
3 NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC H š oe,
Quy tắc nhõn cỏc căn thức bậc hài: Muốn nhõn cỏc căn thức bạc hai của cỏc
biểu thức khụng õm ta cú te hai cỏc biểu thức dưới dấu căn với nhau rồi lấy căn bậc hai của kết qua đú, S
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vớ dụ: Sử/clựng quy tắc khai phương một tớch, tớnh: a 42549 b 491636 c A2748 g Jeia? Ê Giải a Tacú ngay: ^/25.49 =4252l49 =5.7 = 35 b Ta cú ngay: V9.16.36 = J9./16.V36 = 3.4.6 =72 c Ta viột lai:/27.48 = /27.3.16 = Ơ81.16 =9.4=36
d Tacúngay:V8la? = J81-Va? =9.al
wr Nhận xột: Trong cõu c), nếu chỳng ta vận dụng một cỏch mỏy múc quy tắc
khai phương một tớch sẽ khụng nhận được kết quả gọn
Trang 25Vid Bs Rứ gọn cỏc biểu thức sau:
a ^Ja*(-a)?, với a> 3 “2 — afaS(a—b)? , voia<b<0 a-b 4Ê Giải a Tacộ:ya*G—ay? = va J@—a)? =a2/3—al = aXa—3) b Tacú: —GVa°(ab)' = — Na ta —b) = —Rè.la~b| a<b<0 1 = aap oH) aaa Vớ dụ 4t Thực hiện phộp tớnh: a A=(Ơ8 +72 -V2)v2 b B=(Ơ4+7 -V4-7) c C=(3Ơ5+Ơ2)3V5-42) Giải a Ta cú: A= 8.42 +72.42 -42.42= 416+4ẽ144 -2=4+12—2= 14 b Ta cú: B= (ari) 2a a +(e) =4+ 47 -24(4++47)4-47) +4- Ơ7=8-2V16-7 =8-23=2 c Tacú:C=(3x5}'-2=45-2=43 đ” Nhận xột: Như vậy, trong cõu c), bằng việc sử dụng hằng đẳng thức chỳng ta đó giảm được đỏng kể độ phức tạp Vớ dụ 5g a So sỏnh VJ16+4 với Vi6+V4 b Chứng mỡnh rằng va+b < va+vb „ với mọi a, b dương 4Ê Giải a Nhận xột rằng: (4/16+4)°=20 và (A16 +4)? = (44 2)? = 36 suy ra: (4/16+4 )?< (416 +44 )?= Vl6+4 < I6 +24
b Hai vế của bất đẳng thức khụng õm nờn bỡnh phương hai vẽ, ta được: (ía+b}?<(va +Vb)°âa+b<a+b+2Xab 0<2A/a.b, đỳng
Trang 26@ Nhan xột: Cach đặt vấn dộ cha vi du trờn, giỳp chỳng ta tiếp cận với bất đẳng thức trước khi đi chứng minh nú Tuy nhiờn, nếu đặt vấn đề
theo kiểu ngược lại, chỳng ta sẽ được quyền sử dụng bất đẳng
thức này để đưa ra đỏnh giỏ cho phộp so sỏnh
Vớ dụ: a Chứng mỡnh bất đẳng thức:
lac + bdl < (a? +b7)(c? +d’) (Bat dang thite Bunhiacopxki)
b Biột x? + y? = 52 Tim gid tri lon nhdt va nho nhdt cia biộu
thitc: A =3x + 2y
4 Giải
a Hai vộ của bất đẳng thức khụng õm nờn bỡnh phương hai vế, ta được:
(ac + bd)’ < (a? + b’)(c? + d’)
= a’c’ + b’d? + 2acbd < a?c? + b’c? + a?d? + bỶd?
â bfc? + a’d? — 2acbd > 0 < (be — ađ)? > 0, luụn đỳng a b Dau “ =” xảy ra khi: be =adô> —=— c b Nhận xột rằng: „ TAI=lọx+2yl< 4|(3? +2?)(x? +y?) = V13.52 =26 >~—26< A <26 Dấu “ = ” xảy ra khi: 35 “19x 3Lvà y =2 do đú: 2 2 =6vay=4 52=x?+y? = (30? + (20? = Brete4etet2a]~ OMY X =-6vày =-4 Vậy, ta được:
Am = 26, đạt được khi x = 6 và y = 4
AMu = —26, đạt được khi x = —6 và y = -4
’ 2x? ~ax —3a?
Vớ dụ 2: Cho biộu thic: A = —~————
2x? —5ax+3a? a Riit gon biểu thức A
b Chứng mỡnh rằng A = (a+ Va? +1) khix = Va’ +1 Giải a Ta cú: Raz 2x? —ax —3a? _ 2x? +2ax —3ax — 3a? 2x? —Sax+3a? 2x?—2ax—3ax+3a?
2x(x+a)-3a(x+a) _ (x+a)(2x—3a) _ x+a 2x(x—a)—3a(x-a) (2x-3a)\(x-a) xa
Trang 27b Thay x =Va?+1 vio A= aoe: x-a Ta cú: R= va?+ita — (\a2+1+a)\a?+l+a) (Va? +1 +a)?
va? +1-a (Va? +1)? -a? a? +1-a?
=(a+ Va? +1)? (dpem) at+b-vVab Va-vb-1 ava +bvb a-b a Rỳt gọn biểu thức A b Tớnh giỏ trị của A, biết a — b = 1 Vớ dụ 8o Cho biểu thức: A = 4 Giải
a Nhận xộtrằng: ava +bb = (Xa)? +(Vb)° = (ía +xb) (a+b— 2/ab)
đo đú, biểu thức A, được biến đổi như sau:
a+b—vab ⁄a-db-Il_ 1 va-vb-l
A= = =
(Jatvb\(a+b-vab) a-b at+vb = a-b _va-vb va-vb-1_ Va-vb-(Ja-vb-1)_ 1
a-b a-b a-b a-b'
b Vớia—b= I, ta suy ra A = l
Vid 9s Cho hai biộu thite: A= Vx? -3x+2 vaB= Vx—1vx-2
Tim x dộ A cú nghĩa Tỡm x đểB cú nghĩa
Với giỏ trị nào của x thỡ A = B?
Với giỏ trị nào của x thỡ chỉ A cú nghĩa, cũn B khụng cú nghĩa?
SP
oe
4 Giải
a Viột lai A dưới dang: A = (x—1)(x—-2)
Để A cú nghĩa điều kiện là (x — 1)(x — 2) > 0 ta lập bảng xột dấu, dựa trờn: x-l=0Cx=l x-2=0@x=2 như sau: x 1 2 x-1 = 0 + I + x-2 = | = 0 + (x-1)(x-2) | + 0 = 0 + Từ đú, suy ra: (x — l)(x — 2) >0 â x < I hoặc x 22
Vậy, C < 1 hoac x 2 2 thỡ A cú nghĩa
Trang 28; eT ae x-120 x21 b Dộ Bcộ nghia diộu kiộn 1a: = x-2>0 Vậy, với x > 2 thỡ B cú nghĩa c Để :ú A =B, tức là: -120 21 V(x -1)(x -2) =Vx-1Vx-2 ={* soe age? x-22 Vậy, với x> 2 thỡ A =B
d Ta cú ngay, với x < I thỡ chỉ A cú nghĩa, cũn B khụng cú nghĩa
Vớ dụ 10 Cho a, b, c và a°, b`, c° là số đo cỏc cạnh tương ứng của hai tam giỏc đồng dạng Chứng mỡnh rằng:
Jaa’ + Vbb' + vec’ = lat bt+oj(a'tb'tc)
4&S Giải
Giả sử hai tam giỏc đồng dạng với ti số k, suy ra:
#.” a boc 8 hesat ales, b nh =6:
Khi đú, ta biến đổi được đẳng thức cần chứng minh về dạng:
Vka? + Vkb? + Vkc? = J(at+b+c)(ka +kb + kc)
@avk + bvk +ovk = Vk(a+b+c)?
œâ X(a+b+c)= 4k (a+b +c), luụn đỳng
(đ” Nhận xột:
1 Như vậy, trong lời giải trờn để chứng minh đẳng thức chỳng ta đó sử
lụng cỏch "Biờn đổù tương đương đẳng thức về một đẳng thức đỳng" Tuy nhiờn, ta cũng cú thể sử dụng cỏch biến đổi một vế thành vế cũn lại, cu thộ: Xaa' + xbb' + vcc =Vka” + Vkb? + Vkc? =avk +bVk +cvk = vk (atb+c) = A|k(a+b+c)? = /(a+b+c)(a + kb + kc) = A(a+b+c)(a+b'+e') (đpcm)
2 Qua cỏch biến đổi trờn, chỳng ta thấy ngay rằng việc sử dụng quy tắc
hai phương một tớch cú thể giỳp làm xuất hiện nhõn tử chung trong một biểu thức Nhận định này sẽ giỳp chỳng ta trong việc biến đổi biểu sds đạng tớch và được sử dụng nhiều trong dạng toỏn "Gidi
trỡnh chứa căn bậc hai "
Trang 29Vớ dụ 1l Giải phương trỡnh Vx? -9 -VƠx-3 =0 4S Giải Điều kiện: | : mm SN BY 2y ng, x-320 x23 Biến đổi phương trỡnh về dạng: Ax-3Ax+3-x—3 =0 Xx-3(4x+3 —1)=0 “San oft! l Vx+3=1 x+3=l x=-2(loại)
Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x = 3
Œđ” Nhận xột: Như chỳng ta đó biết, phương trỡnh trờn cũn cú thể được giải bằng phương phỏp biến đổi tương đương, cụ thể: Jx°-9—jx~3 =0 Vx? -9 = VƠx-3 x-320 x23 So 2S x? -9=x-3 (x -3)(x+3)=x-3 x23 x23 = â ex=3 (x-3)(x+3-1)=0 x =8 hoadc x =-2 Vay, phuong trinh cộ nghiộm x = 3 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bai:l: Tớnh: a 49.100 b Jor c 7232 d (121.490 Bài 2: Rỳt gọn cỏc biểu thức-sau: a 2748(a—3)° b 48.752?
Bài 3: Rỳtgọn cỏc biểu thức sau:
Trang 30Bai 7: Cho a> Chting minh ring: Ja+1 > Ja +l Bài 8: Cho a > 1 Chimg minh rang: Va-1 < Va Bài 9: Chứng minh rằng: #6 — 1543 = 2 Bai 10: Tinh gia trị của biểu thức: a A=x?42x +4 l6vộix= V2 -1 b B= x?4 12x — 14vdix=5 2 -6 Bai 11: Cho hai biộu thie: A= J2x? -3x+1 vaB= Vx—-IV2x-1 a Tim x dộ A cú nghĩa b Tỡm x để B cú nghĩa
c Với giỏ trị nào của x thỡ A = B?
d Với giỏ trị nào của x thỡ chỉ A cú nghĩa, cũn B khụng cú nghĩa?
Trang 319 3 9 3 c tacsic=[ (B+ 8 v2 vó = v2, +3, s~v242 = 2+ ấˆ-22=J5+Vó~2=1+ V3 Bai 5: a Tacú: A=(V5 42 + IV5 -1) = V5.5 405 V2 +8 - V5—42 — 1 =5+ Ji0-V2-1=4+ Vi0-V2 b Tacú: B=(V2+1+ 43⁄2 +1— ⁄3)=(V2+1#-(V3)2=2+2/2 +1—3 =2 c Tacú: c= 4-3 -44+3}ÿ = 4-v3+4+3~24-3 4+3 = 8-24(4-V3)(4+4 V3) =8-V16—3 =8-Vi3 Bài 6: a Tacú: VT=v8+2V5 = VJ3+5+245 =|QVJ3+V5)? =VJ3+5 =VP b Tacộ: VT= Ơ9+4V5 = (44+5+2.2V5 =J/(2+V5y = J5+2= VP
Bai7: Voia>0,tacộ: (Va+l)=a+2Va +1;(vatl)=atl Nhan thay: a+ 1+2Ja >at+1>0(Va4l)? >(Va+l)
Vay, ta được Va+l> VJa+l
Bài Đ: Vớia>1,tacú: (Va—1)*=a— 1;(vVa)°=a Nhận thấy: a>a—1>0â (/a—1)? <( xa}
Vậy, ta được va—1 < va Bài 9: Ta cú: (W3 -2#=3+2-2.3.J2 =5—2x6; (V6 -1?=1+6-2.46 =7—26 Dễ thấy, 5—2^/6 <7—2^/6 Vy, ta được V6 —1> V3 - 42 Bài 10: a Thay x = 2 — 1 vao A, ta được: A=(2 —1#+2(V2 -1)+16=2-2V2 +14+2V2 -2416 =17 b Thay x=5 2 —6 vo B, ta được: B= (5V2 —6)?+ 12(5V2 —6)-14=50-60V2 +36+60V2 ~72-14=0 Bai 11:
a Viột lai A duội dang: A= J(x—IQx-1
Để A cú nghĩa điều kiện là: (x — 1)(2x — 1) > 0 ta lập bảng xột dấu, dựa trờn:
0âx=l
Ế B CDTĐHĐS9-TI
Trang 322x-1=0@x= Nil nhu sau: x 1/2 1 Xei | = | - 0 + ax-1 | — 0 + I + (x=1)(x-2) | + 0 - 0 +
“Từ đú, suy ra: (x= ĐỢx ~ 1)>0Ê3x < 2 hoặc x > è Vậy, với Ks hoặc x > I thỡ A cú nghĩa ơ x-l>0 x2 b Để B cú nghĩa điều kiện là: â 1 @x2h 2x-l>0 x>— 2 Vậy, với x > ] thỡ B cú nghĩa c ĐểcúA =B, tức là: <-150 x21 V2x? -3x4 1 =Vx-IV2x-1O 3 1x2 2x-120 x>~ Vậy, với x > I thỡ A =B d Ta cú ngay, với x < 3 thỡ chỉ A cú nghĩa, cũn B khụng cú nghĩa Bài 12: Nhận xột rằng: IAL = I2x +31 < J2 +3?Xx?+y?) = V13.117 =39 â~39 <A <39., x ở =t€âx =2 và y = 3t do đú: Dấu * =” xảy ra khi: — 3 3 ; ; =6vày=9 117=x'+y? = (202 + (302 = 13Ẻ =9 c>t=+3 = | Xõy x=-6vày=-9 Vậy, ta được:
Trang 33Ta đi chứng minh Vp < /p-a + /p—b + Jp—c bang phộp biộn dội tương duong, cu thộ: vp < Jp-a + J/p—b + Jp-c âp<p-a+p-b+p-c+ +2 /@-aXp—b) +2/(p-e(p-a) +2-/(p=bJp=e) 0<2//(p-a)(p—b) +2.[(p—e)(p~a) +2./(p—b)(p=c) Bài 14: a Điều kiện: x + 2 >0 â x >-2 (*) Biến đổi phương trỡnh về dạng: 3x +2 =2(Jx +2)? â 3x +2 = 2x +2) â x = 2, thoả món (*) Vậy, phương trỡnh cú nghiệm x = 2 ?— Ti >1⁄2 NT: TY ng lu 2x+l>0 x>-1/2 x=-l/2 Biến đổi phương trỡnh về dạng: í2x—1AJ2x+1-242x+l =0â V2x+I(42x—1 —2)=0 1 ⁄2x+l=0 [x-3=0 |**7 vi c o = „ thoả món (*) x2Zx=Íl=ỉ x+3=l xe-l 2 i mm Í 4 5 Vay, phuong trinh tớ nghiệm Xe VI Sa Bài 15: a Biến đổi phương trỡnh về dạng: x-2 + \4(&x-2) -ó Box -2) =4 â Vx-2 +2Vx-2 - Vx-2 =40Vx-2 =26x-2=405x=6 Vay, phuong trinh cộ nghiộm x = 6 x+420 b Điểukiện: 41-x>0 =-4<x< 1-2x20
Phương trỡnh viết lại dưới dang:
Trang 34CHỦ ĐỀấ4 _ [TấN HỆ GIỮA PHẫP CHIA VÀ PHẫP KHAI PHƯƠNG A TểM TẮT LÍ THUYẾT 1 ĐỊNHLÍ ˆ bu rờn Với A >0,B>0 thỡ _ -XA, ; B vB
2 KHAIPHUONG MOT THUONG =~
Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai
g lần lượt biểu thức bị chia Ava
biểu thức A > 0, B > 0, ta cú thể khai phư ù
quả thứ hai -
biểu thức chia B Sau đú lấy kết quả thứ nh: 4 CHIA HAI CĂN THỨC BẬCHAI
Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: \
khụng õm A cho căn thức bậc hai của biểu thức dương B, ta cú Và chia tim
thức A cho biểu thức B rồi lấy căn bậc hai của thương đú B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vida ds Thực hiện phộp tớnh: a A=V72:V2 b B=(V12 -V27 +V3): V3 c C=(5V3+3.5): V15 Giải a Ta cú ngay A = V72 :AJ2 = Ơ72:2 = J36 =6 b Ta cú ngay: B= (V12-V27 +3): V3 = V12:3-V27:3+3:3 = V4-V9 +1 = c Ta viết C dưới dạng: ans -_ 33 „35 _ C= (5V3 +3Ơ5): V3.5 = FERRE WF Nhận xột:
l Trong cỏc cõu a) và b), chỳng ta thực hiện phộp bằng bằng việc sử
dụng ngay quy tắc chia hai căn thức bậc hai Tuy nhiờn, cõu b) cú thể thực hiện theo cỏch biến đổi:
v12 -427 +43 = V4.V3-V9.V3 + V3 =2V3 -343 + V3 =0
B=0
Trang 352 Trong cõu c), chỳng ta thực hiện tỏch 15 = 432/5 Tuy nhiờn, cũng cú thể thực hiện như sau: eg ela Tae oS ee = 543 Vớidụ 2+ Rỳt gọn biểu thức: 9-4/5 V3+5 a A= b B= 2-45 - ⁄2 4S Gidi a Ta cú ngay: A-x9-4/5 _4~2245 +G/5)) _j@-+J5)” _12-V51 _ 2-5 2-5 2-5 2-J5 b Ta cú ngay: pn PE [Ene AS ols 4) _ Ơ5+1 “Vo2 V4) 2 — 8 8 ` HF Chi ý
1 Trong lời giải cõu a), cỏc em học sinh cần chỳ ý tới dấu của 2 -J/5 <0
để xỏc định được đỳng gia tri cho A
2 Trong lời giải cõu b), bằng việc nhõn cả tử và mẫu với 2 chỳng ta đạt được hai mục đớch: " Mẫu số trở thành số chớnh phương ô _ Tử số được biến đổi vẻ dang bỡnh phương mộtnhị thức Vớ dụ 3t Rỳt gọn cỏc biểu thức: 2 6 2 a A= & IE wins b Vb i Bee b 4 Giải a Trước hết ta i “ne quy = nhõn hai căn bậc hai, rồi biến đổi tiếp: bậc a5 ađ _a‘ ar eae 1h b Tabiến ức oes la+3l_ b*
- Emsttrlftnefioi b(a +3) nếua > —3
b(a+3) nếua+3<0 ` |—b(a+3) nếua < -3`
Trang 36@ Nhộn xột: Nhu vậy, trong cõu a) nếu chỳng ta vận dụng quy tắc khai
phương một thương một cỏch mỏy múc sẽ khụng nhận được kết quả gọn Vớ dụ 4i Kỳ: gọn cỏc biểu thức: a-b a+b—2vab ơ XVX -y y txJy -yvx BS Gici a Tacú:A= Gia -vb)va + vb) = (la=vby" ane imdb = (Va- vb) -(Va- vb) =0 b Ta cú: *e x+y+2jxy _ (x + Jy)? xvk -y y +xJy -yvx x(x + Jy)-yGly +-Ơx) We+vyy _ Q**e#) 1 Wx+Jyx-y) Wx-JyWk+ Jy) Äx-y, WF Nhin xột:
l Trong lời giải cõu a), chỳng ta đó lựa chọn cỏch đơn giản từng biểu
thức, dựa trờn việc phõn tớch tử số thành cỏc hằng đẳng thức Tất nhiờn,
kiểu thức cũng cú thể được đơn giản bằng việc quy đồng mẫu số, xong cich giải này hắn phức tạp hơn
2 Trong lời giải cõu b), chỳng ta đỏnh giỏ được tử số là một hằng đẳng
thức, tuy nhiờn mẫu số khụng phải là hằng đẳng thức, do đú chỳng ta sử dụng, nhương phỏp nhúm số hạng để phõn tớch nú thành tớch Vớ dụ 5 a So sỏnh 25-16 voi 25-16 b Chứng mỡnh rằng với a >b >0 luụn cú: Va—b > va-vb 4 Giả a Ta mận thõy:425—16 = V9 =3 và 25-16 =5—4=1 > 425 —16 > 425 16
b Hai :ế của bất đẳng thức khụng õm nờn bỡnh phương hai vế, ta được:
Qa~b)?> (⁄a =b)°€a-b>a+b—24a.b
@2Va.b > 2b â vb(va ~vb) >0, luụn đỳng với a > b > 0
Trang 37@ Nhộn xột: Cach đặt vấn đề của vớ dụ trờn, giỳp chỳng ta tiếp cận với bất
đẳng thức trước khi đi chứng minh nú Tuy nhiờn, nếu đặt vấn dộ
theo kiểu ngược lại, chỳng ta sẽ được quyền sử dụng bất đẳng
any ened ao eee _ vex 2 3 1 Cho biểu ee thức: A= Se es a Tỡm điờu kiện để biểu thức A cú nghĩa b Rỳt gọn biểu thức c Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi x = = l 9-27 4 Giải x-1>0 x21 a Điều kiện để biểu thức A cúnghĩa: {x 20 â 4x>0 âx>l Jx-1z0 x#1 Vậy, tập xỏc định của A là x > 1 b Ta cú: = (Vx=1+ Vx) +Wx-1-Vx) „ xl Wx-) — TƯ IéO xi =-2⁄*~L ¿xô-2JX=I +x=eœ&~D=2VxX=1 +1=(XK=T - 1) x-1-x c Trước hết, ta đi đơn giản biểu thức giỏ trị của x, bằng cỏch: x= B3 536+2/7) _ _ 539+2/7) _o 2/7, 9-2/7 @-2/70+2/2) 81-28 Khi đú: A=(+2/7-1 -1=(\j8+2V7 - tỷ =(7+2W7 +1 —1?=[7+10? -1P =(V7 +1—1#?=7 Vậy, với x == aT thỡ A =7 r Nhận xột:
1 Trong lời giải cõu b), ở bước biến đổi thứ hai, ta bỏ được dấu trị tuyệt đối do điều kiện x > 1 đó xỏc định ở cõu a)
2 Trong lời giải cõu c), để nhận được kết quả A = 7, chỳng ta đó phải
thực hiện hai cụng việc:
" _ Đơn giản biểu thứt giỏ trị của x, bing cỏch nhõn cả tử và mẫu với 9 +
27 Ban chat cha việc làm này được gọi là " Phộp nhõn liờn hop" hỳng ta sẽ nghiờn cứu kĩ trong chủ đề sau
Trang 38Vớ dụ Z+ Cho hai biộu thitc: A=
"— Dơn giản biểu thức giả trị cưa A, bằng cach tach 8 + 247 thanh
7 +27 +1 dộ nhan được một nhị thức bỡnh phương, từ đú khử được căn thức x-] vx-1 va B= x-3 Jx-3 a Từm x đểA cú nghĩa b Tim x dộ B cộ nghia
c Với gid tri ndo cua x thi A=B?
d Với giỏ trị nào của x thỡ chỉ A cú nghĩa, cũn B khụng cú nghĩa? Giải x-1 Dộ Aco nghia diộu kiộn là >0 x-3 ta lập bảng xột dấu, đựa trờn: = x-1=0@6x=1;x-3=00x=3 như sau: x 1 3 x-1 - 0 + | + x-3 ~ | ~ 0 + x-1 = + 0 - II x-3 5 Từ đú, suy ra: = : 20x <1 hoac x >3 x-3 Vậy, với x < 1 hoac x >3 thi A cộ nghia x-120 = ~ >3 x-3>0 —— ._ Để B cú nghĩa điều kiện ơ x>3 Vậy, với x >3 thỡ B cú nghĩa Đề cú A =B, tức là: JŠ—1 = X5-1 œ2 #712 Og, [xR] x-3 x-3 x-3>0
Vay, voi x >3 thi A=B
Trang 39Bai 2: Rỳt gọn cỏc biểu thức: d = 3 V5+1 b Ba 2+ V6 c pge\S?2/6 ` 4+24 Rv 3 c co lave =1 f F= 7-43 v3-2 Bài 3: ` Rỳt gọn cỏc biểu thức: =3,,|(a=2)* bb fee,
a A=3 = (a-b) a-by
Bài 4: Cho biểu thức A =x°~ x ẽế Tớnh giỏtịbiểnthứ A với x= 2+ >
me onsale E69) a Rỳt gọn biểu thức A b Chob= I,tỡm a để biểu thức A = 2 1 2vx -2 1 a Bai 6: Cho biểu thitc: A = led xvx - THỊ _—_2VX-2 _ TH] 1 x-l a Rỳt gọn biểu thức A b Tim x dộ A= = Bai7: Cho hai biộu thie: A= f|%—! yap= 2221 x-3 2x-3 Tim x dộ A cộ nghia Tỡm x để B cú nghĩa
Với giỏ trị nào của x thỡ A = B?
Trang 40D HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài |: a Tecd: A = V72 4/18 = V72:18 =3, bị Toeú:B=V82:Vẽ17 = [22 = ian ơ I7 V713 V9 3 c Taos =| [2 | 248) bm [28S va8S=Vó~a (8v a=a~2V8, Bai 2: a Tacd ơ ;p= 2V2+vĐ _ í2@+3) _ v2 b Tacú:B= = _~ 2 ` 4+J24 22+J3) 2,
€c Treúc= 14) - d=Va(I+Va+a) _ -vó-+Va+a)_ ~0+ va +a)
a-] (Ca -IXva +l) (a- ath - dati Ổ d Tacú: D= V6+2V5 _ W6+2N5 V5+1 541 TH an nh vn _ 7-43 _vJ3-2.263 +4 _JQ3-2) _B-21_ Rm NE V3-2 v3 -2 f Tacd: Bai 3: 2
a Tabiến đổi: A=3 |? =— = 2la-2I
_ ] 2a-2)nếua-2>0 F 2(a —-2) nếua >2 7 ~2(a ~2) nếu a < 2 `
~2(a -2) nếua—2< 0
b Tabiến đổi: B=(a-b) Xab =| eee rH Xab nếua >b
|a-bị ab nếua-b<0_ |-vab nếua<b_
Bài 4: mae VỆ 0A, tưpc a= 2
eo 10