CĂc khĂi niằm
Phương trình phi tuyến, hay còn gọi là phương trình ôi số hay siêu việt, là phương trình có dạng f(x) = 0, trong đó f là một hàm số (ô số hay siêu việt) phụ thuộc vào biến x Nghiệm của phương trình này có thể là số thực hoặc số phức, tuy nhiên, chúng ta chủ yếu khảo sát các nghiệm thực (x ∈ R).
Nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh (1.1) l số thỹc α thọa mÂn (1.1), tực l khi thay v o x ð vá trĂi ta ữủc f(α) = 0 Khi õ, α cỏn ữủc gồi l khổng iºm cừa phữỡng trẳnh (1.1).
ị nghắa hẳnh hồc cừa nghiằm
Ta v³ ỗ thà cừa h m số: y = f(x) (1.2) trong hằ tồa ở vuổng gõc Oxy (hẳnh 1.1).
GiÊ sỷ ỗ thà cưt trửc ho nh tÔi mởt iºm M thẳ iºm M n y cõ tồa ở (α; 0) Thay v o (1.2) ta ữủc:
Vêy ho nh ở α cừa giao iºm M chẵnh l mởt nghiằm cừa (1.1) Trữợc khi v³ ỗ thà, nhiãu khi ta cụng cõ thº bián ời phữỡng trẳnh (1.1) vã dÔng tữỡng ữỡng: g(x) = h(x) (1.3) rỗi v³ ỗ thà cừa 2 h m số.
GiÊ sỷ 2 ỗ thà Đy cưt nhau tÔi iºm M cõ ho nh ở x = α thẳ ta cõ g(α) = h(α).
Vêy ho nh ở α cừa giao iºm M cừa hai ỗ thà (1.4) chẵnh l mởt nghiằm cừa (1.3), tực l cừa (1.1).
Sỹ tỗn tÔi nghiằm thỹc cừa phữỡng trẳnh phi tuyán
Trước khi tắm cách tĩnh gần ứng nghiệm của phương trình (1.1), chúng ta cần xem nghiệm ứng nghiệm đó có tồn tại hay không Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp Bolzano - Cauchy Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] và thỏa mãn điều kiện f(a) * f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b) Nghĩa hình học của định lý này khá rõ ràng: đối với hàm số liên tục y = f(x) trong a ≤ x ≤ b, tồn tại một đường cong liên tục (đường nét) nối hai điểm A và B, khi di chuyển từ điểm A (a, f(a)) sang điểm B (b, f(b)), hai phía khác nhau của trục hoành, đường cong này phải cắt trục hoành tại ít nhất một điểm (có thể nhiều điểm).
Chia oÔn [a, b] th nh 2 phƯn bơng nhau bði iºm a+b
2 Chia [a 1 , b 1 ] th nh 2 phƯn bơng nhau bði iºm a 1 +b 1
Cự tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta xƠy dỹng ữủc 2 dÂy {a n },{b n }m {a n } l dÂy tông, {b n } l dÂy giÊm, v f(a n ) cũng dĐu vợi f(a), f(b n ) cũng dĐu vợi f(b).
DÂy {a n } tông, bà ch°n trản bði b ⇒ lim n→∞a n tỗn tÔi.
DÂy {b n } giÊm, bà ch°n dữợi bði a ⇒ lim n→∞b n tỗn tÔi. °t α = lim n→∞a n ; β = lim n→∞b n
=⇒0 ≥f(α) ≥ 0⇒ f(α) = 0 v α ∈ (a, b). ành lỵ ữủc chựng minh.
Hằ quÊ 1.1 (Hằ quÊ cừa ành lỵ Bolzano - Cauchy) Cho f(x) l mởt h m số xĂc ành, liản tửc trản oÔn [a, b] Khi õ f(x) lĐy ẵt nhĐt mởt lƯn mồi giĂ trà nơm giỳa f(a) v f(b)
Chựng minh Thêt vêy, º ành ỵ, giÊ sỷ f(a) ≤ λ ≤ f(b), khi õ tỗn tÔi iºm giĂ trà c ∈ (a, b) sao cho f(c) =λ.
Thêt vêy, °t g(x) = f(x)−λ ⇒ g liản tửc trản [a, b]. g(a).g(b) = (f(a)−λ).(f(b)−λ) ≤0
+ Náu g(a) = 0 ho°c g(b) = 0 thẳ suy ra f(a) = λ ho°c f(b) = λ. + Náu g(a) 6= 0 v g(b) 6= 0 thẳ suy ra g(a).g(b) < 0.
Theo nguyản lỵ Bolzano - Cauchy, suy ra tỗn tÔi c ∈ (a, b) sao cho g(c) = 0.
Hằ quÊ ữủc chựng minh.
Chẵn vằn nỗi dung của Hằng quê nảy mầm lý trần còn mang tản ánh lý và các giá trị trung gian của hằng liễn tửc Định nghĩa 1.1 Khoảng (a, b) nào được gọi là khoảng phân li nghiằm (còn gọi là khoảng cách li nghiằm hay khoảng tách nghiằm) của phương trình (1.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách xác định và phân tích các phương trình, đặc biệt là việc thiết lập f(x) như một hàm số xác định và liên tục trong một khoảng nhất định Chúng ta cũng sẽ thiết lập các nghiệm lặp, từ đó hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các nghiệm khác của phương trình Khoảng lớn nhất (chứa α) được gọi là khoảng cách liên tục của nghiệm α.
CĂc bữợc giÊi gƯn úng phữỡng trẳnh
Bữợc giÊi sỡ bở
- VƠy nghiằm: l tẳm xem cĂc nghiằm cừa phữỡng trẳnh cõ thº nơm trản nhỳng oÔn n o cừa trửc x.
- TĂch nghiằm: l tẳm cĂc khoÊng chựa nghiằm sao cho trong mội khoÊng ch¿ cõ úng mởt nghiằm.
- Thu hàp khoÊng chựa nghiằm: l l m cho khoÊng chựa nghiằm c ng nhọ c ng tốt.
Sau bữợc giÊi sỡ bở, ta cõ khoÊng chựa nghiằm ừ nhọ. º tẳm khoÊng chựa nghiằm, ta cõ thº dũng mởt trong cĂc tiảu chuân sau:
* Tiảu chuân Bolzano - Cauchy (xem ành lỵ 1.1).
Hàm số f(x) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b] Nếu f(a) và f(b) có dấu khác nhau, tức là f(a) * f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm duy nhất trong khoảng (a, b) Đặc điểm hình học của hàm số là: độ dốc của một hàm số liên tục tông chất (giảm chất) luôn là một đường cong liên tục (liên tục) Khi di chuyển từ điểm A (a, f(a)) sang điểm B (b, f(b)), hai phía khác nhau của trục hoành phải cắt vạch trục hoành một lần.
Chựng minh Tứ giÊ thiát, vẳ f(x) l liản tửc v ỡn iằu nản trản
Để chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b), ta cần điều kiện f(a) * f(b) < 0 Điều này cho thấy rằng hàm số f(x) chuyển từ giá trị dương sang giá trị âm hoặc ngược lại tại hai điểm a và b, tạo ra ít nhất một điểm mà hàm số cắt trục hoành Từ đó, ta suy ra rằng khoảng (a, b) không chứa điểm nào mà hàm số f(x) không liên tục, đảm bảo tồn tại nghiệm trong khoảng này.
Ta minh hồa ành lỵ n y bơng ỗ thà (Hẳnh 2.1).
Hẳnh 2.1: ành lỵ 1.1 v ành lỵ 2.1 ch¿ ỏi họi tẵnh liản tửc m khổng ỏi họi tẵnh khÊ vi (tỗn tÔi Ôo h m) cừa f(x) Náu f(x) cõ Ôo h m thẳ iãu kiằn ỡn iằu cõ thº thay bơng iãu kiằn khổng ời dĐu cừa Ôo h m, vẳ Ôo h m khổng ời dĐu thẳ h m số ỡn iằu.
Hàm số f(x) và đạo hàm f'(x) của nó liên tục trên đoạn [a, b] Nếu f(a) * f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm duy nhất trong khoảng (a, b).
Viằc tỗn tÔi nghiằm α sao cho f(α) = 0 l hằ quÊ 1.1, v tẵnh duy nhĐt cừa nghiằm α l hằ quÊ cừa tẵnh ỡn iằu (vẳ f 0 (x) khổng ời dĐu) cừa f(x) ành lỵ ữủc chựng minh.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá hai phương pháp giải phương trình bậc hai f(x) = 0, bao gồm phương pháp hình học và phương pháp giải tách Hai phương pháp này giúp tìm nghiệm của phương trình một cách hiệu quả, đặc biệt là khi phương trình không có nghiệm duy nhất.
Để tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong khoảng (a, b), ta cần tính giá trị f(a), f(b) và các giá trị f(x_i) với x_i ∈ (a, b), i = 1, 2, , n Nếu hàm f(x) liên tục trên (x_i, x_{i+1}) và thỏa mãn điều kiện f(x_i) * f(x_{i+1}) < 0, thì tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng (x_i, x_{i+1}) Nếu hàm f(x) quá phức tạp, ta thường sử dụng phương pháp chia đôi (chia khoảng (a, b) thành 2, 4, 8, phần) và kiểm tra điều kiện f(x_i) * f(x_{i+1}) < 0 để xác định khoảng chứa nghiệm.
Mởt a thực bêc n cõ khổng quĂ n nghiằm Vẳ vêy, phữỡng trẳnh a thực cõ khổng quĂ n khoÊng cĂch li nghiằm.
Khi hàm f(x) có tính liên tục (như hàm số, hàm đa thức, ), ta có thể khảo sát sự phân bố của các giá trị của hàm số trong khoảng xác định, từ đó xác định khoảng cách li nhất định.
Trong trường hợp hợp tác số lượng đối tượng, ta có thể sử dụng phương pháp xác định khoảng cách li nghiêm hoặc giá trị thổ cư nghiêm như là giao điểm gần nhất của đối tượng với trục hoành Sau đó, cần thực hiện tính toán để tinh chỉnh dự án khoảng cách li nghiêm chính xác hơn.
Bữợc giÊi kiằn to n nghiằm
Tẳm cĂc nghiằm gƯn úng theo yảu cƯu °t ra Cõ 4 phữỡng phĂp cỡ bÊn giÊi gƯn úng phữỡng trẳnh l :
+ Phữỡng phĂp tiáp tuyán (Hay cỏn gồi l phữỡng phĂp Newton,ph÷ìng ph¡p Newton - Raphson).
Phữỡng phĂp tiáp tuyán
Nởi dung phữỡng phĂp
ị chừ Ôo cừa phữỡng phĂp tiáp tuyán l tẳm cĂch thay phữỡng trẳnh (1.1) phi tuyán ối vợi x bơng mởt phữỡng trẳnh gƯn úng, tuyán tẵnh ối vợi x.
Ta thay cung cừa ữớng cong y = f(x) trản [a, b] bơng tiáp tuyán tÔi iºm A (a, f(a)) ho°c iºm B (b, f(b)) v coi giao iºm cừa tiáp tuyán vợi trửc ho nh l nghiằm xĐp x¿ cừa phữỡng trẳnh (1.1).
Trữợc hát, ta nhưc lÔi cổng thực Taylor:
Cổng thực Taylor Cho h m f(x) xĂc ành v cõ Ôo h m án cĐp n+ 1 trản (a, b) Khi õ, ∀x 0 , x ∈ (a, b) , tỗn tÔi c nơm giỳa x 0 v x sao cho: f(x) = f(x 0 )+x−x0
Cổng thực (2.1) ữủc gồi l khai triºn Taylor bêc n cừa f(x) tÔi x 0 BĐy giớ, x²t phữỡng trẳnh (1.1) vợi giÊ thiát nõ cõ nghiằm thỹc α ph¥n li ð trong kho£ng (a, b).
Gi£ sû h m f câ ¤o h m f 0 (x) 6= 0 t¤i x ∈ [a, b] v ¤o h m c§p hai f 00 (x) tÔi x ∈ (a, b) ỗng thới, f 0 (x), f 00 (x) liản tửc v khổng ời dĐu trản [a, b]. ành nghắa 2.1 iºm x ∈ [a, b] ữủc gồi l iºm Fourier náu f 00 (x).f(x) > 0 (iãu kiằn Fourier).
Khổng giÊm tờng quĂt, h m f(x) trong phữỡng trẳnh (1.1) cõ thº coi l cõ Ôo h m f 00 (x) > 0 , náu khổng ta x²t phữỡng trẳnh g(x) = 0 vợi g := −f.
Chồn xĐp x¿ ban Ưu x 0 l iºm Fourier: f 00 (x 0 ).f(x 0 ) > 0 Ta xƠy düng d¢y {x n } n=0,∞
Khai triºn Taylor bêc nhĐt cừa f tÔi x0 l f(x) =f(x 0 ) + (x−x 0 ).f 0 (x 0 ) + (x−x 0 ) 2
Nhữ vêy, phữỡng trẳnh (1.1) ữủc viát th nh: f(x 0 ) + (x−x 0 ).f 0 (x 0 ) + (x−x 0 ) 2
GiÊ sỷ rơng x0 gƯn vợi x, ta cõ thº bọ qua số hÔng cuối trong (2.2) v ữủc phữỡng trẳnh: f(x 0 ) + (x−x 0 ).f 0 (x 0 ) = 0 (2.3)
Như vậy, ta có thể thay phương trình (1.1) bằng phương trình (2.3) ở dạng đơn giản hơn nhiều, và (2.3) là một tuyến tính đối với x Việc thay thế này giúp ta dễ dàng hơn trong việc giải quyết bài toán Khi x1 tiến gần đến x0, ta có công thức sau: f(x0) + (x1 - x0) * f'(x0) = 0.
Tứ x 1 , ta tẵnh mởt cĂch tữỡng tỹ ra x 2 = x 1 − f(x 1 ) f 0 (x1) , , x n = x n−1 − f(xn−1) f 0 (x n−1 ). Tờng quĂt, khi  biát xn ta tẵnh xn+1 theo cổng thực: x n+1 = x n − f(x n ) f 0 (xn)(n ≥0) (2.5) x 0 chồn trữợc ∈ [a, b]
Lúc n y, sau mởt số n bữợc l°p, ta xem x n l giĂ trà gƯn úng cừa nghiằm α cừa phữỡng trẳnh (1.1).
Phữỡng phĂp tẵnh x n theo (2.5) gồi l phữỡng phĂp Newton.
Chú ỵ 2.1 Vẳ phữỡng trẳnh (2.3) dũng º thay cho phữỡng trẳnh (1.1), (2.3) l tuyán tẵnh ối vợix nản phữỡng phĂp Newton cụng gồi l phữỡng phĂp tuyán tẵnh hõa.
Chú ỵ 2.2 Tứ (2.5) ta thĐy phữỡng phĂp Newton thuởc loÔi phữỡng phĂp l°p vợi h m l°p ϕ(x) =x− f(x) f 0 (x) (2.6)
Chú ỵ 2.3 Vã m°t hẳnh hồc thẳ f 0 (x 0 ) l hằ số gõc cừa tiáp tuyán cừa ỗ thà h m y = f(x) tÔi x 0
X²t mởt trữớng hủp cử thº nhữ sau: ta v³ ỗ thà trong hẳnh 2.2.
Cung ỗ thà AB cắt trực tiếp tại điểm M, nơi mà α nằm Tại điểm này, chúng ta có thể xác định cách gần đúng cho α bằng phương pháp tiếp tuyến tại điểm B, nơi có giá trị x0 Tiếp theo, ta sẽ xem xét giá trị gần đúng của α tại điểm P, với giá trị x1 Để tính toán x1, chúng ta thiết lập phương trình tiếp tuyến tại điểm B, với x0 = b.
TÔi P ta cõ X = x 1 , Y = 0, nản cõ:
Tứ õ, ta suy ra (2.4) Cho nản phữỡng phĂp Newton cỏn cõ tản l phữỡng phĂp tiáp tuyán.
Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp tiáp tuyán
Mức ẵch cừa ta là tĩnh gần ứng α Điều này có thể thực hiện được thông qua phương pháp Newton khi n → α khi n → ∞ Ta có kết quả sau: ảnh lý 2.3 (điều kiện từ phương pháp tiếp tuyến hồi tử) Giải thích những điều kiện sau đây được thỏa mãn:
+ iãu kiằn 1: (a, b) l khoÊng phƠn li nghiằm α cừa phữỡng trẳnh(1.1)
+ iãu kiằn 2: H m f(x) cõ Ôo h m bêc nhĐt f 0 (x) v bêc hai f 00 (x), vợi f(x) v f 0 (x) liản tửc trản [a, b] f 0 v f 00 khổng ời dĐu trong (a, b) (nghắa l h m f(x) ỡn iằu, lỗi ho°c lóm trong oÔn [a, b] ).
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá phương pháp xác định ưu điểm của hàm Fourier tại một điểm x0 trong hai khoảng a và b Việc xác định điểm x0 là rất quan trọng, vì nó đảm bảo rằng f(x0) không chỉ tồn tại mà còn phải lớn hơn 0, đồng thời f''(x) cũng phải dương Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm, từ đó áp dụng hiệu quả trong các lĩnh vực liên quan đến phân tích hàm số.
Khi õ, x n tẵnh bði (2.5) hởi tử vã α khi n → ∞ Cử thº hỡn ta cõ xn ỡn iằu tông tợi α náu f 0 f 00 < 0 v xn ỡn iằu giÊm tợi α náu f 0 f 00 > 0
Dứng lÔi ð bữợc tẵnh thự n xĂc ành, ta ữủc x n v xem x n l giĂ trà g¦n óng cõa α
Chựng minh Nhữ  nõi ð mửc [2.2.1], ta luổn cõ thº coif 00 (x) > 0. Sau Ơy, ta ch¿ x²t trữớng hủp f 0 (x) < 0 Trữớng hủp f 0 (x) > 0 ho n to n t÷ìng tü.
Khai triºn Taylor bêc 1 cừa f(x n ) tÔi iºm x n−1 , ta cõ: f(x n ) =f(x n−1 ) + (x n −x n−1 ).f 0 (x n−1 ) + (x n −x n−1 ) 2
Để đảm bảo rằng dãy {x_n} hội tụ đến một giới hạn x, cần có điều kiện f'(x_n) ≥ 0 Nếu x_n > α, thì f'(x) < 0 dẫn đến f(x_n) < f(α) = 0 Điều này cho thấy rằng dãy này phải thỏa mãn f(x_n) ≥ 0 Do đó, ta có a ≤ x_n ≤ x_{n+1} ≤ ≤ α ≤ b, từ đó suy ra giới hạn lim n→∞ x_n = x tồn tại Tóm lại, dãy {x_n} là một dãy hội tụ trong khoảng [a, b], với hai trường hợp: trường hợp f'(x)f''(x) < 0 hoặc f'(x)f''(x) > 0, đều dẫn đến lim n→∞ x_n = x.
Dạ thĐy rơng x l nghiằm cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0
Thêt vêy, chuyºn qua giợi hÔn trong biºu thực x n+1 = x n − f(x n ) f 0 (x n ) ta câ x = x− f(x) f 0 (x) Suy ra f(x) = 0 Do (a, b) l khoÊng phƠn li nghiằm α cừa phữỡng trẳnh (1.1) nản x = α
Ta minh hồa ành lỵ 2.3 bơng hẳnh v³ (Hẳnh 2.3 v Hẳnh 2.4).
Ănh giĂ sai số cừa phữỡng phĂp tiáp tuyán
ành lþ 2.4 Gi£ sû 0 < m ≤| f 0 (x) | v | f 00 (x) |≤ M Khi §y, ta câ ¡nh gi¡ sai sè:
Chựng minh p dửng ành lỵ giĂ trà trung bẳnh Lagrange (cổng thùc sè gia húu h¤n), ta câ: f(xn)−f(α) = (xn−α).f 0 (c) vợi c ∈ (x n , α) ⊂ (a, b).
Dòng khai triºn Taylor cõa f(x) t¤i x n−1 : f(x n ) =f(x n−1 ) + (x n −x n−1 ).f 0 (x n−1 )+
Thay v o ¯ng thực trản ta ữủc:
Tứ cổng thực trản v cổng thực | x n −α |≤ | f(xn) | m ta suy ra:
Nhữ vêy, tốc ở hởi tử cừa phữỡng phĂp tiáp tuyán l bêc hai.
Phữỡng phĂp Newton hởi tử rĐt nhanh v do õ thữớng ữủc sỷ dửng trản bữợc giÊi kiằn to n phữỡng trẳnh (1.1).
Vẵ dử Ăp dửng phữỡng phĂp tiáp tuyán Newton 23
2 bơng cĂch giÊi phữỡng trẳnh sau: f(x) = x 2 −2 = 0 (2.8)
Ta thĐy f(1) = −1, f(2) = 2 ⇒ f(1).f(2) < 0 nản khoÊng phƠn li nghiằm l [1,2] Nhữ vêy, iãu kiằn 1 ữủc thọa mÂn. f 0 (x) = 2x > 2 vợi mồi x ∈ [1,2]. f 00 (x) = 2 > 1 vợi mồi x ∈ [1,2] Vêy iãu kiằn 2 ữủc thọa mÂn.
Vẳ f(2) = 2 nản ta chồn x 0 = 2, nhữ vêy thẳ f(2).f 00 (x) = 2.2 = 4 > 0 v iãu kiằn 3 ữủc thọa mÂn.
Vêy ta cõ thº Ăp dửng phữỡng phĂp l°p Newton º tẵnh nghiằm xĐp x¿ cừa phữỡng trẳnh (2.8).
Ta câ b£ng sau: n x 0 = 2 vợi x n+1 = x n − f (x n ) f 0 (x n )
Ta cõ thº lĐy nghiằm xĐp x¿ l 1,41421 Ta biát rơng√
2 = 1,414213562 , nhữ vêy phữỡng phĂp l°p Newton hởi tử rĐt nhanh.
Vẵ dử 2.2.2 Dũng phữỡng phĂp Newton giÊi phữỡng trẳnh x 3 −2x−10 = 0 vợi ở chẵnh xĂc 10 −3 , biát khoÊng phƠn li nghiằm l
Dạ thĐy rơng f(3).f 00 (3) > 0 nản ta chồn x 0 = 3 Ta xƠy dỹng dÂy {x n } n=1,∞ nh÷ sau:
20.|0,0041| 2 < 10 −3 Vẳ thá ta cõ thº chồn nghiằm x ∗ ≈ x 3
ìu iºm v hÔn chá cừa phữỡng phĂp tiáp tuyán
HÔn chá
Việc kiểm tra áp dụng phương pháp Newton phức tạp hơn phương pháp chia ổi và phương pháp dãy cung Những điều kiện cần thiết cho phương pháp Newton hầu như liên quan trực tiếp và cần thiết phải kiểm tra khi áp dụng phương pháp này Cụ thể, nếu áp dụng các phương pháp chia ổi hoặc dãy cung, thì quá trình lặp sẽ hội tụ, còn nếu áp dụng phương pháp Newton trong trường hợp không thỏa mãn các điều kiện ban đầu sẽ không đạt được kết quả như mong muốn.
Ch÷ìng 3 Ùng dửng phƯn mãm Mathematica cho phữỡng phĂp tiáp tuyán
Tờng quan vã ngổn ngỳ lêp trẳnh Mathematica
Năm 1988, hãng Wolfram đã phát hành phần mềm Mathematica, một công cụ tính toán mạnh mẽ cho máy tính Mathematica tích hợp nhiều tính năng toán học, cho phép người dùng thực hiện các phép toán phức tạp và xử lý dữ liệu một cách hiệu quả Với khả năng mô hình hóa và trực quan hóa, phần mềm này không chỉ hữu ích trong toán học mà còn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Mathematica đã được cải tiến qua nhiều phiên bản, phiên bản mới nhất là Mathematica 10.0.
Mathematica, Maple và Mathlab là những phần mềm hỗ trợ mạnh mẽ cho nghiên cứu khoa học và tính toán số Mathlab thường được ưa chuộng hơn vì tính quen thuộc và dễ sử dụng, trong khi Maple và Mathematica cũng cung cấp các công cụ tính toán số hiệu quả Tuy nhiên, Maple thường cho kết quả nhanh hơn khi giải quyết các bài toán phức tạp, đặc biệt là khi làm việc với biểu thức phức tạp Cụ thể, Mathematica có thể mất khoảng 3 phút để cho kết quả, trong khi Maple đôi khi mất hơn một giờ và có thể gặp phải tình trạng treo máy.
Mathematica là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hình học, hàm số, đồ thị hàm, vi phân, tách phân, chuỗi số, ma trận, và hệ phương trình tuyến tính trong không gian vectơ Nó cung cấp các phương tiện để xử lý các phương trình hai chiều một cách hiệu quả.
3 chiãu mởt cĂch trỹc quan v nhanh nhÔy nhĐt.
Phữỡng phĂp tiáp tuyán trong Mathematica
3.2.1 CĐu trúc cĂc lằnh trong Mathematica ối vợi phữỡng phĂp tiáp tuyán º tẳm nghiằm gƯn úng cừa phữỡng trẳnh f(x) = 0, ta dũng cĐu trúc lằnh sau:
Trong õ: nhêp v oml số chỳ số thêp phƠn cƯn l m trỏn cho nghiằm.
Trong õ: nhêp y l h m số cho trữợc.
• NhĐn tờ hủp phẵm SHIFT + ENTER º mĂy lữu h m số v o bở nhợ chữỡng trẳnh.
• XuĐt ra giĂ trà h m số vứa nhêp bơng lằnh:
• NhĐn tờ hủp phẵm SHIFT + ENTER.
• V³ ỗ thà 2 chiãu cừa h m số f(x) º tẳm ra khoÊng phƠn li nghiằm cho hủp lỵ, v cụng l º ữợc lữủng trữợc nhỳng nghiằm cƯn tẳm nhơm kiºm tra ở chẵnh xĂc cừa kát quÊ:
P lot[f[x],{x, x min , x max }, P lotRange → {{x min , x max },{y min , y max }},
T icks → {Range[x min , x max , h], Range[y min , y max , l]},
LằnhP lot[f[x],{x, x min , x max }giúp v³ ỗ thà 2 chiãu cừa h m số f(x) vợi x chÔy tứ x min án x max
Lằnh P lotRange → {{x min , x max },{y min , y max }} l tũy chồn khoÊng ỗ thà hiºn thà vợi x (trửc ho nh) chÔy tứ x min án x max , y (trửc tung) chÔy tứ y min án y max
Lằnh P lotStyle → M agenta l tũy chồn kiºu v³ cừa ỗ thà (ð Ơy, kiºu v³ cừa ỗ thà l theo m u Magenta, tực l m u ọ - tẵm theo hằ m u Munsell)
LằnhT icks → {Range[x min , x max , h], Range[y min , y max , l]}l tũy chồn Ănh dĐu cĂc iºm (ở chia nhọ nhĐt) trản cĂc trửc tồa ở.
Nhêp v o h, l lƯn lữủt l ở chia nhọ nhĐt trản trửc ho nh, trửc tung.
• NhĐn tờ hủp phẵm SHIFT + ENTER º xuĐt ra hẳnh Ênh ỗ thà.
Dỹa v o ỗ thà vứa v³, tián h nh ữợc lữủng khoÊng giĂ trà cừa x trản trửc ho nh, v iãu ch¿nh lÔi khoÊng giĂ trà trản trửc tung V³ lÔi ỗ thà lƯn cuối º quan sĂt ró hỡn theo lằnh.
P lot[f[x],{x, x min , xmax}, P lotRange → {{x min , xmax},{y min , ymax}},
• NhĐn tờ hủp phẵm SHIFT + ENTER º xuĐt ra hẳnh Ênh ỗ thà.
• Nhêp h m l°p cừa phữỡng phĂp tiáp tuyán: g[x_] = x− f[x] f 0 [x];
• NhĐn tờ hủp phẵm SHIFT + ENTER º xuĐt ra h m l°p vứa nhêp.
• Nhêp v o giĂ trà iºm xuĐt phĂt ban Ưu p0 rỗi nhĐn SHIFT + ENTER.
• LƯn lữủt nhêp v o cĂc h m º tẵnh giĂ trà cừa nghiằm p bơng cĂc lằnh sau: p1 = g[p0] p2 = g[p1] p3 = g[p2] p4 = g[p3]
Cự tiáp tửc quĂ trẳnh trản cho án khi muốn dứng lÔi tÔi giĂ trà pλ n o õ (λ ≥ 1) Sau mỗi lần nhêp nhữ, bạn cần nhấn SHIFT + ENTER để xuất ra kết quả của từng nghiằm p.
• BƠy giớ, chÔy chữỡng trẳnh cừa phữỡng phĂp tiáp tuyán º nhên ữủc tĐt cÊ cĂc giĂ trà liản quan trong phữỡng trẳnh f(p) = 0 theo lằnh:
•NhĐn tờ hủp phẵm SHIFT + ENTER Lúc n y, mĂy s³ hiºn thà to n bở cĂc nghiằm tứ p0 án pλ cừa phữỡng trẳnh k±m theo sai số.
• Khi õ, ta côn cự v o ỗ thà Â v³ º kiºm tra kát quÊ nghiằm, ỗng thới cụng l º biát nản dứng ð λ bơng bao nhiảu cho phũ hủp.
3.2.2 Mởt số b i têp Ăp dửng
B i toĂn 1: Sỷ dửng phữỡng phĂp Newton º tẳm 3 nghiằm cừa a thực bêc ba f(x) = 4x 3 −15x 2 + 17x−6 Biát iºm xuĐt phĂt ban Ưu l p 0 = 3
Gi£i: p dửng thuêt toĂn chữỡng trẳnh Mathematica cho phữỡng phĂp tiáp tuyán (NewtonRaphson) Â ữủc trẳnh b y ð trản, ta s³ cõ:
Khi quan sát đồ thị của phương trình f(x) = 4x³ − 15x² + 17x − 6 = 0, chúng ta nhận thấy có hai nghiệm thực trong khoảng từ 0.0 đến 1.4 Với giá trị p0 = 0.0, chúng ta có thể tìm ra các nghiệm này.
Out[18]Sau khi  ch¿nh sỷa cĂc lội v chữỡng trẳnh hoÔt ởng úng, ta cõ thº xõa nhỳng lằnh in khổng cƯn thiát:
Chữỡng trẳnh con tõm tưt phữỡng phĂp Newton Raphson: p dửng chữỡng trẳnh con n y ối vợi phữỡng trẳnh trong b i têp 1 ta ữủc:
Sai số ∆p trong quá trình tính toán có thể dẫn đến sai số tuyệt đối Bên cạnh đó, chúng ta cũng có thể ước lượng sai số tương đối δp thông qua phân tích chính xác của phương pháp tiếp tuyến, cụ thể là phương pháp Newton - Raphson.
Ta thảm tham số δ v o chữỡng trẳnh con º ữợc lữủng ở chẵnh xĂc cừa nghiằm.
GiÊ sỷ ta muốn giÊi phữỡng trẳnh trản vợi số bữợc l°p rĐt lợn l 20 bữợc l°p, v ở chẵnh xĂc cừa nghiằm án 10 −10 Ta cõ:
Tõm lÔi, phữỡng trẳnh 4x 3 − 15x 2 + 17x − 6 = 0 cõ 3 nghiằm l x= 0.75;x = 1;x = 2.
B i toĂn 2: Tẳm nghiằm cừa f(x) = arctanx Biát iºm xuĐt phĂt ban ¦u l p 0 = 1.35
GiÊi: Ta ữa vã giÊi phữỡng trẳnh f(x) = 0 Ta cõ
V i n²t vã Isaac Newton v Joseph Raphson
Isaac Newton (1642 - 1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học, nhà toán học và nhà giả kim người Anh, được nhiều người coi là một trong những nhân vật có ảnh hưởng lớn nhất trong lịch sử khoa học Ông được biết đến như "người sáng lập ra vật lý hiện đại" Newton xuất thân từ một gia đình nông dân Năm 17 tuổi, ông vào học tại trường Đại học Cambridge Trong thời gian còn là sinh viên, Newton đã khám phá ra nhiều nguyên lý trong toán học, được mệnh danh là "Nhà thực Newton".
Ở tuổi 19, ông bắt đầu học tại Đại học Cambridge và nhận bằng cử nhân khoa học tự nhiên Đến 27 tuổi, ông trở thành giáo sư toán tại trường đại học nơi ông học Ở tuổi 30, ông được bổ nhiệm làm hội viên Hội khoa học Hoàng gia Anh và trong 23 năm tiếp theo, ông giữ chức vụ chủ tịch Hội khoa học Hoàng gia Anh Ông còn là hội viên danh dự của nhiều hội khoa học và viện nghiên cứu nổi tiếng.
"Nguyản lỵ vÔn vêt hĐp dăn" v "3 ành luêt Newton".
Joseph Raphson (1648 - 1715) là một nhà toán học nổi tiếng người Anh Cuộc sống cá nhân của ông rất đặc biệt và có nhiều điều thú vị Một cuốn sách nổi bật của J Raphson là "Analysis Aequationum Universalis," xuất bản năm 1690, trong đó ông đã đề xuất một phương pháp nhằm giải quyết các phương trình đại số Phương pháp này sau này được biết đến với tên gọi "phương pháp Newton - Raphson," và đã trở thành một công cụ quan trọng trong giải tích số.
Isaac Newton đã phát triển một cổng thực tướng mới trong tác phẩm "Method of Fluxions" vào năm 1671 Những khám phá của ông đã được công bố lần đầu tiên vào năm 1736, gần 50 năm sau đó, trong "Analysis Aequationum Universalis" của Joseph Raphson.
Sau mởt thới gian tẳm hiºu, hồc họi tứ nhỳng t i liằu ữủc ThƯy giĂo
- TS Lả HÊi Trung cung cĐp, em  ho n th nh ã t i cừa mẳnh Nhỳng kát quÊ chẵnh ữủc trẳnh b y trong Luên vôn gỗm:
Khái quát lợi ích của một số kiến thức và phương trình phi tuyến, đồng thời làm rõ ý nghĩa hình học của nghiệm, cũng như sự tồn tại của nghiệm trong các phương trình phi tuyến.
Để giải gần phương trình phi tuyến, chúng ta có thể áp dụng các bước giải gần phương trình, trong đó xây dựng cổng thực lập Newton là một phương pháp hiệu quả Phương pháp này sử dụng kỹ thuật tiệm cận để tìm nghiệm của phương trình Tuy nhiên, cần lưu ý đến sai số có thể xảy ra trong quá trình tính toán và đánh giá độ chính xác của phương pháp tiệm cận.
- hÔn chá, k±m nhỳng ành lẵ liản quan v vẵ dử Ăp dửng
Phần mềm Mathematica là công cụ mạnh mẽ trong lĩnh vực toán học, đặc biệt trong việc giải quyết các phương trình phi tuyến Khóa luận đã đề cập đến hai chủ đề chính: "Giải phương trình phi tuyến bằng phương pháp Newton" và "Vấn đề biểu diễn nghiệm của phương trình phi tuyến" Qua việc so sánh giữa giải bằng tay và ứng dụng các phương pháp máy tính, phần mềm Mathematica cho thấy hiệu quả vượt trội trong việc giải quyết các bài toán toán học phức tạp Mặc dù có những hạn chế, nhưng luận văn cũng đã giới thiệu các chương trình con khác nhau, cho phép người dùng tùy chỉnh và kiểm tra độ chính xác của nghiệm, từ đó giảm thiểu sai số và tối ưu hóa quy trình giải quyết các phương trình phi tuyến.