3 Ùng döng ph¦n m·m Mathematica cho ph÷ìng ph¡p ti¸p
3.2 Ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n trong Mathematica
3.2.1 C§u tróc c¡c l»nh trong Mathematica èi vîi ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n
º t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh f(x) = 0, ta dòng c§u tróc l»nh sau: • Nhªp code (m¢ l»nh): N ewtonRaphson[x0,max_] := M odule[{}, k = 0; p0 =N[x0];
P rint[”p0 = ”, P addedF orm[p0,{m, m}],”, f[p0] = ”, N umberF orm[f[p0], m]]; p1 =p0; W hile[k < max, p0 =p1; p1 =p0− f[p0] f0[p0]; k = k+ 1;
P rint[”p”k,” = ”, P addedF orm[p1,{m, m}],”, f[”,”p”k,”] = ”, N umberF orm[f[p1], m]]; ];
P rint[”p = ”, N umberF orm[p1, m]];
P rint[”∆p= ±”, Abs[p1−p0]];
P rint[”f[p] = ”, N umberF orm[f[p1], m]]; ]
• Nhªp v o h m sè y = f(x) theo l»nh:
f[x_] = y;
Trong â: nhªp y l h m sè cho tr÷îc.
• Nh§n tê hñp ph½m SHIFT + ENTER º m¡y l÷u h m sè v o bë nhî ch÷ìng tr¼nh.
• Xu§t ra gi¡ trà h m sè vøa nhªp b¬ng l»nh:
P rint[”f[x] = ”, f[x]];
• Nh§n tê hñp ph½m SHIFT + ENTER.
• V³ ç thà 2 chi·u cõa h m sè f(x) º t¼m ra kho£ng ph¥n li nghi»m cho hñp lþ, v công l º ÷îc l÷ñng tr÷îc nhúng nghi»m c¦n t¼m nh¬m kiºm tra ë ch½nh x¡c cõa k¸t qu£:
N eeds[”GraphicsrColorsr”]
P lot[f[x],{x, xmin, xmax}, P lotRange → {{xmin, xmax},{ymin, ymax}}, T icks → {Range[xmin, xmax, h], Range[ymin, ymax, l]},
P lotStyle → M agenta]
P rint[”f[x] = ”, f[x]];
Trong â:
L»nhP lot[f[x],{x, xmin, xmax}gióp v³ ç thà 2 chi·u cõa h m sè f(x)
vîi x ch¤y tø xmin ¸n xmax.
L»nh P lotRange → {{xmin, xmax},{ymin, ymax}} l tòy chån kho£ng ç thà hiºn thà vîi x (tröc ho nh) ch¤y tø xmin ¸n xmax, y (tröc tung) ch¤y tø ymin ¸n ymax.
L»nh P lotStyle → M agenta l tòy chån kiºu v³ cõa ç thà (ð ¥y, kiºu v³ cõa ç thà l theo m u Magenta, tùc l m u ä - t½m theo h» m u Munsell) .
L»nhT icks → {Range[xmin, xmax, h], Range[ymin, ymax, l]}l tòy chån ¡nh d§u c¡c iºm (ë chia nhä nh§t) tr¶n c¡c tröc tåa ë.
Nhªp v o h, l l¦n l÷ñt l ë chia nhä nh§t tr¶n tröc ho nh, tröc tung.
• Nh§n tê hñp ph½m SHIFT + ENTER º xu§t ra h¼nh £nh ç thà.
• Düa v o ç thà vøa v³, ti¸n h nh ÷îc l÷ñng kho£ng gi¡ trà cõa x
tr¶n tröc ho nh (kho£ng chùa nghi»m) v i·u ch¿nh l¤i kho£ng gi¡ trà tr¶n tröc tung. V³ l¤i ç thà l¦n cuèi º quan s¡t rã hìn theo l»nh:
P lotStyle → M agenta]
P rint[”f[x] = ”, f[x]];
• Nh§n tê hñp ph½m SHIFT + ENTER º xu§t ra h¼nh £nh ç thà.
• Nhªp h m l°p cõa ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n:
g[x_] = x− f[x]
f0[x];
P rint[”g[x] = ”, g[x]];
g[x_] = Simplif y[g[x]];
P rint[”g[x] = ”, g[x]];
• Nh§n tê hñp ph½m SHIFT + ENTER º xu§t ra h m l°p vøa nhªp.
• Nhªp v o gi¡ trà iºm xu§t ph¡t ban ¦u p0 rçi nh§n SHIFT + ENTER.
• L¦n l÷ñt nhªp v o c¡c h m º t½nh gi¡ trà cõa nghi»m p b¬ng c¡c l»nh sau: p1 = g[p0] p2 = g[p1] p3 = g[p2] p4 = g[p3] . . . .
Cù ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n cho ¸n khi muèn døng l¤i t¤i gi¡ trà pλ
n o â (λ ≥ 1). Chó þ r¬ng sau méi l¦n nhªp nh÷ vªy, ph£i nh§n SHIFT + ENTER º xu§t ra k¸t qu£ cõa tøng nghi»m p .
• B¥y gií, ch¤y ch÷ìng tr¼nh cõa ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n º nhªn ÷ñc t§t c£ c¡c gi¡ trà li¶n quan trong ph÷ìng tr¼nh f(p) = 0 theo l»nh:
N ewtonRaphson[p0, λ+ 1];
•Nh§n tê hñp ph½m SHIFT + ENTER. Lóc n y, m¡y s³ hiºn thà to n bë c¡c nghi»m tø p0 ¸n pλ cõa ph÷ìng tr¼nh k±m theo sai sè.
• Khi â, ta c«n cù v o ç thà ¢ v³ º kiºm tra k¸t qu£ nghi»m, çng thíi công l º bi¸t n¶n døng ð λ b¬ng bao nhi¶u cho phò hñp. 3.2.2 Mët sè b i tªp ¡p döng
B i to¡n 1: Sû döng ph÷ìng ph¡p Newton º t¼m 3 nghi»m cõa a thùc bªc ba f(x) = 4x3 −15x2 + 17x−6. Bi¸t iºm xu§t ph¡t ban ¦u
l p0 = 3 . Gi£i:
p döng thuªt to¡n ch÷ìng tr¼nh Mathematica cho ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n (NewtonRaphson) ¢ ÷ñc tr¼nh b y ð tr¶n, ta s³ câ:
In[1]:= N ewtonRaphson[x0,max_] :=
M odule[{}, k = 0;
p0 =N[x0];
P rint[”p0 = ”, P addedF orm[p0,{16,16}],”, f[p0] = ”, N umberF orm[f[p0],16]]; p1 =p0; W hile[k < max, p0 =p1; p1 =p0− f[p0] f0[p0]; k = k+ 1;
P rint[”p”k,” = ”, P addedF orm[p1,{16,16}],”, f[”,”p”k,”] = ”, N umberF orm[f[p1],16]]; ];
P rint[”p = ”, N umberF orm[p1,16]];
P rint[”∆p= ±”, Abs[p1−p0]];
P rint[”f[p] = ”, N umberF orm[f[p1],16]]; ]
In[2]:= f[x_] = 4x3 −15x2 + 17x−6;
In[3]:= P rint[”f[x] = ”, f[x]];
Out[3]= f[x] = −6 + 17x−15x2 + 4x3
In[4]:= N eeds[”GraphicsrColorsr”]
P lot[f[x],{x,−1,3}, P lotRange → {{−1,3},{−30,20}}, T icks → {Range[−1,3,0.5r], Range[−30,20,10]},
P lotStyle → M agenta]
P rint[”f[x] = ”, f[x]];
−Graphics−
f[x] = −6 + 17x−15x2 + 4x3
In[6]:= P lot[f[x],{x,0,3}, P lotRange → {{0,2.1r},{−0.9,0.2r}}, P lotStyle → M agenta]
P rint[”f[x] = ”, f[x]];
−Graphics− f[x] = −6 + 17x−15x2 + 4x3 In[7]:= g[x_] = x− f[x] f0[x]; P rint[”g[x] = ”, g[x]]; g[x_] = Simplif y[g[x]]; P rint[”g[x] = ”, g[x]]; Out[7]= g[x] = x− −6 + 17x−15x 2 + 4x3 17−30x+ 12x2 g[x] = 6−15x2 + 8x3 17−30x+ 12x2 In[8]:= p0 = 3.0 Out[8]= 3. In[9]:= p1 = g[p0] Out[9]= 2.48571 In[10]:= p2 = g[p1] Out[10]= 2.18342 In[11]:= p3 = g[p2] Out[11]= 2.04045 In[12]:= p4 = g[p3] Out[12]= 2.00265
In[13]:= p5 = g[p6] Out[13]= 2.00001 In[14]:= p6 = g[p5] Out[14]= 2. In[15]:= p7 = g[p6] Out[15]= 2. In[16]:= N ewtonRaphson[3.0,7]; Out[16]=
Tø 2 ç thà ta quan s¡t ÷ñc ð tr¶n, ta th§y r¬ng v¨n cán 2 nghi»m thüc núa cõa ph÷ìng tr¼nh f(x) = 4x3 −15x2 + 17x−6 = 0. Ta s³ sû döng c¡c gi¡ trà ban ¦u l 0.0 v 1.4 º t¼m ra 2 nghi»m â.
¦u ti¶n, vîi p0 = 0.0 ta câ: In[17]:= N ewtonRaphson[0.0,8];
Khi â, vîi p0 = 1.4 th¼:
In[18]:= N ewtonRaphson[1.4,5];
Out[18]=
Sau khi ¢ ch¿nh sûa c¡c léi v ch÷ìng tr¼nh ho¤t ëng óng, ta câ thº xâa nhúng l»nh in khæng c¦n thi¸t:
Ch÷ìng tr¼nh con tâm tt ph÷ìng ph¡p Newton Raphson:
p döng ch÷ìng tr¼nh con n y èi vîi ph÷ìng tr¼nh trong b i tªp 1 ta ÷ñc:
Sai sè ∆p trong k¸t qu£ ð tr¶n l sai sè tuy»t èi. Ngo i ra, ta câ thº t¼m sai sè t÷ìng èi δp º ph£n ¡nh ë ch½nh x¡c cõa ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n (Newton - Raphson).
Ta th¶m tham sè δ v o ch÷ìng tr¼nh con º ÷îc l÷ñng ë ch½nh x¡c cõa nghi»m.
Gi£ sû ta muèn gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n vîi sè b÷îc l°p r§t lîn l 20
b÷îc l°p, v ë ch½nh x¡c cõa nghi»m ¸n 10−10 . Ta câ:
Tâm l¤i, ph÷ìng tr¼nh 4x3 − 15x2 + 17x − 6 = 0 câ 3 nghi»m l
x= 0.75;x = 1;x = 2.
B i to¡n 2: T¼m nghi»m cõa f(x) = arctanx . Bi¸t iºm xu§t ph¡t ban ¦u l p0 = 1.35 .
V i n²t v· Isaac Newton v Joseph Raphson
Isaac Newton (1642 - 1727) l mët nh vªt lþ, nh thi¶n v«n håc, nh tri¸t håc, nh to¡n håc, nh th¦n håc v nh gi£ kim ng÷íi Anh, ÷ñc nhi·u ng÷íi cho r¬ng l nh khoa håc v¾ ¤i v câ t¦m £nh h÷ðng lîn nh§t, l "ng÷íi s¡ng lªp ra vªt lþ håc cê iºn". Niutìn xu§t th¥n gia ¼nh quþ tëc næng thæn. N«m 17 tuêi, Newton v o håc ð tr÷íng ¤i håc têng hñp Kembritgiì. Thíi gian cán l sinh vi¶n, Newton ¢ t¼m ra nhà thùc trong to¡n håc gi£i t½ch, ÷ñc gåi l "Nhà thùc Newton". N«m 19 tuêi æng v o ¤i håc Cambirdge, bt ¦u nghi¶n cùu rëng r¢i khoa håc tü nhi¶n. N«m 27 tuêi, æng ÷ñc cû l m Gi¡o s÷ To¡n ð tr÷íng ¤i håc nìi æng håc. N«m 30 tuêi, æng ÷ñc b¦u l m hëi vi¶n Hëi khoa håc ho ng gia Anh (Vi»n h n l¥m) v 23 n«m cuèi íi, æng l m chõ tàch Hëi khoa håc ho ng gia Anh. Æng cán l hëi vi¶n danh dü cõa nhi·u Hëi khoa håc v vi»n s¾ cõa nhi·u Vi»n h n l¥m. Æng °c bi»t nêi ti¸ng vîi "Nguy¶n lþ v¤n vªt h§p d¨n" v "3 ành luªt Newton".
Joseph Raphson (1648 - 1715) l mët nh To¡n håc nêi ti¸ng ng÷íi Anh. Cuëc sèng c¡ nh¥n cõa æng ½t ÷ñc ng÷íi kh¡c bi¸t ¸n. Mët cuèn s¡ch ¡ng chó þ nh§t cõa J. Raphson l "Analysis Aequationum Universalis" xu§t b£n n«m 1690, trong â · cªp ¸n mët ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m x§p x¿ cõa ph÷ìng tr¼nh m hi»n nay nâ ÷ñc bi¸t ¸n vîi t¶n gåi "ph÷ìng ph¡p Newton - Raphson".
Isaac Newton công ¢ ph¡t triºn mët cæng thùc t÷ìng tü trong "Method of Fluxions" ÷ñc Newton vi¸t v o n«m 1671 nh÷ng k¸t qu£ nghi¶n cùu â cõa æng ¢ khæng ÷ñc xu§t b£n m¢i cho ¸n n«m 1736, g¦n 50 n«m sau cuèn "Analysis Aequationum Universalis" cõa Joseph Raphson.
K¸t luªn
Sau mët thíi gian t¼m hiºu, håc häi tø nhúng t i li»u ÷ñc Th¦y gi¡o - TS. L¶ H£i Trung cung c§p, em ¢ ho n th nh · t i cõa m¼nh. Nhúng k¸t qu£ ch½nh ÷ñc tr¼nh b y trong Luªn v«n gçm:
1. Kh¡i qu¡t l¤i mët sè ki¸n thùc v· ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n, þ ngh¾a h¼nh håc cõa nghi»m, sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n (ành lþ v chùng minh).
2. C¡c b÷îc gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh, x¥y düng cæng thùc l°p Newton (nëi dung ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n) º gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n, sü hëi tö, ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n, ÷u iºm - h¤n ch¸, k±m nhúng ành l½ li¶n quan v v½ dö ¡p döng ...
3. Giîi thi»u ph¦n m·m Mathematica - ph¦n m·m câ nhi·u ùng döng trong t½nh to¡n to¡n håc. Trong khâa luªn ¢ · c§p chùc n«ng "Gi£i ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n b¬ng ph÷ìng ph¡p Newton" v "V³ ç thà biºu di¹n nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n" cõa ph¦n m·m Mathematica. Qua â so s¡nh ÷ñc ÷u iºm v nh÷ñc iºm cõa vi»c gi£i b¬ng tay vîi vi»c ¡p döng c¡c ph÷ìng ph¡p v vi»c gi£i b¬ng m¡y t½nh khi sû döng ph¦n m·m Mathematica.
Ùng döng cõa ph¦n m·m Mathematica trong vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n t¼m nghi»m g¦n óng cõa ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n b¬ng ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n l r§t rëng. V¼ th¸, ð · t i n y, khi ÷a ra c¡c ph÷ìng tr¼nh º vªn döng chóng công cán thi¸u sât. Tuy nhi¶n, Luªn v«n ¢ giîi thi»u ÷ñc c¡c ch÷ìng tr¼nh con (procedure) d i ngn kh¡c nhau, ÷ñc lªp tr¼nh ch¤y tr¶n n·n Mathematica º t¼m nghi»m g¦n óng công nh÷ sai sè t÷ìng èi, sai sè tuy»t èi cõa ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n, v v³ ç thà h m sè sc n²t sinh ëng theo þ muèn, gióp cho vi»c kiºm tra
T i li»u tham kh£o
[1] Ph¤m Ký Anh, Gi£i t½ch sè, Nh xu§t b£n Gi¡o döc, 2008.
[2] J. Douglas Faires Richard L. Burden, Numerical Methods, Brooks Cole, 2002.
[3] Stephen Wolfram, The Mathematica Book, Third Edition, Wolfram Media/ Cambridge University Press, 1996.
[4] Stephen Wolfram, Mathematica: A System for Doing Mathemat- ics by Computer, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Com- pany, 1991.
[5] Nancy R. Blachman, Colin P. Williams Mathematica: A Practical Approach, Second Edition, Prentice Hall, 1999.
[6] GS. T¤ V«n ¾nh, Ph÷ìng ph¡p t½nh, Nh xu§t b£n Gi¡o döc Vi»t Nam, 2011.
[7] Nguy¹n ¼nh Tr½ (Chõ bi¶n), T¤ V«n ¾nh, Nguy¹n Hç Quýnh, To¡n håc cao c§p (Tªp hai) - Ph²p t½nh gi£i t½ch mët bi¸n sè, Nh xu§t b£n Gi¡o döc, 2009.
[8] B. P. Demidovich, L. A. Maron, Elements of Computational math- ematics, Mir Publisher, Mockva, 1976.
[9] J. Monier, Analyse 1, Analyse 2 et Algebre 1, Dunod, Paris, 1997. [10] Nguy¹n Minh Ch÷ìng (Chõ bi¶n), Nguy¹n V«n Kh£i, Khu§t V«n
Ninh, Nguy¹n V«n Tu§n, Nguy¹n T÷íng, Gi£i t½ch sè, Nh xu§t b£n Gi¡o döc, H Nëi, 2000.