Đang tải... (xem toàn văn)
1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MÔN TOÁN 10 (Hướng dẫn này có 03 trang) Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực 2 2 31 1 1 1x x x x (Dựa trên[.]
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MƠN TỐN 10 (Hướng dẫn có 03 trang) Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực: x2 x2 x x (Dựa đề đề xuất THPT chuyên Thái Nguyên) Hướng dẫn chấm Điều kiện xác định: 1 x (1) 0,5 u, v, t Đặt u x , v x x 1, t x ta u v t (2) u v t 2 Điểm 4,0 1,0 Từ (2) suy u, v, t u v t u v t Do u u , v, t v t u v t v (2) u u u t v v t t t u v Thay lại biến x ta tập nghiệm phương trình S {1} 1,5 1,0 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi (O1 ) đường tròn qua B tiếp xúc với AC A ; (O2 ) đường tròn qua C tiếp xúc với AB A P giao điểm thứ hai (O1 ) (O2 ) ; K , L theo thứ tự giao điểm thứ hai (O1 ), (O2 ) với đoạn thẳng BC Gọi (S ) đường tròn ngoại tiếp tam giác PKL a) Chứng minh rằng: AK , AL tiếp xúc với (S ) b) Gọi Q giao điểm thứ hai (S ) AP ; E giao điểm QK AB ; F giao điểm QL AC Chứng minh điểm A, K , L, S , E, F thuộc đường tròn (Bài đề xuất Tổ đề) Hướng dẫn chấm a) Tứ giác ABKP tứ giác nội tiếp nên ABP AKP AC tiếp tuyến (O1 ) nên ABP PAC Suy AKP PAC (1) Tứ giác APLC tứ giác nội tiếp nên PAC PLK (2) Từ (1) (2), suy AK tiếp tuyến đường tròn (S ) Tương tự, ta chứng minh AL là tiếp tuyến đường tròn (S ) Điểm 4,0 1,0 1,0 A F O1 P E B O2 K L S C Q b) Cách Dễ thấy AKSL tứ giác nội tiếp Ta chứng minh tứ giác AEKL tứ giác nội tiếp Thật vậy, Ta có BEQ EAQ EQA (3) 1,0 Tứ giác KPLQ tứ giác nội tiếp nên KQP PLK (4) AB tiếp tuyến với (O2 ) nên EAQ PLA (5) Từ (3), (4) (5) nên BEQ ALK (đpcm) Cách Ta có KLQ KPQ KPQ ABK nên ABK KLQ , suy QL P AB Do BEK KQL Mà KQL ALK (do AL tiếp tuyến với (S)) nên BEK ALK 1,0 1,0 1,0 Câu (4,0 điểm) Cho đa thức f ( x) x x3 mx nx p , m, n, p số nguyên đôi phân biệt, khác không, cho f (m) m m3 f (n) n4 n3 Tìm m, n, p (Bài đề xuất Tổ đề) Hướng dẫn chấm Điểm 4,0 Xét đa thức g ( x) f ( x) x x3 mx nx p Theo giả thiết g (m) g (n) Do g ( x) đa thức bậc nên g ( x) a( x m)( x n) 1,0 Từ ta có: mx nx p a( x m)( x n) Đồng hệ số cho ta p amn , n a(m n) m a 1,0 Từ ta n m(m n) hay (m 1)n m2 Từ ta m 1∣ hay m 1 suy m 2 Từ n p 16 1,5 Vậy m 2, n 4, p 16 0,5 Chú ý Học sinh thay trực tiếp m, n giải hệ phương trình nghiệm nguyên để tìm m, n, p Câu (4 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) a b2 lũy thừa số nguyên tố; ii) a b chia hết cho a b2 (Bài đề xuất Tổ đề) Điểm 4,0 Hướng dẫn chấm Đặt a b2 p m , p nguyên tố m nguyên dương Ta viết a2 b b4 b , suy a b a b2 a b2 1,0 p ∣ (b b) b(b 1) m Từ (b, b3 1) 1, b b a b p m nên ta suy p m ∣ b3 Ta có b3 (b 1)(b2 b 1) (b 1, b2 b 1)∣ + Nếu (b 1, b2 b 1) p m ∣ b p m ∣ b2 b Từ p m b a b b nên ta 1,5 có p m | b suy ta p m a b b Do a b + Nếu (b 1, b b 1) suy p Xét m 1, khơng có (a, b) 0,5 Xét m 2, (a, b) (5, 2) Xét m 3, 3∣ b 3∣ b2 b 3m1 ước phần tử lại Từ b b2 a 3m1 , 3m1 ∣ b2 b Do b2 b (mod 9), mâu thuẫn 1,0 Vậy (a, b) {(1,1);(5, 2)} Câu (4 điểm) Cho tập S {1, 2,3, , 2025} Tìm số nguyên dương nhỏ n cho: Với tập T S gồm n phần tử, tồn hai phần tử phân biệt u, v T cho u v 20 (Dựa đề đề xuất THPT Chuyên Bắc Giang) Hướng dẫn chấm Điểm 4,0 Giả sử n số nguyên dương nhỏ thỏa mãn đề Xét tập T {1, 2, ,10} {20,21, , 2025} Ta thấy, với u, v T phân biệt thì: 1,0 Nếu u, v {20, 21, , 2025} u v 41 20 Vậy khơng có u , v thỏa mãn u v 20 Nếu u, v {1, 2,3, ,10} u v 19 20 Vậy khơng có u , v thỏa mãn u v 20 Nếu u {1, 2,3, ,10}, v {20, 21, , 2025} u v 21 20 Vậy khơng có u , v thỏa mãn u v 20 Vì | T | 2016 nên n 2017 1,0 Mặt khác, với tập T S ,| T | 2017 , xét cặp số sau (1;19),(2;18), ,(9;11) Nếu cặp thuộc T cặp (u; v) thỏa mãn u v 20 Nếu khơng có cặp thuộc T | T | 2025 2016 , vơ lí Vậy với tập T S ,| T | 2017 tồn u, v T thỏa mãn u v 20 Kết luận: Giá trị nhỏ n 2017 -Hết Ghi chú: Thí sinh làm theo nhiều cách khác Nếu giải cho điểm tối đa 2,0